Cap1 Funções e seus Gráficos

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Cap. 1 - Funções e seus Gráficos 
 
1.1 – Plano Cartesiano 
Da mesma forma que podemos representar números reais por pontos na reta real, você também 
pode representar pares ordenados no plano cartesiano1. 
O plano cartesiano é formado por duas retas reais que formam um ângulo reto. 
 
Exemplo 1: Marque os pontos abaixo no plano cartesiano. 
(-1,2), (3,4), (0,0), (3,0) e (-2 ,-3) 
 
 
 
 
1 Denominado por esse nome para homenagear René Descartes (1556-1650) 
2 
 
Exemplo 2: De 1994 a 2007, o número de assinantes (N) de linha de telefone celular nos EUA é 
apresentado na tabela abaixo, onde t representa o ano. Desenhe o gráfico a partir dos dados da 
tabela abaixo. 
 
Anos, t 
Número de Assinantes 
(em milhões) 
1994 24,1 
1995 33,8 
1996 44,0 
1997 55,3 
1998 69,2 
1999 86,0 
2000 109,5 
2001 128,4 
2002 140,8 
2003 158,7 
2004 182,1 
2005 207,9 
2006 233,0 
2007 255,4 
 
 
 
Exercício 2: A tabela mostra a temperatura mínima em cada mês na cidade de Duluth, Minnesota. 
 
Mês Temperatura 
Janeiro -39 
Fevereiro -39 
Março -29 
Abril -5 
Maio 17 
Junho 27 
Julho 35 
Agosto 32 
Setembro 22 
Outubro 8 
Novembro -23 
Dezembro -34 
 
 
0
50
100
150
200
250
300
1
9
9
4
1
9
9
5
1
9
9
6
1
9
9
7
1
9
9
8
1
9
9
9
2
0
0
0
2
0
0
1
2
0
0
2
2
0
0
3
2
0
0
4
2
0
0
5
2
0
0
6
2
0
0
7
Número de Assinantes (em milhões) 
Número de Assinantes (em milhões)
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
Temperatura Média
3 
 
1.2 – Gráficos das Equações 
Na seção anterior, utilizamos os sistemas de coordenadas representa graficamente a relação entre 
duas quantidades. 
Normalmente, a relação entre duas quantidades é expressa por meio de uma equação de duas 
variáveis. Por exemplo, y=7-3x é a equação de y em x. Cada equação pode ser representada por 
um gráfico. O gráfico de uma equação é o conjunto de todos os pares ordenados que são solução 
da equação. 
Exemplo 1: Determine se (2,13) e (-1,-3) estão no gráfico de y=10x-7. 
a) (2,13) 
 
 
 
 
 
 
b) (-1,-3) 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 2: Desenhe o gráfico da equação y=7-3x 
Para desenhar o gráfico desta equação precisamos achar alguns pares ordenados. 
 
x y=7-3x (x,y) 
-1 
0 
1 
2 
3 
4 
 
 
 
 
 
 
 
4 
 
Exemplo 3: Desenhe o gráfico da equação y=x2-2 
Para desenhar o gráfico desta equação precisamos achar alguns pares ordenados. 
 
x y= x2-2 (x,y) 
-2 
-1 
0 
1 
2 
3 
 
 
 
 
Interceptos de um Gráfico 
Os interceptos são os pares em que x=0 ou em que y=0. Eles são chamados assim, pois interceptam 
o eixo do y ou x, respectivamente. É possível que o gráfico não tenha intercepto, um intercepto 
ou mais de um como podemos ver nos gráficos abaixo. 
 
 
Exemplo 4: Ache os interceptos da função 10x-7 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 
 
Simetria 
Um gráfico pode ser simétrico em dois quadrantes. 
 
 Eixo do x Eixo do y Origem 
Exemplo 5: Teste a simetria da função: 
a) Y=2x3 
 
 
 
 
 
 
 
b) Y=x2-2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6 
 
1.3 – Equações Lineares em Duas Variáveis 
O modelo matemático mais simples para relacionar duas variáveis é a equação linear de duas 
variáveis y=mx+b. A equação é assim chamada pois seu gráfico é uma linha. 
 
Inclinação Intercepto 
 
A inclinação de uma reta é o número de unidades que uma linha se distancia (ou se aproxima) da 
linha do horizonte. 
 
Exemplo 1: Desenhe o gráfico de cada equação linear. 
a) y=2x-1 
 
b) y=2 
 
 
7 
 
c) x+y=2 
 
 
Achando a Inclinação de uma Reta 
Conhecendo a equação da reta, você pode encontrar facilmente a inclinação da reta. Mesmo que 
a equação não seja dada, você ainda pode encontrar a inclinação da resta. Contudo, precisamos de 
pelo menos dois pares ordenados para aplicar a fórmula abaixo. 
 
