v1 2016 turma d1

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Equac¸o˜es Diferenciais
1a Verificac¸a˜o, Turma D1
GMA - UFF - 09/06/2016
Prof. Martin Andersson
Nome:
Instruc¸o˜es: A prova vale 10 pontos e tem durac¸a˜o de 1h50min. Na˜o e´ permitido sair da sala
durante a prova nem o uso de qualquer material eletroˆnico. Boa sorte!!
1. (3 pt) Determine quais das seguintes se´ries convergem e quais divergem. Justifique sua
resposta.
a)
∞∑
n=2
n log n√
n3 + 3
b)
1
7
+
1
14
+
1
21
+ . . . c)
∞∑
n=1
(−1)n+1 log(n)
log(n + 1)
(1)
2. (3 pt.) Responda as seguintes perguntas. Em caso afirmativo, deˆ exemplo.
(a) E´ poss´ıvel uma sequeˆncia ser limitada mas na˜o convergir?
(b) E´ poss´ıvel uma sequeˆncia ser mono´tona mas na˜o convergir?
(c) E´ poss´ıvel uma sequeˆncia an tender ao infinito ao mesmo tempo que an+1− an tende
a zero?
3. (1,5 pt.) Considere a se´rie de poteˆncias
∑∞
n=0
log(n)(x+2)3n+1
n8n . Determine para quais valores
x ∈ R a se´rie
(a) diverge,
(b) converge condicionalmente,
(c) converge absolutamente.
4. (2,5 pt.) Considere a equac¸a˜o (x2 + 1)y′′ + y′ − x2y = 0.
(a) Determine se x = 0 e´ um ponto ordina´rio, singular regular ou singular irregular.
(b) Encontre duas soluc¸o˜es linearmente independentes da equac¸a˜o.