fisica Geral III UDESC JOIVILLE Prof. Marcio R. Loos aula 4

Prévia do material em texto

2/22/2013 
1 
Física Geral III – Turma C [FGE3001/C] 
 
Aula 04:  
Cálculo do campo elétrico produzido por uma 
distribuição contínua de cargas. 
 
 
 
 
Prof. Marcio R. Loos 
2 
O Campo Elétrico Criado por uma 
distribuição contínua de cargas 
• Até o momento tratamos de distribuições discretas de cargas 
(cargas puntiformes). 
 
 
 
• Consideraremos agora distribuições contínuas de carga. 
     Ex. linha, superfície e volume de carga. 
 
• O campo elétrico será obtido por integração . 
 
• Expressaremos a carga de um objeto através de sua densidade de 
carga e não a carga total. (Lembre‐se da densidade…de massa!) 
r 
q1 q2 
Prof. Marcio R. Loos  Física Geral III  ‐ Turma C    FGE3001/C 
2/22/2013 
2 
Distribuição discreta de cargas 
3 
O Campo Elétrico Criado por uma 
distribuição contínua de cargas – cont. 
2
04
1
r
qE  
 
i i
i
r
qE 2
04
1

2
04
1
r
dqdE 
 dEE
2
04
1
r
qE 
q 
r
q0 
   i i iq r
dq
r
qE 2
0
20
0 4
1lim
4
1

Distribuição contínua de cargas 
Prof. Marcio R. Loos  Física Geral III  ‐ Turma C    FGE3001/C 
4 
Densidades de carga 
• Como representamos a carga Q em um objeto? 
Carga total 
Q 
Pequenos pedaços de carga 
dq 
Linha  de carga 
λ = densidade linear de 
carga 
 
 
dxdq 
Superfície de carga: 
σ = densidade 
superficial de carga 
 
 
dAdq 
Volume de carga 
ρ = densidade 
volumétrica de carga 
 
dVdq 
Prof. Marcio R. Loos  Física Geral III  ‐ Turma C    FGE3001/C 
2/22/2013 
3 
5 
O Campo Elétrico Criado por uma 
distribuição contínua de cargas 
• A única forma de entender todos os 
conceitos apresentados até agora será 
através da resolução de Exercícios. 
Prof. Marcio R. Loos  Física Geral III  ‐ Turma C    FGE3001/C 
6 
Exemplo 1: O Campo Elétrico Criado por um anel de carga 
• A Figura mostra um anel delgado de raio R com uma densidade 
linear de carga positiva λ ao longo de sua circunferência. 
• O anel é isolante e as cargas não de movem. 
• Qual o campo elétrico num ponto  P a uma distância z do plano do 
anel ao longo de seu eixo central? 
Prof. Marcio R. Loos  Física Geral III  ‐ Turma C    FGE3001/C 
2/22/2013 
4 
7 
Dicas para Resolução de Exercícios 
1. Desenhe um sistema de coordenadas no diagrama. 
 
2. Desenhe um elemento infinetisimal e o campo devido ao elemento. 
Repita o procedimento para um elemento simétrico. 
 
3. Escreva dq em termos do elemento infinitesimal. 
 
4. Escolha uma variável de integração. (Ex. θ) 
 
5. Escreva as variáveis em termos da variável de integração. 
 
6. Escreva a integral e coloque limites. 
 
7. Resolva a integral. 
 
 
Prof. Marcio R. Loos  Física Geral III  ‐ Turma C    FGE3001/C 
8 
• Sabemos que 
• O anel é formado por “bilhões” de elementos 
diferenciais de carga (muito pequenos) que podem 
ser tratados como cargas puntiformes. 
• A Eq. acima pode então ser usada para somar o 
campo elétrico criado por cada elemento 
diferencial no ponto P. 
• Para o anel, o elemento diferecial é ds. 
• O anél possui uma densidade linear de cargas 
 
 
• A carga de um elemento diferencial vale: 
Mas não estamos tratando de 
uma carga puntiforme… 
sq
s
q   
ds
dq
2
04
1
r
dqdE 204
1
r
qE 
Exemplo 1: O Campo Elétrico Criado por um anel de carga 
Prof. Marcio R. Loos  Física Geral III  ‐ Turma C    FGE3001/C 
2/22/2013 
5 
9 
• dq cria um campo dE em P (Fig.). 
 
• O módulo de dE vale: 
 
• Como  
 
 
• Temos 
 
• Da fig. obtemos: 
 
 
• Assim 
 
 
2
04
1
r
dqdE 
dsdq 
2
04
1
r
dsdE 
222 Rzr 
)(4
1
22
0 Rz
dsdE 


R 
z r 
Exemplo 1: O Campo Elétrico Criado por um anel de carga 
Prof. Marcio R. Loos  Física Geral III  ‐ Turma C    FGE3001/C 
10 
• dE forma um ângulo θ com z e possui 
componentes paralelas e perpendiculares a z (Fig). 
• Os componentes perpendiculares se cancelam.  
 
