Livro calculo I II

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Curitiba
2015
Cálculo 
Diferencial 
e Integral
Faculdade Educacional da Lapa (Organização)
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Cálculo diferencial e Integral I
Ficha Catalográfica elaborada pela Fael. Bibliotecária – Cassiana Souza CRB9/1501
C144 Cálculo diferencial e integral / Organização da Faculdade 
Educacional da Lapa. – Curitiba: Fael, 2015
 168 p.: il.
1.Cálculo 2. Diferencial (Matemática) 3. Integral (Matemática) I. 
Faculdade Educacional da Lapa
 CDD 515.33
Direitos desta edição reservados à Fael.
É proibida a reprodução total ou parcial desta obra sem autorização expressa da Fael.
Projeto Gráfico Sandro Niemicz
Revisão e organização Maria Eugênia de Carvalho e Silva
Diagramação Katia Cristina Santos Mendes
Capa Shutterstock.com/pixeldreams.eu
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Apresentação
Os conceitos de Cálculo Diferencial e Integral foram desen-
volvidos no século XVII, para resolver problemas da Física. Apesar 
disso, como as funções matemáticas são usadas para modelar pro-
blemas de vários campos do conhecimento, o Cálculo tem aplicação 
em muitas outras áreas, por causa do próprio significado da derivada 
como taxa de variação. Isso ocorre porque, em muitos problemas, a 
relação entre as variáveis é descrita de maneira mais adequada através 
da taxa de variação de uma variável em relação à outra.
Este livro explora a necessidade e a utilidade de se aprender 
matemática, especialmente o cálculo diferencial e integral, em todo o 
texto, com problemas contextualizados e aplicações em várias áreas.
Os conceitos de limites e continuidade são apresentados de 
modo intuitivo e claro, através da análise do domínio e do gráfico 
da função e seu comportamento. Apesar disso, o livro aborda estes 
conceitos com o rigor matemático necessário, através de teoremas e 
definições. De maneira não rigorosa, funções contínuas são aquelas 
que podem ser desenhadas sem que se tire o lápis do papel. É impor-
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Cálculo diferencial e Integral I
tante saber se uma função é contínua em determinado ponto, principalmente 
quando está envolvida em uma aplicação.
A derivada é uma das mais importantes ferramentas da matemática, 
indispensável para a resolução de problemas não triviais de várias áreas pro-
fissionais. O conceito de derivada é introduzido através da análise da inclina-
ção da reta tangente em um ponto, levando o aluno a construir os conceitos 
de forma gradual e satisfatória. Os exercícios foram desenvolvidos para que o 
aluno possa dominar o uso das regras práticas de derivação e suas propriedades. 
São apresentadas aplicações de derivadas, especialmente em problemas de oti-
mização, em várias áreas.
A integral é apresentada como a operação inversa da diferencial. É repre-
sentada pela letra S alongada, usada para lembrar que estamos lidando com o 
limite de uma sequência de somas. As fórmulas básicas de integração podem 
ser obtidas a partir das regras de derivação, já estudadas. São vistas algumas téc-
nicas de integração, como integração por substituição ou mudança de variável, 
integração por partes, integração por substituição trigonométrica e integração 
por frações parciais.
Dentre as várias aplicações, está o cálculo de áreas de superfícies que 
não poderiam ser obtidas apenas através das fórmulas da geometria plana. 
O cálculo de áreas não se restringe a problemas geométricos, pois muitos 
problemas de outras áreas podem ser resolvidos a partir da representação 
gráfica da área de uma superfície, como na economia, ao se calcular o lucro 
total, por exemplo. 
Através da integral definida, também se pode calcular o volume 
de sólidos de revolução, obtidos quando uma superfície gira ao redor de 
um eixo. 
Os conhecimentos adquiridos permitem, através da modelagem 
matemática, resolver problemas de várias áreas, como engenharias, economia, 
física, biologia, medicina e outras. 
Professora Maria Eugênia de Carvalho e Silva
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Sumário
 Calculo Diferencial e Interal I | 7
1 Estudos de Limites | 9
2 Formas indeterminadas e limites no infinito | 25
3 A Diferencial | 49
4 Regras básicas para diferenciação | 61
5 Determinação da monotocidade de uma função 
através do teorema do valor média | 71
6 Ponto de inflexão e concavidade de umafunção | 83
7 Aplicação de derivadas | 91
Referências | 97
Calculo Diferencial e Interal II | 99
1 Definição de Integral | 103
2 Integração por substituição e por partes | 113
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Cálculo diferencial e Integral I
3 Integração de potências da fumção seno e cosseno | 121
4 Cálculos de Áreas | 129
5 Integração por substituição trigonométrica | 141
6 Integração por frações parciais I e II | 151
7 Volume de sólidos de revolução e Aplicação 
de integrais à Física. | 159
Referências | 167
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Cálculo Diferencial 
e Integral I
Faculdade Educacional da Lapa (organização)
Parte 1
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1
Na atualidade, o desenvolvimento científico e tecnológico nos 
remete, cada vez mais, a conhecimentos de conceitos matemáticos 
que se consorciam com teorias paralelas de outras áreas correlatas.
O conhecimento e os conceitos das teorias clássicas do cálculo 
diferencial e integral servem como ferramentas indispensáveis à evo-
lução da ciência no mundo contemporâneo. São amplamente difun-
didos e usados em física, química, engenharia, economia, e, em espe-
cial, na área das novas tecnologias da informática e da comunicação.
Estudos de Limites
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Cálculo Diferencial e Integral
Visivelmente, as necessidades dos conhecimentos matemáticos cres-
cem conjuntamente com a demanda tecnológica e educacional, consolidando 
o trânsito em disciplinas subsequentes da estrutura curricular para ampliar e 
consolidar o campo da visão matemática.
1.1 Definição Indutiva de Limite
Seja uma função f definida pela equação
22x 5x 3 (2x 1) (x 3)
f (x)
x 3 x 3
− − + ⋅ −
= =
− −
Dividindo o numerador e o denominador por x- 3, resulta na expressão
f (x) = 2x + 1, para x ≠ 3
Vamos verificar o comportamento da função, à direita e à esquerda, pró-
ximo ao ponto x = 3.
À direita:
x 3,5 3,2 3,1 3,01 3,001
f (x) = 2x + 1, x≠3 8,0 7,4 7,2 7,02 7,002
À esquerda:
x 2,5 2,7 2,9 2,99 2,999
f (x) = 2x + 1, x≠3 6,0 6,4 6,8 6,98 6,998
Concluímos que quanto mais o valor de x se aproxima de 3, tanto mais 
o valor da f(x) se aproxima de 7; essa observação vale para valores de x, à 
direita ou a esquerda de x = 3.
Nas duas tabelas, tomando valores para x de 2,99 e 3,01, observamos 
que os valores para f(x) correspondem, respectivamente, a 6,98 e 7,02, dis-
tando de ± 0,02 de 7.
Então, f (x) 7 0,02 quando 0 x 3 0,01− < < − <
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Estudos de Limites
Essa condição 0 x 3< − nos leva a uma análise nos valores de f ( x ) nas 
proximidades de 7, ou seja, para valores extremamente próximos de x = 3, e 
isso pode ser melhor demonstrado pela figura 1 a seguir.
Figura 1: Gráfico da função 
− −
=
22x 5x 3
f(x)
x -3


Assim, podemos então concluir que não interessa o comportamento da 
função no ponto a; no caso x = 3, temos que:
x 3
lim 2x 1 7
→
+ =
1.2 Definição Formal de Limite
Seja f uma função definida em todos os pontos de um intervalo aberto 
contendo a, com exceção do próprio ponto a. O limite de f(x) quando x se 
aproxima de a é L , expresso porx aLim f (x) L→ = , para todo número positivo ε, 
exista um número positivo δ tal que ( )f x L− < ε para todo 0 x a< − < δ .
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Cálculo diferencial e Integral I
Figura 2: Gráfico representando a definição formal de limite
x
y
L
a
Logo, temos que:
x a
lim f (x) L 0, 0, tal que : 0 x a f (x) L
→
= ⇔ ∀ε > ∃δ > < − < δ ⇒ − < ε
Exemplo 1
Tomando como exemplo a função f(x) = 2x + 1 já estudada anterior-
mente, podemos determinar um valor para δ > 0 para o valor dado de ε, 
utilizando a definição formal de limites:
x 3
lim (2x 1) 7
→
+ = ε = 0,002
Pela definição temos que:
f (3x 4) L , com, 0,002 e L 7+ − < ε ε = =
⇓
Assim: f (x) 7 0,002− < ⇒
Obs : Pela definição módulo, temos que :
0,002 f (x) 7 0,002
x a, se somente se, a x a, log o:
6,998 f (x) 7,002

− < − <
 < − < <
 < <
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Estudos de Limites
Como f(x) = 2x +1, podemos determinar o valor de δ através de:
6,998 2x 1 7,002
5,998 2x 6,002
2,999 x 3,001
< + <
< <
< <
Assim, se x → 3 e x está compreendido no intervalo 2,999 < x < 3,001 
podemos afirmar que δ = 0,001
1.3 Teoremas Fundamentais
Para facilitar alguns cálculos envolvendo os conceitos de limites, pode-
mos utilizar alguns teoremas, demonstrados a seguir.
Teorema 1
Se m e c são constantes quaisquer,
x a
Lim (mx c) ma c
→
+ = +
Exemplo: 
x 2
Lim (3x 4) 3 2 4 10
→
+ = ⋅ + =
Teorema 2
Se c é uma constante, então para qualquer número a,
x a
Lim c c
→
=
Exemplo: 
x 2
Lim 17 17
→
=
Teorema 3
x a
Lim x a
→
=
Exemplo: 
x 5
Lim x 5
→
=
Teorema 4
x a x a
Lim f (x) L e Lim g(x) Q , então
→ →
= =
[ ]
x a
Lim f (x) g(x) L Q
→
+ = +
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Cálculo diferencial e Integral I
Exemplo: 
x 3 x 3 x 3
Lim (3x 7) Lim 3x Lim 7 3 3 7 2
→ → →
− = − = ⋅ − =
Teorema 5
1 1 2 2 n nx a x a x a
Se Lim f (x) L , Lim f (x) L ,......., Lim f (x) L então
→ → →
= = =
1 2 n 1 2 nx a
Lim [f (x) f (x) .....f (x)] L L ..... L
→
± ± = ± ± ±
Teorema 6
x a x a
Lim f (x) L e Lim g(x) Q , então
→ →
= =
x a x a
Lim f (x) Lim (x) L Q
→ →
⋅ = ⋅
Exemplo: 
x 3 x 1
Lim(3x 7) 2 e Lim x 8 7
→ →
− = − = −
 x 1x 3
Lim (3x 7) Lim x 8 2 ( 7) 14
→→
− ⋅ − = ⋅ − = −
Teorema 7
1 1 2 2 n nx a x a x a
Se Lim f (x) L , Lim f (x) L ,......., Lim f (x) L , então,
→ → →
= = =
1 2 n 1 2 nx a
Lim [f (x) f (x) ..... f (x)] L L ..... L
→
⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅
Teorema 8
x a
Se Lim f (x) L, e "n" é um número inteiro positivo, então
→
=
n n
x a
Lim[f (x)] L
→
=
Exemplo: [ ]
3
33
x 2 x 2
Lim(x 3) Lim(x 3) 5 125
→ →
 + = + = =
 
