Material Estatística Experimental

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MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO
UNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDE
CENTRO DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIA AGROALIMENTAR
PROFESSOR: ROBERTO QUEIROGA
ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL – 2014.2
POMBAL, OUTUBRO DE 2014.
ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL: 2014.1
UNIDADE I - “Importância da Estatística Experimental”.
Estatística Experimental tem por objetivo o estudo dos experimentos, incluindo planejamento, execução, análise dos dados e a interpretação dos resultados.
Tipos de pesquisa:
A - Pesquisa de levantamento:
Observam-se diversas características dos elementos de certa população ou amostra, utilizando-se questionários ou entrevistas. A observação é feita naturalmente e sem interferência do pesquisador. Ex: censo.
B - Pesquisa experimental:
O pesquisador exerce controle sobre o tratamento que vai ser aplicado a cada elemento da amostra. Há, portanto, interferência do pesquisador. Ex: experimentos de campo ou laboratório.
* Experimento ou ensaio:
Trabalho previamente planejado, que segue determinados princípios básicos e no qual se faz comparações do efeito dos tratamentos.
* Tratamento:
 É uma denominação genérica, para designar qualquer método, elemento ou material, cujo efeito desejamos medir e comparar. 
 Por exemplo, o tratamento pode ser: 
A - um adubo nitrogenado para a cultura do melão; 
B - uma variedade de alface; 
C - um tratamento de solo para a cultura da melancia; 
D - um biofertilizante para a cultura do pimentão; 
E - uma dosagem de calcário para a cultura da cenoura; 
F - um fungicida para a cultura do tomate; 
 * Parcela ou unidade experimental:
É a unidade na qual o tratamento é aplicado. É na parcela que obtemos os dados que deverão refletir o efeito de cada tratamento. 
EX: composição da parcela: uma área com um grupo de plantas; um ou mais vasos numa casa de vegetação; uma placa de Petri com um meio de cultura; um tubo de ensaio com uma solução, etc.
Exemplo de característica avaliada e tratamentos: 
Ex: - Determinação da quantidade de leite produzida em função do tipo de ração.
- Avaliação do diâmetro do caule e da altura de plantas de Eucaliptus em diferentes variedades.
- Avaliação da vida útil de frutos de morango armazenados em diferentes temperaturas.
Variável resposta:
É a variável mensurada usada para avaliar o efeito de tratamentos.
Ex: Produtividade de feijão, área foliar, sólidos solúveis etc.
* Tamanho das parcelas depende:
- Material que se está trabalhando.
Ex: Parcelas com a cultura da cana de açúcar devem ser maiores que aquelas com a alface.
- Número de tratamentos em estudo:
Em experimentos de melhoramento vegetal o tamanho da parcela deve ser reduzido.
- Quantidade de material disponível:
Ensaio de novos materiais.
- Uso de máquinas agrícolas:
Parcelas grandes.
- Área disponível para pesquisa:
Ajustamento ao tamanho da área.
- Custo, tempo e mão de obra:
- Recurso financeiro, tempo disponível para amostragem e mão de obra.
* Forma das parcelas:
 Retangulares, quadradas, cilíndricas, etc.
	BLOCO
	TRATAMENTOS
	1
	A
	C
	D
	B
	2
	D
	B
	A
	C
	3
	B
	C
	D
	A
	4
	C
	A
	B
	D
Tratamentos
A – 0 kg ha-1 de N;
B – 90 kg ha-1 de N;
C – 180 kg ha-1 de N; 
D – 270 kg ha-1 de N.
* Delineamento experimental
É o plano utilizado para realizar o experimento. Esse plano implica na maneira como os diferentes tratamentos deverão ser distribuídos nas parcelas experimentais, e como serão analisados os dados a serem obtidos. 
DIC
	TRATAMENTOS
	A
	C
	A
	C
	D
	B
	A
	B
	B
	C
	D
	A
	D
	B
	C
	D
DBC
	BLOCO
	TRATAMENTOS
	1
	A
	C
	D
	B
	2
	D
	B
	A
	C
	3
	B
	C
	D
	A
	4
	C
	A
	B
	D
DQL
	LINHAS
	COLUNAS
	1
	A
	C
	D
	B
	2
	D
	B
	A
	C
	3
	B
	D
	C
	A
	4
	C
	A
	B
	D
* População e amostra:
População
É o conjunto constituído por todos os dados possíveis com relação à característica em estudo. 
Amostra
É uma parte representativa da população, subconjunto do conjunto universo.
Experimentos: indivíduos da área útil da parcela.
* Fatores não controláveis:
Variação nos espaçamentos entre plantas.
Variação na infestação em parcelas pelas pragas.
Variação na profundidade de semeadura.
Variação na fertilidade do solo dentro da parcela.
Variação na dose de adubos, inseticidas etc.
Variação na quantidade de água aplicada.
Precipitação
Luminosidade
Temperatura
Umidade relativa do ar
* Medidas utilizadas na experimentação 
Medidas de posição
Média, mediana, moda, quartis etc.
Ex: Calcule a altura média de seis alunos da turma de agronomia de acordo com a amostra a seguir:
1,80 m, 1,65 m, 1,62 m, 1,90 m 1,40 m e 1,72 m
Medidas de dispersão
Variância, desvio padrão e coeficiente de variação.
 
