AulasEDO_2012(2)

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UNIVERSIDADE TECNOLO´GICA FEDERAL DO PARANA´
PROF. ADILANDRI ME´RCIO LOBEIRO (UTFPR-CM-COINF).
DISCIPLINAS: EA32F, ED3XA, ED3XB
EQUAC¸O˜ES DIFERENCIAIS ORDINA´RIAS
CAMPOMOURA˜O
2012/1
Estas notas seguem de muito perto a bibliografia referenciada e que
correspondem aos livros textos deste Curso. Sugere-se a sua aquisic¸a˜o.
O u´nico objetivo destas notas e´ facilitar as atividades dos alunos em sala
de aula, pois na˜o precisara˜o anotar conteu´dos e enunciados de exercı´-
cios. De forma que o aluno tem um maior conforto em sala de aula e o
professor podera´ explicar os temas de forma mais ra´pida. De nenhuma
maneira a leitura ou consulta da bibliografia esta´ descartada, isto e´ dever
do aluno.
P.ALuno
Atendimento Sexta Sexta
Hora´rios 10:20-12:00 14:40-15:20
Provas
Eventos EA32F ED3XB ED3XA
Primeira Prova 12/04/12 12/04/12 12/04/12
Segunda Prova 17/05/12 17/05/12 17/05/12
Terceira Prova 28/06/12 28/06/12 28/06/12
Reavaliac¸a˜o 05/07/12 05/07/12 05/07/12
SUMA´RIO
1 INTRODUC¸A˜O A`S EQUAC¸O˜ES DIFERENCIAIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
INTRODUC¸A˜O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1 TERMINOLOGIA E DEFINIC¸O˜ES BA´SICAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.1 Classificac¸a˜o pelo Tipo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.2 Classificac¸a˜o pelo Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.3 Classificac¸a˜o como Linear e Na˜o-Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.4 Soluc¸o˜es Explı´citas e Implı´citas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2 PROBLEMA DE VALOR INICIAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
INTRODUC¸A˜O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3 CLASSIFICAC¸A˜O DAS EDO DE PRIMEIRA ORDEM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.1 QUADRATURA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.2 VARIA´VEIS SEPARA´VEIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.3 EQUAC¸O˜ES HOMOGEˆNEAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.3.1 Equac¸o˜es Homogeˆneas de Classe A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.3.2 Equac¸o˜es Homogeˆneas de Classe C. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.3.3 Equac¸o˜es Homogeˆneas de Classe D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.3.4 Equac¸o˜es Homogeˆneas de Classe G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.3.5 Equac¸o˜es Homogeˆneas de Classe B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.4 EQUAC¸O˜ES EXATAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.5 EQUAC¸O˜ES LINEARES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.6 EQUAC¸A˜O DE BERNOULLI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.7 EQUAC¸A˜O DE RICATTI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.8 EQUAC¸A˜O DE CLAIRAUT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.9 EQUAC¸A˜O DE D’ALEMBERT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4 APLICAC¸O˜ES DE EQUAC¸O˜ES LINEARES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.1 CRESCIMENTO E DECRESCIMENTO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.2 MEIA-VIDA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.3 CRONOLOGIA DO CARBONO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.4 RESFRIAMENTO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.5 PROBLEMAS DE MISTURAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.6 CIRCUITOS EM SE´RIE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3
1 INTRODUC¸A˜O A`S EQUAC¸O˜ES DIFERENCIAIS
As palavras equac¸a˜o e diferencial sugerem certamente algum tipo de equac¸a˜o que envolve
derivadas. Da mesma forma que um curso de a´lgebra e trigonometria, nos quais um bom tempo
e´ gasto na resoluc¸a˜o de equac¸o˜es como 2x+6= 0 para a inco´gnita x, neste curso uma de nossas
tarefas sera´ resolver equac¸o˜es diferenciais como y′ = y para a func¸a˜o inco´gnita y= y(x).
O primeiro para´grafo acima nos fala algo, mas na˜o tudo, sobre o curso que voceˆ esta´ prestes
a comec¸ar. No decorrer do curso, voceˆ vera´ que ha´ mais no estudo de equac¸o˜es diferenciais que
ta˜o somente o domı´nio de me´todos idealizados por algue´m para resolveˆ-las. Mas, em primeiro
lugar, para ler, estudar e familiarizar-se com esse assunto ta˜o especializado, e´ necessa´rio conhe-
cer algumas definic¸o˜es e terminologias ba´sicas sobre o mesmo (??).
1.1 TERMINOLOGIA E DEFINIC¸O˜ES BA´SICAS
No curso de ca´lculo, voceˆ aprendeu que, dada uma func¸a˜o y= f (x), a derivada
dy
dx = f
′(x)
e´ tambe´m, ela mesma, uma func¸a˜o de x e e´ calculada por regras apropriadas. Por exemplo, se
y= ex2 , enta˜o
dy
dx = 2xe
x2 ou dydx = 2xy
O problema com o qual nos deparamos neste curso na˜o e´: dada uma func¸a˜o y = f (x)
encontre sua derivada. Nosso problema e´: dada uma equac¸a˜o como dydx = 2xy, encontre, de
algum modo, uma func¸a˜o y = f (x) que satisfac¸a a equac¸a˜o. O problema e´ mais ou menos
equivalente ao familiar problema inverso do ca´lculo diferencial: dada uma derivada, encontrar
uma antiderivada. Em outras palavras, no´s queremos resolver equac¸o˜es diferenciais.
Definic¸a˜o 1.1 (Equac¸a˜o Diferencial) Uma equac¸a˜o que conte´m as derivadas ou diferenciais
de uma ou mais varia´veis dependentes, em relac¸a˜o a uma ou mais varia´veis independentes, e´
chamada de equac¸a˜o diferencial (ED).
4
Para poder discuti-las melhor, classificaremos as equac¸o˜es diferenciais por tipo, ordem e
linearidade.
1.1.1 Classificac¸a˜o pelo Tipo
Se uma equac¸a˜o contiver somente derivadas ordina´rias de uma ou mais varia´veis depen-
dentes em relac¸a˜o a uma u´nica varia´vel independente, ela sera´ chamada de equac¸a˜o diferencial
ordina´ria (EDO). Por exemplo,
dy
dt −5y = 1
d2y
dx2 −2
dy
dx +6y = 0
(y− x)dx+4xdy = 0
du
dx −
dv
dx = x
(1.1.1)
sa˜o equac¸o˜es diferenciais ordina´rias.
Uma equac¸a˜o que envolve as derivadas parciais de uma ou mais varia´veis dependentes de
duas ou mais varia´veis independentes e´ chamada de equac¸a˜o diferencial parcial (EDP). Por
exemplo,
∂u
∂y = −
∂v
∂x
x∂u
∂x + y
∂u
∂y = u
∂ 2u
∂x2 =
∂ 2u
∂ t2 −2
∂u
∂ t
(1.1.2)
sa˜o equac¸o˜es diferenciais parciais.
As derivadas ordina´rias sera˜o escritas ao longo deste texto como a notac¸a˜o de Leibniz dydx ,
d2y
dx2 ,
d3y
dx3 , · · · ou com a notac¸a˜o linha y
′, y′′, y′′′, · · · . Usando a u´ltima notac¸a˜o, podemos
escrever as duas primeirasequac¸o˜es diferenciais em (1.1.1) um pouco mais compactamente
como y′ − 5y = 1 e y′′ − 2y′+ 6y = 0. Na realidade, a notac¸a˜o linha e´ usada somente para
denotar as treˆs primeiras derivadas; a quarta derivada e´ escrita como y(4), em vez de y′′′′ . Em
geral, a n-e´sima derivada e´ escrita como d
ny
dxn ou y
(n). Embora seja menos conveniente para
escrever e imprimir, a notac¸a˜o de Leibniz tem, sobre a notac¸a˜o linha, a vantagem de explicitar
claramente as varia´veis dependentes e independentes. Por exemplo, na equac¸a˜o d
2x
dt2 +16x= 0
veˆ-se imediatamente que o sı´mbolo x representa uma varia´vel dependente e t, uma varia´vel
independente. Derivadas parciais sa˜o frequ¨entemente denotadas por uma notac¸a˜o em subscrito
indicando as varia´veis independentes. Por exemplo, com a notac¸a˜o em subscrito, a terceira
equac¸a˜o em (1.1.2) torna-se uxx = utt−2ut .
5
1.1.2 Classificac¸a˜o pelo Ordem
A ordem de uma equac¸a˜o diferencial (EDO) ou (EDP) e´ a ordem da maior derivada na
equac¸a˜o. Por exemplo,
d2y
dx2 +5
(dy
dx
)3
−4y = ex
e´ uma equac¸a˜o diferencial ordina´ria de segunda ordem (ou de ordem dois). Como a equac¸a˜o
diferencial (y− x)dx+4xdy= 0 pode ser escrita na forma
4xdydx + y= x
dividindo-se pela diferencial dx, trata-se enta˜o de uma equac¸a˜o diferencial ordina´ria de primeira
ordem. A equac¸a˜o
a2∂
4u
∂x4 +
∂ 2u
∂ t2 = 0
e´ uma equac¸a˜o diferencial parcial de quarta ordem.
Embora as equac¸o˜es diferenciais parciais sejam muito importante, seu estudo demanda um
bom conhecimento da teoria de equac¸o˜es diferenciais ordina´rias. Portanto, na discussa˜o que se
segue, limitaremos nossa atenc¸a˜o a`s equac¸o˜es diferenciais ordina´rias.
Uma equac¸a˜o diferencial ordina´ria geral de n-e´sima ordem e´ frequentemente representada
pelo simbolismo
F
(
x,y, dydx , · · · ,
dny
dxn
)
= 0
onde x e´ a varia´vel independente.
Por exemplo, F em 4xdydx + y= x fica F
(
x,y, dydx
)
= 4xdydx + y− x= 0
1.1.3 Classificac¸a˜o como Linear e Na˜o-Linear
Uma equac¸a˜o diferencial e´ chamada de linear quando pode ser escrita na forma
an(x)
dny
dxn +an−1(x)
dn−1y
dxn−1 + · · ·+a1(x)
dy
dx +a0(x)y= g(x)
Observe que as equac¸o˜es diferenciais lineares sa˜o caracterizadas por duas propriedades:
• A varia´vel dependente y e todas as suas derivadas sa˜o do primeiro grau: isto e´, a poteˆncia
de cada termo envolvendo y e´ 1.
• Cada coeficiente depende apenas da varia´vel independente x.
6
Uma equac¸a˜o que na˜o e´ linear e´ chamada de na˜o-linear.
As equac¸o˜es
xdy+ ydx = 0
y′′ −2y′+ y = 0
x3d
3y
dx3 − x
2d2y
dx2 +3x
dy
dx +5y = e
x
sa˜o equac¸o˜es diferenciais ordina´rias lineares de primeira, segunda e terceira ordens, respectiva-
mente. Por outro lado,
yy′′ −2y′ = x e d
3y
dx3 + y
2 = 0
sa˜o equac¸o˜es diferenciais ordina´rias na˜o-lineares de segunda e terceira ordens, respectivamente.