Teorema 9
x a x a
Lim f (x) L e Lim g(x) Q , então
→ →
= =
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Estudos de Limites
x a
f (x) L
Lim se, Q 0
g(x) Q→
= ≠
x 4 x 4
Lim (3x 7) 5 e Lim x 8 4
→ →
− = − = −
x 4
x 4
x 4
Lim (3x 7) (3x 7) 5 5
Lim
Lim (x 8) (x 8) 4 4
→
→
→
− −
= = = −
− − −
Teorema 10
x a
Lim f (x) L, então,
→
=
nn
x a
Lim f (x) L Se L 0 e n , ou se L 0 e n e ímpar.* *
→
= ≥ ∈Ν ≤ ∈Ν
Exemplo: 3 3
3 3x 3 x 3
64 64 4
Lim Lim
x x 3→ →
= =
Esses teoremas explicam detalhadamente o processo do cálculo dos limi-
tes. Podemos, agora, calcular, de maneira mais objetiva, os limites, fazendo 
uma simples substituição do valor da tendência na variável da função.
Exemplos
22
x 3
3 4 3 5x 4x 5 2 1 1 3 3 3
1. lim
3x 3 3 3 3 6 3 33 3 9→
− ⋅ +− +
= = = = ⋅ = =
− ⋅ −
3 2 3 2
x 3
2. lim (2x x 13) (2 3 3 13) 32
→
− − = ⋅ − − =
2
x 4
3. lim 4x 64
→−
=
1.4 Limites Laterais
Verificaremos, agora, o comportamento das funções quando analisadas 
e estudadas, e poderemos, assim, encontrar inúmeras conclusões, visto que, 
em nosso curso, necessitamos avaliar algebricamente e graficamente o com-
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Cálculo diferencial e Integral I
portamento das funções para entendermos o problema dos limites laterais na 
continuidade de funções, abordaremos mais adiante, nesta aula.
Assim, seja uma função f, cujo limite está assim definido: 
x a
lim f (x)
→
, 
estamos interessados em analisar o valor de x em todo o intervalo aberto que 
contém a, mas não o próprio a.
Assim, uma f (x) x 2= − não existe para x < 2 e f não está definida 
para nenhum intervalo aberto contendo 2. Logo, 
x 2
lim x 2
→
− não tem 
significado.
Porém, se x estiver definido para valores maiores que 2, a expressão 
x 2− passa a ter significado. Agora com essas colocações, vamos falar em 
limite lateral a direita de 2.
Definição
Seja f uma função definida em todo um intervalo aberto (a,c). Então, o 
limite de f(x) quando x tende a a pela direita é L, e escrevemos
x a
lim L
+→
=
 
se para todo ε> 0, existir um δ > 0 tal que Se 0 < x – a < δ, então 
f (x) L− < ε
.
Analogamente, podemos considerar na existência de um limite lateral à 
esquerda de a onde a função não esteja definida para valores de x à direita de a.
Diante disso, seja f uma função definida em todo um intervalo aberto 
(a,c). Então, o limite de f (x) quando x tende a a pela esquerda é L, e escreve-
mos ( )
x a
Lim f x L
−→
= se para todo ε> 0, existir um δ> 0 tal que Se 0 < a – x < 
δ então
 
f (x) L− < ε
.
Exemplo 2:
 
 
1 se x 0
f (X) 0 se x 0
1 se x 0
− <
= =
 >
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Estudos de Limites
Gráfico
y
x
1
–1
Solução
x 0 x 0 x 0 x 0
lim f (x) lim 1 1 e lim f (x) lim 1 1
1 1
+ + − −→ → → →
= = = − = −
= = −
1.5 Teorema da Unicidade do Limite
Seja f(x) uma função com domínio nos reais e a pertencente ao seu 
domínio, temos pelo teorema da unicidade de limite que;
O 
x a
lim f (x)
→
 existe e será igual a “L” se e somente se
x a x a
lim f (x) lim f (x) L
+ −→ →
= =
isto é, existirem e forem iguais a L.
Exemplo 3
Seja f definida por 
x se x 0
f (x)
2 se x 0
 ≠= 
=
y
x
1
1 2 3–1
–1
–3 –2
2
3
4Esboce o gráfico e 
encontre o limite da f 
( x ) quando x tende a 
zero.
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Cálculo diferencial e Integral I
Solução
x 0 x 0 x 0 x 0
lim f (x) lim (x) e lim f (x) lim ( x)
0 0
+ + − −→ → → →
= = = − =
= =
Como os limites laterais são iguais a zero, portanto finito, concluímos 
assim que o limite existe.
Exemplo 4
+ ≤ −
=  − > −
x 4, se x 4
f (x)
4 x, se x 4
x 4 x 4 x 4 x 4
lim f (x) lim 4 t e lim f (x) lim t 4
8 0
+ + − −→− →− →− →−
= − = = + =
= =
Não existe limite, pois os limites de f(x) com x tendendo a –4, pela 
direita e pela esquerda, são diferentes.
1.6 Continuidade de Funções
No estudo de limites de funções, um problema relevante é o de con-
tinuidade de funções. Diante disso, estudaremos, agora, o comportamento 
das funções, com o auxílio dos conceitos de limites já vistos nesta aula e, 
consequentemente, verificando se uma função é contínua ou descontínua 
em pontos distintos do domínio das funções.
O estudo de continuidades de funções é importante para a aplicabili-
dade das funções em diferentes campos do conhecimento como na econo-
mia, engenharia, física, matemática e outras.
No início desta aula, introduzimos o conceito de limites por meio da 
função 
22x 5x 3
f (x)
x 3
− −
=
−
 que não está definida para x = 3. Isso significa
que no ponto x = 3, a função não existe. 
Logo, a função é descontínua no ponto x=3, como já vimos nográfico.
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– 19 –
Estudos de Limites
Definição
Uma função é contínua em algum ponto a do domínio se, e somente se:
x a x a
f (a) Lim f (x) Lim f (x)
+ −→ →
= =
Considerando que os limites devem existir e serem finitos.
Obs.: Se uma ou duas condições acima citadas não forem verificadas no 
ponto a, a função f será descontínua no ponto.
Exemplo 5
Seja a função f definida por
 
2x 3 se x 1
f (x)
2 se x 1
+ ≠
=  =
. Verificar se a 
mesma é contínua em x =1.
Determinar:
f (1) 2=
x 1
Lim 2x 3 2 (1) 3 5
+→
+ = ⋅ + =
x 1
Lim 2x 3 2 (1) 3 5
−→
+ = ⋅ + =
Graficamente
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– 20 –
Cálculo diferencial e Integral I
Como:
f (1) 2=
x 1
x 1 x 1
x 1
Lim f (x)
Lim f (x) Lim f (x) 5, Logo Lim f (1)
Lim f (x)
+
+ −
−
→
→ →
→
= = ≠ 

A função é descontínua em x = 1.
1.7 Continuidade em um intervalo
Uma função definida em um intervalo fechado [a ; b] será contínua em 
[a; b], se e somente se ela for contínua no intervalo aberto (a; b), isto é, con-
tínua à direita de a e à esquerda de b.
Exemplo 6
Seja 2f (x) 9 x= − . Mostre que essa função é contínua no intervalo 
fechado [ -3; 3 ].
Devemos mostrar que a função f(x) é contínua em x = -3 e também em 
x = 3.
2f ( 3) 9 ( 3 ) 0+− = − − =
2
x 3
lim f (x) 9 ( 3 ) 0
+
+
→−
= − − =
Diante dessa igualdade, concluímos que a f(x) é contínua à direita de x = – 3
2f (3) 9 ( 3 ) 0+= − − =
2
x 3
lim f (x) 9 (3 ) 0
−
−
→
= − =
Como 
x 3
f (3) lim f (x)
−→
= , a função f(x) é continua a esquerda de x = 3.
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– 21 –
Estudos de Limites
Logo, a função f(x) é contínua no intervalo fechado [-3; 3 ], e isso pode 
ser melhor visualizado através do gráfico a seguir.
Definição 1
Uma função definida em um intervalo semi-aberto [a,b) será contínua 
em [a; b), se ela for contínua no intervalo (a,b) e contínua à direita de a.
Definição 2
Uma função definida em um intervalo semi-aberto (a; b] será contínua 
em (a; b] se ela for contínua no intervalo (a,b) e contínua à esquerda de b.
Exemplo 7
Verificar se a 2f (x) x 9= − é contínua em [3; + ∞)
2f (3) x 9= −
2f (3) 3 9 0= − =
2 2
x 3
Lim x 9 (3 ) 9 0
+
+
→
− = − =
Logo a f(x) é contínua à direita de x = 3. Vamos verificar no outro 
extremo do intervalo: 2f ( ) 9+∞ = +∞ − = +∞
Como não existe a f (+ ∞), a f(x) é descontínua no intervalo [3; + ∞).
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– 22 –
Cálculo diferencial e Integral I
Atividades
1. Dada a função f(x), e sabendo que lim ( )x a f x L→ = , usando a definição de 
limites, encontre um valor para δ > 0 para o valor dado de ε a seguir:
3
lim 2 5 1, 0,01
x
x
→
− = ε =
2. Verifique se a função
 
2
2
4 2
( ) 4 2
24
x se x
f x se x
se xx
 − <

= =
 >− 
é uma função con-
tínua em x = 2.
3. Sejam f(x) e g(x) funções contínuas em seus domínios, com ( )
x a
lim f x L
→
= 
e lim ( )
x a
g x Q
→
= , e m e n constante pertencentes aos reais. De acordo 
com as propriedades de limites, podemos afirmar que a assertiva correta 
para a sentença 
( )
( )
x a
g x
lim m f x
n→
 ⋅ +  
 é igual a:
a) ( ) lim ( )
x ax a
lim m f x n g x
→→
   ⋅ + ⋅   
b) ( ) ( )
x a x a
m lim f x n lim g x
→ →
⋅ + ⋅
c) 1( ) ( )
x a x a
m lim f x lim g x
n→ →
⋅ +
d) 1( ) ( ) ( )
x a
m lim f x g x
n →
 + +
 