* Planejamento experimental:
Planejamento, condução do experimento, coleta de dados, análise dos dados e interpretação dos resultados obtidos.
* Tipos de experimentos:
Experimento preliminar:
O número de tratamentos pode ser grande.
O número de repetições pode ser pequeno.
Auxilia na escolha de tratamentos em experimentos críticos.
Experimento crítico:
São experimentos em que as respostas aos tratamentos são comparadas.
O n0 de observações é suficiente para dar segurança na determinação de diferenças significativas.
Experimento demonstrativo:
Experimentos conduzidos em trabalhos de extensão com objetivo de comparar um novo tratamento com um padrão (tradicional).
Qual deles usar?
* Objetivos de um experimento:
Questões a serem respondidas.
Hipóteses a serem testadas.
- O investigador decide quais comparações entre tratamentos oferecem informações relevantes.
- Conduz o experimento para testar hipóteses relativas às diferenças entre tratamentos.
* Etapas do Planejamento experimental:
Quais as características que serão analisadas?
EX: bovinos (% de gordura na carne, produção de leite, etc).
Ex: Acerola (teor de vitamina C, vida útil de prateleira, perda de peso, etc).
EX: Eucaliptus (diâmetro do caule, altura da planta, produção de madeira, etc).
Quais fatores que afetam estas características?
EX: raça, variedade, espaçamento, adubação, irrigação, etc.
Quais desses fatores serão estudados no experimento?
Experimentos simples: apenas um tipo de tratamento pode ser estudado de cada vez. 
EX: testar espaçamentos (adubação, variedade, irrigação devem ser constantes).
Experimentos complexos: dois ou mais fatores.
EX: embalagens x temperaturas.
EX: fonte da água x quantidade aplicada.
EX: variedades x espaçamentos x adubação.
Como será constituída a unidade experimental?
EX: único indivíduo ou grupo deles.
EX: Produtividade de alface → (variedades A, B, C, D e E) 
*Quantas repetições deveram ser utilizadas?
Depende do número de tratamentos e do delineamento experimental.
Quanto maior o número de repetições melhor a precisão do experimento.
Recomenda-se: número de parcelas ≥ 20.
* Projeto de pesquisa:
A - Título: simples e coerente com o objetivo.
Ex: Produção de milho em função de doses de nitrogênio.
B - Responsável e colaboradores:
EX: Indicar pessoas (orientador, professores, bolsistas, voluntários) e instituições.
C - Introdução com justificativa:
Revisão de literatura.
- Importância sócio-econômica, nutricional. 
- Problema a ser estudado.
- Hipóteses a serem testadas.
D – Objetivos:
Questões a serem respondidas.
E - Material e métodos:
Localização: coordenadas geográficas, tipo de solo, topografia etc.
Materiais: calagem adubação, drenagem irrigação.
Tratamentos: identificar os tratamentos a serem testados.
Condução da cultura: semeadura, podas, pulverizações, colheita, adubação, irrigação etc.
Características avaliadas: produção de grãos, teor de gordura na carne, vidaútil do fruto etc.
Delineamento experimental:
(DIC, DBC, DQL).
Análise estatística (Software utilizado e procedimentos pós-análise de variância).
F - Cronograma:
Especificar o tempo para execução da pesquisa.
	
	2013
	ATIVIDADES
	Jul
	Ago
	Set
	Out
	Nov
	Dez
	Coleta e análise química do solo
	X
	
	
	
	
	
	Preparo da área
	X
	
	
	
	
	
	Aquisição de materiais
	X
	
	
	
	
	
	Semeadura
	X
	
	
	
	
	
	Transplantio
	
	X
	
	
	
	
	Condução e tratos culturais
	
	X
	X
	X
	
	
	Amostragem de plantas e frutos
	
	
	X
	X
	
	
	Colheita de frutos
	
	
	
	
	X
	
	Coleta de dados
	
	
	X
	X
	X
	
	Avaliações de pós-colheita
	
	
	
	
	X
	
	Tabulação e análise de dados
	
	
	
	
	X
	
	Apresentação de relatório
	
	
	
	
	X
	
	Envio de relatório
	
	
	
	
	
	X
	Resumo em congresso
	
	
	
	
	
	X
	Publicação em periódicos
	
	
	
	
	
	X
	Orientação de PIBIC
	X
	X
	X
	X
	X
	X
	Orientação de monografia
	X
	X
	X
	X
	X
	X
G - Orçamento.
	Discriminação 
	Unid.
	Quant.
	Valor unitário
	Valor total
	1 – Material de consumo em campo e laboratório
	-
	-
	-
	-
	- Sementes [melão (cultivar Torreon)].
	
kg
	
0,5
	
1800,00
	
900,00
	- Fertilizantes (uréia), 
	kg
	100
	1,50
	150,00
	- Fertilizante (Cloreto de potássio).
	kg
	80
	1,00
	80,00
	Fertilizante (Superfosfato simples).
	
