derivadas

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7 Derivadas Par
iais
A dis
ussão sobre a derivação de uma função de n variáveis 
om valores reais reduz-
se ao 
aso unidimensional, se tratarmos uma função de n variáveis 
omo uma fun
ão de
uma variável de 
ada vez, mantendo �xas as demais variáveis. Isso nos leva ao 
on
eito
de derivadas par
iais.
7.1 Derivadas par
iais de funções de duas variáveis
Seja z = f(x, y) uma função real de duas variáveis reais e seja (x0, y0) ∈ Df . Fixado
y0 podemos 
onsiderar a função g de uma variável dada por
g(x, y) = f(x, y0)
A derivada desta fun
ão no ponto x = x0 (
aso exista) denomina-se derivada par
ial
de f em relação a x, no ponto (x0, y0) e indi
ada por:
∂f
∂x
(x0, y0)
Assim,
∂f
∂x
(x0, y0) = g
′(x0).De a
ordo 
om a de�nição de derivada, temos:
∂f
∂x
(x0, y0) = g
′(x0) = lim
x→x0
g(x)− g(x0)
x− x0
ou seja,
∂f
∂x
(x0, y0) = lim
x→x0
f(x, y0)− f(x0, y0)
x− x0
ou, ainda
∂f
∂x
(x0, y0) = lim
∆x→0
f(x0 +∆x, y0)− f(x0, y0)
∆x
Sendo A o sub
onjunto de Df formado por todos os pontos (x, y) tais que
∂f
∂x
(x, y)
existe, podemos de�nir uma nova função, indi
ada por
∂f
∂x
e de�nida em A, que a 
ada
(x, y) ∈ A asso
ia o número ∂f
∂x
(x, y), onde
∂f
∂x
(x, y) = lim
∆x→0
f(x+∆x, y)− f(x, y)
∆x
Tal função denomina-se função derivada par
ial de 1
a
ordem de f em relação a x,
ou simplesmente derivada par
ial de f em relação a x.
De modo análogo, de�ne-se a derivada par
ial de f em relação a y, no ponto (x0, y0)
que se indi
a por
∂f
∂x
(x0, y0):
∂f
∂x
(x0, y0) = lim
y→y0
f(x0, y)− f(x0, y0)
y − y0
ou, ainda
∂f
∂x
(x0, y0) = lim
∆y→0
f(x0, y0 +∆y)− f(x0, y0)
∆y
2
De�ne-se também, analogamente, a função derivada par
ial de f em relação a y:
∂f
∂x
(x, y) = lim
∆y→0
f(x, y +∆y)− f(x, y)
∆y
Notações para as derivadas par
iais
∂f
∂x
(x, y) =
∂
∂x
f(x, y) = fx(x, y) = f1(x, y) = Dxf(x, y) = D1f(x, y)
∂f
∂y
(x, y) =
∂
∂y
f(x, y) = fy(x, y) = f2(x, y) = Dyf(x, y) = D2f(x, y)
Exer
í
io Resolvido: Seja f(x, y) = 3x2 − 2xy + y2. Cal
ule:
a) D1f(x, y)
b) D2f(x, y)
) D1f(3,−2)
Regra para determinar a derivada par
ial de f(x, y)
1. Para en
ontrar fx, trate y 
omo uma 
onstante e derive f(x, y) 
om relação a x.
2. Para en
ontrar fy, trate x 
omo uma 
onstante e derive f(x, y) 
om relação a y.
Exer
í
ios Resolvidos:
1. Se f(x, y) = x3 + x2y3 − 2y2, determine fx(2, 1) e fy(2, 1).
2. Considere a função z = f(x, y) dada por z = arctg(x2 + y2). Cal
ule:
a)
∂z
∂x
b)
∂z
∂y
)
∂z
∂x
∣∣∣∣
x = 1
y = 1
d)
∂z
∂y
∣∣∣∣
x = 0
y = 0
3. Sendo z = f(x, y) dada impli
itamente por x2 + y2 + z2 = 1, z > 0, 
al
ule:
a)
∂z
∂x
b)
∂z
∂y
4. Seja f(x, y) =
{
x3−y2
x2+y2
, se (x, y) 6= (0, 0)
0, se (x, y) = (0, 0)
Determine:
a)
∂f
∂x
3
b)
∂f
∂y
Observação: Cuidado 
om a notação:
∂f
∂x
(x, y) indi
a a derivada par
ial de f(x, y) em relação a x.
d
dx
[f(x, y)] indi
a a derivada de f(x, y), onde y deve ser olhado 
omo função de x.