4. Sejam 
2, 1
( )
2 5, 1
x se x
f x
x se x
− ≤
=  − >
 e 
2 , 2
( )
2, 2
x se x
g x
x se x
 <=  + ≥
, pode-
mos afirmar que:
a) f(x) e g(x) são descontínuas para x =1 e x = 2 respectivamente.
Livro_calculo_I_II_katia.indb 22 07/05/2015 09:45:05
– 23 –
Estudos de Limites
b) f(x) e g(x) são contínuas para x =1 e x = 2 respectivamente.
c) f(x) é contínua para x =1 e g(x) é descontínua para x = 2.
d) f(x) é descontínua para x =1 e g(x) é contínua para x = 2.
Comentário das atividades
Para resolver a atividade um, você terá que utilizar os conceitos de 
definição de limites como vimos no exemplo 1, e terá como resposta δ = 
0,005. 
Nas atividades dois e quatro, você terá que rever os conceitos de função 
contínua que estudamos no exemplo 5, onde será possível verificar que na 
atividade dois, a mesma é descontínua para x = 2, já a atividade quatro terá 
como resposta a assertiva a letra (d).
Para a atividade três, você deverá rever os teoremas 1 e 4 e terá com 
resposta a assertiva (c).
Livro_calculo_I_II_katia.indb 23 07/05/2015 09:45:05
– 24 –
Cálculo diferencial e Integral I
Livro_calculo_I_II_katia.indb 24 07/05/2015 09:45:05
2
Formas indeterminadas 
e limites no infinito
Na resolução de limites de funções, muitos problemas não 
apresentam soluções imediatas.
A solução para esses limites consiste na busca de alternativas, 
usando artifícios e ferramentas da matemática fundamental. A 
solução se faz muito importante em função desses limites serem 
ferramentas essenciais para o desenvolvimento do cálculo diferencial 
e integral.
Livro_calculo_I_II_katia.indb 25 07/05/2015 09:45:05
– 26 –
Cálculo diferencial e Integral I
O estudo do cálculo diferencial e integral apresenta um comportamento 
seqüencial lógico, construído a partir dos conceitos básicos da matemática fun-
damental, até se chegar às ferramentas mais complexas que são utilizados em 
diferentes áreas do conhecimento como na física, química, engenharia e outras.
2.1 Forma indeterminada 
0
0
 (com x→a, com a ≠ 0)
Procedimentos:
 2 se for possível, fatora-se a expressão, e após simplifica-se;
 2 ou dividem-se o numerador e o denominador se possível.
Exemplo 1
→
−
−
2
x 7
x 49
1) lim
x 7
Aplica-se a tendência
→
−
=
−
2
x 7
7 49 0
1) lim
7 7 0
 em seguida, aplica-se
→ →
+ ⋅ −−
⇒
−
2
x 7 x 7
(x 7) ( x 7x 49
lim lim
7 7 −
)
x 7 →
⇒ + =
x 7
lim(x 7) 14
Exemplo 2
( )→
− − − −
= =
− −
2 2
22x 5
2x 9x 5 2.(5) 9.(5) 5 0
lim indeterminado;
3x 75 03. 5 75
→ →
   − + − +   
   =
− − +2x 5 x 5
1 1
2(x 5) x 2(x 5) x
2 2lim lim
3(x 25) 3(x 5)(x 5)
→
 + 
 = =
+x 5
1
2 x
112lim
3(x 5) 30
Livro_calculo_I_II_katia.indb 26 07/05/2015 09:45:05
– 27 –
Formas indeterminadas e limites no infinito
2.2 Forma indeterminada 
0
0
 (com x → 0)
Procedimento:
 2 dividir o numerador e o denominador pela menor potência de x 
se possível.
2.3 Forma Indeterminada ∞
∞
, (com x → ± ∞)
Procedimento:
 2 dividir todos os termos do numerador e do denominador pela 
maior potência de x em módulo, ou colocarmos a variável x de 
maior expoente em evidência.
Exemplo 3
→+∞
−
+x
3x 2
lim
2x 1
Aplicando a tendência
→+∞
− ∞
=
+ ∞x
3x 2
lim
2x 1
dividindo todos os termos do numerador e do denominador pela maior 
potência de x em módulo.
→+∞
−
+x
3x 2
x x
lim 2x 1
x x
→+∞
−
=
+x
3 0 3
lim
2 0 2
Livro_calculo_I_II_katia.indb 27 07/05/2015 09:45:05
– 28 –
Cálculo diferencial e Integral I
Exemplo 4
→+∞
+
+x
5x 7
lim
9x 3
Colocando a variável x de maior expoente em evidência temos:
( )
( )→+∞ →+∞ →+∞
     + + +      ++ ∞     = = = = =
+ +     + + +     ∞     
x x x
7 7 7
x 5 5 5
5 05x 7 5x xlim lim lim
3 3 39x 3 9 0 9x 9 9 9
x x
Obs.: quando temos uma fração do tipo 
n
k
x
 , com k ∈ R o 
→+∞ nx
k
lim
x
 e 
→−∞ nx
k
lim
x
 tende a ser zero respectivamente,e essa definição será utilizada 
nas atividades a seguir.
Exemplo 5
→−∞ →−∞
 + − + + − +  =
+ + + +  + + + + 
 
5
5 4 3 2 5
5 3 2x x 5
2 3 4 5
1 8 3
x 3
3x x 8x 3 x x xlim lim
1 1 1 24x x x x 2 x 4
x x x x
→−∞
= =
x
3 3
lim
4 4
2.4 Forma indeterminada ∞ – ∞ 
(para funções polinomiais)
Procedimento:
 2 reduzir ao mesmo denominador a expressão.
Livro_calculo_I_II_katia.indb 28 07/05/2015 09:45:06
– 29 –
Formas indeterminadas e limites no infinito
Exemplo 6
→
 − = ∞ − ∞ + 2x 0
1 1
1. lim
x x x
2 2 2x 0 x 0 x 0
1 (x 1) 1 x 1 x 0
lim lim lim ,
x x x x x x 0
indeterminado, mas:
→ → →
− + − − −     = = =    + + +     
indeterminado, mas:
→ →
 −
 
−   = = −   + +  
 
2x 0 x 0
x
x 1
lim lim 1
x x x 1
x x
Obs.: você pode também resolver por fatoração utilizando o fator 
comum.
→ → →
 − − −   = = = −    + + +    
2x 0 x 0 x 0
x x 1
lim lim lim 1
x x x(x 1) x 1
Exemplo 7
± ± ±→ → →
   + − − − − − − − = =     − − − −     
2 2
2 2 2x 2 x 2 x 2
x x 1 x x 3x 2 x 2x 2
lim lim lim
x 4 x 2 x 4 x 4
Para x → 2– temos que, se utilizamos valores para x que se aproxima de 
2 pela esquerda,
−→
 − − −
+ ∞ − 
2
2x 2
x 2x 2
o lim tende a ser .
x 4
Para x → 2+ temos que, se utilizamos valores para x que se aproxima de 
2 pela direita, 
+→
 − − −
− ∞ − 
2
2x 2
x 2x 2
o lim tende a ser .
x 4
Livro_calculo_I_II_katia.indb 29 07/05/2015 09:45:06
– 30 –
Cálculo diferencial e Integral I
2.5 Forma indeterminada 1∞
Procedimento:
aplicar logaritmos em ambos os membros para eliminar o expoente.
Exemplo 8
−
→
−
2 x
x 4
x 4
1. lim x 3( )
Aplicando a tendência, teremos 1∞
Fazendo: −
→
= −
2 x
x 4
x 4
y lim x 3( )
Aplicando ln em ambos os membros teremos:
−
→
= −
2 x
x 4
x 4
ln y ln [lim (x 3) ]
-
- →
= ⋅
x 4
2x
ln y ln [lim (x 3)]
x 4
-
- →
= ⋅
x 4
2x
ln y ln [lim (4 3)]
x 4
-
= ⋅
2x
ln y ln 1]
x 4
=ln y 0
= ⇒0y e 1
Então,
--
→
=
2 x
x 4
x 4
lim(x 3) 1
Livro_calculo_I_II_katia.indb 30 07/05/2015 09:45:06
– 31 –
Formas indeterminadas e limites no infinito
Exemplo 9
−
→
+ =
1
cos x 1
x 0
lim(sen 2x 1)
−
→
 
= + 
  
1
cos x 1
x 0
ln y ln lim(sen 2x 1)
→
 = ⋅ +
 − x 0
1
ln y ln lim(sen 2x 1)
cosx 1
= ⋅
−
1
ln y ln 1
cosx 1
= ⋅
−
1
ln y 0
cosx 1
=ln y 0
= 0y e
−
→
= = + =
1
cos x 1
x 0
y 1 log o, y lim(sen 2x 1) 1
2.6 Limites fundamentais
2.6.1 Limite fundamental trigonométrico
→
=
x 0
sen x
lim 1
x
Demonstração:
Representando o ciclo trigonométrico das funções sen, cos e tg, para 
uma arco comum x, iremos obter a figura 2.1 a seguir:
Livro_calculo_I_II_katia.indb 31 07/05/2015 09:45:06
– 32 –
Cálculo diferencial e Integral I
De acordo com o a figura acima, é possível observar que: sen x < x < tg x. 
Dividindo a sentença por sen x, temos:
< <
sen x tg xx
sen x sen x sen x
< <
x 1
1
sen x cos x
aplicando 
→x 0
lim a todos membros da sentença;
→ → →
< <
x 0 x 0 x 0
x 1
lim1 lim lim
sen x cos x
→
< <
x 0
x
1 lim 1
sen x
Logo, podemos concluir que 
→
=
x 0
sen x
lim 1.
x
Exemplo 10
→x 0
sen 4x
lim
2x
Livro_calculo_I_II_katia.indb 32 07/05/2015 09:45:06
– 33 –
Formas indeterminadas e limites no infinito
Aplicando a tendência
→
=
x 0
sen 4x 0
lim
2x 0
Como o arco da função trigonométrica que compõe o limite é igual a 4x 
e o valor da função no denominador é igual a 2x, devemos procurar artifícios 
matemáticos que nos proporcionam a igualdade do arco da função no nume-
rador com a função do denominador. Assim, multiplicando o numerador e 
denominador por 2 temos:
→ → →
= ⋅ = ⋅ = ⋅ =
⋅x 0 x 0 x 0
sen 4x sen 4x sen 4x
lim lim 2 2 lim 2 1 2
2x 2 2x 4x
Exemplo 11
→x 0
sen 5x
lim
x
Aplicando a tendência
→
=
x 0
sen 5x 0
lim
x 0
Vamos multiplicando o numerador e o denominador por 5. Teremos
→ → →
⋅
= = ⋅ = ⋅ =
⋅x 0 x 0 x 0
sen 5x 5 sen 5x sen 5x
lim lim 5 lim 5 1 5
x 5 x 5x
2.6.2 Limite fundamental exponencial
→∞
 + = ≅ 
 
x
x
1
lim 1 e onde, e 2,7182818
x
Para verificarmos se a sentença acima é verdadeira, basta atribuirmos 
valores para x, na função que tende ao infinito, ou seja,(x → ∞) e que os 
valores encontrados também tendem ao valor de e ≅ 2,7182818, e isso pode 
ser comprovado através da tabela a seguir.
Livro_calculo_I_II_katia.indb 33 07/05/2015 09:45:06
– 34 –
Cálculo diferencial e Integral I
x  + 
 
x1
1
x
1 2
2 2,25
3 2,3703
10 2,5937
100 2,7048
1000 2,7169
10000 2,7181
100000 2,7182
Assim, podemos concluir que 
→∞
 
+ 
 
px
k
x
k
lim 1
px
 para todo k, p e x ∈ IR* 
tende a ser igual a e e ≅ 2,7182818, logo temos que, 
→∞
 