kg
	
200
	
1,20
	
240,00
	- Defensivos (Daconil)
	kg
	1,0
	50,00
	50,00
	- Defensivos (Lanate)
	L
	1,0
	75,00
	75,00
	- Bandejas de poliestireno: 128 células 
	unid
	10
	12,00
	120,00
	- Substrato agrícola para produção de mudas.
	unid
	5
	15,00
	75,00
	- Manta (TNT)
	unid
	2
	1.000,00
	2.000,00
	- Sacos plásticos 50 x 100 cm.
	unid
	1000
	0,20
	200,00
	- sacos de papel 15 x 25 cm
	unid
	2000
	0,10
	200,00
	- Plaquetas para identificação de parcelas
	Unid
	200
	1,5
	300,00
	- Reagentes (ácido sulfúrico)
	
L
	
2,0
	
120,00
	
240,00
	- Reagentes (hidróxido de sódio). 
	
kg
	
1,0
	
150,00
	
150,00
	- reagentes (antrona)
	g
	100
	5,00
	500,00
	2 – Serviços de terceiros pessoa jurídica.
	
	
	
	
	- Manutenção e conserto de equipamentos
	-
	-
	-
	2.000,00
	- Taxas de inscrição em eventos, publicação de artigos em periódicos, confecção de posters, outros.
	
-
	
-
	
-
	
2.250,00
	 Total 
	
	
	
