Aula Teórica Nº 010

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PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE MINAS GERAIS 
PRÓ-REITORIA DE GRADUAÇÃO 
ENGENHARIA CIVIL 
 
Av: Dom José Gaspar, 500 Coração Eucarístico 
Belo Horizonte - MG - CEP 30535-901 
Tel.: (0**31) 3319-4444 – Fax: (0**31) 3319-4225 
- 1 - 
FUNÇÃO: ENGENHARIA CIVIL 
ÁREA DE CONHEC.: INFRA-ESTRUTURA VIÁRIA 
AULAS Nº: 10 – TEÓRICA 
PROF.: HENRIQUE J. RAAD (henriquejraad@yahoo.com.br) 
 
1. TEÓRICA: Concordância em Curvas Horizontais Compostas 
 
Duas curvas circulares consecutivas de raios diferentes e com um ponto em comum constituem uma curva composta 
quando estão voltadas para o mesmo lado de uma reta tangente. Tal ponto em comum é conhecido como Ponto de Curvatura 
Composta – PCC. SENÇO (1980) refere-se às curvas compostas como não aconselhadas, afirmando que seu uso deve ser 
restritos a casos especiais. Tal afirmação pode ser entendida por diversos fatores, como os envolvidos à segurança nas curvas. 
È fato, porém, que tais curvas auxiliam no traçado do eixo de forma que o mesmo acompanhe às curvas de nível do relevo com 
mais economia (sem realização de grandes movimentações de terra). Alguns cuidados, entretanto, devem ser tomados em seu 
dimensionamento, como por exemplo seguir-se sempre a relação R ≤ 1,5·r. 
 
Curva composta com dois centros 
 
Normalmente utilizadas em terrenos montanhosos, as curvas compostas visam adequar o traçado em curva às 
possibilidades do terreno. 
 
Para o cálculo de uma curva horizontal composta com dois centros, devem ser seguidos procedimentos 
trigonométricos de cálculo com base nas figuras 1 e 2 (variáveis conforme Figuras 1 e 2): 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1: Curva composta com dois centros [sic PONTES FILHO, 1998] 
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Figura 2: Curva composta com dois centros (inverso da Figura 1) [sic PONTES FILHO, 1998] 
 
O cálculo das distâncias horizontais e verticais de “B” com relação a “A” são tomados considerando que “A” é a 
origem de um sistema de coordenadas cartesianas e que o segmento do eixo entre o ponto “A” e o ponto “V” (PI) é o eixo das 
abscissas. 
 
Assim, 
FOGOECX 221 −+=
. Equação 001 
 
Trigonometricamente, temos 
∴=∆
1
1sen R
EC
 
11 sen ∆⋅= REC , Equação 002 
∴=∆
2
2sen
R
GO
 
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∆⋅= sen22 RGO , Equação 003 
∴=∆
2
2
1sen R
FO
 
122 sen ∆⋅= RFO
. Equação 004 
 
Substituindo-se as equações 002 a 004 em 001, tem-se: 
∴∆⋅−∆⋅+∆⋅= 122111 sensensen RRRX
 ( ) 12121 sensen ∆⋅−+∆⋅= RRRX
. Equação 005 
 
Analogamente, 
BGCFEORY −+−= 111 , Equação 006 
∴=∆
1
1
1cos R
EO
 
111 cos∆⋅= REO , Equação 007 
∴=∆
2
1cos R
CF
 
12 cos ∆⋅= RCF , Equação 008 
∴=∆
2
cos
R
BG
 
∆⋅= cos2RBG
. Equação 009 
 
Substituindo as equações 007 a 009 em 006, obtém-se: 
∴∆⋅−∆⋅+∆⋅−= coscoscos 2121111 RRRRY
 ( ) ∴∆⋅−∆⋅+∆−= coscoscos1 212111 RRRY
 ( ) 121211 coscos ∆⋅−−∆⋅−= RRRRY
. Equação 010 
 
Sendo Ta denominada tangente longa, e Tb denominada tangente curta, temos, pelas Figuras 1 e 2 e Equação 010 
(analogamente aos processos anteriores):
 
∴
∆
=
sen
YTb 1 
( )
∆
∆⋅−−∆⋅−
=
sen
RRRRTb 12121
coscos
, Equação 011 
∴∆⋅−∆⋅+∆⋅= 211222 senRsenRsenRX 
( ) 22112 ∆⋅−−∆⋅= senRRsenRX , Equação 012 
( ) ∴∆⋅−∆⋅+∆−= coscoscos1 121222 RRRY 
( ) 221122 coscos ∆⋅−+∆⋅−= RRRRY , Equação 013 
∴
∆
=
sen
YTa 2 
( )
∆
∆⋅−+∆⋅−
=
sen
RRRRTa 22112
coscos
. Equação 014 
 
Da a Equação 011, temos: 
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( )
( )21
2
1
cos1
cos1
RR
RsenTb
−
∆−⋅−∆⋅
=∆− . Equação 015 
 
Da a Equação 014, temos: 
( )
( )21
1
2
cos1
cos1
RR
senTR a
−
∆⋅−∆−⋅
=∆− . Equação 016 
 