+ = 
 
px
k
x
k
lim 1 e
px
Exemplo 12
→∞ →∞
     + = + =   
     
7x
x
7 7
x x
7 7
lim 1 lim 1 e
x x
Exemplo 13
→∞ →∞
     + = + =   
     
3
5x 5x 3
3
5
x x
3 3
lim 1 lim 1 e
5x 5x
2.7 Limites infinitos
Em cálculo diferencial e integral, os comportamentos das funções osci-
lam entre o finito e o infinito.
Livro_calculo_I_II_katia.indb 34 07/05/2015 09:45:07
– 35 –
Formas indeterminadas e limites no infinito
Diante disso, é necessária uma compreensão mais abrangente de vários 
conceitos estudados em níveis anteriores, como teoria de conjuntos numé-
ricos, gráficos de funções e álgebra, para discernir determinadas tendências 
de gráficos das funções em situações financeiras, para citar pelo menos uma 
aplicação ao longo do tempo.
Então, essa necessidade se faz presente para prever situações e fenômenos 
a médio e longo prazo, buscamos suporte para encontrarmos as soluções para 
esses problemas nos conceitos de limites infinitos.
Seja f uma função definida pela equação =
− 2
3
f (x)
(x 3)
.
A função está definida para todos os reais exceto x = 3. Vamos agora 
estudar o comportamento da função f (x) no entorno de x =3.
À direita de x = 3.
x =
− 2
3
f (x)
(x 3)
4 3
3,5 12
 3,1 300
3,01 30.000
3,001 3.000.000
+→
= +∞
− 2x 3
3
Então, lim
(x 3)
À esquerda de x = 3
x =
− 2
3
f (x)
(x 3)
2 3
2,5 12
2,9 300
2,99 30.000
2,999 3.000.000
−→
= +∞
− 2x 3
3
Então, lim
(x 3)
Livro_calculo_I_II_katia.indb 35 07/05/2015 09:45:07
– 36 –
Cálculo diferencial e Integral I
Observamos que, à medida em que fazemos os valores de x se aproxima-
rem de 3, tanto pelo lado direito como pelo lado esquerdo, mais os valores da 
função f(x) crescem. Portanto, tendem para o mais infinito.
Obs.: a reta tracejada é denominada assíntota vertical.
Definição 1
Seja f uma função definida em um intervalo aberto que contém a 
exceto o a. Quando x tende a a, f(x) cresce indefinidamente e temos 
→
= +∞
x a
lim f (x)
Se para qualquer número N > 0, existir um δ > 0 tal que 0 < |x – a| < δ, 
então, f(x) > N.
Seja f uma função definida pela equação 
−
=
− 2
3xf ( )
(x 3)
.
A função está definida para todos os reais exceto x = 3. Vamos agora 
estudar o comportamento da função f(x) no entorno de x =3.
Livro_calculo_I_II_katia.indb 36 07/05/2015 09:45:07
– 37 –
Formas indeterminadas e limites no infinito
À direita de x = 3.
x
−
=
− 2
3
f (x)
(x 3)
4 –3
3,5 –12
3,1 –300
3,01 –30.000
3,001 –3.000.000
+→
−
= −∞
−2x 3
3
Então, lim
(x 3)
À esquerda de x = 3
x
−
=
− 2
3
f (x)
(x 3)
2 –3
2,5 –12
2,9 –300
2,99 –30.000
2,999 –3.000.000
−→
−
= −∞
− 2x 3
3
Então, lim
(x 3)
Livro_calculo_I_II_katia.indb 37 07/05/2015 09:45:07
– 38 –
Cálculo diferencial e Integral I
Definição 2
Seja f uma função definida em um intervalo aberto que contém a 
exceto o a. Quando x tende a a , f(x) decresce indefinidamente e temos 
→
= −∞
x a
lim f (x) .
Se para qualquer número N > 0, existir um δ > 0 tal que
0 < |x – a|< δ então f(x) < N
Podemos estabelecer situações semelhantes sob uma nova ótica:
+ −→ →
= −∞ = −∞
x a x a
lim f (x) e lim f (x)
Seja a função f definida por =
−
3x
f (x)
x 1
. Então, o gráfico será definido assim
Calculando os limites laterais:
Livro_calculo_I_II_katia.indb 38 07/05/2015 09:45:07
– 39 –
Formas indeterminadas e limites no infinito
+→
= +∞
−x 1
3x
lim
x 1
−→
= −∞
−x 1
3x
lim
x 1
Comentários:
 2 quando x se aproxima de 1 pelo lado direito, ou seja, para valores 
próximos a 1, como por exemplo 1,000001, o valor correspon-
dente da imagem para esse valor tende a um valor extremamente 
grande, ou seja, mais infinito;
 2 quando x se aproxima de 1 pelo lado esquerdo, ou seja, para valo-
res próximos a 1 como por exemplo 0,999999, o valor correspon-
dente da imagem para esse valor tende a um valor extremamente 
pequeno, ou seja, menos infinito.
Teorema 1
Seja k um número real qualquer e n um número inteiro positivo, então, 
teremos dois desdobramentos:
+→
= +∞nx 0
k
1. lim e
x
−→
−∞
= +∞
nx 0
se "n" for ímpark
2. lim
se "n" for parx
Exemplo 14
Desdobramento 1:
+→
= +∞5x 0
1
lim e
x
+→
= +∞6x 0
1
lim
x
Livro_calculo_I_II_katia.indb 39 07/05/2015 09:45:07
– 40 –
Cálculo diferencial e Integral I
Desdobramento 2:
−→
= −∞5x 0
1
lim e
x
−→
= +∞6x 0
1
lim
x
Teorema 2
Seja f uma função racional, onde o limite do denominador é nulo e o 
limite do numerador diferente de zero. Então podemos escrever:
→ →
∈ = = ≠
x a x a
Se "a" R e lim f (x) 0 e lim g(x) q , onde q 0
1. Se q > 0 e se f(x) → 0 para valores maiores que zero então
→
= +∞
x a
g(x)
lim
f (x)
2. Se q > 0 e se f(x) → 0 para valores menores que zero então
→
= −∞
x a
g(x)
lim
f (x)
3. Se q > 0 e se f(x) → 0, para valores maiores que zero então
→
= +∞
x a
g(x)
lim
f (x)
4. Se q > 0 e se f(x) → 0, para valores negativos de f(x)
→
= −∞
x a
g(x)
lim
f (x)
Obs.: o teorema também vale para os limites laterais.
Exemplo 15
−
−
−→
⋅
= = −∞
− −x 1
3 (1 )3x
1. lim
x 1 (1 ) 1
Livro_calculo_I_II_katia.indb 40 07/05/2015 09:45:08
– 41 –
Formas indeterminadas e limites no infinito
+
+
+→
⋅
= = +∞
− −x 1
3 (1 )3x
2. lim
x 1 (1 ) 1
+
+ +
+ + +→
+ ⋅ ++ +
= = = +∞
− − − ⋅ −
22
2 2x 3
(3 ) 2 (3 ) 5x 2x 5 20
3. lim
x 2x 3 (3 ) 2 (3 ) 3 0
−
− −
− − −→
+ ⋅ ++ +
= = = −∞
− − − ⋅ −
22
2 2x 3
(3 ) 2 (3 ) 5x 2x 5 20
4. lim
x 2x 3 (3 ) 2 (3 ) 3 0
Teorema 3
→ →
= +∞ =
x a x a
Se lim f (x) e lim g(x) q , onde q é uma constan te qualquer, então,
→
+ = +∞
x a
lim [f (x) g(x)] e
→ →
= −∞ =
x a x a
Se lim f (x) e lim g(x) q , onde q é uma constan te qualquer, então,
x a
lim [f (x) g(x)]
→
+ = −∞
Obs.: a validade do teorema também é estendida aos limites laterais.
Exemplo 16
x 3 x 3
1 5 5
lim e lim
x 3 x 4 7+ +→ →
= +∞ =
− +
x 3
1 5
lim
x 3 x 4+→
 + = +∞ − + 
Teorema 4
→ →
= +∞ =
x a x a
Se lim f (x) e lim g(x) q , onde q é uma constan te qualquer, então,
→
> ⋅ = +∞
x a
Se q 0, lim [f (x) g(x)] e
Livro_calculo_I_II_katia.indb 41 07/05/2015 09:45:08
– 42 –
Cálculo diferencial e Integral I
→
< ⋅ = −∞
x a
Se q 0, lim [f (x) g(x)]
Obs.: a validade do teorema também é estendida aos limites laterais.
Exemplo 17
+ +→ →
+
= +∞ =
− −2 2x 4 x 4
7 x 5
lim e lim 9
(x 4) (x 5)
+→
 +
⋅ = +∞ − − 
2 2x 4
7 x 5
lim
(x 4) (x 5)
Teorema 5
x a x a
Se limf (x) e limg(x) q, onde q é uma constante qualquer, então,
→ →
= −∞ =
x a
Se q 0, lim [f (x) g(x)] e
→
> ⋅ = −∞
x a
Se q 0, lim [f (x) g(x)]
→
< ⋅ = +∞
Obs.: a validade do teorema também é estendida aos limites laterais.
Exemplo 18
2 2x 3 x 3
7 x 5
lim e lim 2
(x 3) (x 5)+ +→ →
− +
= −∞ =
− −
2 2x 3
7 x 5
lim
(x 3) (x 5)+→
 − +
⋅ = −∞ − − 
2.8 Limites no infinito
Vamos considerar uma função f e considerar o limite dessa função quando 
o x tende a valores infinitamente grandes ou infinitamente pequenos.
Livro_calculo_I_II_katia.indb 42 07/05/2015 09:45:08
– 43 –
Formas indeterminadas e limites no infinito
Seja 
2
2
3x
f (x)
x 1
=
+
. Vamos considerar valores de x variando de zero até 
valores bem maiores que zero.
x
2
2
3x
f (x)
x 1
=
+
0 0
1 1,5
3 2,7
5 2,88
10 2,97
100 2,9997
1000 2,999997
Graficamente
À medida que o valor atribuído a x cresce, o valor de f(x) tende a 3.
Definição
Seja f a função definida para x ≥ 0. Então o 
x
lim f (x) L
→+∞
= , se para todo 
ε > 0, tão pequeno quanto se queira, existir um número N > 0 tal que se 
x > N, então,
Livro_calculo_I_II_katia.indb 43 07/05/2015 09:45:08
– 44 –
Cálculo diferencial e Integral I
|f ( x ) ‑ L| < ε. Na tabela a seguir, vamos observar:
2
2x
3x
lim 3
x 1→+∞
=
+
x
2
2
3x
f (x)
x 1
=
+
–1 1,5
–2 2,4
–3 2,7
–5 2,88
–10 2,97
–100 2,9997
–1000 2,999997
Graficamente
Definição
Seja f a função definida para x ≤ 0. Então o 
x
lim f (x) L
→−∞
= quando x 
decresce indefinidamente, se para todo ε > 0, tão pequeno quanto se queira, 
existir um número N < 0 tal que se x > N, então, |f ( x ) – L| < ε.
Livro_calculo_I_II_katia.indb 44 07/05/2015 09:45:08
– 45 –
Formas indeterminadas e limites no infinito
2
2x
3x
lim 3
x 1→−∞
=
+
Vamos mostrar o comportamento do gráfico para o domínio completo 
de x, isto é, para todo o conjunto dos reais.
Exemplo 19
Calcule o limite
→+∞
−
+x
5x 7
1. lim
10x 4
Para resolvê-lo, precisamos colocar x em evidência, no numerador e no 
denominador.
x x
7 7x 5 5 15x1. lim lim 44 10 210x 10
x
→+∞ →+∞
 − − 
  ∞⇒ = =
  ++  ∞ 
Livro_calculo_I_II_katia.indb 45 07/05/2015 09:45:09
– 46 –
Cálculo diferencial e Integral I
Gráfico
Atividades
1. De acordo com os conceitos de limites fundamentais temos que 
0
(3 )
x
sen x
lim
x→
 é igual a:
2. Aplicando os conceitos de limites, determine o valor de 22
1lim
4x x±→ −
:
3. O lucro de uma empresa varia de acordo com o número de horas x traba-
lhadas por seus funcionários. Sabendo que a função que define esse lucro 
é 
2 64( )
8
x
L x
x
−
=
−
, aplicando os conceitos de limites, determine o lucro 
máximo em milhões de reais, quando o número de horas trabalhadas 
pelos funcionários dessa empresa tender a 8 horas diárias.
Livro_calculo_I_II_katia.indb 46 07/05/2015 09:45:09
– 47 –
Formas indeterminadas e limites no infinito
a) R$ 16 000 000,00
b) R$ 8 000 000,00
c) R$ 48 000 000,00
d) R$ 64 000 000,00
4. Utilizando os conceitos de limites tendendo ao infinito, o valor do limite 
da questão abaixo vale respectivamente:
2
2
4 3 1lim
5 9 7x
x x
x x→+∞
− +
+ +
a) 
4
3
b) 5
4
c) 
4
5
−
d) 
4
5
Comentário das atividades
Para resolver a atividade um, você terá que utilizar os conceitos de 
limites fundamentais trigonométricos, como vimos no exemplo 10, e terá 
como resposta3. Na atividade dois, você terá que rever os conceitos sobre 
limites infinitos que estudamos nos exemplos 14 à 16, nos quais será possível 
verificar que a solução encontrada será igual a 2quando x ++∞ → e 
2quando x −−∞ → .
Na atividade três, é necessário revermos os conceitos de fatoração, vistos 
em fundamentos I, e, em seguida, substituirmos a tendência na função fato-
rada, obtendo como resposta a assertiva a. Já na atividade quatro, você deverá 
utilizar os conceitos de limites com sua variável de domínio tendendo ao 
infinito, colocando a variável de maior expoente em evidência e fatorando se 
possível, obtendo assim sua solução igual a 4/5.
Livro_calculo_I_II_katia.indb 47 07/05/2015 09:45:09
– 48 –
Cálculo diferencial e Integral I
Livro_calculo_I_II_katia.indb 48 07/05/2015 09:45:09
3
A diferencial
No cálculo diferencial e integral, especificamente no 
estudo das funções derivadas e as suas aplicações, alguns elementos 
da geometria, como o ponto e a reta, são indispensáveis.
O conhecimento sobre a reta tangente e normal se faz necessá-
rio para análises dos comportamentos das funções, quanto ao cres-
cimento e decrescimento das funções e nos estudos dos máximos e 
mínimos que são relevantes na área da matemática aplicada, enge-
nharia, física, química, economia, etc.
Livro_calculo_I_II_katia.indb 49 07/05/2015 09:45:09
– 50 –
Cálculo diferencial e Integral I
Assim, quando desejamos conhecer a inclinação de uma curva em um de 
seus pontos, estamos diante de um conceito fundamental do Cálculo Dife-
rencial, a noção de derivada. A inclinação da curva em um de seus pontos é 
a mesma inclinação de uma reta tangente à curva nesse ponto. Então conhe-
cendo a inclinação da reta tangente, conhecemos o ângulo de inclinação 
da curva nesse ponto, ou seja, a derivada da função no ponto determinado.
3.1 Equação geral da reta
Chegamos à equação geral da reta r, partindo de uma reta que apresenta 
dois pontos distintos, A (xa; ya) e B (xb; yb), com coordenadas conhecidas e um 
terceiro ponto P(x; y) qualquer.
Segundo o conceito de alinhamento de três pontos, vamos trabalhar com 
determinantes para chegarmos à equação geral da reta.
a a
b b
x 1 1
x y 1 0
x y 1
=
Fazendo o cálculo do determinante, chegaremos a:
a x + b y + c = 0
Livro_calculo_I_II_katia.indb 50 07/05/2015 09:45:09
– 51 –
A diferencial
3.2 Coeficiente angular de uma reta
No sistema cartesiano ortogonal, a reta r, não vertical, forma sempre com 
o eixo Ox um ângulo.
A tangente desse ângulo determina um coeficiente que denominaremos 
de coeficiente angular ou declividade da reta.
y
x
� = 0º
y
x
0º < < 90º�
�
y
x
90º < < 180º�
�
Livro_calculo_I_II_katia.indb 51 07/05/2015 09:45:10
– 52 –
Cálculo diferencial e Integral I
Obs.: para o ângulo de 90o, temos que a tg 900 não está definida no 
conjunto de reais.
 2 Quando o coeficiente angular for positivo, significa que a reta é 
crescente (reta com a inclinação voltada para a direita).
 2 Quando o coeficiente angular for negativo, significa que a reta é 
decrescente (reta com a inclinação voltada para à esquerda).
 2 Quando o coeficiente angular for igual a zero, significa que a reta é 
paralela ao eixo Ox.
 2 Quando o coeficiente angular não existir, significa que a reta é per‑
pendicular ao eixo Ox.
Para a determinação do coeficiente angular, podemos proceder das 
seguintes formas:
a) quando conhecemos a direção da reta, basta calcular a tangente do 
ângulo.
Exemplo:
α = ⇒ = =o o
3
30 m tg 30
3
Livro_calculo_I_II_katia.indb 52 07/05/2015 09:45:10
– 53 –
A diferencial
b) quando conhecemos dois pontos.
b a
b a
b a
y _ y
m tg , x x
x _ x
= α = ≠
partindo da equação b a
b a
y _ y
m
x _ x
= , chegaremos à expressão, 
b a b ay y m(x x )− = − e generalizando, teremos, a ay y m(x x )− = − que 
representa a equação da reta r no espaço.
Soubemos que m é o coeficiente angular da reta tangente à curva em 
um ponto qualquer. Podemos dizer então que m = f ’(x), sendo f ’(x) a 
primeira derivada da função f(x).
Portanto, podemos reescrever a equação acima como sendo
y – ya = f ’(x) (x – xa)
Exemplo 1
1. Escrever a equação da reta tangente à curva f ( x ) = x2 + 1 no ponto A 
(2, 5) com f ` ( x ) = 2 x. (obs.: estaremos ainda neste capítulo, demons-
trando os cálculos para se obter o valor de f`(x) = 2x). Substituindo 
a coordenada x = 2 do ponto na primeira derivada, vamos obter:
Livro_calculo_I_II_katia.indb 53 07/05/2015 09:45:10
– 54 –
Cálculo diferencial e Integral I
m = f ` ( x ) = 2 . (2) = 4
y – ya = f `( x ) ( x – xa )
y – 5 = 4 ( x – 2 )
y – 5 = 4 x – 8 então, y = 4x – 3
O gráfico de y = x2 + 1
x y
0 1
1 2
2 5
-1 2
-2 5
3.3 Retas perpendiculares
Duas retas r1 e r2 de coeficientes angulares m1 e m2, respectivamente, são 
perpendiculares se, e somente se, 1
2
1
m
m
= − .
Livro_calculo_I_II_katia.indb 54 07/05/2015 09:45:10
– 55 –
A diferencial
Assim, equação da reta normal é expressa da forma y – y a= t
1
m
 ( x – xa)
No exemplo anterior, o valor determinado pela declividade é 4. Então, o 
valor do m t = –1/4 e a equação da reta normal ficam assim:
x 1
y 5
4 2
− = − +
4 y 20 x 2− = − +
x 22
y
4
− +
=
3.4 Derivada
Seja f uma função definida num intervalo aberto ]a,b[ e x0 um ponto desse 
intervalo. O limite 
-0 0
x 0 x 0
y f (x x) f (x )
lim lim
x x∆ → ∆ →
∆ + ∆
=
∆ ∆
, quando existe, isto é, 
quando é um número real, recebe o nome de derivada da função f no ponto x0.
Livro_calculo_I_II_katia.indb 55 07/05/2015 09:45:10
– 56 –
Cálculo diferencial e Integral I
Exemplo 2
Determinar a derivada 2 0f (x) x , no ponto x 2.= =
2
0 0
x 0x 0
22
x 0 x 0 x 0
f (2 x) f (2)f (x x) f (x ) limy '(2) lim
xx
4 x ( x) x(4 x)4 4 x ( x) 4
lim lim lim 4 x 4
x xx
∆ →∆ →
∆ → ∆ → ∆ →
+ ∆ −+ ∆ −
= = =
∆∆
∆ + ∆ ∆ +∆+ ∆ + ∆ −
= = +∆ == =
∆ ∆∆
Exemplo 3
Determinar a derivada de 0f (x) 2x 1, no ponto x 1.= − =
0 0 0 0
x 0 x 0
f (x x) f (x ) [2(x x) 1] f (x )
y '(1) lim lim ,
x x∆ → ∆ →
+∆ − +∆ − −
= =
∆ ∆
como x0 = 1 temos que;
x 0 x 0 x 0
[2.1 2 x 1] 1 2 x
lim lim lim 2 2
x x∆ → ∆ → ∆ →
+ ∆ − − ∆
= = = =
∆ ∆
Exemplo 4
Determinar a derivada de 0f (x) x , no ponto x 4.= =
00 0
x 0 x 0
f ( x x ) f (4) (4 x) 2f (x x) f (x )
y '(4) lim lim
x x x∆ → ∆ →
+∆ − +∆ −+∆ −
= = = =
∆ ∆ ∆
∆ → ∆ →
+ ∆ − ⋅ + ∆ + + ∆ −
= =
+ ∆ + + ∆ +x 0 x 0
[ (4 x) 2] [ (4 x) 2] 4 x 4
lim lim
[ (4 x) 2] [ (4 x) 2]
x 0
1 1 1
lim
2 2 4(4 x) 2∆ →
= = =
++ ∆ +
3.5 Continuidade e diferenciação
Se uma função f é derivada em um ponto x0, então, a função é contínua 
em x0.
Livro_calculo_I_II_katia.indb 56 07/05/2015 09:45:11
– 57 –
A diferencial
Exemplo 5
Considere a função definida por 
 