Como mencionado antes, nosso objetivo neste curso e´ resolver ou encontrar soluc¸o˜es para
equac¸o˜es diferenciais.
Definic¸a˜o 1.2 (Soluc¸a˜o para uma Equac¸a˜o Diferencial) Qualquer func¸a˜o f definida em al-
gum intervalo I, que, quando substituı´da na equac¸a˜o diferencial, reduz a equac¸a˜o a uma iden-
tidade, e´ chamada de soluc¸a˜o para a equac¸a˜o no intervalo.
Em outras palavras, uma soluc¸a˜o para uma equac¸a˜o diferencial ordina´ria
F(x,y,y′, · · · ,y(n)) = 0
e´ uma func¸a˜o f que possui pelo menos n derivadas e satisfaz a equac¸a˜o; isto e´,
F(x, f (x), f ′(x), · · · , f (n)(x)) = 0
para todo x no intervalo I.
Exemplo 1.1 Verifique se y= x
4
16 e´ uma soluc¸a˜o para a equac¸a˜o na˜o-linear
dy
dx − xy
1/2 = 0
no intervalo (−∞,+∞).
Exemplo 1.2 Verifique se y= xex e´ uma soluc¸a˜o para a equac¸a˜o linear
y′′ −2y′+ y= 0
no intervalo (−∞,+∞).
7
Note que, nos exemplos (1.1) e (1.2), a func¸a˜o constante y= 0 tambe´m satisfaz a equac¸a˜o
diferencial dada para todo x real. Uma soluc¸a˜o para uma equac¸a˜o diferencial que e´ identica-
mente nula em um intervalo I e´ em geral referida como soluc¸a˜o trivial.
Nem toda equac¸a˜o diferencial que escrevemos possui necessariamente uma soluc¸a˜o.
Exemplo 1.3 As equac¸o˜es diferenciais de primeira ordem
(dy
dx
)2
+1= 0 e (y′)2+ y2+4= 0
na˜o possuem soluc¸a˜o. Por queˆ? A equac¸a˜o de segunda ordem
(y′′)2+10y4 = 0
posuui somente uma soluc¸a˜o real. Qual?
1.1.4 Soluc¸o˜es Explı´citas e Implı´citas
Voceˆ deve estar familiarizado com as noc¸o˜es de func¸o˜es explı´citas vistas em seu estudo
de ca´lculo. Similarmente, soluc¸o˜es de equac¸o˜es diferenciais sa˜o divididas em explı´citas ou
implı´citas. Uma soluc¸a˜o para uma equac¸a˜o diferencial ordina´ria (EDO) que pode ser escrita na
forma y = f (x) e´ chamada de soluc¸a˜o explı´cita. Vimos em nossa discusa˜o inicial que y = ex2
e´ uma soluc¸a˜o explı´cita de dydx = 2xy. Nos exemplos (1.1) e (1.2), y =
x4
16 e y = xe
x sa˜o
soluc¸o˜es explı´citas de dydx = xy
1/2 e y′′ −2y′+y= 0, respectivamente. Dizemos que uma relac¸a˜o
G(x,y) = 0 e´ uma soluc¸a˜o implı´cita de uma equac¸a˜o diferencial em um intervalo I, se ela define
uma ou mais soluc¸o˜es explı´citas em I.
Exemplo 1.4 Verifique que para−2< x< 2, a relac¸a˜o x2+y2−4= 0 e´ uma soluc¸a˜o implı´cita
para a equac¸a˜o diferencial
dy
dx =−
x
y
Ale´m disso, note que qualquer relac¸a˜o da forma x2 + y2− c = 0 satisfaz, formalmente,
dy
dx =−
x
y para qualquer constante c. Pore´m, fica subentendido que a relac¸a˜o deve sempre fazer
sentido no sistema dos nu´meros reais; logo, na˜o podemos dizer que x2+ y2+ 1 = 0 determina
uma soluc¸a˜o da equac¸a˜o diferencial.
Como a distinc¸a˜o entre uma soluc¸a˜o explı´cita e uma soluc¸a˜o implı´cita e´ intuitivamente
clara, na˜o nos daremos ao trabelho de dizer “aqui temos uma soluc¸a˜o explı´cita (implı´cita)”.
8
Nu´mero de Soluc¸o˜es - Voceˆ deve se acostumar com o fato de que uma dada equac¸a˜o
diferencial geralmente possui um nu´mero infinito de soluc¸o˜es.
Exemplo 1.5 Verifique que para qualquer valor de c, a func¸a˜o y = cx + 1 e´ uma soluc¸a˜o da
equac¸a˜o diferencial de primeira ordem
xdydx + y−1= 0
no intervalo (0,+∞).
Em alguns casos, quando somamos duas soluc¸o˜es de uma equac¸a˜o diferencial, obtemos
uma outra soluc¸a˜o.
Exemplo 1.6 a) Verifique se as func¸o˜es y1 = c1 cos4x e y2 = c2 sin4x, em que c1 e c2 sa˜o
constantes arbitra´rias, sa˜o soluc¸o˜es para equac¸a˜o diferencial
y′′ +16y= 0.
b) Verifique se a soma das duas soluc¸o˜es da parte (a), ou seja, y3 = c1 cos4x+ c2 sin4x,
tambe´m e´ uma soluc¸a˜o para y′′+16y= 0.
Observac¸a˜o 1.1 Nem sempre a soma de duas soluc¸o˜es de uma EDO e´ uma soluc¸a˜o da EDO.
Para exemplificar isto, basta tomar no exemplo (1.5), c1 e c2 nu´meros reais diferentes de zero.
Exemplo 1.7 Verifique se
y1 = c1ex , y2 = c2e−x e y3 = c1ex+ c2e−x,
sa˜o todas soluc¸o˜es da equac¸a˜o diferencial linear de segunda ordem
y′′ − y= 0.
O pro´ximo exemplo mostra que uma soluc¸a˜o de uma equac¸a˜o diferencial pode ser uma
func¸a˜o definida por partes.
Exemplo 1.8 a) Verifique que qualquer func¸a˜o da famı´lia y= cx4 e´ uma soluc¸a˜o para a equac¸a˜o
diferencial
xy′ −4y= 0.
9
b) Verifique se a func¸a˜o definida por partes
y=
{
−x4 se x< 0
x4 se x≥ 0
,
tambe´m e´ uma soluc¸a˜o.
Observac¸a˜o 1.2 Observe que a func¸a˜o y =
{
−x4 se x< 0
x4 se x≥ 0
na˜o pode ser obtida por in-
terme´dio de uma u´nica escolha do paraˆmetro c, na famı´lia de func¸o˜es y= cx4 a um paraˆmetro.
Mais Teminologia - O estudo de equac¸o˜es diferenciais e´ semelhante ao ca´lculo integral.
Quando calculamos uma antiderivada ou integral indefinida, utilizamos uma u´nica constante
de integrac¸a˜o. De maneira ana´loga, quando resolvemos uma equac¸a˜o diferencial de primeira
ordem F(x,y,y′) = 0, normalmente obtemos uma famı´lia de curvas ou func¸o˜es G(x,y,c) =0,
contendo um paraˆmetro arbitra´rio tal que cada membro da famı´lia e´ uma soluc¸a˜o da equac¸a˜o di-
ferencial. Na verdade, quando resolvemos uma equac¸a˜o de n-e´sima ordem F(x,y,y′, · · · ,y(n)) =
0, em que y(n) significa d
(n)y
dxn , esperamos uma famı´lia a n-paraˆmetros de soluc¸o˜es
G(x,y,c1, · · · ,cn) = 0.
Uma soluc¸a˜o para uma equac¸a˜o diferencial que na˜o depende de paraˆmetros arbitra´rios e´ chamada
de soluc¸a˜o particular. Uma maneira de obter uma soluc¸a˜o particular e´ escolher valores es-
pecı´ficos para o(s) paraˆmetro(s) na famı´lia de soluc¸o˜es. Por exemplo, e´ fa´cil ver que y = cex
e´ uma famı´lia a um paraˆmetro de soluc¸o˜es para a equac¸a˜o de primeira ordem y′ = y. Para
c= 0,−2e5, obtemos as soluc¸o˜es particulares y= 0, y=−2ex e y= 5ex, respectivamente.
A`s vezes, uma equac¸a˜o diferencial possui uma soluc¸a˜o que na˜o pode ser obtida especifican-
do-se os paraˆmetros em uma famı´lia de soluc¸o˜es. Tal soluc¸a˜o e´ chamada de soluc¸a˜o singular.
Por exemplo, provaremos no futuro pro´ximo que uma famı´lia a um paraˆmetro de soluc¸o˜es para
y′ = xy1/2 e´ dada por y =
(x2
4 + c
)2
, quando c = 0, a soluc¸a˜o particular resultante e´ y = x
4
16.
Neste caso, a soluc¸a˜o trivial y= 0 e´ uma soluc¸a˜o singular para a equac¸a˜o, pois ela na˜o pode ser
obtida da famı´lia atrave´s de uma escolha do paraˆmetro c.
Revisa˜o - Classificamos uma equac¸a˜o diferencial quanto ao tipo: ordina´ria ou parcial;
quanto a` ordem; e quanto a` linearidade: linear ou na˜o-linear.
Uma soluc¸a˜o para uma equac¸a˜o diferencial e´ qualquer func¸a˜o relativamente diferencia´vel
que satisfac¸a a equac¸a˜o em algum intervalo.
10
Quando resolvemos uma equac¸a˜o diferencial ordina´ria de n-e´sima ordem, esperamos en-
contrar uma famı´lia de soluc¸o˜es a n-paraˆmetros. Uma soluc¸a˜o particular e´ qualquer soluc¸a˜o,
na˜o dependente de paraˆmetros, que satisfac¸a a equac¸a˜o diferencial. Uma soluc¸a˜o singular e´
qualquer soluc¸a˜o que na˜o pode ser obtida da famı´lia de soluc¸o˜es a n-paraˆmetros atrave´s de
escolha dos paraˆmetros. Quando uma famı´lia de soluc¸o˜es a n-paraˆmetros fornece todas as
soluc¸o˜es para uma equac¸a˜o diferencial em algum intervalo, ela e´ chamada soluc¸a˜o geral, ou
completa.
Exercı´cio 1.1 Classifique as equac¸o˜es diferenciais dizendo se elas sa˜o lineares ou na˜o-lineares.
Deˆ tambe´m a ordem de cada equac¸a˜o,
1. (1− x)y′′ −4xy′+5y= cosx;
2. yy′+2y= 1+ x2;
3. x3y(4)− x2y′′+4xy′ −3y= 0;
4. dydx =
√
1+
(d2y
dx2
)2
;
5. (sinx)y′′′ − (cosx)y′ = 2;
Exercı´cio 1.2 Verifique se a func¸a˜o dada e´ uma soluc¸a˜o para a equac¸a˜o diferencial. (c1 e c2
sa˜o constantes).
1. 2y′+ y= 0; y= e−x/2
2. dydx −2y= e
3x; y= e3x+10e2x
3. y′ = 25+ y2; y= 5tan5x
4. y′+ y= sinx; y= 12 sinx−
1
2 cosx+10e
−x
5. x2dy+2xydx= 0; y=− 1x2
6. y′ − 1xy= 1; y= x lnx, x> 0
7. y′′ −6y′+13y= 0; y= e3x cos2x
8. xd
2y
dx2 +2
dy
dx = 0; y= c1+ c2x
−1
9. x2y′′ −3xy′+4y= 0; y= x2+ x2 lnx , x> 0
11
10. y′′′ −3y′′+3y′ − y= 0; y= x2ex
Exercı´cio 1.3 Verifique se a func¸a˜o definida por partes y=
{
−x2 se x< 0
x2 se x≥ 0
e´ soluc¸a˜o para
a equac¸a˜o diferencial xy′ −2y= 0.
Exercı´cio 1.4 Verifique que uma famı´lia a um paraˆmetro de soluc¸o˜es para
y= xy′+(y′)2 e´ y= cx+ c2.
Determine um valor de k para que y= kx2 seja uma soluc¸a˜o singular para a equac¸a˜o diferen-
cial.
Exercı´cio 1.5 Encontre valores de m para que y = emx seja uma soluc¸a˜o para equac¸a˜o difer-
encial
y′′ −5y′+6y= 0.
Exercı´cio 1.6 Mostre que y1 = x2 e y2 = x3 sa˜o ambas soluc¸o˜es para
x2y′′ −4xy′+6y= 0.
As func¸o˜es c1y1 e c2y2, com c1 e c2 constantes arbitra´rias, sa˜o tambe´m soluc¸o˜es? A soma
y1+ y2 e´ uma soluc¸a˜o?
12
2 PROBLEMA DE VALOR INICIAL
Estamos interessados em resolver equac¸o˜es de primeira ordem que podem ser escritas na
forma
dy
dx = f (x,y)
sujeita a` condic¸a˜o inicial y(x0) = x0, em que x0 e´ um nu´mero no intervalo I e y0 e´ um nu´mero
real arbitra´rio. O problema
Resolva : dydx = f (x,y)
Su jeita a : y(x0) = y0
(2.0.1)
e´ chamado de problema de valor inicial PVI. Em termos geome´tricos, estamos procurando
uma soluc¸a˜o para a equac¸a˜o diferencial, definida em algum intervalo I tal que o gra´fico da
soluc¸a˜o passe por um (x0,y0) determinado a priori.
Exemplo 2.1 Vimos que y= cex e´ uma famı´lia de soluc¸o˜es para dydx = y no intervalo (−∞,∞).
Encontre uma soluc¸a˜o para o problema de valor inicial (PVI).

