Cap11 Análise Nodal em Corrente Alternada

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DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 – Circuitos Elétricos I
Capítulo 11
Análise em Regime Permanente C.A.
DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 – Circuitos Elétricos I
11.1 Análise Nodal
Relação tensão-corrente:
Diferença entre circuitos resistivos e fasoriais:
• as excitações e as respostas são complexas nos circuitos fasoriais.
Assim, os métodos de análise nodal e de malhas, ou de laços, podem ser 
utilizados em circuitos fasoriais.
ZIV =
DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 – Circuitos Elétricos I
Exemplo: Cálculo de v1 e v2 em regime permanente.
5cos(2t) [A]
v1
1/2 F+
−
v2
1/4 H 1 Ω
1/2 Ω
1/2 H
1 F
5cos(2t) [V]
DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 – Circuitos Elétricos I
5∠0º [V]
V1
+
−
V2
5∠0º [A]Ω
2
1j
Ω1j
Ω−
2
1j
Ω
2
1
Ω1Ω− 1j
Circuito fasorial:
C
jC
ω
−=
1Z
LjL ω=Z
DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 – Circuitos Elétricos I
( ) °∠=++−
− 05
5211
212
jj
VVV
0
1121
05 2111
=
−
−
+
−
+
°∠−
jj
VVVV
Circuito simplificado:
Equações nodais:
5∠0º [V]
V1
+
−
V2
5∠0º [A]Ω+
5
21 j
Ω− 1jΩ2
1
Ω− 1j
( ) 1022 21 =−+ VV jj
( ) 51 21 =−+− VV jj
DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 – Circuitos Elétricos I
Resolvendo por determinantes:
jj
jj
jj
j
j
−=
−
=
−−
−+
−
−
= 2
5
510
1
22
15
10
1V
42
5
2010
1
22
5
1022
2 j
j
jj
jj
j
j
+=
−
=
−−
−+
−
+
=V
[ ]V 6,2651 °−∠=V
[ ]V 4,63522 °∠=V
( ) [ ]V 6,262cos51 °−= tv
( ) [ ]V 4,632cos522 °+= tv
DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 – Circuitos Elétricos I
Exemplo: Cálculo da resposta forçada i. Fonte dependente.
v
+
−
Ωk
2
1
Ωk2
− +
Ωk2
µF
5
1
4cos(5000t) [V]
3000i
v + 3000ii
µF
5
1
V
+
−
Ωk
2
1
− +
4∠0º [V]
3000I
V + 3000II
( ) Ω− k 21
5
2 j ( ) Ω− k 12 j
DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 – Circuitos Elétricos I
( ) ( )
0
1012
3000
1021
5
210
2
1
4
333
=
⋅−
+
+
⋅−
+
⋅
−
jj
IVVV
V
+
−
Ωk
2
1
− +
4∠0º [V]
3000I
V + 3000II
( ) Ω− k 21
5
2 j ( ) Ω− k 12 j
310
2
1
4
⋅
−
=
VI IV 310
2
14 ⋅−=
Substituindo
[ ]A 1,531024 3 °∠⋅= −I ( ) [ ]mA 1,535000cos24 °+= ti
DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 – Circuitos Elétricos I
Exemplo: Cálculo da resposta forçada v para vg = Vm cos(ωt).
v
+
−
Ωk
2
1
Ωk2
µF1
v2
v1
vg
Ωk2
µF1 Ωk2
22 22000
20001 vvv =




 +=
22
v
v =
v
+
−
Ωk2
v2
Ωk2
Fonte de tensão controlada a tensão:
DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 – Circuitos Elétricos I
0
10
2
102
2
63
1
=
−
+
⋅
−
ω
j
VVV
Nó V/2:
0
10102
2
10
2
1
0
6
1
3
1
3
1
=
−
−
+
⋅
−
+
⋅
°∠−
ω
j
Vm VV
VVVNó V1:
V
+
−
Ωk
2
1
Ωk2
V/2
V1
Vm∠0º
Ωk2
Ω− k 1000
ω
j Ωk2
Ω− k 1000
ω
j
Equações nodais:
VV








+
⋅−
=
2
1
102
2
31 ωj
Substituindo
DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 – Circuitos Elétricos I






+
















−
=
36
2
10
2
10
1
2
ωω j
VmV
Forma polar:
onde
Domínio do tempo:
4
1000
1
2





+
∠
=
ω
θmVV
( ) 





−
−=
−
2
1
10001
10002
tan
ω
ωθ
( )θω
ω
+





+
= t
V
v m cos
1000
1
2
4
DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 – Circuitos Elétricos I
11.2 Análise de Malha
Exemplo: Análise de malha para um circuito em regime permanente c.a., 
cálculo de v1.
5∠0º [V]
V1
+
−
V2
5∠0º [A]Ω+
5
21 j
Ω− 1jΩ2
1
Ω− 1j
5 AI1 I2
2
5 11
IV −= ( ) 512 21
1
=−− III j
( ) ( ) 05
5
2111 2212 =+