2x se x 1
f (x)
2x 1 se x 1
 <=  − ≥
. Como o 
x 1lim f (x) 1 f (1),→ = = segue que f é continua em 1. Determinando seu 
limites laterais quando ∆x tende a zero, à direita e à esquerda, temos:
x 0 x 0 x 0
f (x x) f (x) [2(1 x) 1] 1 2 x
lim lim lim 2
x x x+ + +∆ → ∆ → ∆ →
+ ∆ − + ∆ − − ∆
= = =
∆ ∆ ∆
2 2
x 0 x 0 x 0
f (1 x) f (1) [(1 x) 1] 2 x x
lim lim lim 2
x x x− − −∆ → ∆ → ∆ →
+ ∆ − + ∆ − ∆ + ∆
= = =
∆ ∆ ∆
Como os limites laterais à direita e à esquerda do quociente da diferença 
são iguais, segue que o limite do quociente da diferença existe, logo a derivada 
f ’(1) existe.
Exemplo 6
Considere a função f definida por: 
3 2x se x 2
f (x)
x 3 se x 2
− <
=  − ≥
. Como o 
x 2
lim f (x) 1 f (2)
→
= − = , segue que f é contínua em 2. No entanto, se formar-
Livro_calculo_I_II_katia.indb57 07/05/2015 09:45:11
– 58 –
Cálculo diferencial e Integral I
mos o quociente de diferença f (2 x) f (2) f (2 x) 1
x x
+ ∆ − + ∆ +
=
∆ ∆
 e quando 
calcularmos seus limites, ∆x tender a dois, à direita e à esquerda, temos:
2 2 2x x x
f (2 x) f (2) [(2 x) 3] 1 x
lim lim lim 1
x x x
+ + +∆ → ∆ → ∆ →
+ ∆ − + ∆ − + ∆
= = =
∆ ∆ ∆
x 2 x 2 x 2
f (2 x) f (2) [3 2(2 x)] 1 2 x
lim lim lim 2
x x x
− − −∆ → ∆ → ∆ →
+∆ − − +∆ + − ∆
= = = −
∆ ∆ ∆
Como os limites laterais à direita e à esquerda são diferentes, segue que 
o limite não existe, logo a derivada f ’(2) não existe. Podemos antecipar a 
não-existência da derivada de f em 2, através do gráfico.
Desde que o gráfico não tem continuidade em x = 2. A função f(x) não 
é derivável no ponto 2.
3.6 Interpretação geométrica da derivada
Estudaremos, agora, a interpretação geométrica da derivada. Essa inter-
pretação servirá para compreendermos o significado da diferenciação e suas 
Livro_calculo_I_II_katia.indb 58 07/05/2015 09:45:11
– 59 –
A diferencial
propriedades, onde, com esse aprendizado, poderemos futuramente fazer 
aplicações em outras áreas do conhecimento.
Definição:
Quando os dois pontos P e M, pertencentes a uma curva, se aproximam 
indefinidamente, a reta secante que passa por P e M acaba por transformar-se 
na tangente à curva no ponto M, ou seja, calculamos o limite da razão incre-
mental ∆x, quando a distância entre os dois pontos P e M tende a zero.
y
x
f(x)
0 x x + x�
x�
secante
P
P1
P2
PM
M �
f(x + x)�
Geometricamente, a derivada é o declive da reta no ponto quando ∆x 
tende para zero. Por outras palavras: calcular a derivada de uma função em 
um ponto a é determinar a inclinação da reta tangente a curva nesse ponto.
Atividades
1. Encontre a equação da reta tangente à curva no seguinte caso:
Livro_calculo_I_II_katia.indb 59 07/05/2015 09:45:11
– 60 –
Cálculo diferencial e Integral I
y = x2 + x – 2 no ponto A( 1, 0 )
2. A derivada da função ( ) 3 2f x x x= + , é expressa por:
3. Utilizando a definição de derivada
( ) ( )
0
lim
x
f x x f x
x∆ →
+ ∆ −
∆
, determine a 
função f`(x) de 2( ) 4 2f x x= + é.
a) 4x + 2 c) 2x2 + 2
b) 8x + 2 d) 8x
4. A declividade da reta que passa pelos pontos A (2;3) e B (1;-4) é igual a:
a) 7 c) –5
b) 11 d) 4
Comentário das atividades
Nas atividades um a quatro, você deverá aplicar os conceitos da equação 
da reta tangente e da reta normal, esses conceitos foram trabalhados no 
exemplo 1, onde você terá como resposta para a atividade um (y = 3x – 3) e 
para a atividade quatro você terá como solução m = 7.
Obs.: na atividade quatro, você poderá também utilizar a definição 
de coeficiente angular conhecendo dois pontos, através da equação 
,b a b a
b a
y y
m tg x x
x x
−
= α = ≠
−
. 
As atividades dois e três, têm o objetivo de compreender a diferencial, 
utilizando os limites laterais e a definição de derivada para determinar se uma 
função é contínua em um determinado intervalo. Para melhor compreender 
e facilitar o calculo das derivadas, observe a fórmula que se encontra no enun-
ciado da atividade três, obtendo assim como solução para a atividade dois, 
f`(x) = 3x2 + 2x e para atividade três, a assertiva (d). 
Livro_calculo_I_II_katia.indb 60 07/05/2015 09:45:11
4
Regras básicas para 
diferenciação
Quando estudamos a diferenciação, utilizando apenas sua 
definição, os cálculos se tornam cada vez mais complexos e traba-
lhosos; para facilitar esses cálculos, usaremos algumas regras ou con-
ceitos sobre derivadas que possibilitaram o calculo da derivada de 
algumas funções com mais facilidade. Portanto, observe com bas-
tante atenção as regras e os exemplos, aplicando as regras para os 
casos a seguir. Estudaremos também, neste capítulo, as derivadas de 
funções trigonométricas. Para aplicação das regras nas funções tri-
gonométricas, temos que lembrar as definições de funções trigono-
métricas estudadas em Fundamentos II e as relações que envolvem 
essas funções. Estudaremos as derivadas das funções: seno, cosseno, 
tangente, cotangente, secante e a cossecante. Concluindo essa parte 
da derivada, estudaremos também a regra de diferenciação da função 
exponencial, do logaritmo e do logaritmo natural (neperiano).
Livro_calculo_I_II_katia.indb 61 07/05/2015 09:45:11
– 62 –
Cálculo diferencial e Integral I
4.1 Regras de derivação
Seja f(x), g(x) e h(x) f(x) funções deriváveis e k uma constante com k ∈ 
ℜ. Temos:
4.1.1 Regra da função constante
A derivada de uma função constante é a função nula. Se k é uma cons-
tante, então:
D k 0
Se f (x) 3, então f '(x) 0= =
4.1.2 Regra da identidade
A derivada da função identidade f(x) = x, é a função constante 1.
xD x 1 ou f (x) x então f '(x) 1.= = =
4.1.3 Regra da potência
-n 1n
xD x nx=
Exemplo
Se 3 2f (x) x , então f '(x) 3 x= = ⋅
4.1.4 Regra da homogeneidade
x xD kg kD g=
Exemplo
Sendo 5 15 4g(x) 3x ,temos g '(x) 3 5x 15x⋅= = ⋅ =
4.1.5 Regra da soma
x x xD (g h) D g D h+ = +
Livro_calculo_I_II_katia.indb 62 07/05/2015 09:45:11
– 63 –
Regras básicas para diferenciação
Se f (x) g(x) h(x), implica que f '(x) g '(x) h'(x),= + = +
Exemplo
5 2 4 4f (x) 3x 2x , temos: f (' x) 3 5x 2 2x 15x 4x= + = ⋅ + ⋅ = +
4.1.6 Regra da multiplicação, regra 
do produto ou regra de Leibniz
x x xD (g h) g(D h) (D g) h sendo f g h, temos f ' g h ' g ' h⋅ = + ⋅ = ⋅ = ⋅ + ⋅
Exemplo
Seja:
2 2
3 2 3x x 2xf (x) (7 x ) 2 , logo f '(x) (3x ) 2 (7 x )
3 3 3
     = + + = ⋅ + + + =         
4 4 4 2 4 4 2
23x 14x 2x 3x 18x 14x 2x 5x 18x 14x6x
3 3 3 3
  + + + + + +
= + + = = 
 