dy
dx = y
y(0) = 3
.
A questa˜o fundamental surge quando consideramos um problema de valor inicial como
(2.0.1):
Existe uma soluc¸a˜o para o problema?
Se existe uma soluc¸a˜o, ela e´ u´nica?
Em outras palavras, a equac¸a˜o diferencial dydx = f (x,y) possui uma soluc¸a˜o cujo gra´fico
passa pelo ponto (x0,y0)? E sera´ que essa soluc¸a˜o, se existir, e´ u´nica?
Exemplo 2.2 Verifique se cada uma das func¸o˜es y = 0 e y = x
4
16 satisfaz o problema de valor
13
inicial (PVI). 

dy
dx = xy
1/2
y(0) = 0
.
Em geral, deseja-se saber, antes de considerar um problema de valor inicial, se uma soluc¸a˜o
existe e, quando existe, se e´ a u´nica soluc¸a˜o para o problema.
Teorema 2.1 (Existeˆncia de uma U´nica Soluc¸a˜o - Teorema de Picard) Seja R uma regia˜o re-
tangular no plano xy definida por a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d, que conte´m o ponto (x0,y0) em seu
interior. Se f (x,y) e ∂ f
∂y sa˜o contı´nuas em R, enta˜o existe um intervalo I centrado em x0 e uma
u´nica func¸a˜o y(x) definida em I que satisfaz o problema de valor inicial

dy
dx = f (x,y)
y(x0) = y0
. (2.0.2)
Exemplo 2.3 Use o teorema (2.1) para verificar a existeˆncia de uma u´nica soluc¸a˜o para o
problema de valor inicial (PVI) 

dy
dx = xy
1/2
y(x0) = y0
.
Exemplo 2.4 Use o teorema (2.1) para garantir a existeˆncia de uma u´nica soluc¸a˜o para o
problema de valor inicial (PVI) 

dy
dx = y
y(0) = 3
.
Exemplo 2.5 Use o teorema (2.1) para garantir a existeˆncia de uma u´nica soluc¸a˜o para o
problema de valor inicial (PVI) 

dy
dx = x
2+ y2
y(x0) = y0
.
Observac¸a˜o 2.1 Devemos estar cientes da distinc¸a˜o entre a existeˆncia de uma soluc¸a˜o e poder
exibir tal soluc¸a˜o. Evidentemente, se encontrarmos uma soluc¸a˜o exibindo-a, podemos dizer
14
que ela existe, mas, por outro lado, uma soluc¸a˜o pode existir e na˜o ser possı´vel expressa´-la.
Pelo exemplo (2.5), sabemos que uma soluc¸a˜o para o problema

dy
dx = x
2+ y2
y(0) = 1
,
existe em algum intervalo em torno de x= 0 e e´ u´nica. Pore´m, a equac¸a˜o na˜o pode ser resolvida
em termos de func¸o˜es elementares.
Exercı´cio 2.1 Determine uma regia˜o do plano xy para a qual a equac¸a˜o diferencial teria uma
u´nica soluc¸a˜o passando por um ponto (x0,y0) na regia˜o.
1. dydx = y
2/3;
2. xdydx = y ;
3. (4− y2)y′ = x2;
4. (x2+ y2)y′ = y2;
5. dydx = x
3 cosy;
Exercı´cio 2.2 Verifique que y = cx e´ uma soluc¸a˜o para a equac¸a˜o diferencial xy′ = y para
todo valor do paraˆmetro c. Encontre pelo menos duas soluc¸o˜es para o problema de inicial{
xy′ = y
y(0) = 0
. Observe que a func¸a˜o definida por partes y =
{
0 se x< 0
x se x≥ 0
satisfaz a
condic¸a˜o y(0) = 0. Ela e´ uma soluc¸a˜o para o problema de valor inicial?
Exercı´cio 2.3 Verifique se o Teorema (2.1) garante unicidade de soluc¸a˜o para a equac¸a˜o difer-
encial y′ =
√
y2−9, passando pelo ponto dado.
1. (1,4)
2. (2,−3)
15
3 CLASSIFICAC¸A˜O DAS EDO DE PRIMEIRA ORDEM
Apresentadas todas as terminologias necessa´rias, estamos agora aptos para estudar algumas
das equac¸o˜es diferenciais ordina´rias de primeira ordem segundo a classificac¸a˜o do software
Maple 12 e resolveˆ-las.
Se uma equac¸a˜o diferencial de primeira ordem puder ser resolvida, veremos que a te´cnica
ou me´todo para resolveˆ-la depende do tipo da equac¸a˜ode primeira ordem com que estamos
lidando. Durante anos, muitos matema´ticos se esforc¸aram para resolver diversos tipos parti-
culares de equac¸o˜es. Por isso, ha´ va´rios me´todos de soluc¸a˜o: o que funciona para um tipo de
equac¸a˜o de primeira ordem na˜o se aplica necessariamente a outros tipos de equac¸a˜o (??).
Estudaremos alguns tipos de EDO de primeira ordem mostrado na Figura (1), conforme a
classificac¸a˜o do software Maple 12, ou verso˜es superiores.
Figura 1: EDO de primeira ordem.
Iniciaremos nossos estudos com o tipo “Quadrature”.
3.1 QUADRATURA
Comec¸amos nosso estudo sobre a resoluc¸a˜o de equac¸o˜es diferenciais de primeira ordem
F
(
x,y, dydx
)
= 0 (3.1.1)
que pode ser escrita na forma explı´cita
dy
dx = f (x,y) (3.1.2)
16
com a mais simples dentre todas as equac¸o˜es diferenciais, aquela onde f e´ independente da
varia´vel y, isto e´, f (x,y) = h(x). De (3.1.2), temos:
dy
dx = h(x) . (3.1.3)
Resolver esta equac¸a˜o consiste em encontrar uma func¸a˜o cuja derivada seja h(x), isto e´, encon-
trar a primitiva (integral indefinida) de h(x).
Integrando ambos os lados de (3.1.3), ou ainda, usando o primeiro teorema fundamental do
ca´lculo, obtemos
y(x) =
∫
h(x)dx= H(x)+ c
A func¸a˜o y dada desta forma e´ a soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o (3.1.3). Geometricamente, a primitiva
e´ a equac¸a˜o de uma famı´lia de curvas e uma soluc¸a˜o particular e´ a equac¸a˜o de uma dessas curvas.
Estas curvas sa˜o denominadas curvas integrais da equac¸a˜o diferencial. Se f e´ independente da
varia´vel x, isto e´, f (x,y) = g(y), resolvemos de maneira ana´loga, veja .
Definic¸a˜o 3.1 (Equac¸a˜o Quadratura) Uma equac¸a˜o diferencial ordina´ria de primeira ordem
da forma
dy
dx = h(x) (3.1.4)
ou
dy
dx = g(y) (3.1.5)
e´ chamada de quadratura.
Exemplo 3.1 Vamos encontrar a soluc¸a˜o da quadratura, dydx = 2x.
Exemplo 3.2 Considere a equac¸a˜o
dy
dx = y
2−4 , (3.1.6)
classificada como quadratura. Vamos encontrar a sua soluc¸a˜o.
Exercı´cio 3.1 (Quadratura) Ache a soluc¸a˜o geral das equac¸o˜es diferenciais dadas.
1. dydx = sinx;
2. dydx = 1+ e
2x;
17
3.2 VARIA´VEIS SEPARA´VEIS
Considerando a equac¸a˜o diferencial de 1a ordem
dy
dx = f (x,y) (3.2.1)
podemos escrever a func¸a˜o f = f (x,y) como o quociente de duas outras func¸o˜es, a saber, M =
M(x,y) e N = N(x,y), logo:
dy
dx =
M(x,y)
N(x,y)
E´ conveniente manter o sinal negativo no segundo membro da equac¸a˜o, na forma:
dy
dx = −
M(x,y)
N(x,y)
assim podemos escrever a equac¸a˜o (3.2.1) na forma diferencial
M(x,y)dx+N(x,y)dy = 0 (3.2.2)
Exemplo 3.3 Escreva as equac¸o˜es diferenciais a seguir na forma diferencial.
1. dydx = cos(x+ y)
2. dydx =
x−3y
2y−5x
O problema de resolver equac¸o˜es diferenciais de 1a ordem depende da soluc¸a˜o da equac¸a˜o
(3.2.1) ou da soluc¸a˜o da equac¸a˜o (3.2.2).
Se M e´ uma func¸a˜o apenas da varia´vel x, isto e´, M = M(x) e N e´ uma func¸a˜o apenas da
varia´vel y, isto e´ N = N(y), enta˜o a equac¸a˜o (3.2.2) fica na forma
M(x)dx+N(y)dy = 0 (3.2.3)
e ela e´ chamada equac¸a˜o separa´vel.
Definic¸a˜o 3.2 (Equac¸a˜o Separa´vel) Uma equac¸a˜o diferencial de primeira ordem da forma
dy
dx = f (x)g(y) (3.2.4)
e´ chamada de separa´vel ou de varia´veis separa´veis.
Me´todo de soluc¸a˜o: Para resolver a equac¸a˜o (3.2.4), devemos considerar os seguintes
casos:
18
a) Se g(y) = a, onde a e´ constante, temos uma EDO separa´vel que e´, em particular, uma
quadratura. Temos da equac¸a˜o (3.2.4) que
dy
dx = a f (x) . (3.2.5)
Para obter a soluc¸a˜o basta observar como resolvemos (3.1.4). Para reforc¸ar o entendi-
mento veja o exemplo (3.1).
b) Se f (x) = b, onde b e´ constante, temos uma EDO separa´vel que e´, em particular, uma
quadratura conforme (3.1.5). Da equac¸a˜o (3.2.4), temos
dy
dx = bg(y). (3.2.6)
Nesta situac¸a˜o vamos considerar dois casos:
(i) g(y) %= 0;
Ao considerarmos g(y) %= 0, obtemos:
1
g(y)
dy
dx = b∫ dy
g(y) = b
∫
dx∫ dy
g(y) = bx+ c,
que e´ a soluc¸a˜o da equac¸a˜o.
(ii) g(y) = 0.
Se g(y) = 0 significa que existe y0 tal que g(y0) = 0. Logo a soluc¸a˜o e´ y0 = c, onde
c e´ constante. De fato,
d
dx(y0) = 0 = b ·0 = bg(y0).
Concluı´mos que y0 e´ uma soluc¸a˜o singular.
c) Se nem f e nem g forem constantes temos uma equac¸a˜o de varia´vel separa´vel. Para resolver-
mos consideraremos dois casos:
Caso 1: g(y) %= 0;
Se para todo y temos g(y) %= 0. Podemos escrever a equac¸a˜o (3.2.4) da forma
1
g(y)
dy
dx = f (x).
19
Ao calcularmos a integral ∫ dy
g(y) =
∫
f (x)dx+ c .
obtemos a soluc¸a˜o.
Caso 2: g(y) = 0.
Se existe y0 tal que g(y0) = 0. Temos que y0 = c, onde c e´ constante, e´ soluc¸a˜o. De
fato,
d
dx(y0) = 0 = f (x) ·0 = f (x) ·g(y0).
Observac¸a˜o 3.1 Uma equac¸a˜o diferencial de primeira ordem da forma
dy
dx = f (x)g(y) ,
e´ chamada de separa´vel ou de varia´veis separa´veis.
a) Se g(y) = a, onde a e´ constante, temos uma EDO separa´vel que e´, em particular, uma
quadratura.
b) Se f (x) = b temos uma situac¸a˜o ana´loga ao item anterior;
c) Se nem f e nem g forem constantes temos uma equac¸a˜o de varia´vel separa´vel.
Observac¸a˜o 3.2 1. Como este me´todo depende de escrevermos (3.2.1) ou (3.2.2) na forma
(3.2.3), onde as varia´veis esta˜o “separadas” em dois termos, ele e´ chamado de Me´todo
de Separac¸a˜o de Varia´veis, e as varia´veis sa˜o ditas separa´veis.
2. Na˜o se deve memoriar a fo´rmula obtida no final. O que fizemos aqui foi mostrar o cami-
nho que deve ser seguido para resolver uma “equac¸a˜o separa´vel”.
3. Na˜o ha´ necessidade de usar duas constantes na integrac¸a˜o de uma equac¸a˜o separa´vel,
pois ∫
N(y)dy+ c1 =
∫ −M(x)dx+ c2∫
N(y)dy = ∫ −M(x)dx+ c2− c1∫
N(y)dy = ∫ −M(x)dx+ c
Apresentaremos agora alguns exemplos para melhor entendimento.
20
Exemplo 3.4 Considere a EDO
dy
dx = x(y−1).
Vamos encontrar sua soluc¸a˜o.
Exemplo 3.5 (Equac¸a˜o Separa´vel) Encontre a soluc¸a˜o
1. Da equac¸a˜o diferencial xy4dx+(y2+2)e−3xdy = 0 .
2. Do PVI