 ++−−− IIII jjj
[ ]A 261 j+=I [ ]V 121 j−=V
Resolvendo:
DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 – Circuitos Elétricos I
Procedimento simplificado para escrever as equações de laço e de malha em 
circuitos fasoriais (semelhante aos resistivos):
Definido I3 = −5 como a corrente da malha à direita no sentido horário, as 
equações de malhas podem ser escritas como:
( ) 511
2
1
21 =−−





− II jj
( ) 0
5
21
5
21111 321 =




 +
−




 ++−−+−− III jjjjj
5∠0º [V]
V1
+
−
V2
5∠0º [A]Ω+
5
21 j
Ω− 1jΩ2
1
Ω− 1j
I3I1 I2
DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 – Circuitos Elétricos I
Exemplo: Cálculo de v1 em regime permanente.
v1
Ω 1
H1
−
+
µF
2
1
4cos(2t) [A] H
2
1
sen(2t) [A]
2v1 [A]
DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 – Circuitos Elétricos I
V1 Ω+ 21 j
−
+ Ω− 1j
4∠0º 2V1
1∠-90º
Ω1j
1∠-90º = −j1
4 A 2V1
-j1
I
Aplicando Lei de Kirchhoff para tensões no laço I:
( )( ) 0221)1(1 11 =++++−−− VIIV jjj
)4(11 IV −= j 41
1 +−= j
VI
°∠=+−= 1,1431
5
34
1
jV
( ) [ ]V 1,1432cos1 °+= tv
DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 – Circuitos Elétricos I
11.3 Teoremas de Rede
Todos os teoremas de rede para circuitos resistivos são aplicáveis em circuitos 
fasoriais: 
� Superposição,
� Teorema de Norton,
� Teorema de Thévenin,
� Princípio da Proporcionalidade.
DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 – Circuitos Elétricos I
Exemplo: Superposição, resposta forçada i.
Fonte de tensão c.a. com ω = 2 rad/s e fonte de corrente c.c.
4 [A]1/2 F+
−
1 Ω
3 Ω
1/2 H
1/4 F
5cos(2t) [V]
1 Hi
21 iii +=
i1 = devida à fonte de tensão.
i2 = devida à fonte de corrente.
DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 – Circuitos Elétricos I
Corrente fasorial I1:
+
−
1 Ω5∠0º
I1
−j1 Ω
3 + j2 Ω j2 Ω
( )( ) °−∠=






−+
−+
++
°∠
= 1,82
121
12123
05
1
jj
jjj
I ( ) [ ]A 1,82cos21 °−= ti
DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 – Circuitos Elétricos I
Corrente fasorial I2:
Fonte de tensão morta e ω = 0.
Por divisão de corrente:
Resposta forçada:
4∠0º1 Ω
3 ΩI2
°∠= 04gI
°∠−=





+
−= 014
31
1
2I [ ]A 12 −=i
( ) [ ]A 11,82cos221 −°−=+= tiii
4∠0º1 Ω3 Ω
I2
DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 – Circuitos Elétricos I
No caso dos teoremas de Thévenin e de Norton, o procedimento é semelhante 
ao adotado em circuitos resistivos, mudanças:
Voc ⇔ Voc (tensão fasorial de circuito aberto)
Isc ⇔ Isc (corrente fasorial de curto circuito)
Rth ⇔ Zth (impedância de Thévenin de circuito morto)
Deve haver uma única freqüência presente, caso contrário devemos empregar 
superposição para dividir em problemas de freqüências únicas, onde para cada 
circuito temos um equivalente de Thévenin ou Norton,
+
-
Zth
Voc ZthIsc
DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 – Circuitos Elétricos I
Exemplo: Teorema de Thévenin. Cálculo da resposta forçada v.
+
−
−
+
Ω1 F3
12cos(3t) [A]
2v1 [A]
v1
v
a
b
F
3
1
DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 – Circuitos Elétricos I
+
−
−
+
Ω12∠0º [A]
2V1 [A]
V1 Voc
a
b
Ω− 1j
sc
oc
th I
VZ =
( ) ( ) 4221221 11 jjjoc +=+=−−= VVV
2121 =⋅=V
Lei de Kirchhoff de tensões:
DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 – Circuitos Elétricos I
+
−
Ω12∠0º [A]
2V1 [A]
V1 Isc
a
b
Ω− 1j
Equações nodais:
22
11 1
11
=−
−
+ VVV j
21 +−= VIsc
111 j−−=V
13 jsc +=I
[ ]Ω+=
+
+
== 11
13
42 jj
j
sc
oc
th I
VZ
DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 – Circuitos Elétricos I
Circuito equivalente de Thévenin:
Divisão de tensão:
Domínio do tempo:
+
−
−
+
1j− V
a
b
( ) ( ) ( ) [ ]V 6,26522442111
1
°−∠=−=+