	9.730,00
* Referências:
Literatura que serviu de embasamento para a realização da pesquisa. 
ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL
UNIDADE II - PRINCÍPIOS BÁSICOS DA EXPERIMENTAÇÃO.
A – Repetição:
Considerações sob o erro experimental.
Variação entre observações realizadas em unidades experimentais que receberam o mesmo tratamento.
Escolha dos tratamentos
EX: Produções de duas variedades de milho A e B.
	A
	B
“A” produziu mais do que “B”
Será que A é mais produtiva do que B?
(A : área mais fértil, melhor condição de umidade).
EX: Produções de duas variedades de milho A e B com 4 repetições.
	A
	B
	B
	A
	B
	A
	A
	B
	A
	B
↓
Repetições e suas funções
A → Permitem a estimação do erro experimental.
B → Reduzem a variância da amostra (precisão).
C → Aumenta a abrangência do experimento:
Fatores que afetam o número de repetições
Grau de precisão desejado:
Recursos financeiros e tempo disponível:
B – Casualização:
O princípio da casualização consiste na distribuição dos tratamentos às parcelas de forma casual, para se evitar que um determinado tratamento venha a ser beneficiado ou prejudicado por sucessivas repetições em parcelas melhores ou piores. Sorteio dos tratamentos nas parcelas.
Croqui de um experimento
	A
	A
	A
	A
	A
	B
	B
	B
	B
	B
	C
	C
	C
	C
	C
Desta maneira os tratamentos A, B e C têm a mesma probabilidade de ser destinado a qualquer parcela.
O que fazer?
 Casualização das repetições dos tratamentos.
	B
	A
	C
	B
	A
	C
	B
	C
	A
	B
	B
	C
	A
	A
	C
Finalidade?
Propiciar a todos os tratamentos a mesma chance de serem designados as parcelas.
Evita: favorecimento ou não ocasionado por fatores externos.
Vale ressaltar que sem os princípios básicos da repetição e da casualização não existe experimentação.
C - Controle Local:
O princípio do controle local só é obrigatório quando as condições experimentais assim o exigir (heterogeneidade das condições experimentais).
EX: experimentos no campo. (heterogêneo).
EX: experimentos em estufas e laboratório (homogêneo).
EX: Área com manchas de solo bem definidas
Distinção entre condições experimentais: é necessária a casualização nessas áreas (controle local).
Áreas são chamadas de blocos.
EX: blocos seriam as manchas de solo.
Os blocos poderão ser espalhados por toda área ou agrupados.
Poderá haver ou não grande variabilidade de um bloco para outro.
Cada bloco seja tão uniforme quanto possível.
Ex: Experimentos zootécnicos visando melhoria na qualidade da carne.
(teste de rações).
Bovinos com idades diferentes.
Podem apresentar taxa de crescimento diferenciado e, portanto não podemos distribuir as rações inteiramente ao acaso.
O controle local consiste em dividir grupo heterogêneo quanto a idade em sub-grupos homogêneos.
Sub-grupos são chamados de blocos.
Rações são distribuídas de maneira casualizada dentro de cada bloco.
Delineamentos diferem quanto à aplicação destes princípios básicos.
DIC (2 princípios – repetição, casualização)
DBC (3 princípios – repetição, casualização e controle local).
DQL (3 princípios – repetição, casualização e controle local).
EXEMPLOS PRÁTICOS DE EXPERIMENTOS:
1 - Um extensionista, desejando comparar 10 rações para ganho de peso em animais, procedeu da seguinte forma:
- Tomou 10 animais de uma propriedade rural. Estes 10 animais visivelmente não eram homogêneos entre si, porque foram oriundos de diferentes cruzamentos raciais e apresentavam idades diferentes. As rações que o extensionista julgou ser as melhores foram designadas aos melhores animais, e as rações que o extensionista julgou ser as piores foram designadas aos piores animais, de tal forma que cada animal recebeu uma única ração. Ao final de sua pesquisa, o extensionista recomendou a ração que proporcionou maior ganho de peso nos animais. 
- Baseado nestas informações, pergunta-se:
A – Quantos e quais foram os tratamentos em teste nesta pesquisa?Justifique sua resposta.
10 tratamentos: rações. Esta foi à fonte de variação introduzida pelo pesquisador.
B – Qual foi à constituição de cada unidade experimental nesta pesquisa?Justifique sua resposta.
Cada animal. Cada animal recebeu um dos tratamentos.
C - Qual(is) foi(ram) o(s) princípio(s) básico(s) da experimentação utilizados nesta pesquisa? 
Nenhum.
D – É possível estimar o erro experimental nesta pesquisa? Justifique sua resposta.
Não. Pois o experimento não teve repetição.
E - A conclusão dada pelo extensionista ao final da pesquisa é estatisticamente aceitável? Justifique sua resposta.
Não, pois não foram usados os princípios básicos da experimentação.
2 – Um pesquisador de uma indústria de alimentos desejava verificar se seis sabores de sorvete apresentavam o mesmo o teor de glicose. O pesquisador, baseado em experimentos anteriores, sabia que duas outras fontes de variação indesejáveis poderiam influenciar o valor mensurado do teor de glicose: o tipo de recipiente utilizado para armazenagem do sorvete e o equipamento utilizado para mensuração do teor de glicose. Para controlar estas duas fontes de variação o pesquisador decidiu que cada sabor deveria ser avaliado em cada um dos seis equipamentos disponíveis; e armazenado em cada um dos seis tipos de recipientes disponíveis. Com esta finalidade,o pesquisador planejou o experimento da seguinte maneira:
-	Preparar 6 lotes de100 ml de cada sabor. O total de lotes a serem preparados seria de 36 lotes;
- Os lotes de sorvetes deveriam ser distribuídos ao acaso aos recipientes, com a restrição de que cada tipo de recipiente recebesse todos os 6 sabores uma única vez;
- Os lotes de sorvetes seriam designados ao acaso aos equipamentos para a análise do teor de glicose, com a restrição de que cada equipamento avaliasse cada um dos seis sabores uma única vez.
- Baseando-se nestas informações, pergunta-se:
1 - Quais foram os tratamentos em teste neste experimento?Justifique a sua resposta.
Os seis sabores de sorvete. Esta foi à fonte de variação introduzida pelo pesquisador neste experimento.
2 - O princípio da repetição foi utilizado neste experimento? Justifique a sua resposta.
Sim, pois cada sabor apareceu seis vezes no experimento.
3 - O princípio do controle local foi utilizado neste experimento? Justifique a sua resposta. Se a resposta for afirmativa, quantas vezes o mesmo foi utilizado? Se a resposta for negativa, discuta sobre a necessidade do mesmo ser utilizado neste experimento.
Sim, pois houve controle na casualização. Dois controles foram utilizados na casualização.
ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL
UNIDADE III
Delineamento inteiramente casualizado (DIC)
1 – Características
As unidades experimentais devem ser essencialmente homogêneas.
EX: Trabalhos em laboratório, estufas (temperatura e UR).
↓
EX: Pouco comum em ensaios agrícolas de campo.
↓
A casualização é feita inteiramente ao acaso. 
↓
Princípios básicos: repetição e casualização.
↓
Casualização dos tratamentos (DIC).
Experimento: 5 variedades de feijoeiro (A, B, C, D e E) e quatro repetições por tratamento.
	C
	B
	D
	A
	C
	B
	A
	C
	D
	E
	E
	B
	B
	A
	D
	D
	A
	E
	E
	C
2 - Vantagens
Não exige, embora seja preferível, que os tratamentos tenham todos os mesmos números de repetições.
Flexível: qualquer número de tratamentos ou repetição.
A análise de variância é simples, mesmo se o número de repetição variar entre os tratamentos.
3 - Desvantagens
Não é fácil manter total homogeneidade das condições durante a toda a realização do experimento.
Quando as condições experimentais não são uniformes, as variações que não sejam atribuídas a tratamentos são incorporadas ao erro (afeta a precisão do experimento).
4 - Modelo matemático
 Yij = μ + ti + εij
Yij = valor observado na parcela que recebeu o tratamento i na repetição j.
μ = média geral do experimento.
ti = efeito do tratamento i aplicado na parcela.
εij = erro dos fatores não controlados na parcela.
5 - Análise de variância (ANOVA)
 - É uma técnica de análise estatística que permite decompor a variação total, ou seja, a variação existente entre todas as observações, na variação devido à diferença entre os efeitos dos tratamentos e na variação devido ao acaso, que também é denominada de erro experimental ou resíduo.
- É um procedimento utilizado para verificação de efeito significativo entre tratamentos. Aqui saberemos se os tratamentos diferem ou não com relação à determinada característica avaliada.
- Porém, não sabemos qual o melhor ou pior dos tratamentos testados.
A ANOVA baseia-se na decomposição da variação total da variável resposta em partes que podem ser atribuídas aos tratamentos (variância entre tratamentos) e ao erro experimental (variância dentro dos tratamentos).
Composição da análise de variância
	FV
	GL
	SQ
	QM
	F
	Trat.
	I – 1
	SQTR
	SQTR/GL
	QMTR/QMR
	Erro
(resíduo)
	I(J – 1)
	SQTO – SQTR
	SQR/GL
	