dy
dx =
−x
y
y(4) = 3
.
Exercı´cio 3.2 1. Encontre a soluc¸a˜o geral da
dy
dx =
x2+1
2− y (3.2.7)
2. Determine a soluc¸a˜o particular para a qual y(−3) = 4.
Exercı´cio 3.3 Resolva a xdydx − y= 2x
2y
Exercı´cio 3.4 Resolva a xe−y sinxdx− ydy= 0
Exercı´cio 3.5 Resolva a equac¸a˜o diferencial dada por separac¸a˜o de varia´vel.
1. dydx = sin5x.
2. dx+ e3xdy= 0 .
3. (x+1)dydx = x+6 .
4. xdydx = 4y .
5. dydx =
y3
x2
6. dxdy =
x2y2
1+ x .
7. dydx = e
3x+2y .
8. 2y(x+1)dy= xdx.
21
9. y lnxdxdy =
(y+1
x
)2
.
10. dSdr = kS.
11. dPdt = P−P
2 .
12. sec2 xdy+ cscydx= 0 .
13. ey sin2xdx+ cosx(e2y− y)dy= 0 .
Exercı´cio 3.6 Resolva a equac¸a˜o diferencial dada sujeita a` condic¸a˜o inicial indicada.
1.
{
(e−y+1)sinxdx = (1+ cosx)dy
y(0) = 0
2.
{
ydy = 4x(y2+1)1/2dx
y(0) = 1
3.