Da a Equação 005, temos: 
( ) ∴−
∆⋅−
=∆
21
21
1 RR
senRX
sen 
( )21
2
1
cos
RR
senRTT
sen ba
−
∆⋅−∆⋅+
=∆ . Equação 017 
 
Da a Equação 012, temos: 
( ) ∴−
−∆⋅
=∆
21
21
2 RR
XsenR
sen 
( )21
1
2
cos
RR
TTsenR
sen ba
−
−∆⋅−∆⋅
=∆ . Equação 018 
 
Considerando que: 
( )





 ∆
=
∆
∆−
2
tan
cos1 1
1
1
sen
, Equação 019 
dividindo membro a membro a equação 015 pela equação 017, temos: 
( )
∆⋅−∆⋅+
∆−⋅−∆⋅
=




 ∆
senRTT
RsenT
ba
b
2
21
cos
cos1
2
tan , Equação 020 
e, analogamente, 
( )
∆⋅−−∆⋅
∆⋅−∆−⋅
=




 ∆
cos
cos1
2
tan
1
12
ab
a
TTsenR
senTR
. Equação 021 
 
Da equação 010, temos: 
( )
∴
∆−
∆−⋅−
+=
1
21
21
cos1
cos1RYRR 
( )
1
2
21
cos1
cos1
∆−
∆−⋅−∆⋅
+=
RsenTRR b Equação 022 
 
Da equação 013, temos: 
( )
2
1
12
cos1
cos1
∆−
∆⋅−∆−⋅
−=
senTRRR a . Equação 023 
 
Dessa forma, numa curva composta com dois raios, temos os seguintes elementos principais [PONTES FILHO, 
1998]: R1, R2, Ta, Tb, ∆, ∆1 e ∆2. Quando são conhecidos 4 destes elementos, incluindo um ângulo, os outros 
podem ser determinados pelas relações descritas acima. 
 
A Tabela 1 descreve procedimentos de cálculo para cada tipo de grupo de dados conhecidos, indicando 
metodologia para cada situação. 
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Tabela 1: Problemas típicos de curvas compostas com dois centros [PONTES FILHO, 1998] 
Caso Dados Pede-se Seqüência de cálculo 
1 R1, R2, ∆1, ∆2 ∆, Ta, Tb ∆= ∆1+∆2; Usar equações 014 para Ta e 011 para Tb 
2a R1, Ta, Tb, ∆ ∆1, ∆2, R2 Usar a equação 021 para ∆2, equação 023 para R2; ∆1=∆-∆2 
2b R2, Ta, Tb, ∆ ∆1, ∆2, R1 Usar a equação 020 para ∆1, equação 022 para R1; ∆2=∆-∆1 
3a R1, R2, ∆, Ta ∆1, ∆2, Tb Usar a equação 016 para ∆2, equação 011 para Tb; ∆1=∆-∆2 
3b R1, R2, ∆, Tb ∆1, ∆2, Ta Usar a equação 015 para ∆1, equação 014 para Ta; ∆2=∆-∆1 
4 R1, Ta, ∆, ∆1 ∆2, R2, Tb ∆2=∆-∆1; Usar equação 023 para R2, equação 011 para Tb 
5 R2, Tb, ∆, ∆2 ∆1, R1, Ta ∆1=∆-∆2, Usar a equação 022 para R1, equações 014 para Ta 
6 R1, AB, ângulos VAB e VBA R2, Ta, Tb, ∆2 
∆=VAB+VBA, resolver triângulo AVB para Ta e Tb, usar a 
equação 021 para ∆2, equação 023 para R2, ∆1=∆-∆2 
7 R2 AB, ângulos VAB e VBA R1, Ta, Tb, ∆1 
∆=VAB+VBA, resolver triângulo AVB para Ta e Tb, usar a 
equação 020 para ∆1, equação 022 para R1, ∆2=∆-∆1 
 
Exemplo 1: Calcule Ta e Tb para a concordância horizontal em curva composta com dois centros, considerando os 
seguintes dados: 
R1=500 m 
R2=350 m 
∆1=42º 
∆2=38º 
 
Resolução: 
 
Cálculo de ∆ 
 
∴∆+∆=∆ 21 
º80º38º42 =∆∴+=∆ 
 
Cálculo de Ta 
 
( ) ( ) ( )
( )º80
º38cos350500º80cos500350
sen
Ta
∴⋅−+⋅−
= 
mTa 26,387= 
 
Cálculode Tb 
 
( )
∴
⋅−−⋅−
=
º80
º42cos350500º80cos350500
sen
Tb 
mTb 81,332= 
 
*** 
 
Curva composta com três centros 
 
Curvas compostas com 3 centros O1, O2 e O3 são curvas onde a necessidade de transposição de trechos onde as curvas 
de nível do terreno imprimem maiores restrições à passagem em linha reta ou com uma única curva, restando como soluções 
econômicas e viáveis tecnicamente a variação dos tamanhos dos raios à medida que se percorre um trecho curvo. 
 
