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MIT OpenCourseWare Multivariable Calculus, Fall 2007 Prof. Denis Auroux Notas de Aula∗ Aula 23 Fluxo O fluxo de um campo vetorial ~F atrave´s de uma curva plana C e´ dado por ∫ C ~F · nˆ ds, onde nˆ e´ o vetor normal a` C rotacionado de 90◦ no sentido hora´rio a partir de Tˆ. Temos agora dois tipos de integrais de linha: o trabalho ∫ ~F · Tˆ ds, que corresponde a somar as componentes tangenciais ~F · Tˆ de ~F ao longo da curva C; e o fluxo ∫ ~F · nˆ ds, que corresponde a somar as componentes ortogonais ~F · nˆ de ~F ao longo da curva. Se dividirmos C em pequenas regio˜es de comprimento ∆s, o fluxo total e´ ∑ i( ~F · nˆ)∆ si. Interpretac¸a˜o f´ısica: se ~F e´ o campo de velocidade (e.g. escoamento de um fluido), o fluxo mede a quantidade de mate´ria que atravessa C por unidade de tempo. Para justificar essa afirmac¸a˜o, considere uma pequena regia˜o ∆s de C: localmente ~F e´ constante, e o que passa por ∆s por unidade de tempo e´ o conteu´do de um paralelogramo com lados ∆s e ~F . A a´rea deste paralelogramo e´ ∆s · altura = ∆s(~F · nˆ) (ilustrado na figura ao lado). Somando todas essas contribuic¸o˜es ao longo de C, temos que ∫ (~F · nˆ) ds e´ o fluxo total atrave´s de C por unidade de tempo. Tomando como refereˆncia um ponto que percorre a curva, o fluxo e´ positivo se for no sentido da direita, e e´ negativo se for no sentido da esquerda de C. Exemplo 1 Calcular o fluxo do campo ~F = xıˆ+ yˆ atrave´s do c´ırculo C de raio a orientado no sentido anti-hora´rio Soluc¸a˜o. ao longo de C, ~F e´ paralelo a nˆ (ver figura ao lado), e |~F | = a. Da´ı segue-se que ~F · nˆ = a, e portanto∫ C ~F · nˆ ds = ∫ C a ds = a comprimento(C) = 2pia2. � Por outro lado, o fluxo de −yıˆ + xˆ ao longo do mesmo c´ırculo C e´ zero, uma vez que esse campo e´ tangente a` curva. Os argumentos acima foram geome´tricos. Como proceder quando e´ necessa´rio o ca´lculo da integral? Para responder a` essa pergunta, observe que d~r = Tˆ ds = 〈dx, dy〉, e nˆ e´ o vetor tangente Tˆ rotacionado de 90◦ no sentido hora´rio; enta˜o nˆ ds = 〈dy,−dx〉. Da´ı segue-se que, se ~F = P ıˆ+Qˆ (usando novas letras para as coisas parecerem novas; e´ claro que poder´ıamos ter chamado as componentes de M e N), enta˜o∫ C ~F · nˆ ds = ∫ C 〈P,Q〉 · 〈dy,−dx〉 = ∫ C −Qdx+ Pdy. (ou enta˜o que ∫ C ~F · nˆ ds = ∫ C −Ndx+Mdy se ~F = 〈M,N〉). ∗Traduc¸a˜o livre, por Andre´ von Borries Lopes, de parte do texto Lecture Notes - Week 9 Summary 2 Podemos assim calcular o fluxo usando o me´todo usual, expressando x, y, dx, dy em termos de um outro paraˆmetro e substituindo. Teorema 1 (Teorema de Green para o fluxo) Se ~F = P ıˆ+Qˆ e C e´ uma curva fechada delimitando R e orientada no sentido anti-hora´rio, enta˜o∫ C ~F · nˆ ds = ∫∫ R div(~F ) dA, onde div(~F ) = Px +Qy e´ o divergente de ~F . Observe que a orientac¸a˜o no sentido anti-hora´rio de C significa que contamos o fluxo de ~F saindo da regia˜o R atrave´s de C. Demonstrac¸a˜o. Ja´ vimos que ∫ C ~F · nˆ ds = ∫ C −Qdx + P dy. Denotando M = −Q e N = P e aplicando o teorema de Green usual ∮ C M dx+N dy = ∫∫ R (Nx −My) dA obtemos∫ C ~F · nˆ ds = ∮ C −Qdx+ P dy = ∫∫ R (Px − (−Qy)) dA = ∫∫ R div(~F ) dA. � Essa demonstrac¸a˜o, “renomeando” as componentes, e´ a raza˜o de termos chamado as componentes do campo de P e Q, ao inve´s de M e N . Se fizermos ~F = 〈M,N〉, obtemos∮ C −N dx+M dy = ∫∫ R (Mx +Ny) dA. Exemplo 2 No exemplo acima (fluxo de xıˆ+yˆ atrave´s do c´ırculo), div ~F = 2, e portanto o fluxo e´ igual a ∫∫ R 2dA = 2a´rea(R) = 2pia2. Se transladarmos C para uma posic¸a˜o diferente (na˜o centrada na origem) o ca´lculo direto do fluxo fica dif´ıcil, mas o fluxo total e´ ainda 2pia2. Finalmente, sobre o sentido f´ısico, no caso de um fluido incom- press´ıvel o divergente mede a magnitude de uma fonte/ sorvedouro por unidade de a´rea/tempo. Dito de outra forma, o divergente mede o quanto de l´ıquido esta´ sendo adicionado ao sistema por unidade de a´rea e por unidade de tempo.
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