dx
dy = 4(x
2+1)
x
(π
4
)
= 1
4.
{
x2y′ = y− xy
y(−1) = −1
Exercı´cio 3.7 Encontre uma soluc¸a˜o para a equac¸a˜o diferencial dydx−y
2 =−9 que passe pelos
pontos indicados.
1. (0,0)
2. (0,3)
3.
(1
3 ,1
)
Mudanc¸a de Varia´veis
Como uma equac¸a˜o diferencial cujas varia´veis sa˜o separa´veis e´ fa´cil de resolver, surge enta˜o
a seguinte pergunta:
“Existem outros tipos de equac¸o˜es diferenciais cujas varia´veis na˜o sa˜o separa´veis mas que
podem ser transformadas em equac¸o˜es cujas varia´veis sa˜o separa´veis?”
22
A resposta, a esta pergunta e´ “sim”. De fato, uma das maneiras mais importantes de resolver
uma equac¸a˜o diferencial dada e´ fazer uma mudanc¸a de varia´vel conveniente, que reduza a
equac¸a˜o num tipo que possamos resolver. E´ uma situac¸a˜o semelhante a que usamos em ca´lculo
I para resolver integrais por meio de uma mudanc¸a de varia´veis. Em alguns casos a mudanc¸ade
varia´veis a ser usada e´ sugerida pela forma da equac¸a˜o. Em outros casos a transformac¸a˜o na˜o e´
ta˜o o´bvia.
3.3 EQUAC¸O˜ES HOMOGEˆNEAS
Antes de considerar o conceito de equac¸a˜o diferencial homogeˆnea de primeira ordem e
seu me´todo de soluc¸a˜o, precisamos primeiro examinar a natureza de uma func¸a˜o homogeˆnea.
Comec¸amos com a definic¸a˜o deste conceito.
Definic¸a˜o 3.3 (Func¸a˜o Homogeˆnea) Se uma func¸a˜o f satisfaz
f (tx, ty) = tn f (x,y) (3.3.8)
para algum nu´mero real n, enta˜o dizemos que f e´ uma func¸a˜o homogeˆnea de grau n.
Exemplo 3.6 Dadas as func¸o˜es abaixo vamos determinar se elas sa˜o homogeˆneas e especificar
o grau de homogeneidade, quando for o caso.
1. f (x,y) = x2−3xy+5y2
2. f (x,y) = 3
√
x2+ y2
3. f (x,y) = x3+ y3+1
4. f (x,y) = x2y +4
Seja f (x,y) uma func¸a˜o homogeˆnea de grau n, ou seja,
f (tx, ty) = tn f (x,y) ,
podemos escrever
f (x,y) =
(1
t
)n
f (tx, ty) . (3.3.9)
23
Fazendo tx= 1 temos x= 1t e t =
1
x . De (3.3.9), obtemos:
f (x,y) = xn f
(
1, yx
)
. (3.3.10)
Fazendo ty= 1 temos y= 1t e t =
1
y . Substituindo em (3.3.9), obtemos:
f (x,y) = yn f
(x
y ,1
)
. (3.3.11)
E´ importante observar que f
(
1, yx
)
e f
(x
y ,1
)
sa˜o ambas homogeˆneas de grau zero.
Uma equac¸a˜o diferencial homogeˆnea de primeira ordem e´ definida em termos das func¸o˜es
homogeˆneas.
Definic¸a˜o 3.4 (Equac¸a˜o Homogeˆnea) Uma equac¸a˜o diferencial da forma
M(x,y)dx+N(x,y)dy= 0
e´ chamada de homogeˆnea se ambos os coeficientes M e N sa˜o func¸o˜es homogeˆneas do mesmo
grau.
Em outras palavras,
M(x,y)dx+N(x,y)dy= 0
e´ homogeˆnea se
M(tx, ty) = tnM(x,y) e N(tx, ty) = tnN(x,y)
ou ainda,
M(x,y) = xnM
(
1, yx
)
e M(x,y) = ynM
(x
y ,1
)
e
N(x,y) = xnN
(
1, yx
)
e N(x,y) = ynN
(x
y ,1
)
3.3.1 Equac¸o˜es Homogeˆneas de Classe A
Uma equac¸a˜o diferencial homogeˆnea pode sempre ser expressa na forma alternativa
dy
dx = f
(y
x
)
24
ou
dy
dx = g
(x
y
)
.
Para ver isso, consideramos a equac¸a˜o homogeˆnea M(x,y)dx+N(x,y)dy= 0 e escrevemos na
forma, dydx = f (x,y), onde
f (x,y) =−M(x,y)N(x,y) .
Sabendo queM e N sa˜o homogeˆneas de grau n, observamos que f (x,y) deve ser necessari-
amente homogeˆnea de grau zero e
f (x,y) =−x
nM(1, yx)
xnN(1, yx)
=−M(1,
y
x)
N(1, yx)
.
A u´ltima raza˜o e´ uma func¸a˜o da forma f
(y
x
)
. Analogamente,
f (x,y) =−
ynM(xy ,1)
ynN(xy ,1)
=−
M(xy ,1)
N(xy ,1)
.
A u´ltima raza˜o e´ uma func¸a˜o da forma g
(x
y
)
.
Definic¸a˜o 3.5 (Equac¸a˜o Homogeˆnea de Classe A) A forma geral de uma equac¸a˜o homogeˆnea
de classe A e´ dada por
dy
dx = f
(y
x
)
(3.3.12)
ou
dy
dx = g
(x
y
)
(3.3.13)
onde f
(y
x
)
e g
(x
y
)
sa˜o func¸o˜es arbitra´rias.
Me´todo de soluc¸a˜o: O me´todo consiste em transformar a EDO homogeˆnea de Classe A,
em uma equac¸a˜o de varia´veis separa´veis com a substituic¸a˜o y(x)x = u(x) , ou de uma forma
mais simples yx = u , onde u= u(x) e´ uma nova func¸a˜o inco´gnita.
Dada a equac¸a˜o homogeˆnea M(x,y)dx+N(x,y)dy= 0, podemos escreveˆ-la na forma
dy
dx = f
(y
x
)
.
25
Fazendo yx = u, temos
y = ux
⇒ dydx = u+ x
du
dx
podemos enta˜o separar as varia´veis
u+ xdudx = f (u)
ou ainda,
xdudx = f (u)−u. (3.3.14)
onde temos dois casos, a considerar:
Caso 1: f (u)−u %= 0;
Se f (u)−u %= 0 podemos escrever (3.3.14) da seguinte forma
1
f (u)−udu =
dx
x , .
Integrando, ambos os membros, obtemos∫ 1
f (u)−udu =
∫ dx
x
ou ainda, ∫ du
f (u)−u = lnx+ c
⇒ lnx− lnc =
∫ 1
f (u)−udu
⇒ ln xc =
∫ 1
f (u)−udu
⇒ xc = e
∫ 1
f (u)−udu
isolando x,
x = ce
∫ 1
f (u)−udu.
Fazendo
φ(u) =
∫ 1
f (u)−udu
obtemos
x = ceφ(u).
26
Como y
x = u
⇒ y = ux
⇒ y = cueφ(u)
Portanto, obtemos {
x = ceφ(u)
y = cueφ(u)
(3.3.15)
que sa˜o as curvas de equac¸o˜es parame´tricas que sa˜o as soluc¸o˜es para a equac¸a˜o diferencial
homogeˆnea de Classe A para cada c ∈ IR.
Caso 2: f (u)−u= 0.
Suponhamos que existe algum u0 tal que f (u0) = u0. Neste caso, e´ imediato comprovar
que a reta y= u0x e´ soluc¸a˜o da equac¸a˜o diferencial (3.3.12), pois:
dy
dx = u0.1= u0 = f (u0) = f
(y
x
)
.
A reta y= u0x e´ a soluc¸a˜o singular da equac¸a˜o (3.3.12).
Apresentaremos agora um exemplo de EDO homogeˆnea de Classe A.
Exemplo 3.7 Resolva a equac¸a˜o homogeˆnea de classe A
dy
dx =
2xy− y2
x2 .
3.3.2 Equac¸o˜es Homogeˆneas de ClasseC.
Definiremos a seguir uma Equac¸a˜o Homogeˆnea de Classe C.
Definic¸a˜o 3.6 (Equac¸a˜o Homogeˆnea de ClasseC) A forma geral de uma equac¸a˜o homogeˆnea
de classe C e´ dada por
dy
dx = f
(ax+by+ c
rx+ sy+ t
)
onde f e´ uma func¸a˜o arbitra´ria e a, b, c, r, s e t sa˜o constantes.
Me´todo de Soluc¸a˜o:
Consideremos a equac¸a˜o da forma
dy
dx = f
(ax+by+ c
rx+ sy+ t
)
27
onde a, b, c, r, s e t sa˜o constantes. Para esse tipo de equac¸a˜o temos dois casos a considerar:
Caso 1: O
∣∣∣∣∣ a br s
∣∣∣∣∣ e´ diferente de zero.
Suponhamos em primeiro lugar que o
∣∣∣∣∣ a br s
∣∣∣∣∣ %= 0, ou seja, que as retas ax+by+c= 0 e
rx+ sy+ t = 0 se interceptam em um ponto (α;β ), ou ainda, ao considerarmos o sistema
{
ax+by+ c = 0
rx+ sy+ t = 0
(3.3.16)
temos como soluc¸a˜o x= α e y= β .
Fazendo {
x = u+α
y = v+β
(3.3.17)
e substituindo no sistema (3.3.16), temos
dv
du = f
(a(u+α)+b(v+β )+ c
r(u+α)+ s(v+β )+ t
)
que pode ser escrita como
dv
du = f
(au+bv+aα+bβ + c
ru+ sv+ rα+ sβ + t
)
.
Como (α,β ) e´ soluc¸a˜o do sistema, temos
dv
du = f
(au+bv
ru+ sv
)
.
Obtemos assim uma equac¸a˜o homogeˆnea de classe A,
dv
du = f
(
a+b
( v
u
)
r+ s
( v
u
)
)
,
para resolvermos essa equac¸a˜o basta observamos (3.3.13). Observamos que, geometri-
camente, equivale a uma translac¸a˜o dos eixos coordenados para o ponto (α,β ) que e´ a
intersec¸a˜o das retas componentes do sistema, o que e´ verdadeiro, uma vez que o determi-
nante considerado e diferente de zero.
28
Caso 2: O
∣∣∣∣∣ a br s
∣∣∣∣∣ e´ igual a zero.
Suponhamos agora, que o
∣∣∣∣∣ a br s
∣∣∣∣∣= 0, ou seja, que as retas ax+by+c= 0 e rx+sy+t =
0 sejam paralelas distintas, ou seja, a soluc¸a˜o do sistema e´ vazia. Isto implica que o
me´todo aplicado no primeiro caso na˜o faz sentido.
Como
∣∣∣∣∣ a br s
∣∣∣∣∣= 0 , os coeficentes de x e y sa˜o proporcionais, de modo que se podemos
escrever as= rb, ou ainda,
s
b =
r
a . (3.3.18)
Chamando a relac¸a˜o de m, temos:
s
b =
r
a = m %=
c
t (3.3.19)
logo
s
b = m⇒ s= bm
e
r
a = m⇒ r = am.
Como
dy
dx = f
(ax+by+ c
rx+ sy+ t
)
e substituindo as relac¸o˜es anteriores nesse sistema, obtemos
dy
dx = f
( ax+by+ c
m(ax+by)+ t
)
(3.3.20)
Fazendo ax+by= z, e sendo z= g(x), temos
y= 1b(z−ax). (3.3.21)
Derivando (3.3.21) em relac¸a˜o a x, obtemos
dy
dx =
1
b
(dz
dx −a
)
(3.3.22)
Substituindo as equac¸o˜es (3.3.21) e (3.3.22) na equac¸a˜o (3.3.20), temos:
1
b
(dz
dx −a
)
= f
( z+ c
mz+ t
)
29
o que implica em
dz
dx = a+b f
( z+ c
mz+ t
)
que e´ uma EDO de varia´veis separa´veis. Para resolvermos esta equac¸a˜o basta observar
(3.2.4).
Apresentamos a seguir um exemplo de uma EDO homogeˆnea de classeC.
Exemplo 3.8 Resolva as equac¸o˜es diferenciais homogeˆneas de classe C.
1. dydx =
2x−3y−1
3x+ y−2 ;
2. dydx =
x− y−1
x− y−2 .
Exercı´cio 3.8 Resolva as equac¸o˜es diferenciais homogeˆneas de classe C.
1. dydx =
2x−3y
3x− y−1 ;
2. dydx =
x+2y−4
2x+1y−5 .
3. dydx =
2x− y+1
6x−3y−1 ;
4. dydx =
−2x−3y+1
2x+3y+2 .
3.3.3 Equac¸o˜es Homogeˆneas de Classe D
Definic¸a˜o 3.7 (Equac¸a˜o Homogeˆnea de Classe D) A forma geral de uma equac¸a˜o homogeˆnea
de classe D e´ dada pordy
dx =
y
x +g(x) f
(y
x
)
(3.3.23)
onde f e g sa˜o func¸o˜es arbitra´rias.
Me´todo de Soluc¸a˜o: Fazendo
y
x = u (3.3.24)
30
temos
y = u · x
⇒ dydx = u
dx
dx + x
du
dx
.
Daı´
dy
dx = u+ x
du
dx (3.3.25)
que e´ uma equac¸a˜o de varia´veis separa´veis.
Substituindo (3.3.24) e (3.3.25) em (3.3.23), temos
xdudx = g(x) f (u). (3.3.26)
Temos dois casos, a considerar:
Caso 1: f (u) %= 0
Se f (u) %= 0 podemos escrever (3.3.26) da forma
1
f (u)du=
1
xg(x)dx
e, integrando, ∫ 1
f (u)du=
∫ 1
xg(x)dx+ c
obtemos a soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o diferencial.
Caso 2: f (u) = 0
Suponhamos que existe algum u0 tal que f (u0) = 0. Neste caso, e´ imediato comprovar
que a reta, y= u0x, e´ soluc¸a˜o da equac¸a˜o diferencial (3.3.23), pois
y
x +g(x) f
(y
x
)
=
u0x
x +g(x) f (u0) = u0+g(x) ·0= u0 =
dy
dx .
Temos que y= u0x e´ chamada de soluc¸a˜o soluc¸a˜o singular da EDO.
Exemplo 3.9 Vamos aplicar o me´todo de soluc¸a˜o para resolver a equac¸a˜o diferencial ho-
mogeˆnea de classe D
xdydx − y=
2x3
y e
y
x .
31
3.3.4 Equac¸o˜es Homogeˆneas de Classe G
Seja a equac¸a˜o
dy
dx = f (x,y), (3.3.27)
onde f satisfaz a condic¸a˜o
f (λx,λαy) = λα−1 f (x,y)
para algum α , ou ainda,
f (x,y) = 1
λα−1
f (λx,λαy).
Note em primeiro lugar que, quando α = 0 e λ = x−1, temos:
dy
dx = f (x,y) =
1
(x−1)0−1 f
(
x−1x,(x−1)0y
)
= x−1 f (1,y)
enta˜o
xdydx = f (1,y)
que e´ uma EDO Separa´vel, veja equac¸a˜o (3.2.4).
Se α = 1 e λ = x−1, temos:
dy
dx = f (x,y) =
1
(x−1)1−1 f
(
x−1x,(x−1)1y
)
=
1
(x−1)0 f
(
1, yx
)
= f
(
1, yx
)
ou seja,
dy
dx = f
(
1, yx
)
que e´ uma Equac¸a˜o Homogeˆnea de Classe A, veja definic¸a˜o (3.5).
Em outros casos, fazendo
y = (ux)α (3.3.28)
temos
dy
dx = α(ux)
α−1 (u+ xdudx) (3.3.29)
Substituindo (3.3.28) e (3.3.29) em (3.3.27), temos:
α(ux)α−1
(
u+ xdudx
)
= f (x,(ux)α)
daı´,
u+ xdudx =
1
α
( 1
ux
)α−1
f (x,(ux)α)
32
ou ainda,
u+ xdudx =
1
α
f
( 1
uxx,
( 1
ux
)α
(ux)α
)
logo
u+ xdudx =
1
α
f
(1
u ,1
)
que e´ uma EDO Separa´vel, veja equac¸a˜o (3.2.4).
Temos
dy
dx = f (x,y) = f
(
x,xα yxα
)
= xα−1 f
(
1, yxα
)
= xα−1h
( y
xα
)
onde λ = x e x= 1.