−++
−
= jjjj
jV
Ω+ 11 j
[ ]V 42 j+
( ) [ ]V 6,263cos52°−= tv
DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 – Circuitos Elétricos I
Exemplo: Cálculo da resposta forçada V em regime permanente.
Supor V = 1 V.
Então,
+
−
V−j1 Ω 1 Ω
1 Ω
Vg = 6∠0º [V]
j1 Ω
−j1 Ω
+
−−−−
V1
+
−−−−
I2 I1
11
111
jj +=−+=
VVI
( ) 111111 11 jjjj =++=+= VIV
( ) 1111
1 1
1
2 jjj =++−=+−= I
VI
[ ]V 2111 12 jjjg =+=+⋅= VIV [ ]V 32
61 jj −=⋅=V
[ ]V 2
2
6 jjg ⋅=V
Mas Vg é igual a:
Então,
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11.4 Diagramas Fasoriais
Fasores = números complexos ⇒ representação: vetores em um plano.
Exemplo: Circuito fasorial
Referência: corrente I comum a todos os elementos:
Tensões fasoriais:
+
−
VC−j1/ωC Ω
R
Vg
jωL
+
−
VR
+ −
I
VL
+ −
°∠= 0II
IIV RRR ==
°∠== 90IIV LLjL ωω
°−∠
ω
=
ω
−= 9011 IIV
CC
jC
CLRg VVVV ++=
DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 – Circuitos Elétricos I
Caso a: |VL| > |VC| ⇒ reatância total é indutiva, a corrente atrasa a tensão da 
fonte de um ângulo θ.
VC
VL
VR
Vg
I
θ
Caso b: |VL| < |VC| ⇒ reatância total é capacitiva, a corrente adianta a tensão 
da fonte de um ângulo θ.
VC
VL
VR
Vg
Iθ
DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 – Circuitos Elétricos I
Caso c: |VL| = |VC| ⇒ reatância total é nula, a corrente e a tensão da fonte 
estão em fase.
Assim,
VC
VL
Vg = VR I






ω
−ω+
==
C
LjR
gg
1
V
Z
V
I
01 =
ω
−ω
C
L
C
L
ω
=ω
1
DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 – Circuitos Elétricos I
Se a corrente I é fixa, então a componente real da tensão Vg (VR= R | I |) 
também é fixa.
Lugar geométrico o fasor Vg para I fixa:
A amplitude mínima da tensão ocorre quando . Para qualquer outra 
freqüência, uma amplitude maior de tensão é necessária para a mesma 
corrente.
Vg
I
ω → ∞
ω → 0
LC
1
=ω
LC1=ω
DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 – Circuitos Elétricos I
Exemplo: Diagramas fasoriais. Lugar geométrico de I com a variação de R.
Para obter o lugar geométrico de I temos que eliminar R nas equações acima.
+
−
R
Vm∠0º
jωLI
( )
222222222 LR
LVj
LR
RV
LR
LjRV
LjR
V mmmm
ω
ω
ωω
ω
ω +
−
+
=
+
−
=
+
=I
jyx +=I
{ } 222Re LR
RV
x m
ω+
== I { } 222Im LR
LVy m
ω+
ω
−== I
DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 – Circuitos Elétricos I
L
R
y
x
ω
−=
y
LxR ω−=
Substituindo na expressão , obtemos
que pode ser reescrita como:
que é a equação de um círculo de raio Vm/2ωL e centro em [0, −Vm/2ωL].
O semi-círculo para x > 0 é o lugar geométrico do fasor I = x+jy, com R variando.
L
yVyx m
ω
−=+ 22
222 LR
LVy m
ω+
ω
−=
22
2
22 




ω
=





ω
++
L
V
L
Vyx mm
DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 – Circuitos Elétricos I
A tensão Vm∠0º é tomada como referência.
Lugar geométrico de I.
L
Vm
ω2
L
Vm
ω
−
2
0
L
Vm
ω
−
I
a
R→ ∞
R = 0
Vm
θ
raio: Vm/2ωL
centro: [0, -Vm/2ωL]
222 LR
RV
x m
ω+
=
222 LR
LVy m
ω+
ω
−=
DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 – Circuitos Elétricos I
222 LR
RV
x m
ω+
= 222 LR
LVy m
ω+
ω
−=
Se R = 0, então:
Se R→ ∞, então:
A corrente fasorial move-se ao redor do círculo no sentido anti-horário.
Corrente fasorial possui duas componentes: Imcosθ em fase com a tensão e 
Imsenθ que está 90º fora de fase com a tensão.
O diagrama fasorial permite visualizar a componente da corrente de fase 
máxima, que ocorre no ponto a, ou seja, com θ = 45º (x = −y ou R = ωL).
0=x
L
Vy m
ω
−=
0=x 0=y