	Total
	IJ -1
	SQTO
	-
	
Especificações
1a coluna: Fontes de variação (FV): tratamento + resíduo = total.
2a coluna: Graus de liberdade: tratamento + erro (resíduo) = total.
GLTR = I – 1 (Grau de liberdade de tratamento).
GLTO = IJ – 1 (Grau de liberdade total).
GLR = GLTO - GLTR (Grau de liberdade do resíduo).
I = número de tratamentos.
J = número de repetições por tratamento.
3a coluna: SQ: tratamento + resíduo = total.
SQTO = ∑YIJ2 – C 
C = G2 / IJ (Soma de quadrado total)
∑YIJ2 = Somatório das observações ao quadrado.
C = Correção das parcelas.
J = número de repetições por tratamento.
I = número de tratamentos.
SQTR = 1 / J (∑TOTRAT2) – C (Soma de quadrado de tratamento).
∑TOTRAT2 = Somatório dos totais de tratamento ao quadrado.
SQR = SQTO - SQTR (Soma de quadrado do resíduo)
4a coluna: QM ou variância: tratamento e resíduo.
QMTR = SQTR/GLTR (Quadrado médio de tratamento).
SQTR = Soma de quadrado de tratamentos.
GLTR = Grau de liberdade de tratamentos.
QMR = SQR/GLR (Quadrado médio do resíduo)
SQR = Soma de quadrado do resíduo.
GLR = Grau de liberdade do resíduo.
5a coluna: Teste F
F = QMTR/QMR.
H0: m1 = m2 = m3 = ... = mi ao nível α de probabilidade.
H1: rejeita-se H0: pelo menos a média de dois tratamentos difere entre sí ao nível α de probabilidade.
Regra de decisão
Fcal ≤ Ftabα aceita-se H0.
Fcal > Ftabα rejeita-se H0.
7 - Pressuposições básicas da análise de variância (ANOVA)
Os erros experimentais devem ter uma variância comum. (homocedásticos).
S12/S22 ≤ 4
Erros experimentais devem ser independentes e normalmente distribuídos.
8 - Transformação de dados 
Utilizados quando não se consegue atender as pressuposições básicas da ANOVA.
Raiz quadrada X
Logarítmica
Potencial
Amostra: 9, 16, 4, 25, 36 → Amplitude = 32
Raiz quadrada:
Raiz 9 = 3; Raiz 16 = 4; Raiz 4 = 2; Raiz 25 = 5; Raiz 36 = 6; 
 Amplitude: 4 → CV (coeficiente de variação).
EX1: Para comparar a produtividade de cinco variedades de milho, um agrônomo tomou 20 parcelas similares e distribuiu inteiramente ao acaso. Cada uma das cinco variedades em quatro parcelas experimentais. A partir dos dados experimentais fornecidos abaixo, é possível concluir que existe diferença significativa entre variedades com relação à produtividade, utilizando o nível de significância de 5 %?
- Croqui do experimento no campo:
	Var 1
1,12
	Var 4
1,05
	Var 2
1,15
	Var 4
1,23
	Var 3
1,27
	Var 2
1,18
	Var 5
2,17
	Var 5
1,93
	Var 5
1,90
	Var 3
1,31
	Var 1
0,98
	Var 2
1,05
	Var 3
1,12
	Var 5
1,80
	Var 2
0,97
	Var 1
0,97
	Var 4
1,12
	Var 1
0,85
	Var 4
1,25
	Var 3
1,10
Quadro dos dados do experimento:
	
	Repetições
	
	Tratamentos
	I
	II
	III
	IV
	Totais
	1 - Variedade 1
	0,85
	0,97
	0,98
	1,12
	3,92
	2 – Variedade 2
	0,97
	1,05
	1,18
	1,15
	4,35
	3 – Variedade 3
	1,10
	1,12
	1,31
	1,27
	4,80
	4 – Variedade 4
	1,12
	1,25
	1,05
	1,23
	4,65
	5 – Variedade 5
	1,80
	1,90
	2,17
	1,93
	7,80
	
	
	
	
	