Observac¸a˜o 3.3 Se a equac¸a˜o dydx = f (x,y) e´ tal que para algum α %= 0, f satisfaz
f (λx,λαy) = λα−1 f (x,y)
enta˜o a mudanc¸a y= (ux)α transforma a equac¸a˜o em uma EDO Separa´vel. Se α = 1 e λ = x−1
a equac¸a˜o e´ Homogeˆnea de Classe A. Tambe´m, se f satisfaz a relac¸a˜o para α = 0 e λ = x−1,
a EDO e´ separa´vel.
Definic¸a˜o 3.8 (Equac¸a˜o Homogeˆnea de Classe G) A forma geral de uma equac¸a˜o homogeˆnea
de classe G e´ dada por
dy
dx =
y
xF
( y
xα
)
(3.3.30)
onde F e´ uma func¸a˜o arbitra´ria.
Me´todo de Soluc¸a˜o: Considerando
y = (ux)α (3.3.31)
temos
dy
dx = α(ux)
α−1
(
u+ xdudx
)
. (3.3.32)
Substituindo (3.3.31) e (3.3.32) em (3.3.30), temos
α(ux)α−1
(
u+ xdudx
)
=
(ux)α
x F
(
(ux)α
xα
)
,
que acarreta em,
u+ xdudx =
1
α
(ux)−α+1 (ux)
α
x F(u
α),
ou ainda,
u+ xdudx =
u
α
F(uα).
33
o que acarreta, em
xdudx =−u+
u
α
F(uα),
que e´ uma EDO Separa´vel.
Vamos resolver um exemplo de uma EDO Homogeˆnea de Classe G.
Exemplo 3.10 Neste exemplo resolveremos a EDO Homogeˆnea de Classe G
dy
dx =
y
2x −
3√x
y2
3.3.5 Equac¸o˜es Homogeˆneas de Classe B
Definic¸a˜o 3.9 (Equac¸a˜o Homogeˆnea de Classe B) A forma geral de uma equac¸a˜o homogeˆnea
de classe B e´ dada por
F
(dy
dx ,
y
x
)
= 0.
Me´todo de Soluc¸a˜o:
Para resolvermos esta equac¸a˜o vamos considerar a curva F(α,β )= 0. Suponhamos, tambe´m,
que temos uma representac¸a˜o parame´trica da curva dada por α = ψ(t) e β = ϕ(t), isto e´, que
satisfaz
F(ψ(t),ϕ(t)) = 0
Fac¸amos agora,
y
x = ϕ(t)
e levamos em considerac¸a˜o que dydx = ψ(t).
Se derivarmos y= xϕ(t) em relac¸a˜o a x, obtemos
dy
dx = ϕ(t)+ xϕ
′(t) dtdx .
Como dydx = ψ(t), temos
ψ(t) = ϕ(t)+ xϕ ′(t) dtdx
⇒ ψ(t)−ϕ(t) = xϕ ′(t) dtdx
que e´ uma EDO de varia´veis separa´veis.
Devemos considerar os seguintes casos:
34
Caso 1: ψ(t)−ϕ(t) %= 0;
Se ψ(t)−ϕ(t) %= 0 temos
dx
x =
ϕ ′(t)
ψ(t)−ϕ(t)dt∫ dx
x =
∫
ϕ ′(t)
ψ(t)−ϕ(t)dt+ c
lnx =
∫
ϕ ′(t)
ψ(t)−ϕ(t)dt+ c
x = e
∫ ϕ′(t)
ψ(t)−ϕ(t)dt+c
x = e
∫ ϕ′(t)
ψ(t)−ϕ(t)dt · ec
x = ce
∫ ϕ′(t)
ψ(t)−ϕ(t)dt
x = ceφ(t)
onde φ(t) =
∫
ϕ ′(t)
ψ(t)−ϕ(t) . Como y= xϕ(t), temos y= cϕ(t)e
φ(t).
Portanto, obtemos a soluc¸a˜o {
x = ceφ(t)
y = cϕ(t)eφ(t)
na forma parame´trica, onde c ∈ IR.
Caso 2: ψ(t)−ϕ(t) = 0;
Se ψ(t)−ϕ(t) = 0 enta˜o existe algum t0 tal que ψ(t0) = ϕ(t0). Temos que y= xϕ(t0) e´
soluc¸a˜o da EDO. De fato,
F
(dy
dx ,
y
x
)
= F
( d
dx(xϕ(t0)),
xϕ(t0)
x
)
= F
( d
dx(xϕ(t0)),
xϕ(t0)
x
)
= F (ϕ(t0),ϕ(t0))
= F (ϕ(t0),ψ(t0))
= 0.
Concluı´mos que a reta y= xϕ(t0) e´ soluc¸a˜o da EDO.
35
3.4 EQUAC¸O˜ES EXATAS
Embora a EDO seja
ydx+ xdy= 0
seja Separa´vel e Homogeˆnea, podemos ver que ela e´ tambe´m equivalente a` diferencial do pro-
duto de x e y, isto e´
d(xy) = ydx+ xdy= 0.
Por integrac¸a˜o, obtemos imediatamente a soluc¸a˜o xy= c.
Voceˆ deve se lembrar do ca´lculo que, se z = f (x,y) e´ uma func¸a˜o com derivadas parciais
contı´nuas em uma regia˜o R do plano xy, enta˜o sua diferencial total e´
dz= ∂ f
∂x dx+
∂ f
∂y dy.
Agora, se f (x,y) = c, segue-se que
∂ f
∂x dx+
∂ f
∂y dy= 0
Em outras palavras, dada uma famı´lia de curvas f (x,y) = c, podemos gerar uma equac¸a˜o
diferencial de primeira ordem, calculando a diferencial total.
Exemplo 3.11 Dada f (x,y) = x2−5xy+ y3 = c encontraremos dydx. Para isso, basta calcular
a diferencial total.
Para nossos propo´sitos, e´ mais importante inverter o problema, isto e´, dada uma equac¸a˜o
como
dy
dx =
5y−2x
−5x+3y2 , (3.4.33)
queremos encontrar uma func¸a˜o, neste caso f (x,y) = x2−5xy+ y3, onde
d(x2−5xy+ y3) = 0.
Observac¸a˜o 3.4 Note que a equac¸a˜o (3.4.33) na˜o e´ separa´vel nem homogeˆnea.
Definic¸a˜o 3.10 (Equac¸a˜o Exata) Uma expressa˜o diferencial
M(x,y)dx+N(x,y)dy
36
e´ uma diferencial exata em uma regia˜o R do plano xy se ela corresponde a` diferencial total de
algum func¸a˜o f (x,y). Uma equac¸a˜o diferencial da forma
M(x,y)dx+N(x,y)dy= 0
e´ chamada de uma equac¸a˜o exata se a expressa˜o do lado esquerdo e´ uma diferencial exata.
Exemplo 3.12 Dada a func¸a˜o f (x,y) = x3y3 = c, observe que, a equac¸a˜o x2y3dx+x3y2dy= 0
e´ exata.
O teorema a seguir e´ um teste para uma diferencial exata.
Teorema 3.1 (Crite´rio para umaDiferencial Exa ta) SejamM(x,y) e N(x,y) func¸o˜es contı´nuas
com derivadas parciais contı´nuas em uma regia˜o retangular R definida por a< x< b, c< y< d.
Enta˜o, uma condic¸a˜o necessa´ria e suficiente para que
M(x,y)dx+N(x,y)dy= 0
seja uma diferencial exata e´
∂M
∂y =
∂N
∂x
Prova de que a Condic¸a˜o e´ necessa´ria: Para simplificar, suponha que M(x,y) e N(x,y) tenham
derivadas parciais de primeira ordem contı´nuas em todo plano (x,y). Agora, se a expressa˜o
M(x,y)dx+N(x,y)dy e´ exata, existe algum func¸a˜o f tal que
M(x,y)dx+N(x,y)dy= ∂ f
∂x dx+
∂ f
∂y dy
para todo (x,y) em R. Logo,
M(x,y) = ∂ f
∂x , N(x,y) =
∂ f
∂y ,
e
∂M
∂y =
∂
∂y
(
∂ f
∂x
)
=
∂ 2 f
∂y∂x =
∂
∂x
(
∂ f
∂y
)
=
∂N
∂x .
A igualdade das derivadas parciais mistas e´ uma consequeˆncia da continuidade das derivadas
parciais de primeira ordem de M(x,y) e N(x,y).
A prova de que a condic¸a˜o do teorema (3.1) e´ suficiente consiste em mostrar que existe uma
func¸a˜o f tal que ∂ f
∂x =M(x,y) e
∂ f
∂y = N(x,y). A construc¸a˜o de tal func¸a˜o na verdade reflete
um procedimento ba´sica na resoluc¸a˜opara equac¸o˜es exatas.
37
Me´todo de Soluc¸a˜o: Dada a equac¸a˜o
M(x,y)dx+N(x,y)dy= 0
mostre primeiro que
∂M
∂y =
∂N
∂x .
Depois suponha que
∂ f
∂x =M(x,y),
daı´ podemos encontrar f integrando M(x,y) com relac¸a˜o a x, considerando y constante. Es-
crevemos,
f (x,y) =
∫
M(x,y)dx+g(y), (3.4.34)
em que a func¸a˜o arbitra´ria g(y) e´ a constante de integrac¸a˜o. Agora, derivando (3.4.34) com
relac¸a˜o a y e supondo ∂ f
∂y = N(x,y):
∂ f
∂y =
∂
∂y
∫
M(x,y)dx+g′(y) = N(x,y).
Assim
g′(y) = N(x,y)− ∂
∂y
∫
M(x,y)dx (3.4.35)
Finalmente, integre (3.4.35) com relac¸a˜o a y e substitua o resultado em (3.4.34). A soluc¸a˜o
para a equac¸a˜o e´ f (x,y) = c.
Exemplo 3.13 Resolva a EDO
(1−2x2−2y)dydx = 4x
3+4xy.
Algumas vezes, e´ possı´vel convertermos uma equac¸a˜o diferencial na˜o exata em uma equac¸a˜o
exata multiplicando-a por uma func¸a˜o µ(x,y) chamada “fator de integrac¸a˜o”.
Definic¸a˜o 3.11 (Fator de Integrac¸a˜o) Se
M(x,y)dx+N(x,y)dy= 0
e´ multiplicada por µ(x,y) para obter
µ(x,y)M(x,y)dx+µ(x,y)N(x,y)dy= 0
38
cujo membro esquerdo e´ uma diferencial exata, dizemos que obtivemos uma equac¸a˜o diferencial
exata. A func¸a˜o de multiplicac¸a˜o µ e´ chamada fator de integrac¸a˜o da equac¸a˜o diferencial
M(x,y)dx+N(x,y)dy= 0.
Dada a equac¸a˜o na˜o exata
M(x,y)dx+N(x,y)dy= 0 (3.4.36)
queremos determinar um fator de integrac¸a˜o µ , onde supomos que µ depende apenas de uma
varia´vel. Temos dois casos, a considerar:
1. µ = µ(x)
Como µ e´ um fator de integrac¸a˜o para (3.4.36), ao multiplicarmos por µ , obtemos uma
equac¸a˜o exata da forma
µ(x)M(x,y)dx+µ(x)N(x,y)dy= 0
assim
∂ (µM)
∂y =
∂ (µN)
∂x ,
daı´
µMy = µxN+µNx
⇒ µMy−µNx = µxN
⇒ (My−Nx)µ = µxN
⇒ µx
µ
=
My−Nx
N , N %= 0.
⇒
∫
µx
µ
=
∫ My−Nx
N
⇒ lnµ =
∫ My−Nx
N .
Obtemos o fator de integrac¸a˜o µ , que e´ dado por
µ(x) = e
∫ My−Nx
N dx , N %= 0. (3.4.37)
2. µ = µ(y)
Raciocinando de forma ana´loga ao item anterior obtemos,
µ(y) = e
∫ Nx−My
M dy , M %= 0.
Para melhor entendimento, apresentaremos os exemplos a seguir.
39
Exemplo 3.14 Dada a EDO
(x+ y)dx+ x lnxdy= 0,
encontraremos a sua soluc¸a˜o.
Exemplo 3.15 Resolva x2y3dx+ x3y2dy= 0.
Exercı´cio 3.9 Resolva (5y−2x)dx+(5x−3y2)dy= 0.
Exercı´cio 3.10 1. Resolva 2xydx+(x2−1)dy= 0.
2. Resolva o problema de valor inicial (PVI).{
(cosxsinx− xy2)dx+ y(1− x2)dy = 0
y(0) = 2
3. Resolva (e2y− ycosxy)dx+(2xe2y− xcosxy+2y)dy= 0.
Exercı´cio 3.11 Calcule o fator integrante( µ(x) e µ(y))
1. ey(x2+1)dx−2dy= 0;
2. (x+2y)dx− xdy= 0;
3. (√x+ y−3)dx− xdy= 0.
3.5 EQUAC¸O˜ES LINEARES
No capı´tulo (1) sec¸a˜o (1.1.3), definimos a forma geral para uma equac¸a˜o diferencial de
ordem n, como
an
dny
dxn +an−1(x)
dn−1y
dxn−1 + · · ·+a1(x)
dy
dx +a0(x)y= g(x)
Lembre-se de que linearidade em y significa que todos os coeficientes sa˜o func¸o˜es de x
somente e que y e todas as suas derivadas sa˜o elevadas a` primeira poteˆncia. Agora, quando
n= 1, obtemos uma “EDO linear de Primeira Ordem”,
a1(x)
dy
dx +a0(x)y= g(x).
40
Dividindo pelo coeficiente a1(x), temos
dy
dx +P(x)y= f (x) (3.5.38)
onde P(x) = a0(x)a1(x) e f (x) =
g(x)
a1(x)
.
Definic¸a˜o 3.12 (Equac¸a˜o Linear) Uma equac¸a˜o diferencial da forma
dy
dx +P(x)y= f (x) (3.5.39)
e´ chamada de equac¸a˜o linear.
Me´todo de Soluc¸a˜o: Usando diferenciais, podemos escreveˆ-la, como
dy+[P(x)y− f (x)]dx= 0. (3.5.40)
Equac¸o˜es lineares possuem a agrada´vel propriedade atrave´s da qual podemos sempre en-
contrar uma func¸a˜o µ(x) em que
µ(x)dy+µ(x)[P(x)y− f (x)]dx= 0, (3.5.41)
e´ uma equac¸a˜o diferencial exata. Logo
∂
∂x(µ(x)) =
∂
∂y [µ(x)(P(x)y− f (x))] (3.5.42)
enta˜o
dµ
dx = µ(x)P(x).
Esta e´ uma equac¸a˜o separa´vel em que podemos determinar µ(x). Sendo µ(x) %= 0, temos
dµ
µ(x) = P(x)dx. (3.5.43)
Enta˜o
lnµ =
∫
P(x)dx (3.5.44)
assim
µ(x) = e
∫ P(x)dx (3.5.45)
A func¸a˜o µ(x) definida em (3.5.45) e´ um fator de integrac¸a˜o para a equac¸a˜o linear (3.5.39).
Note que na˜o precisamos usar uma constante de integrac¸a˜o em (3.5.44), pois (3.5.42) na˜o se
41
altera se multiplicarmos por uma constante. Observe que µ(x) %= 0 para todo x em I.
Multiplicando a equac¸a˜o (3.5.39) por (3.5.45), obtemos
e
∫ P(x)dx[dy
dx +P(x)y
]
= e
∫ P(x)dx f (x), (3.5.46)
daı´
d
dx
[
e
∫ P(x)dxy
]
= e
∫ P(x)dx f (x). (3.5.47)
Integrando esta equac¸a˜o, obtemos
y= e−
∫ P(x)dx ∫ e∫ P(x)dx f (x)dx+ ce−∫ P(x)dx. (3.5.48)
Em outras palavras, se (3.5.39) tiver uma soluc¸a˜o, ela devera´ ser da forma (3.5.48). Reci-
procamente, e´ imediato que (3.5.48) constitui uma famı´lia a um paraˆmetro de soluc¸o˜es para a
equac¸a˜o (3.5.39).
Observac¸a˜o 3.5 Uma equac¸a˜o diferencial da forma
dy
dx +P(x)y= f (x) (3.5.49)
e´ chamada de equac¸a˜o linear.
a) Se P(x) = 0 temos, em particular, uma EDO Quadratura. Veja (3.1.4);
b) Se f (x) = 0 temos, em particular, uma EDO separa´vel. Veja (3.2.4);
b) Se f e P forem constantes, temos uma EDO Quadratura. Veja (3.1.4);
Exemplo 3.16 Dada a equac¸a˜o diferencial
dy
dx −
4
xy = x
5ex (3.5.50)
vamos obter sua soluc¸a˜o.
Soluc¸a˜o Geral - Por hipo´tese P(x) e f (x) sa˜o contı´nuas em um intervalo I e x0 e´ um ponto
desse intervalo. Enta˜o, segue-se do Teorema 2.1 que existe uma u´nica soluc¸a˜o para o problema
de valor inicial 