Exemplo:
∂
∂x
(x2 + y2) = 2x
d
dx
(x2 + y2) = 2x+
d
dx
y2 = 2x+
d
dy
y2
dy
dx
= 2x+ 2y
dy
dx
7.1.1 Interpretação geométri
a das derivadas par
iais
Interpretações geométri
as das derivadas par
iais de uma função de duas variáveis
são similares àquelas dadas para funções de uma variável.
O grá�
o de uma função f de duas variáveis é uma superfí
ie S 
uja equação é
z = f(x, y). Fixando y = b, restringimos nossa atenção à interse
ção entre a superfí
ie
S e o plano y = y0. Então,
∂f
∂x
(x0, y0) é o 
oe�
iente angular da reta tangente T1 a essa
interse
ção no ponto P0(x0, y0.f(x0, y0)).
Analogamente, �xando x = x0 restringimos nossa atenção à interse
ção entre a
superfí
ie S e o plano x = x0, e
∂f
∂y
(x0, y0) é o 
oe�
iente angular da reta tangente T2 a
essa interse
ção no ponto P0(x0, y0.f(x0, y0)).
Como toda derivada é uma medida de uma taxa de variação, uma derivada par
ial
pode ser assim interpretada. Se z = f(x, y), então ∂z
∂x
representa a taxa de variação de
z 
om relação a x quando y é mantido �xo. Da mesma forma, ∂z
∂x
representa a taxa de
variação de z em relação a y quando x é mantido �xo.
Exer
í
ios Resolvidos:
1. A
he a in
linação da reta tangente à 
urva de interse
ção das superfí
ies
z =
1
2
√
24− x2 − 2y2
om o plano y = 2, no ponto (2, 2,
√
3).
4
2. De a
ordo 
om a lei dos gases ideais para um gás 
on�nado, se P newtons por metros
quadrados for a pressão, V metros 
úbi
os for o volume e T graus for a temperatura,
teremos a fórmula
PV = kT
onde k é uma 
onstante de propro
ionalidade. Suponha que o volume de um gás
em 
erto re
ipiente seja de 100 m
3
e que a temperatura seja 90
o
e k = 8.
a) A
he a taxa de variação de P por unidade de variação de T se V permane
e
�xo em 100 m
3
.
b) Use o resultado da parte (a) para aproximar a taxa de variação na pressão, se
a temperatura for aumentada para 92
o
.
) A
he a taxa de variação de V por unidade de variação de P se T permane
e
�xa em 90 m
o
.
d) Suponha que a temperatura seja mantida 
onstante. Use o resultado da parte
(
) para en
ontrar a variação aproximada no volume, ne
essária para produzir
a mesma variação na pressão que foi obtida na parte (b).
7.2 Derivadas par
iais de funções de três ou mais variáveis
Se f é uma função de três variáveis x, y e z, então sua derivada par
ial em relação
a x é de�nida 
omo
fx(x, y, z) = lim
∆x→0
f(x+∆x, y, z)− f(x, y, z)
∆x
e pode ser en
ontrada olhando-se y e z 
omo 
onstantes e derivado-se f(x, y, z) 
om relação
a x. Se w = f(x, y, z), então fx =
∂w
∂x
pode ser interpretada 
omo a taxa de variação de w
em relação a x quando y e z são mantidos �xos. Entretanto, não podemos interpretá-la
geometri
amente porque o grá�
o de f perten
e ao espaço de dimensão quatro. De modo
análogo, de�nem-se fy(x, y, z) e fz(x, y, z).
Em geral, se u é uma função de n variáveis, u = f(x1, x2, . . . , xn), sua derivada
par
ial em relação à i-ésima variável xi é
∂u
∂x
= lim
∆xi→0
f(x1, . . . , xi−1, xi +∆xi, xi+1, . . . , xn)− f(x1, . . . , xi, . . . , xn)
∆xi
e podemos também es
rever
∂u
∂xi
=
∂f
∂xi
= fxi = fi = Dif
Exer
í
ios Resolvidos:
1. Cal
ule as derivadas par
iais da função s = f(x, y, z, w) dada por
s = exyzw
2. Determine fx, fy e fz se f(x, y, z) = e
xy ln z.
