03.Dependencia Linear

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3. Dependência Linear
LOB 1036 - Geometria Analítica
Profa. Paula C P M Pardal
LOB1036 
� Geometria em três dimensões é frequente: paralelismo entre retas; planos; e retas
e planos → dependência linear é uma ferramenta importante no tratamento
destas situações.
� Um vetor não nulo será paralelo a uma reta (ou a um plano) se tiver um
representante �� paralelo à reta (ou ao plano).
� Dois vetores paralelos a uma reta são paralelos entre si, mas dois vetores
paralelos a um plano, não são necessariamente paralelos.
� Se um vetor u é paralelo à reta � (ou ao plano � ), então existe um
representante de u que está contido em � (ou �).
� Notação: u	//	� e u	//	�.
3.1 Dependência Linear
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DEFINIÇÃO: Combinação Linear
� O vetor não nulo v é combinação linear (CL) dos vetores v�, v
, … , v� se
existirem escalares 
�, 
, … , 
� tais que, sendo os vetores tomados na
sequência apresentada, tem-se:
v � 
�v� � 
v
 �⋯� 
�v�
� Diz-se também que o vetor v é gerado pelos vetores v�, v
, … , v�.
� Os 
� 	, � � 1,⋯ , � são chamados coeficientes da CL.
� Exemplo:
� 0 � 0	v� � 0	v
 �	…� 0	v� → expressão trivial do vetor nulo.
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LOB1036 
DEFINIÇÃO: Conjunto LD
� Um conjunto de vetores v�, v
, … , v� é dito linearmente dependente (LD)
se existirem escalares 
�, 
, … , 
�, não todos nulos, tais que
�v� � 
v
 �	…� 
�v� � 0
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DEFINIÇÃO: Conjunto LI
� Um conjunto de vetores v�, v
, … , v� é dito linearmente independente (LI)
se e somente se a única solução da equação
�v� � 
v
 �	…� 
�v� � 0
for 
� � 
 �	… � 
� � 0.
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1) Um conjunto formado por um único u é LD⇔ u � 0.
2) Se em um conjunto de � vetores v�, v
, … , v� algum dos vetores é o vetor nulo,
ou seja, ∃	v� � 0, então o conjunto é LD, pois tomando 
� � 1 (ou qualquer
número � 0), tem-se:
�v� � 
v
 �	…� 1	0 �	…� 
�v� � 0
e os 
� não são todos nulos.
Observações
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3) Um conjunto formado por dois vetores u, v é LD⇔ ∃	λ ∈ ℜ	/	u � λv.
4) Um conjunto formado por três vetores u, v, w é LD⇔ um dos vetores for CL dos
outros dois.
Observações
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u
v
u
v
conjunto LD conjunto LI
u
v
w
c
u
v
w
conjunto LD conjunto LI