dy
dx +P(x)y = f (x)
y(x0) = y0
(3.5.51)
42
Mas vimos antes que (3.5.39) possui uma famı´lia de soluc¸o˜es e que toda soluc¸a˜o para a
equac¸a˜o no intervalo I tem a forma (3.5.48). Logo, obter a soluc¸a˜o para (3.5.51) e´ uma simples
questa˜o de encontrar um valor apropriado de c em (3.5.48). Consequentemente estamos certos
em chamar (3.5.48) de soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o diferencial. Voceˆ deve se lembrar de que em
va´rias ocasio˜es encontramos soluc¸o˜es singulares para equac¸o˜es na˜o lineares. Isso na˜o pode
acontecer no caso de uma equac¸a˜o linear em que P(x) e f (x) sa˜o contı´nuas.
Exemplo 3.17 Resolva o problema de valor inicial (P.V.I)

dy
dx +2xy = x
y(0) = −3
(3.5.52)
Exercı´cio 3.12 1. Encontre a soluc¸a˜o geral para
(x2+9)dydx + xy= 0
2. Resolva o problema de valor inicial (P.V.I)
 x
dy
dx + y = 2x
y(1) = 0
(3.5.53)
3. Resolva o problema de valor inicial (P.V.I)

dy
dx =
1
x+ y2
y(−2) = 0
(3.5.54)
4. Encontre uma soluc¸a˜o contı´nua satisfazendo

dy
dx + y = f (x)
y(0) = 0
(3.5.55)
em que f (x) =
{
1 se 0≤ x≤ 1
0 se x> 1
3.6 EQUAC¸A˜O DE BERNOULLI
Definic¸a˜o 3.13 (Equac¸a˜o de Bernoulli) A equac¸a˜o diferencial
dy
dx +P(x)y(x) = f (x)y(x)
n (3.6.56)
43
em que n e´ um nu´mero real qualquer, e´ chamada de equac¸a˜o de Bernoulli. Para n= 0 e n= 1,
a equac¸a˜o (3.6.56) e´ linear em y.
Me´todo de Soluc¸a˜o: Se y %= 0, a equac¸a˜o (3.6.56) pode ser escrita como
y−n dydx +P(x)y
−n · y = f (x) .
Enta˜o
y−n dydx +P(x)y
1−n = f (x) . (3.6.57)
Se fizermos w= y1−n, com n %= 0 e n %= 1, temos
dw
dx = (1−n)y
−n dy
dx
Com esta substituic¸a˜o, a equac¸a˜o (3.6.57) transforma-se na equac¸a˜o
dw
dx +(1−n)P(x)w = (1−n) f (x) , (3.6.58)
que e´ uma EDO linear. Resolvendo (3.6.58) e depois substituindo y1−n =w, obtemos a soluc¸a˜o
de (3.6.56).
Observac¸a˜o 3.6 A equac¸a˜o diferencial
dy
dx +P(x)y(x) = f (x)y(x)
n (3.6.59)
em que n e´ um nu´mero real qualquer, e´ chamada de equac¸a˜o de Bernoulli (??).
a) Se n= 0 ou n= 1 temos, em particular, uma EDO Linear de Primeira Ordem. Veja (3.5.40);
b) Se P(x) = 0 ou f (x) = 0 temos, em particular, uma EDO separa´vel. Veja (3.2.4);
b) Se f e P forem constantes, temos uma EDO Quadratura. Veja (3.1.4);
Exemplo 3.18 Vamos aplicar o me´todo de soluc¸a˜o para resolver a equac¸a˜o de Bernoulli
dy
dx +
1
xy = xy
2. (3.6.60)44
3.7 EQUAC¸A˜O DE RICATTI
Definic¸a˜o 3.14 (Equac¸a˜o De Ricatti) A equac¸a˜o diferencial na˜o linear
dy
dx = P(x)+Q(x)y+R(x)y
2 (3.7.61)
e´ chamada de equac¸a˜o de Ricatti.
Me´todo de Soluc¸a˜o: Se y1 e´ uma soluc¸a˜o particular para a equac¸a˜o (3.7.61), enta˜o as substituic¸o˜es
y= y1+u e dydx =
dy1
dx +
du
dx
na equac¸a˜o (3.7.61) produzem a seguinte equac¸a˜o diferencial na varia´vel u:
du
dx − (Q+2y1R)u = Ru
2 (3.7.62)
Como (3.7.62) e´ uma equac¸a˜o de Bernoulli com n = 2, ela pode, por sua vez, pode ser
reduzida a` Equac¸a˜o Linear
dw
dx +(Q+2y1R)w = −R (3.7.63)
atrave´s da substituic¸a˜o w = u−1. Ao encontrarmos, u na equac¸a˜o (3.7.63), basta substituirmos
na relac¸a˜o
y= y1+u
e teremos a soluc¸a˜o da EDO.
Observac¸a˜o 3.7 A equac¸a˜o diferencial na˜o linear
dy
dx = P(x)+Q(x)y+R(x)y
2 (3.7.64)
a) Se P(x) = 0 a equac¸a˜o (3.7.64) passa a ser uma EDO de Bernoulli;
b) Se R(x) = 0 a equac¸a˜o (3.7.64) passa a ser EDO Linear de Primeira Ordem;
c) Se P, Q e R forem constantes, temos uma EDO Quadratura. Veja (3.1.4);
Exemplo 3.19 Dada a EDO
dy
dx = 2−2xy+ y
2 , (3.7.65)
encontre sua soluc¸a˜o.
45
3.8 EQUAC¸A˜O DE CLAIRAUT
Definic¸a˜o 3.15 (Equac¸a˜o De Clairaut) Toda equac¸a˜o diferencial de 1a ordem da forma
y= xdydx +g
(dy
dx
)
(3.8.66)
e´ chamada de Equac¸a˜o de Clairaut onde g e´ uma func¸a˜o diferencia´vel.
Me´todo de Soluc¸a˜o: Para resolver a equac¸a˜o (3.8.66) fazemos a mudanc¸a de varia´vel
dy
dx = p. Assim, a equac¸a˜o (3.8.66) passa a ser
y= xp+g(p) . (3.8.67)
Derivando (3.8.67) com relac¸a˜o a x, obtemos
dy
dx = p+ xp
′+g′(p).p′
p = p+ xp′+g′(p).p′
(x+g′(p))p′ = 0
enta˜o
p′ = 0 ou x+g′(p) = 0
Caso 1: Soluc¸a˜o geral
Se p′ = 0 enta˜o p= c. Devido ao fato de dydx = p temos
dy
dx = c. Portanto a soluc¸a˜o geral
e´
y = cx+g(c).
Concluı´mos que y= cx+g(c) e´ uma famı´lia de retas em que c e´ uma constante arbitra´ria.
Caso 2: Soluc¸a˜o singular
Se x+g′(p) = 0 podemos obter outra soluc¸a˜o da equac¸a˜o (3.8.67) eliminando p entre as
equac¸o˜es {
x+g′(p) = 0
y = xp+g(p)
Esta soluc¸a˜o e´ conhecida como soluc¸a˜o singular da equac¸a˜o de Clairaut a qual conduz
sempre a uma envolto´ria da famı´lia de retas definida pela soluc¸a˜o geral.
Observac¸a˜o 3.8 Envolto´ria e´ uma curva que e´ tangente a todas as curvas da famı´lia de curvas.
46
Exemplo 3.20 Resolveremos a EDO
y = xdydx +
1
2
(dy
dx
)2
(3.8.68)
como exemplo de uma EDO de Clairaut.
3.9 EQUAC¸A˜O DE D’ALEMBERT
Definic¸a˜o 3.16 (Equac¸a˜o de D’Alembert) A forma geral da equac¸a˜o diferencial ordina´ria de
d’Alembert e´ dada por:
y= x f
(dy
dx
)
+g
(dy
dx
)
onde f e g sa˜o func¸o˜es arbitra´rias. Esta EDO e´ uma generalizac¸a˜o da E.D.O. de Clairaut.
Me´todo de Soluc¸a˜o: Fazendo
dy
dx = p
temos
y= x f (p)+g(p) .
Daı´
dy
dx = 1 f (p)+ x f
′ (p) dpdx +g
′ (p) dpdx
logo,
p= f (p)+ x f ′ (p) dpdx +g
′ (p) dpdx ,
ou ainda,
(x f ′ (p)+g′ (p))dpdx = p− f (p)
Caso 1: p− f (p) %= 0;
Se p− f (p) %= 0, temos: (
x f
′ (p)
p− f (p) +
g′ (p)
p− f (p)
) dp
dx = 1
ou ainda
x f
′ (p)
p− f (p) +
g′ (p)
p− f (p) =
dx
dp
ou seja,
dx
dp −
f ′ (p)
p− f (p)x=
g′ (p)
p− f (p)
que e´ uma equac¸a˜o linear em x.
47
Caso 2: p− f (p) = 0.
Se existe algum p0 tal que p0− f (p0) = 0, temos que,
y= p0x+g(p0)
e´ soluc¸a˜o singular da EDO. De fato, dada a equac¸a˜o,
y= x f
(dy
dx
)
+g
(dy
dx
)
e y= p0x+g(p0) temos dy
dx = p0
e
y = x f (p0)+g(p0)
p0x+g(p0) = x f (p0)+g(p0)
p0x = x f (p0)
p0x− x f (p0) = 0
(p0− f (p0))x = 0
0 = 0
Exemplo 3.21 Resolva a equac¸a˜o de D’Alembert
y = x
(
y′+ 1y′
)
+(y′)4 . (3.9.69)
Exercı´cio 3.13 Resolva a equac¸a˜o de Bernoulli dada.
1. xdydx + y=
1
y2 ;
2. dydx = y(xy
3−1);
3. x2dydx + y
2 = xy
Exercı´cio 3.14 Resolva a equac¸a˜o diferencial dada sujeita a` condic¸a˜o inicial indicada.
1.