 
Exemplo 2: Ache a inclinação de uma reta que por cada par de pontos. 
a) (-2,0) e (3,1) 
 
 
 
 
 
 
 
b) (-1,2) e (2,2) 
 
 
 
 
 
 
8 
 
 
c) (0,4) e (1,-1) 
 
 
 
 
 
 
 
d) (3,4) e (3,1) 
 
 
 
 
 
 
 
Escrevendo a Equação da Reta de Duas Variáveis 
Se (x1,y1) é um ponto da reta de inclinação m e (x,y) é qualquer ponto na reta, então: 
 (1) 
Rearrumando (1), temos: 
 
 
Exemplo 3: Ache a equação da reta que apresenta inclinação igual a 3 e passa pelo ponto (1,-2). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9 
 
Forma alternativa para encontrarmos a Equação da Reta de Duas Variáveis 
Se possuímos dos pontos pelos quais a reta passa, podemos montar um sistema de duas equações 
para acharmos o intercepto e a inclinação da reta. 
Exemplo 4: Ache a equação da reta que passa pelos pontos (1,-2) e (2,1). 
Primeiramente, substituímos cada ponto na equação da reta. 
(1,-2) -2=m+b 
(2,1) 1=2m+b 
 
Susbstituindo (2) em (1), temos: 
-2=m+(1-2m) -2=-
m+1 m=3 
e b=1-2(3)=-5 
1.4 – Funções 
Muitos dos fenômenos do dia a dia envolvem duas quantidades que são relacionadas entre si por 
alguma regra de correspondência. O termo matemático para essa correspondência é relação. Na 
matemática, relações são frequentemente representadas por equações e fórmulas. Por exemplo, o 
juros simples recebido por 1 ano por um investimento (I) de R$ 1.000 é relacionado com a taxa 
anual de juros (r) pela fórmula I=1000r 
Definição de Função 
A função f de um conjunto A com conjunto B é a relação que atribui cada elemento x do conjunto 
A a exatamente um elemento y do conjunto B. O conjunto A é o domínio da função f, e o conjunto 
B contém a imagem. 
 Horário do Dia(p.m.) Temperatura ( em Celsius ) 
 
 Domínio: {1,2,3,4,5,6} Imagem:{9,10,12,13,15} 
 
Características de uma Função 
1. Cada elemento em A tem que ter pelo menos um elemento correspondente em B. 
2. Alguns elementos de B podem não ter um elemento correspondente em A. 
3. Um ou mais elementos de A podem ser relacionados com o mesmo elemento de B. 
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4. Um elemento em A não poder ser relacionado a dois elementos de B. 
 
Exemplo 5: Sendo g(x)=-x2+4x+1, ache o valor de cada função. 
a) g(2)= 
 
 
 
b) g(t)= 
 
 
 
c) g(x+2)= 
 
 
 
Exemplo 6: Avalie a função quando x=-1, 0 e 1. 
f(x)= 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 7: Ache todos os valores de x tais que x=0. 
a) f(x)=-2x+10 
 
 
 
 
 
 
b) f(x)=x2-5x+6 
 
 
 
 
 
11 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 8: Ache os pontos em f(x)=g(x) 
a) f(x)=x2+1 e g(x)=3x-x2 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) f(x)=x2-1e g(x)= -x2+x+2 
 
 
 
 
 
 
 
 
O Domínio de uma Função 
O Domínio de uma função pode ser descrito explicitamente ou pode ser resultado da forma em 
que a função é escrita. 
 
1. todos valores reais 
2. exclui-se os valores de x em que o denominador é 
igual a zero 
3. exclui-seos valores de x negativos 
 
1.5 – Analisando os Gráficos das Funções 
 
O Gráfico de uma Função 
 
O gráfico de uma função f é a coleção de pares ordenados (x,y) tal que x está no domínio de f. 
 
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Teste da Linha Vertical 
 
Desenhe linhas verticais para verificar se o gráfico representa y como uma função de x. 
 
 
 
Zeros de uma Função 
 
Se um gráfico de uma função de x intercepta o eixo do x no ponto (a,0) então a é um zero da 
função. Ou seja, os zeros da função de x são valores de x para quais f(x)=0, 
 
Exemplo 1: Ache os zeros de cada função abaixo 
 
a) f(x)=3𝑥2 + 𝑥 − 10 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) g(x)=√10 − 𝑥2 
 
 
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c) h(t)=
2𝑡−3
𝑡+5
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Taxa de Mudança Média 
 
A inclinação da reta pode ser interpretada como a taxa de mudança. Em um gráfico não linear, a 
inclinação muda de ponto para ponto. Neste caso, podemos analisar a taxa de mudança média entre 
dois pontos. A taxa de mudança média pode ser calculada pela inclinação da reta que cruza dois 
pontos. A linha cruza que cruza esses dois é chamada de reta secante, e a sua inclinação é denotado 
por msec. 
 
 
Taxa de Mudança Média da função f de x1 para x2=
𝑓(𝑥2)−𝑓(𝑥1)
(𝑥2)−(𝑥1)
 
 =
∆𝑦
∆𝑥
 
 =msec 
 
Exemplo 2: Ache as taxas de mudanças medias da função f(x)=𝑥3 − 3𝑥. 
 
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a) x1=-2 para x2=0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) x1=0 para x2=1