4.1.7 Regra da inversa aritmética
x
x 2
D g1
D
g g
 
= − 
 
Exemplo
Seja 
2 2 4
3 6 6 4
1 6x 3x 3 3x
f (x) , logo f '(x)
2x 4x 2x 2x 2
−
= = = = =
4.1.8 Regra do quociente
x x
x 2 2
h g ' g h 'g h(D g) g(D h) g
D sendo f , temos f '
h h h h
⋅ − ⋅−  = = = 
 
Livro_calculo_I_II_katia.indb 63 07/05/2015 09:45:12
– 64 –
Cálculo diferencial e Integral I
Exemplo
Se:
 
2 2 33 4 2 4
2 2 2 2 2
(x 3) 3x (x 2) 2x(x 2) 3x 9x 2x 4x
f (x)
(x 3) (x 3) (x 3)
+ − −− + − +
= = = =
+ + +
4 2
2 2
x 9x 4x
(x 3)
+ +
=
+
4.1.9 Regra da cadeia
-n n 1
x xD g ng D g= , onde g é uma função diferenciavel em x.
Exemplo
Se 3 5 3 4 2 2 3 4g(x) (x 1) , então g '(x) 5(x 1) 3x 15x (x 1)= − = − ⋅ = ⋅ −
4.1.10 Regra do seno
x xD sen u cos u D u= ⋅
Exemplo
2 2f (x) sen x temos f '(x) 2xcosx= =
4.1.11 Regra do cosseno
x xD cos u sen u D u= − ⋅
Exemplo
f (x) cos2x temos f '(x) 2 sen 2x.= = − ⋅
4.1.12 Regra da tangente
2
x xD tg u sec u D u= ⋅
Livro_calculo_I_II_katia.indb 64 07/05/2015 09:45:12
– 65 –
Regras básicas para diferenciação
Exemplo
2f (x) tg 3x temos f '(x) 3 sec 3x= =
4.1.13 Regra da cotangente
2
x xD cotg u cossec u D u= −
Exemplo
2f (x) co g5x f '(x) 5cos sec 5x= = −
4.1.14 Regra da secante
x xD sec u sec u ta ng u D u= ⋅
Exemplo
3 2 3 3f (x) sec x temos f '(x) 3x sec x tgx= = ⋅
4.1.15 Regra da cossecante
x xD cossec u cossec u cotg u D u= − ⋅ ⋅
Exemplo
3 2 3 3f (x) cossec 2x temos f '(x) 6x cossec 2x cotg 2x= = − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
4.1.16 Regra da exponencial
u u
x xD a a ln a D u= ⋅
Exemplo
2 x 2 xf (x) 5 temos f '(x) 2 5 ln 5= = ⋅
u u
x xD e D u e= ⋅
Livro_calculo_I_II_katia.indb 65 07/05/2015 09:45:12
– 66 –
Cálculo diferencial e Integral I
Exemplo
2 x 2 xf (x) e temos f '(x) 2 e= =
4.1.17 Regra do logaritmo
x
x a
D u
D log u
u ln a
=
⋅
Exemplo
f (x) log 5x temos f '(x)
5x ln3
= =
⋅
4.1.18 Logaritmo natural (Neperiano)
x
x
D u
D ln uu
=
2
2
4x 2
f (x) ln 2x temos f '(x)
2x x
= = =
4.2 Funções trigonométricas inversas
Como você viu em Fundamentos II, as funções trigonométricas possuem 
suas funções inversas, e a seguir demonstraremos suas derivadas.
4.2.1 Regra do arc seno
-
1 x
x 2
D u
D sen u
1 u
− =
Exemplo
2
4
2x
f (x) arcsen x temos f '(x)
1 x
= =
−
Livro_calculo_I_II_katia.indb 66 07/05/2015 09:45:12
– 67 –
Regras básicas para diferenciação
4.2.2 Regra do arc co‑seno
11
x x2
D cos u D u
1 u
− −= ⋅
−
Exemplo
2
3
f (x) arccos 3x temos f '(x)
1 9x
−
= =
−
4.2.3 Regra do arc tangente
1 x
x 2
D u
D tg u
1 u
− =
+
Exemplo
2
2 2
2x
f (x) arc tg (x 1) temos f '(x)
1 (x 1)
= + =
+ +
4.2.4 Regra do arc cotangente
11
x x2D cot g u D u1 u
− −= ⋅
+
Exemplo
2
2
f (x) arcco tg 2x temos f '(x)
1 4x
−
= =
+
4.2.5 Regra do arc secante
-
1 x
x 2
D u
D sec u
u u 1
− =
Exemplo
2
2 4
6x
f (x) arcsec 3x temos f '(x)
3x 9x 1
= =
−
Livro_calculo_I_II_katia.indb 67 07/05/2015 09:45:12
– 68 –
Cálculo diferencial e Integral I
4.2.6 Regra do arc co‑secante
11
x x2
D cossec u D u
u u 1
− −= ⋅
−
Exemplo
2
3
3 6
3x
f (x) arccossec x temos f '(x)
x x 1
−
= =
−
Atividades
Utilizando as regras de diferenciação, determine a derivada das funções nas 
atividades um e dois.
1. y = arc tg(sem x).
2. y = senx . cos.
3. Derivando a função log3 tg 3x ,temos:
a)
 
( )
23sec 3'
3 ln3
x
f x
tg x
= c) ( ) 3'
3 ln3
tg x
f x
tg x
=
b)
 