Para o cálculo destas curvas, deve ser usado método semelhante ao utilizado com curvas de dois raios. Basicamente, 
X1 e Y1 são as coordenadas do ponto B com relação ao ponto A (origem do sistema de coordenadas cartesianas) tendo-se o 
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segmento AV como eixo das abscissas. As Figuras 3 e 4 ilustram curvas compostas com três centros, apresentando seus 
elementos constituintes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3: Curva composta com três centros [PONTES FILHO, 1998] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4: Curva composta com três centros (inverso da Figura 3) [sic PONTES FILHO, 1998] 
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Considerando análise trigonométrica da figura temos: 
∴=∆
bT
Y
sen 1 
∆⋅= senTY b1 , e Equação 024 
∆
=
sen
YTb 1 ; Equação 025 
∆⋅+= cos1 ba TTX , e Equação 026 
∆⋅−= cos1 ba TXT . Equação 027 
 
Por análise à Figura 3, 
LKJX ++=1 , e Equação 028 
∴
−
=∆
21
1 RR
J
sen 
( ) 121 ∆⋅−= senRRJ ; Equação 029 
( ) ∴
−
=∆+∆
32
21 RR
K
sen 
( ) ( )2132 ∆+∆⋅−= senRRK ; Equação 030 
∴=∆
3R
L
sen 
∆⋅= senRL 3 . Equação 031 
 
Daí, substituindo as equações 029 a 030 em 028, temos: 
( ) ( ) ( ) ∆⋅+∆+∆⋅−+∆⋅−= senRsenRRsenRRX 321321211 . Equação 032 
 
Analogamente, para o eixo das ordenadas teremos: 
( ) ( ) ( ) ∆⋅−∆+∆⋅−−∆⋅−−= coscoscos 3213212111 RRRRRRY . Equação 033 
 
Substituindo-se as equações 033 e 032 nas equações 025 e 027, respectivamente, teremos: 
( ) ( ) ( )
∆
∆⋅−∆+∆⋅−−∆⋅−−
=
sen
RRRRRRTb
coscoscos 321321211
, e Equação 034 
( ) ( ) ( )
∆
∆⋅−∆+∆⋅−−∆⋅−−
−=
tan
coscoscos 321321211
1
RRRRRRXTa , ou Equação 035 
( ) ( ) ( )
∆
∆⋅−∆⋅−+∆+∆⋅−+
=
sen
RRRRRRTa
coscoscos 133232213
. Equação 036 
 
Exemplo 2: Considerando as equações descritas acima, encontre Ta e Tb e os desenvolvimentos AC’, C’C” e C”B para uma 
curva composta de 3 centros, sabendo que: 
X1=315,28 m 
R1=500 m 
R2=350 m 
R3=280 m 
∆1=38º 
∆2=26º 
Deflexão igual a 82º 
 
 
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Resolução: 
 
Cálculo de Ta, Tb e ∆3 
 
Sabe-se que ∆ = ∆1 + ∆2 + ∆3, e que ∆ é a deflexão, então, utilizando-se as equações 034 e 035, temos ( ) ( )
∴
⋅−⋅−−⋅−−
=
º82
º82cos280º64cos280350º38cos350500500
sen
Tb 
mTb 21,315= 
( ) ( )
∴
⋅−⋅−−⋅−−
−=
º82tan
º82cos280º64cos280350º38cos35050050028,315aT 
mTa 41,271= 
 
Cálculo dos desenvolvimentos 
 
∴
∆⋅⋅
=
º180
11
'
RDAC
pi
 
∴
⋅⋅
=
º180
º38500
'
pi
ACD 
mDAC 61,331' = 
∴
∆⋅⋅
=
º180
22
"'
RD CC
pi
 
∴
⋅⋅
=
º180
º26350
"'
pi
CCD 
mD CC 82,158"' = 
∴
∆⋅⋅
=
º180
33
"
RD BC
pi
 
( )
∴
−⋅⋅
=
º180
º64º82280
"'
pi
CCD 
mD CC 96,87"' = 
 
*** 
 
2. PRÁTICA: Exercícios extra-classe não pontuados 
 
Calcule as concordâncias horizontais para PI75 de um eixo, considerando curva composta com dois centros e ∆1=25º, 
∆2=20º, R1=572,96 m e R2=337,04 m. 
 
3. BIBLIOGRAFIA 
 
DNER – Departamento Nacional de Estradas de Rodagem. Manual de Projeto Geométrico de Rodovias Rurais. 1999. 
LEE, Shu Han. Projeto Geométrico de Estradas. Apostila do Curso de Engenharia Civil da Universidade Federal de 
São Carlos – UFSC. 2000. 
PONTES FILHO, Glauco. Estradas de Rodagem: Projeto Geométrico. São Carlos. 1998. 
SENÇO, Wlastermiler de. Estradas de Rodagem: Projeto. Universidade de São Paulo. 1980. 
CARVALHO1, M. Pacheco de. Curso de Estradas: Estudos, Projetos e Locação de Ferrovias e Rodovias. 2ª Edição. 
Rio De janeiro. Editora Científica. 1967. 
CARVALHO2, M. Pacheco de. Método Prático de Construção de Estradas de Rodagem. Rio De janeiro. Editora 
Rodovia. 1954.