	G = 25,52
Grau de liberdade
→ Total: IJ – 1 = 5 x 4 – 1 = 19.
→ Tratamento: I – 1 = 5 – 1 = 4.
→ Residual: GLTO – GLTR = 19 – 4 = 15.
I = número de tratamentos.
J = número de repetições por tratamento.
Soma de quadrados
→ Total: SQT0 = ∑YIJ2 – C → C = G2 / IJ
∑YIJ2 = Somatório das observações ao quadrado.
C = Correção das parcelas.
C = 25,522 / 20 = 32,5635
SQTO = (0,852 + 0,972 + ...+ 1,932) – 32,5635
SQTO = 35,1460 – 32,5635 = 2,5825
→ Tratamento: SQTR = 1 / J (∑TR2 – C)
J = número de repetições por tratamento.
∑TR2 = Somatório dos totais de cada tratamento ao quadrado.
C = Correção das parcelas.
SQTR = 1 / 4 (3,922 + 4,352 + ...+ 7,802) - 32,5635
SQTR = 34,9479 – 32,5635 = 2,3844
→ Residual: SQR = SQTO – SQTR
SQR = 2,5825 – 2,3844 = 0,1981
Quadrados médios
→ Tratamento: QMTR = SQTR / GLR
SQTR = Soma de quadrado de tratamentos.
GLTR = Grau de liberdade de tratamentos.
QMTR = 2,3844 / 4 = 0,5961
→ Residual: QMR = SQR / GLR
SQTR = Soma de quadrado do resíduo.
GLR = Grau de liberdade do resíduo.
QMR = 0,1981 / 15 = 0,0132Valor de F
F = QMTR / QMR
QMTR = Quadrado médio de tratamentos.
QMR = Quadrado médio do resíduo.
F = 0,5961 / 0,0132 = 45,16
Testar a significância de F
Regra de decisão
Fcal ≤ Fα aceita-se H0. 
Fcal > Fα rejeita-se H0.
Ftabelado ou Fα.
F (I, GLR) a determinado nível α. (Tabela de F).
F(4,15) 5% = 3,06. F(4,15) 1% = 4,89.
Fcal > Ftab → 45,16 > 3,06 (5%)
Fcal > Ftab → 45,16 > 4,89 (1%).
Fcal > Ftab (rejeita-se H0) → pelo menos as médias de dois tratamentos diferem estatisticamente entre sí ao nível de 1 e 5 % de probabilidade.
Conclusão do teste F da ANOVA: foi observado diferença significativa entre variedades de milho com relação a característica de produtividade da cultura a 5 % pelo teste F. 
Teste F indica que há diferença mais não discrimina quais são. 
Quadro 1 – Resumo da ANOVA para acidez total de 5 híbridos de melão.
	FV
	GL
	SQ
	QM
	F
	Híbridos
	4
	2,3844
	0,5961
	45,16**
	Resíduo
	15
	0,1981
	0,0132
	
	Total
	19
	2,5825
	
	
9 - Procedimento pós análise de variância (ANOVA):
Teste de médias e desdobramento da soma de quadrados de tratamentos em contrastes ortogonais: tratamentos qualitativos.
EX: variedades, tipos de adubos, embalagens, espaçamentos etc.
Análise de regressão: tratamentos quantitativos.
Ex: doses de nitrogênio, lâminas de irrigação, temperatura de armazenamento de frutos, populações de plantas etc.
10 - Utilização de contratstes ortogonais:
1 - Decomposição da SQTR em contrastes ortogonais.
O estudo de contrastes é muito importante na Estatística Experimental, principalmente quando o experimento em análise é composto por mais do que dois tratamentos. Com o uso de contrastes é possível ao pesquisador estabelecer comparações, entre tratamentos ou grupos de tratamentos, que sejam de interesse.
Contraste: função linear (se a soma algébrica dos coeficientes das variáveis é igual a zero).
(Y = a1x1 + a2x2 +...+ anxn → ∑an = 0).
Contrastes ortogonais: soma algébrica dos produtos dos coeficientes de mesma variável for também igual a zero.
(Y1 = a1x1 + a2x2 +...+ anxn → ∑an = 0). 
(Y2 = b1x1 + b2x2 +...+ bnxn → ∑bn = 0).
a1b1 + a2b2 +…+ anbn = 0
→ Se ∑anbn = 0, os contrastes Y1 e Y2 serão ortogonais caso os tratamentos tenham o mesmo número de repetições.
→ Caso contrário, a condição de ortogonalidade: ∑anbn/rn, onde rn é o número de repetições do tratamento n.
Regra prática para estabelecer grupo de contrastes.
1 – Escrevemos as médias dos tratamentos envolvidos na comparação.
2 – Atribuímos sinal positivo a média de um grupo e negativo as médias de outro grupo.
3 – Verificar número de tratamentos do grupo 1 e 2. Calculamos o mmc entre n1 e n2.
4 – Dividimos o mmc por n1. O resultado será o coeficiente de cada média do primeiro grupo.
5 - Dividimos o mmc por n2. O resultado será o coeficiente de cada média do segundo grupo.
Regra prática: ortogonalidade.
1 – Dividimos os tratamentos em dois grupos para estabelecer a primeira comparação.
2 – Para estabelecer as novas comparações, não podemos mais comparar tratamento de um grupo com os de outro. 
3 - Somente poderemos comparar tratamentos dentro de cada grupo. Dividimos cada grupo em subgrupos e só comparamos dentro de cada subgrupo.
EX: De acordo com os dados do exemplo anterior compare os seguintes contrastes:
Híbrido 5 vs demais (1, 2, 3 e 4).
Híbridos 1 + 2 vs 3 + 4
Híbrido 1 vs 2
Híbrido 3 vs 4
 n1 = 1 e n2 = 4; mmc (1,4)
 n1 = 2 e n2 = 2; mmc (2,2)
 n1 = 1 e n2 = 1; mmc (1,1)
 n1 = 1 e n2 = 1; mmc (1,1)
M1 = 3,92 / 4 = 0,98
M2 = 4,35 / 4 = 1,09
M3 = 4,80 / 4 = 1,20
M4 = 4,65 / 4 = 1,16
M5 = 7,80 / 4 = 1,95
 