x2dydx −2xy = 3y
4
y(1) = 12
2.

 xy(1+ xy
2)
dy
dx = 1
y(1) = 0
48
Exercı´cio 3.15 Resolva a equac¸a˜o de Ricatti dada: y1 e´ uma soluc¸a˜o conhecida para a equac¸a˜o.
1.


dy
dx = −2− y+ y
2
y1 = 2
2.


dy
dx = −
4
x2 −
1
xy+ y
2
y1 =
2
x
Exercı´cio 3.16 Resolva a equac¸a˜o de Clairaut dada. Obtenha uma soluc¸a˜o singular.
1. y= xy′+1− lny′;
2. y= xdydx −
(dy
dx
)3
.
Exercı´cio 3.17 Resolva as Equac¸o˜es Diferenciais de D’Alembert.
1. y= 2x
(dy
dx
)
− x
(dy
dx
)2
2. y= 2xdydx +
1
dy
dx
3. y= xdxdy −
dy
dx
4. y=
(
1+ dydx
)
x+
(dy
dx
)2
5. y=−12
(dy
dx
)(
2x+ dydx
)
;
6. y= 2x
(dy
dx
)
+
(dy
dx
)2
;
7. y= y
(dy
dx
)2
+2x
(dy
dx
)
.
49
4 APLICAC¸O˜ES DE EQUAC¸O˜ES LINEARES
4.1 CRESCIMENTO E DECRESCIMENTO
O problema de valor inicial 

dx
dt = kx
x(t0) = x0
(4.1.1)
em que k e´ uma constante de proporcionalidade, ocorre em muitas teorias fı´sicas envolvendo
crescimento ou decrescimento. Por exemplo, em biologia, e´ frequ¨entemente observado que a
taxa de crescimento de certas bacte´rias e´ proporcional ao nu´mero de bacte´rias presente no dado
instante. Durante um curto intervalo de tempo, a populac¸a˜o de pequenos animais, tais como
roedores, pode ser prevista com alto grau de precisa˜o pela soluc¸a˜o para (4.1.1). Em fı´sica, um
problema de valor inicial como (4.1.1) proporciona um modelo para o ca´lculo aproximado da
quantidade remanescente de uma substaˆncia que esta´ sendo desintegrada atrave´s de radioati-
vidade. A equac¸a˜o diferencial em (4.1.1) pode ainda determinar a temperatura de um corpo
em resfriamento. Em quı´mica, a quantidade remanescente de uma substaˆncia durante certas
reac¸o˜es tambe´m pode ser descrita por (4.1.1).
Exemplo 4.1 Em uma cultura, ha´ inicialmente N0 bacte´rias. Uma hora depois, t = 1, o nu´mero
de bacte´rias passa a ser 32N0. Se a taxa de crescimento e´ proporcional ao nu´mero de bacte´rias
presentes, determine o tempo necessa´rio para que o nu´mero de bacte´rias triplique.
Exemplo 4.2 Sabe-se que a populac¸a˜o de uma certa comunidade cresce a uma taxa propor-
cional ao nu´mero de pessoas presentes em qualquer instante. Se a populac¸a˜o duplicou em 5
anos, quando ele triplicara´? Quando quadruplicara´?
4.2 MEIA-VIDA
Em fı´sica, meia-vida e´ uma medida de estabilidade de uma substaˆncia radioativa. A meia-
vida e´ simplesmente o tempo gasto para metade dos a´tomos de uma quantidade inicial A0 se
50
desintegrar ou se transmutar em a´tomos de outro elemento. Quanto maior a meia-vida de uma
substaˆncia, mais esta´vel ela e´. Por exemplo, a meia-vida do ultra-radioativo ra´dio, Ra−226, e´
cerca de 1700 anos. Em 1700 anos, metade de uma dada quantidade de Ra−226 e´ transmutada
em radoˆnio, Rn− 222. O iso´topo de uraˆnio mais comum, U − 238, tem uma meia-vida de
aproximadamente 4.500.000.000 de anos. Nesse tempo, metade de uma quantidade deU−238
e´ transmutada em chumbo, Pb−206.
Exemplo 4.3 Um reator converte uraˆnio 238 em iso´topo de plutoˆnio 239. Apo´s 15 anos, foi
detectado que 0,043% da quantidade inicial A0 de plutoˆnio se desintegrou. Encontre a meia-
vida desse iso´topo, se a taxa de desintegrac¸a˜o e´ proporcional a` quantidade remanescente.
4.3 CRONOLOGIA DO CARBONO
Por volta de 1950, o quı´mico Willard Libby inventou um me´todo para determinar a idade
de fo´sseis usando o carbono radioativo. A teoria da cronologia do carbono se baseia no fato
de que o iso´topo do carbono 14 e´ produzido na atmosfera pela ac¸a˜o de radiac¸o˜es co´smicas no
nitrogeˆnio. A raza˜o entre a quantidade deC−14 para carbono ordina´rio na atmosfera parece ser
uma constante e, como consequ¨eˆncia, a proporc¸a˜o da quantidade de iso´topo presente em todos
os organismos vivos e´ a mesma proporc¸a˜oda quantidade na atmosfera. Quando um organismo
morre, a absorc¸a˜o de C− 14, atrave´s da respirac¸a˜o ou alimentac¸a˜o, cessa. Logo, comparando
a quantidade proporcional de C− 14 presente, digamos, em um fo´ssil com a raza˜o constante
encontrada na atmosfera, e´ possı´vel obter uma razoa´vel estimativa da idade do fo´ssil. O me´todo
se baseia no conhecimento da meia-vida do carbono radioativo C− 14, cerca de 5.600 anos.
Por esse trabalho, Libby ganhou o Preˆmion Nobel de quı´mica em 1960. O me´todo de Libby
tem sido usado para datar mobı´lias de madeira nos tu´mulos egı´pcios e os pergaminhos do Mar
Morto.
Exemplo 4.4 Um osso fossilizado conte´m 11.000 da quantidade original do C−14. Determine
a idade do fo´ssil.
4.4 RESFRIAMENTO
A lei de resfriamento de Newton diz que a taxa de variac¸a˜o de temperatura T (t) de um
corpo em resfriamento e´ proporcional a` diferenc¸a entre a temperatura do corpo e a temper-
atura constante Tm do meio ambiente, isto e´,dTdt = k(T − Tm), em que k e´ uma constante de
proporcionalidade.
51
Exemplo 4.5 Quando um bolo e´ retirado do forno, sua temperatura e´ de 300◦F. Treˆs minutos
depois, sua temperatura passa para 200◦F. Quanto tempo levara´ para sua temperatura chegar
a 70 graus, se a temperatura do meio ambiente em que ele foi colocado for de exatamente
70◦F?
4.5 PROBLEMAS DE MISTURAS
Na mistura de dois fluı´dos, muitas vezes temos de lidar com equac¸o˜es diferenciais lineares
de primeira ordem. No pro´ximo exemplo, consideramos a mistura de duas soluc¸o˜es salinas com
diferentes concentrac¸o˜es.
Exemplo 4.6 Inicialmente, 50 gramas de sal sa˜o dissolvidos em um tanque contendo 300 litros
de a´gua. Uma soluc¸a˜o salina e´ bombeada para dentro do tanque a uma taxa de 3 litros por
minuto, e a soluc¸a˜o bem misturada e´ enta˜o drenada na mesma taxa. Se a concentrac¸a˜o da
soluc¸a˜o que entra e´ 2 gramas por litro, determine a quantidade de sal no tanque em qualquer
instante. Quantas gramas de sal esta˜o presentes apo´s 50 minutos? E depois de um longo
tempo?
4.6 CIRCUITOS EM SE´RIE
Em um circuito em se´rie contendo somente um resistor e um indutor, a seguda lei de Kirch-
hoff diz que a soma da queda de tensa˜o do indutor
(
L
(di
dt
))
e da queda de tensa˜o do resistor
(iR) e´ igual a` voltagem (E(t)) no circuito.
Logo, obtemos a equac¸a˜o diferencial linear para a corrente i(t),
Ldidt +Ri = E(t) (4.6.2)
em que L e R sa˜o constantes conhecidas como a indutaˆncia e a resisteˆncia, respectivamente. A
corrente e´ algumas vezes chamada de resposta do sistema.
A queda de potencial em um capacitor com capacitaˆncia C e´ dada por q(t)C , em que q e´ a
carga no capacitor. Enta˜o, para o circuito em se´rie mencionado anteriormente, a segunda lei de
kirchhoff nos da´
Ri+ 1Cq = E(t) (4.6.3)
Mas a corrente i e a carga q esta˜o relacionadas por i = dqdt , logo, (4.6.3) torna-se a equac¸a˜o
52
diferencial linear
Rdqdt +
1
Cq = E(t) (4.6.4)
Exemplo 4.7 Uma bateria de 12volts e´ conectada a um circuito em se´rie no qual a indutaˆncia
e´ de 12 henry e a resisteˆncia, 10ohms. Determine a corrente i se a corrente inicial e´ zero.
Exercı´cio 4.1 Uma barra de metal com uma temperatura de 100◦F e´ colocada em um ambiente
com temperatura constante de 0◦F. Se apo´s 20 minutos a temperatura da barra e´ de 50◦F,
determinar o tempo (t) necessa´rio para que a barra atinja uma temperatura de 25◦F. Qual a
temperatura que estara´ esta barra depois de decorridos 10 minutos?
Exercı´cio 4.2 Um pa´ra-quedista, pesando 70kg, salta de um avia˜o e abre o paraquedas apo´s
10s. Antes da abertura do pa´ra-quedas, o seu coeficiente de atrito e´ kspq = 5kgs−1, depois e´
kcpq = 100kgs−1. Qual a velocidade do pa´ra-quedista no instante em que se abre o paraque-
das? Qual a distaˆncia percorrida em queda livre? Qual a velocidade mı´nima que o pa´ra-
quedista podera´ atingir apo´s a abertura do paraquedas?
Exercı´cio 4.3 O suda´rio de Turim mostra a imagem em negativo do corpo de um homem cru-
cificado, que muitos acreditam ser de Jesus de Nazare´. Em 1988, o Vaticano deu a permissa˜o
para datar por carbono o suda´rio. Treˆs laborato´rios cientı´ficos e independentes analisaram o
tecido e concluı´ram que o suda´rio tinha aproximadamente 660 anos, idade consistente com seu
aparecimento histo´rico. Usando essa idade, determine a porcentagem da quantidade original
de C−14 remanescente no tecido em 1988.
Exercı´cio 4.4 O iso´topo radioativo de chumbo, Pb−209, decresce a uma taxa proporcional a`
quantidade presente em qualquer tempo. Sua meia-vida e´ 3,3 horas. Se 1 grama de chumbo
esta´ presente inicialmente, quanto tempo levara´ para 90% de chumpo desaparecer?
Exercı´cio 4.5 Um termoˆmetro e´ removido de uma sala, em que a temperatura e´ de 70◦F, e
colocado do lado de fora, em que a temperatura e´ de 10◦F. Apo´s 0,5 minuto, o termoˆmetro
marcava 50◦F. Qual sera´ a temperatura marcada no termoˆmetro no instante t = 1 minuto?
Quanto tempo levara´ para o termoˆmetro marcar 15◦F?
Exercı´cio 4.6 Um tanque conte´m 200 litros de fluı´do no qual sa˜o dissolvidos 30g de sal. Uma
soluc¸a˜o salina contendo 1g de sal por litro e´ enta˜o bombeada para dentro do tanque a uma taxa
de 4 litros por minuto; a mistura e´ drenada a` mesma taxa. Encontre a quantidade de gramas
de sal A(t) no tanque em qualquer instante.