5
7.3 Equação do plano tangente a uma superfí
ie em um dado
ponto
Suponha quea superfí
ie S tenha equação z = f(x, y), onnde f tem derivadas par-
iais de primeira ordem 
ontínuas, e seja P (x0, y0, z0) um ponto em S. Sejam C1 e C2 as
urvas obtidas pela interseção de S 
om os planos verti
ais y = y0 e x = x0, respe
tiva-
mente, que se inter
eptam no ponto P . Sejam T1 e T2 as retas tangente às 
urvas C1 e C2
no ponto P . Então, o plano tangente à superfí
ie S no ponto P é de�nido 
omo o plano
que 
ontém as duas retas T1 e T2.
Sabemos que qualquer plano passando pelo ponto P (x0, y0, z0) tem equação da forma
A(x− x0) +B(y − y0) + C(z − z0) = 0
C(z − z0) = −A(x− x0)−B(y − y0)
Dividindo essa equação por C, tem-se
z − z0 = −A
C
(x− x0)− B
C
(x− x0)
Tomando a = −A
C
e b = −B
C
, podemos es
revê-la 
omo
z − z0 = a(x− x0)− b(x− x0)
Se esta equação representa o plano tangente à superfí
ie S em P , sua interseção 
om
o plano y = y0 pre
isa ser a reta T1. Impondo y = y0 na equação a
ima, obtemos
z − z0 = a(x− x0); y = y0
que 
orresponde à equação da reta 
om in
linação a. No entanto, sabemos que a in
linação
de T1 é fx(x0, y0). Assim, a = fx(x0, y0).
Da mesma forma,tomando x = x0, obtemos
z − z0 = b(y − y0); x = x0
que pre
isa representar a reta tangente T2, e portanto b = fy(x0, y0).
Portanto, supondo que f tenha derivadas par
iais 
ontínuas, uma equação do plano
tangente à superfí
ie z = f(x, y) no ponto P (x0, y0, z0) é dada por
z − z0 = fx(x0, y0)(x− x0) + fy(x0, y0)(y − y0)
6
Exer
í
io Resolvido: Determine o plano tangente ao parabolóide elípti
o z = 2x2 + y2
no ponto (1, 1, 3).
Aproximação Linear
Vimos que uma equação do plano tangente ao grá�
o de uma função f de duas
variáveis que tem derivadas par
iais 
ontínuas em um ponto (x0, y0, f(x0, y0)) é
z − f(x0, y0) = fx(x0, y0)(x− x0) + fy(x0, y0)(y − y0)
ou seja,
z = f(x0, y0) + fx(x0, y0)(x− x0) + fy(x0, y0)(y − y0)
A função linear 
ujo grá�
o é esse plano tangente, a saber
L(x, y) = f(x0, y0) + fx(x0, y0)(x− x0) + fy(x0, y0)(y − y0)
é denominada linearização de f em (x0, y0),e e a aproximação
f(x, y) ≈ f(x0, y0) + fx(x0, y0)(x− x0) + fy(x0, y0)(y − y0)
é 
hamada aproximação linear de f em (x0, y0).
7.4 Equação da reta normal a uma superfí
ie em um ponto
A equação do plano tangente à superfí
ie S de equação z = f(x, y) no ponto
P (x0, y0, z0) tem equaçao
z − z0 = fx(x0, y0)(x− x0) + fy(x0, y0)(y − y0)
Este plano é perpendi
ular à direção do vetor (fx(x0, y0, fy(x0, y0,−1). A reta que
passa pelo ponto P (x0, y0, z) e é paralela a esse vetor denomina-se reta normal ao grá�
o
de f no ponto P e tem equação:
(x, y, z) = (x0, y0, z0) + λ(fx(x0, y0), fy(x0, y0),−1)
Exer
í
io Resolvido: Seja f(x, y) = 3x2y − x. En
ontre o plano tangente e a reta
normal ao grá�
o de f no ponto (1, 2, f(1, 2)).
7.5 Diferen
iabilidade
Já de�nimos o plano tangente para as superfí
ies x = f(x, y), onde f tem derivadas
par
iais de primeira ordem 
ontínuas.
O que a
onte
e se fx e fy não são 
ontínuas?
Considere a função f(x, y) =
{ xy
x2+y2
, (x, y) 6= (0, 0)
0, (x, y) = (0, 0)
.
Podemos veri�
ar que suas derivadas par
iais existem na origem e são fx(0, 0) = 0 e
fy(0, 0) = 0, mas fx e fy não são 
ontínuas. A aproximação linear seria f(x, y) ≈ 0, porém
f(x, y) = 1
2
para todos os pontos da reta y = x. Portanto, uma função de duas vaeiáveis
pode se 
omportar muito mal, mesmo se suas derivadas par
iais existeirem. Para evitar
esse 
omportamento, introduzimos a ideia de função diferen
iável de duas variáveis.