( ) 3'
3 ln3
tg x
f x = d) ( )
2
2
3 3
'
3sec 3 ln3
tg x
f x
x
=
4. Se ( ) 3f x tg x sen x x= ⋅ + , sua derivada é
a) ( )' sec 4cos 3f x x x x= ⋅ −
b) ( ) 2 2' sec cos 3f x x sen x tg x x x= ⋅ + ⋅ +
c) ( ) 2' 4 sec cos 4 3f x x x x= ⋅ −
d) ( )' 4 sec cos 3f x x x x= ⋅ +
Livro_calculo_I_II_katia.indb 68 07/05/2015 09:45:13
– 69 –
Regras básicas para diferenciação
Comentário das atividades
As atividades um a quatro têm o objetivo de ajudar-lhe a compreender 
e determinar a derivada, mediante as regras de diferenciação. Para conseguir 
resolver as atividades, é preciso identificar qual propriedade se deve utilizar 
na resolução. Em caso de dúvida, volte um pouco e observe os exemplos 
com as aplicações das propriedades e terá como solução 
2
cos'
1 ( )
x
y
senx
=
+
 e 
( ) ( )2 2' cosy senx x= − . para as atividades um e dois respectivamente e asser-
tiva (a) para a ativida três e assertiva (b) para à atividade quatro.
Livro_calculo_I_II_katia.indb 69 07/05/2015 09:45:13
– 70 –
Cálculo diferencial e Integral I
Livro_calculo_I_II_katia.indb 70 07/05/2015 09:45:13
5
Determinação da 
monotocidade de 
uma função através do 
teorema do valor médio
As propriedades básicas de crescimento e decrescimento das 
funções são usualmente discutidas nos cursos de nível médio. Mas 
para maior compreensão, será necessário o conhecimento de cál-
culo. O conceito de função crescente ou decrescente pode ser ini-
ciado considerando os gráficos de f(x) = 3 –1 e g(x) = –x3. Os valores 
da função f(x) crescem à medida que os valores de x aumentam, ou 
seja: se x1 < x2, temos f(x1) < f(x2).
Livro_calculo_I_II_katia.indb 71 07/05/2015 09:45:13
– 72 –
Cálculo diferencial e Integral I
Mas, se analisarmos o gráfico de g(x), os valores da função decrescem à 
medida que os valores de x aumentam, ou seja: se x1 < x2, temos f(x1) > f(x2).
A função é crescente no intervalo, quando para x1 < x2, temos f(x1) < f(x2). 
É dita decrescente, quando x1 < x2, temos f(x1) > f(x2). Vamos testar o cresci-
mento e decrescimento de uma função, aplicando a derivada.
I. se f ’(x) > 0, ∀ x pertencente todo o intervalo definido a função é 
crescente.
II. se f ’(x) < 0, ∀ x pertencente todo o intervalo definido a função é 
decrescente.
Uma ferramenta importante no estudo sobre a monotocidade de uma 
função é o Teorema do valor médio.
Livro_calculo_I_II_katia.indb 72 07/05/2015 09:45:13
– 73 –
Determinação da monotocidade de uma função através do teorema do valor médio
5.1 Teorema do valor médio
O teorema do valor médio no cálculo diferencial e integral é uma das 
principais ferramentas para o desenvolvimento da matemática aplicada na 
aplicação dos máximos e mínimos de funções. O comportamento das fun-
ções oscila entre o finito e o infinito.
É necessária uma compreensão mais abrangente de vários conceitos 
estudados em níveis anteriores, como teoria de conjuntos numéricos, gráfi-
cos de funções e álgebra, para discernir determinadas tendências de gráficos 
das funções em situações financeiras, para citar pelo menos uma, ao longo 
do tempo.
Então, essa necessidade se faz presente para prever situações e fenômenos 
a médio e longo prazo.
Teorema 1
Seja f, uma função contínua em todo o [a,b] e derivável em ]a,b[. Então, 
existe um ponto c pertencente ao ]a, b[ tal que a reta tangente ao gráfico da 
função traçada pelo ponto (c,f(c)) é paralela à reta que passa por (a,f(a)) e 
(b,f(b)), isto é, f (b) f (a)f '(c)
b a
−
=
−
.
Livro_calculo_I_II_katia.indb 73 07/05/2015 09:45:13
– 74 –
Cálculo diferencial e Integral I
Demonstração:
Consideremos, inicialmente, a reta que passa pelos pontos (a, f(a)) e 
(b, f ( b )), isto é:
f (b) f(a)
y f (a) (x a)
b a
−
− = ⋅ −
−
Essa reta é o gráfico da função
f (b) f (a)
t(x) (x a) f (a)
b a
−
= ⋅ − +
−
Seja g a função que é a diferença entre f e t, isto é g(x) = f (x) – t(x).
Assim, 
f (b) f (a)
g(x) f (x) (x a) f (a)
b a
− = − ⋅ − + − 
quando x = a, temos:
f (b) f (a)
g(a) f (a a) f (a) f (a) f (a) 0
b a
− = − ⋅ − + = − = − 
e, quando x = b, temos:
f (b) f (a)
g(b) f (b) (b a) f (a) f (b) f (b) f (a) f (a) 0
b a
− = − ⋅ − + = − − + = − 
Além disso, como g é a diferença entre as duas funções contínuas do 
intervalo [a, b] e deriváveis no intervalo aberto ]a, b[, ela própria é contínua 
em [a, b] e derivável em ]a, b[.
Então, podemos usar o teorema de Rolle para a função g, concluindo 
que existe um número real c no intervalo ]a, b[, tal que:
g’ (c) = 0
Ou, com o f (b) f (a)g '(x) f '(x)
b a
− = − − 
 temos que,
f (b) f (a)
f '(x) 0
b a
− − = − 
Livro_calculo_I_II_katia.indb 74 07/05/2015 09:45:13
– 75 –
Determinação da monotocidade de uma função através do teorema do valor médio
isto é,
f (b) f (a)
f '(c)
b a
− − − 
 como queríamos demonstrar.
5.2 Consequências do teorema do valor médio
Seja f(x) uma função contínua em um intervalo qualquer, então:
a) se f ‘(x) > 0 para todo x interior ao intervalo, então f será estrita-
mente crescente no intervalo
b) se f ‘(x) < 0 para todo x interior ao intervalo, então, f será estrita-
mente decrescente no intervalo.
Demonstração
Precisamos provar que, para quaisquer que sejam x1 e x2 em um intervalo, 
com x1< x2, teremos f(x1) < f(x2).
Sejam então x1 e x2 no intervalo, com x1< x2: por hipótese, f é contínua, 
no intervalo [x1; x2], e derivável em todo ponto interior a esse intervalo. Logo, 
pelo TVM, existe c.
2 1
1 2
2 1
f (x ) f (x )
c ]x ; x [ / f '(c)
x x
− 
∈ − − 
Logo, como f ‘(c) > 0, temos:
2 1
2 1
f (x ) f (x )
0
x x
 −
> − 
e, como x1 < x2, temos 2 1x x 0− >
e, portanto, f2 1f (x ) (x ) 0− >
Assim,
2 1f (x ) f (x )>
Livro_calculo_I_II_katia.indb 75 07/05/2015 09:45:13
– 76 –
Cálculo diferencial e Integral I
Exemplo 1
Seja a função definida por 
2x
f (x)
6
= .
I. Verifique a hipótese de teorema do valor médio para a função no 
intervalo [6,2].
II. Ache um valor para c nointervalo (2,6) tal que f (6) f (2)f '(c)
6 2
−
=
−
.
Solução
I. Como a função é polinomial, ela é contínua em [2,6] e diferençável 
em (2,6).
II. Se 
x 2
f '(x) , f (6) 6 e f (2) , teremos
3 3
= = = :
2 16
6c c3 3 4c 16 c 4. Portanto, c (2,6).
3 6 2 3 4
−
= ⇒ = ⇒ = ⇒ = ∈
−
5.3 Aplicando o teorema do valor médio
Sejam x1 e x2 pontos quaisquer do intervalo [a,b], com x1 < x2. O teorema 
do valor médio, aplicado no intervalo [x1, x2], garante-nos a existência de um 
ponto c em (x1, x2) tal que f(x2) f(x1) = f ‘(c)(x2 –x1). Daí conclui-se que f ‘(c) 
> 0 em (a, b), f(x2) – f(x1) > 0 ou f(x1) < f(x2) é uma função crescente, caso 
contrário a função será decrescente.
Exemplo 2
Seja a função f(x) = x2 – 6x + 7 em 0 ≤ x ≤ 5.
Portanto, f ‘(x) = 2x – 6), quando x = 3, a função se anula que é o único 
valor crítico. Os valores de f(x) no ponto crítico e nos extremos de seu 
domínio é:
Livro_calculo_I_II_katia.indb 76 07/05/2015 09:45:14
– 77 –
Determinação da monotocidade de uma função através do teorema do valor médio
2
2
2
f (0) 0 6 0 7 7
f (3) 3 6 3 7 2
f (5) 5 6 5 7 2
= − ⋅ + =
= − ⋅ + = −
= − ⋅ + =
Concluímos que a função tem o ponto crítico x = 3. Diz-se que um 
ponto é crítico para uma função, quando a função é definida nesse ponto, 
mas não é diferenciável nele, ou seja, a derivada é nula.
Portanto, a função é decrescente para x < 3 e crescente para x > 3.
Exemplo 3
Se 3 2f (x) x 2x x 1,= − + + para determinar o crescimento ou decresci-
mento da função é preciso determinar a derivada da função. Portanto, 
2f '(x) 3x 4x 1 (x 1)(3x 1)= − + = − − , (fatorando o polinômio do 
segundo grau) com isso temos dois pontos críticos 
1
x 1 e x
3
= = , pois 
são raízes de f ’(x) = 0.
3 2
3 2
3 2
3 2
f ( 1) ( 1) 2( 1) ( 1) 1 3
1 1 1 1 31
f 2 1 1,1481
3 3 3 3 27
f (1) 1 2.1 1 1 1
f (2) 2 2.2 2 1 3
− = − − − + − + = −
     = − + + = =     
     