• Assim o campo elétrico em P resulta dos 
componentes paralelos de dE 
 
 
 
 
• Mas, 
 
 
 
 coscos dEdE
dE
dE
z
z 
  2/122cos Rz zrz 
dEx 
dEz dE  θ 
R 
z r  θ 
Exemplo 1: O Campo Elétrico Criado por um anel de carga 
Prof. Marcio R. Loos  Física Geral III  ‐ Turma C    FGE3001/C 
2/22/2013 
6 
11 
• Assim 
 
 
 
 
 
 
• Devemos somar todos os componentes dEcosθ 
produzidos por todos elementos ds. 
• Integramos a Eq. por toda a circunferência do anel: 
• S=0 até S=2πR 
  2/122220 )(4
1cos
Rz
z
Rz
dsdE 


  2/32204cos Rz
dszdE  

   
R
ds
Rz
zdEE



2
0
2/322
04
cos
Exemplo 1: O Campo Elétrico Criado por um anel de carga 
Prof. Marcio R. Loos  Física Geral III  ‐ Turma C    FGE3001/C 
12 
 
 
 
• Lembre‐se que 
 
 
 
 
Casos limites: 
    RsRz zE   202/32204    2/32204
2
Rz
RzE  

)2( Rqsq
s
q  
2
04
1
z
qE 
1) z>>R   
Carga puntiforme 
0E
  2/32204 Rz
qzE  
2) z=0 (centro do anel) 
Exemplo 1: O Campo Elétrico Criado por um anel de carga 
Prof. Marcio R. Loos  Física Geral III  ‐ Turma C    FGE3001/C 
2/22/2013 
7 
13 
Exemplo 2: O Campo Elétrico Criado por uma haste (arco) 
• A Fig. mostra uma haste de plástico que tem uma carga –Q 
uniformemente distribuída.  
• A haste tem raio r e subtende um ângulo de 120o. 
• Os eixos coordenados foram colocados de modo que o eixo de simetria 
da haste coincide com o eixo x e a origem está no centro de curvatura P 
da haste.  Qual é o campo elétrico E criado pela haste no ponto P em 
termos de Q e r? 
Prof. Marcio R. Loos  Física Geral III  ‐ Turma C    FGE3001/C 
14 
Passo 1: Desenhar um sistema  de coordenadas. Tire vantagem de 
situações simétricas! 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 2: O Campo Elétrico Criado por uma haste (arco) 
Prof. Marcio R. Loos  Física Geral III  ‐ Turma C    FGE3001/C 
2/22/2013 
8 
15 
Passo 2: Desenhar um elemento infinitesimal e o campo devido ao 
elemento. Repita o procedimento para um elemento simétrico. 
 
 
 
 


cos
cos
dEdE
dE
dE
x
x


dEx 
dEy dE 
θ 
Exemplo 2: O Campo Elétrico Criado por uma haste (arco) 
Prof. Marcio R. Loos  Física Geral III  ‐ Turma C    FGE3001/C 
16 
Passo 3: Escreva dq em termos do elemento infinitesimal. 
 
 
 
 
 
Estamos interessados na componente dEx de dE: 
 
 
 
Passo 4: Escolha uma variável de integração. 
r? não pois é cte 
θ? Sim…mas como incluir θ na Eq. para dE? 
sq
s
q   
ds
dq
2
04
1
r
dqdE 
ds
r
dEdEx  cos4
1cos 2
0

2
04
1
r
dsdE 
Exemplo 2: O Campo Elétrico Criado por uma haste (arco) 
Prof. Marcio R. Loos  Física Geral III  ‐ Turma C    FGE3001/C 
2/22/2013 
9 
17 
Passo 5:  Escreva as variáveis em termos da variável de integração 
 
 
 
 
 drdsrd
dsrs 
Circunferência do círculo 
ds
r
dEdEx  cos4
1cos 2
0

Se vamos integrar em função de θ,  
precisamos de um dθ na Eq. acima!  
Exemplo 2: O Campo Elétrico Criado por uma haste (arco) 
Prof. Marcio R. Loos  Física Geral III  ‐ Turma C    FGE3001/C 
18 
Substituindo                        em 
 
 
 
Passo 6: Escreva a integral e coloque limites. 
 
 
 
Passo 7: Resolva a integral 
 
 rdrdEdEx cos4
1cos 2
0

 drdEE x cos4
1
0
  


o
o
d
r
E
60
600
cos
4


   )60()60(
44 0
60
60
0
oo sensen
r
sen
r
E
o
o   


r
E
04
73,1

 drdEx cos4
1
0

drds  ds
r
dEdEx  cos4
1cos 2
0

Exemplo 2: O Campo Elétrico Criado por uma haste (arco) 
Prof. Marcio R. Loos  Física Geral III  ‐ Turma C    FGE3001/C 
2/22/2013 
10 
19 
• O problema pede o campo elétrico criado pela haste no ponto P 
em termos de Q e r. 
s
q
3
2 rs
Qq


r
Q
r
Q 48,0
3
2  
2
04
)48,0(73,1
r
QE 
2
04
83,0
r
QE 
Exemplo 2: O Campo Elétrico Criado por uma haste (arco) 
Prof. Marcio R. Loos  Física Geral III  ‐ Turma C    FGE3001/C 
20 
Exercício 
• A Fig. mostra um arco de círculo de plástico com uma carga –Q  
uniformemente distribuída.  Qual é o campo elétrico E criado pela 
haste no ponto P? 
y 
x 
–Q 
P 
R 
2
0
22
2
R
QE 
Resposta: 
Formando um ângulo de 45o com a horizontal. 
Prof. Marcio R. Loos  Física Geral III  ‐ Turma C    FGE3001/C 
2/22/2013 
11 
21 
Você já pode resolver os seguintes exercícios: 
Capítulo 23: 5, 6, 7, 10, 13, 15, 17, 18, 19 e 21. 
Capítulo 24: 1, 13, 14, 15, 18, 19, 20, 22, 25 
Capítulo 24: 29, 32, 33, 34, 35 
 
 
[Halliday, vol 3, 4ª edição] 
Mais informações (cronogramas, lista de exercícios): 
https://sites.google.com/site/professorloos/ 
marcioloos1@gmail.com 
Prof. Marcio R. Loos  Física Geral III     FGE3001