C1 = 4 x 1,95 – 1 x 0,98 – 1 x 1,09 – 1 x 1,20 – 1 x 1,16 = 3,37. 
an2 = 42 + 12 + 12 + 12 + 12 = 20 
 
C2 = 1 x 0,98 + 1 x 1,09 – 1 x 1,20 + 1 x 1,16 = - 0,29.
an2 = 12 + 12 + 12 + 12 = 4
 
C3 = 1 x 0,98 - 1 x 1,09 = - 0,11. 
an2 = 12 + 12 = 2
 
C4 = 1 x 1,20 - 1 x 1,16 = 0,04.
an2 = 12 + 12 = 2
QMC1 = SQC1/GLC1 = 2,2717/1 = 2,2714
QMC2 = SQC2/GLC2 = 0,0841/1 = 0,0841
QMC3 = SQC3/GLC3 = 0,0242/1 = 0,0242
QMC4 = SQC4/GLC4 = 0,0032/1 = 0,0032
FC1 = QMC1/QMERRO = 2,2714/0,0132 = 172,08
FC2 = QMC2/QMERRO = 0,0841/0,0132 = 6,37
FC3 = QMC3/QMERRO = 0,0242/0,0132 = 1,83
FC4 = QMC2/QMERRO = 0,0032/0,0132 = 0,35
Tabela 2 – Decomposição da soma de quadrados de tratamentos em contrastes ortogonais relativo a valores médios da produtividade de milho de cinco variedades em Pombal – PB. CCTA/UFCG, 2013.
	Contrastes
	GL
	SQ
	QM
	F
	V5 vs V1 + V2 + V3 + V4
	1
	2,2714
	2,2714
	172,08*
	V1 + V2 vs V3 + V4
	1
	0,0841
	0,0841
	6,37*
	V1 vs V2
	1
	0,0242
	0,0242
	1,83ns
	V3 vs V4
	1
	0,0032
	0,0032
	0,35ns
	Tratamentos
	(4)
	2,3843
	-
	
	Resíduo
	15
	-
	0,0132
	
Ftabelado = F5% (1, 15) = 4,54.
Fcal > FTab o contraste é dito significativo.
Fcal ≤ FTab o contraste é dito não significativo.
Conclusão:
- A produtividade de milho na variedade 1 foi superior comparado à média de produtividade das demais variedaes (2, 3, 4 e 5). 
- A produtividade de milho foi inferior em média nas variedades 1 e 2 comparado a média de produtividade das variedades 3 e 4.
Não foi observada diferença significativa quanto a produtividade de milho entre as variedades 1 e 2 e entre as variedades 3 e 4.
DIC: CASO DE PARCELAS PERDIDAS.
Exista condição de igualdade entre tratamentos.
Problemas de perda de parcelas
Perda de parcelas (plantas):
Destruição de plantas por animais
Corte de plantas por formiga
Doenças no solo e ataque de pragas
Germinação de sementes
Perda de parcelas (morte de animais):
Aplicação errada do tratamento.
Incidência de fungos e bactérias
Observação não realizada na parcela no momento certo.
DIC: Não é necessária a estimação das parcelas perdidas. Pode-se fazer a ANOVA com diferente número de repetições por tratamento.
EX2: Com o objetivo de diminuir o consumo dos motores à gasolina, uma determinada indústria petroquímica testou 4 novas formulações de gasolina, as quais se diferenciavam pelo tipo de aditivo que era acrescentado à mesma durante o seu processo de fabricação. Para efetuar o teste, a indústria petroquímica utilizou carros completamente homogêneos para todas as características. A designação das formulações aos carros foi feita ao acaso. Após os testes de rodagem, os resultados obtidos foram (km/l):
- A (ácido forte); B (ácido fraco); C (base forte) e D (base fraca). 
	A
20,00
	B
17,44
	B
19,42
	D
18,80
	B
20,32
	A
23,40
	C
18,80
	D
18,96
	C
19,42
	C
20,32
	B
XXX
	D
18,18
	D
18,48
	C
23,26
	A
22,40
	D
19,18
	A
20,68
	C
23,14
	B
18,22
	D
18,74
	B
18,24
	A
21,26
	C
19,20
	A
XXX
	
	
Repetições
	
Totais
	Form.
	I
	II
	III
	IV
	V
	VI
	
	A
	20,00
	23,40
	22,40
	20,68
	21,26
	-
	107,74
	B
	17,44
	19,42
	20,32
	18,24
	18,22
	-
	93,64
	C
	19,20
	23,26
	23,14
	20,32
	19,42
	18,80
	124,14
	D
	18,74
	19,18
	18,48
	18,96
	18,18
	18,80
	112,34
	