= − + + =
= − + + =
Livro_calculo_I_II_katia.indb 77 07/05/2015 09:45:14
– 78 –
Cálculo diferencial e Integral I
Concluímos que a função tem dois pontos críticos 
1
x
3
= e o ponto crí-
tico x =1. Portanto, a função é crescente para 
1
x ou x 1
3
< > e decrescente 
para 
1
x 1
3
< < .
Vimos, nesta aula, com a ajuda do teorema do valor médio o intervalo 
onde as funções crescem ou decrescem. A partir de agora determinaremos 
os valores máximos e mínimos de uma função. Esses valores são determina-
dos com o uso da reta tangente, com a diferenciação e com o crescimento e 
decrescimento de funções.
5.4 Máximos e mínimos de funções
O estudo dos valores máximos e mínimos é relevante para várias áreas 
do conhecimento, como Administração, Ciência Contábil, Física, Ciência 
Biológica e outras. Nesse caso, vamos aprender a determinar esses valo-
res para compreender sua aplicação. Freqüentemente, usamos as palavras 
máximas e mínimas, para significar máximo e mínimo local. Usaremos a 
expressão máximos e mínimos absoluto para definir o máximo e o mínimo 
de uma função em todo seu domínio. Uma função pode não ter máximo 
Livro_calculo_I_II_katia.indb 78 07/05/2015 09:45:14
– 79 –
Determinação da monotocidade de uma função através do teorema do valor médio
nem mínimo, como foi visto em limites. A função 
1
f (x)
x
= no intervalo 
(0,2) não tem máximo nem mínimo. Porém se considerarmos o intervalo 
(0,2], ela admitira o valor máximo no extremo x = 2. Portanto, toda vez que 
uma função for contínua e seu domínio for um intervalo fechado, ela terá 
máximo e mínimo.
Se uma função f possui um máximo ou um mínimo em um ponto, 
dizemos que f possui um extremo relativo nesse ponto. Chamaremos o 
ponto máximo ou mínimo de ponto crítico. Logo, esse ponto crítico será um 
máximo ou mínimo da função.
Exemplo 4
Seja a função 2f (x) x 6x 5 em 0 x 5= − + ≤ ≤ . Calculando a derivada 
de f(x), encontraremos como solução f`(x) 2x 6= − , tendo como zero 
o valor x = 3, que é o ponto crítico da função. Determinando os valores 
de f(x) nos extremos, nesse ponto crítico teremos:
2
2
2
f (0) 0 6 0 5 5
f (5) 5 6 5 5 0
f (3) 3 6 3 5 4
= − ⋅ + =
= − ⋅ + =
= − ⋅ + = −
Livro_calculo_I_II_katia.indb 79 07/05/2015 09:45:14
– 80 –
Cálculo diferencial e Integral I
Podemos verificar que a função tem máximo absoluto igual a 5 e extremos 
x = 0 e mínimo absoluto igual a – 4 no ponto crítico x = 3. Observe o gráfico.
5.5 Aplicação na geometria
Os valores de máximos e mínimos são aplicados na geometria em vários 
aspectos como: área, perímetro, volume.
Exemplo 5
Pedro tem 100m de grade com os quais ele pretende construir um 
pequeno cercado retangular para um pequeno animal. Quais as dimen-
sões do cercado retangular para que a área seja máxima?
Livro_calculo_I_II_katia.indb 80 07/05/2015 09:45:14
– 81 –
Determinação da monotocidade de uma função através do teorema do valor médio
Como o perímetro é P = 2x + 2y, temos que sua área é S = x . (50 – x) 
ou a área S = 50x – x2. Portanto, temos que S = f(x). Agora nosso problema 
é encontrar o valor de x que dá o máximo de f(x) no intervalo de 0 ≤ x ≤ 50. 
f ’(x) = 50 – 2x. Temos que x = 25, é o ponto crítico no intervalo (0,50), como 
f ’(x) > 0 para x < 25 e f‘(x) < 0 para x > 25. Concluímos que f atinge o valor 
máximo, quando x = 25 metros. Observe que a maior área que determinamos 
é de um quadrado.
Atividades
Nas atividades um e dois, determine os extremos absolutos, das funções dadas.
1. 2( ) 5 4 [0;5]f x x x em= − + − .
Logo a função possui:
 2 Máximo absoluto em 9/4 para x = 5/2;
 2 Mínimo absoluto em –4 para x = 0 e x = 5.
2. 
2
2x 1 se x 2
f (x) em [ 3;4]
2x 5 se x 2
− ≤= − − >
Logo a função possui:
 2 Máximo absoluto em 27 para x = 4
 2 Mínimo absoluto em –7 para x = –3
3. O intervalo(s) em que a função 
2x 3, se x 4
f (x)
10 3x se x 4
 − <=  − ≥
 é decres-
cente pode ser:
a) ]0 ; 2[ c) (-∞ ; 4]
b) [0 ; 4] d) [4 ; +∞) 
4. Um projétil é lançado para cima com um percurso de acordo com a 
função f(x) = –2x2 + 18x no intervalo 0 ≤ x ≤ 10. A altura máxima atin-
gida por este projétil em metros foi de:
Livro_calculo_I_II_katia.indb 81 07/05/2015 09:45:14
– 82 –
Cálculo diferencial e Integral I
a) y = 90 c) y = 40,5
b) y = 70 d) y = 25
Comentário das atividades
Essas questões vêm acrescentar a compreensão sobre crescimento e 
decrescimento de funções usando a derivada, bem como a determinação 
de seus máximos ou mínimo se existirem, utilizando como ferramenta o 
Teorema do Valor Médio. Diante disso, você deverá obter como soluções 
(máximo absoluto em 9/4 para x = 5/2 e mínimo absoluto em –4 para x = 0 
e x = 5) para atividade um e (máximo absoluto em 27 para x = 4 e mínimo 
absoluto em –7 para x = –3) para atividade dois. Já para as atividades três e 
quatro, terá como respostas as assertivas b e c respectivamente.
.
Livro_calculo_I_II_katia.indb 82 07/05/2015 09:45:14
6
Ponto de inflexão 
e concavidade de 
uma função
Muitas funções, quando representadas graficamente, apre-
sentam um comportamento heterogêneo, em qual é possível verificar 
que, em determinados intervalos de seu domínio, seu gráfico pos-
sui concavidade voltada para baixo ou para cima. Diante disso, neste 
capítulo, definiremos os comportamentos dessas funções.
Livro_calculo_I_II_katia.indb 83 07/05/2015 09:45:15
– 84 –
Cálculo diferencial e Integral I
6.1 Concavidade de uma função
Seja f uma função, se o gráfico de f for côncavo para cima no ponto (k, 
f(k)), se f ’(k) existir e se houver um intervalo aberto I contendo k, tal que 
para todos os valores de x ≠ k em I, o ponto (x,f(x)) do gráfico estará acima 
da reta tangente ao gráfico.Seja f uma função, se o gráfico de f for côncavo para baixo no ponto 
(k, f(k)), se f ’(k) existir e se houver um intervalo aberto I contendo k, tal que 
para todos os valores de x ≠ k em I, o ponto (x,f(x)) do gráfico estará abaixo 
da reta tangente ao gráfico.
Se f é uma função diferenciavel em algum intervalo aberto contendo k, 
então:
I. se f ’’(k) > 0, o gráfico de f é côncavo para cima em (k, f(k));
II. se f ’’(k) < 0, o gráfico de f é côncavo para baixo em (k, f(k)).
Livro_calculo_I_II_katia.indb 84 07/05/2015 09:45:15
– 85 –
Ponto de inflexão e concavidade de uma função
Exemplo 1
Determine na função abaixo, o intervalo onde a função f(x) = 2x3 – 
2
1
2x
 – 7x + 2, possui o gráfico com concavidade voltada para baixo ou 
para cima.
f(x) = 2x3 – 
2
1
2x
 –7x + 2
Gráfico de f(x)
f`(x) = 6x2 – x –7
f``(x) = 12x –1
f``(x) = 0 , temos como raiz de f``(x) = 
12
.
Atribuindo valores menores que 
1
12 em f``(x) temos que:
 2 f``(x) < 0 → Concavidade para baixo para x < 1
12
Atribuindo valores maiores que 1
12
 em f``(x) temos que:
 2 f``(x) > 0 → Concavidade para cima para x > 1
12
.
Livro_calculo_I_II_katia.indb 85 07/05/2015 09:45:15
– 86 –
Cálculo diferencial e Integral I
6.2 Ponto de inflexão
Como vimos no exemplo anterior, existem funções que podem ter con-
cavidade voltada para cima em um intervalo de seu domínio e concavidade 
voltada para baixo em outro intervalo também pertencente ao seu domínio. 
Assim, o ponto no gráfico de uma função diferençável f(x), no qual a conca-
vidade muda, é chamado de ponto de inflexão.
 
Observe que o gráfico de uma função muda sua concavidade no ponto 
onde a reta tangente cruza esse gráfico no ponto de inflexão.
Determinando os pontos de inflexão
I. Calcule f ’’(x), ou seja, a segunda derivada de f(x).
II. Determine os pontos no domínio de f para os quais f ’’(x) = 0 ou 
f (x) não existe.
III. Determine o sinal de f ’’(x) à esquerda e à direita de cada ponto x 
= c, encontrado no ponto II. Caso haja uma mudança de sinal de 
f ’’’(x), quando passamos pelo ponto x = c, então, ( c, f(c)) é um 
ponto de inflexão de f.
Exemplo 2
Determine os pontos de inflexão da função f(x) = x3.
A primeira derivada de f ’(x) = 3x2. Portanto, a segunda derivada é f ’’(x) 
= 6x. Como f‘’’ é contínua em toda parte e é zero se x = 0. Temos que 
(0,0) é um ponto de inflexão da função f.
Livro_calculo_I_II_katia.indb 86 07/05/2015 09:45:15
– 87 –
Ponto de inflexão e concavidade de uma função
6.3 O Teste da segunda derivada
I. Determine f ’(x) e f ’’(x).
II. Determine os pontos críticos de f nos quais f ’(x) = 0.
III. Determine f ’’(k) para cada um dos pontos críticos k.
a) Se f ’’(k) < 0, então f tem um máximo relativo em k.
b) Se f ’’(k) > 0, então f tem um máximo relativo em k.
c) Se f ’’(k) = 0, o teste falha, isto é, é inconclusivo.
Caso a derivada de segunda ordem não chegue a uma conclusão, isto 
é, se f ’’(k) = 0, ou seja, se f ’’(k) não existe. Portanto, x = k pode ser 
um extremo relativo ou um ponto de inflexão. Nesses casos, deveremos 
recorrer ao teste da primeira derivada.
Exemplo 3
Determinando os extremos relativos da função usando o teste da segunda 
derivada, para a função:
3 2 21f (x) x 3x 5x 3 f`(x) x 6x 5 (x 5) (x 1)
3
= − + + ⇒ = − + = − ⋅ −
Para f ’(x) = 0 resulta em x = 1 e x = 5, que são os pontos críticos de f . A 
seguir, vamos determinar f ’’.
f ''(x) 2x 6 2(x 3)= − = − .
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Cálculo diferencial e Integral I
Agora, temos que
f ''(1) 2(1 3) 4 0= − = − < .
Como o teste da segunda derivada implica que 
16
f (1)=
3
 é um máximo 
relativo de f. Além disso f ''(5) 2(5 1) 8 0= − = > e o teste da segunda 
derivada implica que 
16
f (5) 
3
= − é um mínimo relativo de f, o que 
confirma os resultados obtidos. Observe o gráfico:
Atividades
Determine em cada função das atividades um e dois os intervalos onde o 
gráfico das funções é côncavo para cima ou para baixo.
1. f(x) = 2x4 – 20x3 +21.
2. 
5
f (x) x
x
= − .
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Ponto de inflexão e concavidade de uma função
3. Seja a função g(x) = 4x3 + 6x + 14, o ponto de inflexão de g(x) é:
a) (0; 14) c) não possui ponto de inflexão
b) (0; 0) d) (2; 14)
4. O intervalo onde o gráfico da função f(x) = x3 – 6x2 + 3x – 2 possui 
concavidade para cima é:
a) (-∞ ; 2[ c) [-2 ; ∞+)
b) ]2 ; ∞+) d) (-∞ ; -2]
Comentário das atividades
Essas questões têm o objetivo de compreender a posição da concavidade 
de uma função aplicando-a à derivação. No entanto, você precisa usar as 
propriedades da derivada e verificar onde a função admite valores maiores ou 
menores que zero. Em todas as quatros atividades, você deverá determinar a 
2° derivada ( derivada de 2ª ordem), e assim poderemos determinar o ponto 
de inflexão e, conseqüentemente, os intervalos em que as funções possuem 
concavidade voltada para cima ou para baixo, encontrando como resposta 
Concavidade para baixo para 0 < x < 5 e Concavidade para cima para x < 0 e x > 5 
na atividade um, concavidade para baixo para x > 0 na atividade dois e nas 
atividade três e quatro terá como respostas as assertivas a e b respectivamente.
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Cálculo diferencial e Integral I
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7
Aplicações de derivadas
Neste capítulo, apresentaremos as aplicações de derivadas 
em algumas áreas do conhecimento. Essas aplicações se darão nas 
áreas da Engenharia, Administração, Ciências Biológicas e na Física. 
Aplicaremos as propriedades da diferenciação vistas anteriormente. 
Assim sendo, este capítulo tem como objetivo compreendermos a 
aplicação do estudo das derivadas e suas propriedades.
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Cálculo diferencial e Integral I
7.1 Aplicação na engenharia
Um fabricante de caixa de papelão deseja fazer caixas abertas, a partir de 
pedaços de papelão com 12 cm2, cortando quadrados iguais dos quatros can-
tos e dobrando os lados para cima. Para determinarmos uma caixa com maior 
volume possível, precisamos encontrar o comprimento do lado do quadrado 
que será cortado.
O volume da caixa é dado pela expressão: 2 3V(x) 144x 48x 4x= − + .
Para determinarmos o volume máximo, devemos encontra os pontos 
críticos de V no intervalo [0,6], ou seja, precisamos calcular V’(x) e, então, 
encontraremos os valores de x para que V’(x) = 0 ou V’(x) não existe.
2V(x) 144 96x 12x= − + . Portanto, os valores de x para que V’ exista 
é x = 6 e x = 2. Então os pontos críticos são 2 e 6. Como V é limitado entre 
[0,6], temos V(0) = 0 e V(6) = 0, e, por outro lado, V(2) = 128. O valor 
máximo absoluto de V em [0,6] é 128. Isso só ocorre quando x = 2.
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Aplicações de derivadas
7.2 Aplicação na biologia
Um grupo de estudantes de Biologia verificou que a reprodução de uma 
bactéria durante a próxima década é de aproximadamente B(x) = 3x3 + 2x2 
– 10x + 600 e (0 ≤ x ≤ 10), onde B(x) denota a população no fim do ano x. 
Determine a taxa de crescimento da bactéria, quando x = 2 e x = 6. Qual será 
o tamanho da população de bactérias, 8 anos após esse estudo?
Como a taxa de crescimento da população de bactérias em qualquer 
instante x é dada por B’(x), temos:
2B`(x) 9x 4x 10= + − , em particular x = 2 e x = 6 temos:
2 2B'(2) 9 2 4.2 10 34 e B'(6) 9 6 4 6 10 338= ⋅ + − = = ⋅ + ⋅ − =
Portanto, a taxa de crescimento de bactérias será igual a 34 bactérias por 
ano, após 2 anos, e de 338 bactérias por ano, após 6 anos. A população de bacté-
rias, após o oitavo ano, será igual