7
Para uma função de uma variável y = f(x), se x0 varia e a para x0 +∆x, de�nimos
a in
remento de y 
omo
∆y = f(x0 +∆x)− f(x0)
e mostramos que, se f é diferen
iável em x0,
∆y = f ′(x0)∆x+ ǫ∆x, onde ǫ→ 0 quando ∆x→ 0
Considere agora uma função de duas variáveis z = f(x, y), e suponha que x varie de
x0 para x0 +∆x, e y varie de y0 para y0 +∆y. Então o in
remento 
orrespondente de z é
∆z = f(x0 +∆x, y0 +∆y)− f(x0, y0)
Por analogia, de�nimos a diferen
iabilidade de uma função de duas variáveis. Se
z = f(x, y), então f é diferen
iável em (x0, y0) se ∆z pode ser expresso na forma:
∆z = fx(x0, y0)∆x+ fy(x0, y0)∆y + ǫ1∆x+ ǫ2∆y
onde ǫ1, ǫ2 → 0 quando (∆x,∆y)→ (0, 0).
Assim, uma função diferen
iável é aquela para a qual a aproximação linear pelo
plano tangente é uma boa aproximação quando (x, y) está próximo de (x0, y0).
Teorema 7.1 Se as derivadas par
iais fx e fy existirem perto do ponto (x0, y0) e forem
ontínuas em (x0, y0), então f é diferen
iável em (x0, y0).
Exer
í
io Resolvido: Mostre que f(x, y) = xexy é diferen
iável em (1, 0) e deterimine
sua linearização.
Diferen
iabilidade de funções de n variáveis
Se f for uma função de n variáveis x1, x2, . . . , xn, e P o ponto (x¯1, x¯2, . . . , x¯n), então
o in
remento de f em P será dado por
∆f(P ) = f(x¯1 +∆x1, x¯2 +∆x2, . . . , x¯n +∆xn)− f(P )
A função f será diferen
iável em P se o in
remento de f em P for es
rito 
omo
∆f(P ) = f1(P )∆x1 + f2(P )∆x2 + · · ·+ fn(P )∆xn + ǫ1∆x1 + ǫ2∆x2 + · · ·+ ǫn∆xn
onde ǫ1 → 0, ǫ2 → 0, . . . , ǫn → 0 quando (∆x1,∆x2, . . . ,∆xn)→ (0, 0, . . . , 0).
Teorema 7.2 Se as derivadas par
iais f1, f2, . . . , fn existirem numa bola aberta B(P ; r)
e forem 
ontínuas em P , então f é diferen
iável em P .
7.6 Diferen
iais
Para uma função de uma úni
a variável y = f(x), de�nimos a diferen
ial dx 
omo
uma variável independente. A diferen
ial de y é de�nida 
omo
dy = f ′(x)dx
Para uma função de duas variáveis z = f(x, y), de�nimos as diferen
iais dx e dy
omo variáveis independentes. Então, a diferen
ial de z, também 
hamada diferen
ial
total é de�nida por
dz = fx(x, y)dx+ fy(x, y)dy =
∂z
∂x
dx+
∂z
∂y
dy
8
Se tomarmos dx = ∆x = x− x0 e dy = ∆y = y − y0, então a diferen
ial de z é
dz = fx(x0, y0)(x− x0) + fy(x,0 , y0)(y − y0)
Assim, 
om a notação de diferen
ial, podemos a�rmar que
f(x, y) = f(x0, y0) + dz
Observe a interpretação geométri
a da diferen
ial dz e do in
remento ∆z: dz repre-
senta a variação na altura do plano tangente, ao passo que ∆z representa a variação da
altura da superfí
ie z = f(x, y) quando (x, y) varia de (x0, y0) para (x0 +∆x, y0 +∆y).
Exer
í
ios Resolvidos:
1. Seja z = x2y.
a) Cal
ule a diferen
ial.
b) Utilizando a diferen
ial, 
al
ule um valor aproximado para a variação ∆z em
z, quando se passa de x = 1 e y = 2 para x = 1, 02 e y = 2, 01.
) Cal
ule o erro 
ometido na aproximação a
ima.
2. Um re
ipiente de metal, fe
hado, na forma de 
ilindro 
ir
ular reto, tem uma altura
interna de 6 
m, um raio interno de 2 
m, e uma espessura de 0,1 
m. Se o 
usto
do metal a ser usado é de R$ 10,00 por 
entímetro 
úbi
o, a
he por diferen
iais o
usto aproximado do metal que será empregado na produção do re
ipiente.
3. Foram feitas medidas do raio da base e da altura de um 
one 
ir
ular reto e obtivemos
10 
m e 25 
m, resp
tivamente, 
om possível erro nessas medidas de, no máximo,
0,1 
m. Utilize a diferen
ial para estimar o erro máximo 
ometido no 
ál
ulo do
volume do 
one.
9
Diferen
iais de funções de n variáveis
Se f for uma função de n variáveis x1, x2, . . . , xn e f for diferen
iável em P , então a
diferen
ial total de f será a função df tendo vaores fun
ionais dados por
df(P,∆x1,∆x2,∆xn) = f1(P )∆x1 + f2(P )∆x2 + · · ·+ fn(P )∆xn
Sendo w = f(x1, x2, . . . , xn), de�nindo dx1 = ∆x1, dx2 = ∆x2, . . . , dxn = ∆xn,
podemos es
rever
dw =
∂w
∂x1
dx1 +
∂w
∂x2
dx2 + · · ·+ ∂w
∂xn
dxn
Exer
í
io Resolvido: As dimensões de uma 
aixa são medidas e obtemos 10 
m, 12 
m,
e 15 
m, e as medidas são 
orretas até 0,02 
m. Cal
ule aproximadamente o erro máximo
ometido no 
ál
ulo do volume da 
aixa a partir das medidas dadas. A
he também o erro
per
entual aproximado.
7.7 Derivadas par
iais de ordem superior
Se f é uma função de duas variáveis, suas derivadas par
iais fx e fy são funções de
duas variáveis, de modo que podemos 
onsiderar novamente suas derivadas par
iais (fx)x,
(fx)y, (fy)x e (fy)y, 
hamadas derivadas par
iais de segunda ordem de f . Se z = f(x, y),
usaremos a seguinte notação:
(fx)x = fxx = f11 =
∂
∂x
(
∂f
∂x
)
=
∂2f
∂x2
=
∂2z
∂x2
(fx)y = fxy = f12 =
∂
∂y
(
∂f
∂x
)
=
∂2f
∂y∂x
=
∂2z
∂y∂x
(fy)x = fyx = f21 =
∂
∂x
(
∂f
∂y
)
=
∂2f
∂x∂y
=
∂2z
∂x∂y
(fy)y = fyy = f22 =
∂
∂y
(
∂f
∂y
)
=
∂2f
∂y2
=
∂2z
∂y2
Derivadas par
iais de ordem superior de uma função de n variáveis têm de�nições
que são análogas às de�nições de derivadas par
iais de ordem superior de uma função de
duas variáveis.
Exer
í
ios Resolvidos:
1. Seja f(x, y) = 4x5y4 − 6x2y + 3. Cal
ule todas as derivadas par
iais de 2a ordem.
2. Dada
f(x, y) = ex sen y + ln xy
A
he:
a) D11f(x, y)
b) D12f(x, y)
)
∂3f
∂x∂y2
10
3. A
he D132f(x, y, z) se
f(x, y, z) = sen(xy+ 2z)
4. Determine as derivadas par
iais de segunda ordem de
f(x, y) = x3 + x2y3 − 2y2
5. Seja f(x, y) =
{
xy3
x2+y2
, se (x, y) 6= (0, 0)
0, se (x, y) = (0, 0)
Mostre que
a)
∂2f
∂x∂y
(0, 0) = 0
b)
∂2f
∂y∂x
(0, 0) = 1
Teorema 7.3 Suponha que f seja uma função de duas variáveis x e y, de�nida num
dis
o aberto B((x0, y0); r) e fx, fy, fxy e fyx também sejam de�nidas em B. Além disso,
suponha que fxy e fyx sejam 
ontínuas em B. Então
fxy(x0, y0) = fyx(x0, y0)
Referên
ias
GUIDORIZZI, H. L. Um Curso de Cál
ulo. Vol. 2. Rio de Janeiro: LTC, 2001.
LEITHOLD, L. O Cál
ulo 
om Geometria Analíti
a. 3. ed. Vol. 2. São Paulo:
Harbra, 1994.
STEWART, J. Cál
ulo. Vol. 2. São Paulo: Cengage Learning, 2009.