	
	
	
	
	
	
	437,86
→ Grau de liberdade
- Total: N – 1 = 22 – 1 = 21.
- Tratamento: I – 1 = 4 – 1 = 3.
- Residual: GLTO – GLTR = 21 – 3 = 18.
→ Soma de quadrados
- Total: SQT0 = ∑YIJ2 – C → C = G2 / N
C = 437,862 / 22 = 8714,6082
SQTO = (20,002 + 23,402 + ...+ 18,802) – 8714,6082
SQTO = 8780,4388 – 8714,6082 = 65,8306
- Tratamento: SQTR = 1 / J (∑tR2 – C)
SQTR = 1 / 5 (107,742 + 93,642) + 1 / 6 (124,142 + 112,342) – 8714,6082 = 32,4991
- Residual: SQR = SQTO – SQTR
SQR = 65,8306 – 32,4991 = 33,3315
→ Quadrados médios
- Tratamento: SQTR / GL
QMTR = 32,4991 / 3 = 10,8330
- Residual: SQR / GL
QMR = 33,3315/ 18 = 1,8518
Valor de F
F = QMTR / QMR = 10,8330 / 1,8518 = 5,85
F(3,18) 5% = 3,16.
F(3,18) 1% = 5,09.
Fcal > Ftab (rejeita-se H0) → pelo menos as médias de dois tratamentos diferem estatisticamente entre sí ao nível de 1 e 5 % de probabilidade. 
Conclusão do teste F da ANOVA: foi observada diferença significativa entre as formulações com relação a distância percorrida pelo veículo a 5 % pelo teste F. 
Quadro 1 – Resumo da ANOVA para distância percorrida pelo veículo em quatro formulações de combustível. Pombal – PB, CCTA/UFCG, 2013. 
	FV
	GL
	SQ
	QM
	F
	Formulações
	3
	32,4991
	10,8330
	5,85*
	Resíduo
	18
	33,3315
	1,8518
	
	Total
	21
	65,8306
	
	
→ No Caso de número de repetições diferentes por tratamento, a condição de ortogonalidade: ∑anbn/rn, onde rn é o número de repetições do tratamento n.
EX: Com os dados do exemplo anterior, faça os seguintes contrastes.
FORM A vs demais (B, C e D).
FORM B vs (C e D)
FORM C vs FORM D
C1 = 3mA – mB – mC - mD n1 = 1, n2 = 3; mmc (1,3) 
C2 = 2mB – mC - mD n2 = 1, n2 = 2; mmc (1,2)
C3 = mC - mD n3 = 1, n2 = 1; mmc (1,1)
MA = 107,74 / 5 = 21,55
 MB = 93,64 / 5 = 18,73
MC = 124,14 / 6 = 20,69
MD = 112,34 / 6 = 18,72
C1 = 3mA – mB – mC - mD
C1 = 3 x 21,55 – 1 x 18,73 – 1 x 20,69 – 1 x 18,72 = 6,51.
SQ(C1) = (6,51)2 / ∑(32/5 + 12 / 5 + 12 / 6 + 12 / 6) = 18,1629.
C2 = 2mB – mC - mD
C2 = 2 x 18,73 – 1 x 20,69 – 1 x 18,72 = - 1,95.
SQ(C2) = (-1,95)2 / ∑(22/5 + 12 / 6 + 12 / 6) = 3,3551
C3 = mC - mD
C3 = 1 x 20,69 – 1 x 18,72 = 1,97.
SQ(C3) = (1,97)2 / ∑(12 / 6 + 12 / 6) = 11,0427.
↓
QMC1 = 18,1629 / 1 = 18,1629
QMC2 = 3,3551 / 1 = 3,3551
QMC1 = 11,6427 / 1 = 11,0427
↓
Valor de F
FC1 = 18,1629 / 1,8518 = 9,81.
FC2 = 3,3551 / 1,8518 = 1,81.
 FC3 = 11,0427 / 1,8518 = 5,96.
Tabela 2 – Decomposição da soma de quadrados de tratamentos em contrastes ortogonais relativo a distância percorrida em função de diferentes formulações de combustíveis. Pombal – PB, CCTA/UFCG, 2013.
	
	GL
	SQ
	QM
	F
	mA vs (mB + mC + mD)
	1
	18,1629
	18,1629
	9,81*
	mB vs (mC + mD)
	1
	3,3551
	3,3551
	1,81ns
	mC vs mD
	1
	11,0427
	11,6427
	5,96*
	
	(3)
	
	-
	
	Resíduo
	18
	-
	1,8518
	
Ftabelado = F5% (1, 18) = 4,41.
Fcal > FTab (significativo) e Fcal ≤ FTab (não significativo).
Conclusão:
- A distância percorrida pelo veículo foi superior na formulação A comparado a média da distância percorrida nas demais formulações (B, C e D). 
- A distância percorrida pelo veículo não diferiu quando comparada a formulação B da média das formulações C e D.
- A distância percorrida pelo veículo foi superior na formulação C quando comparada à formulação D.
Considerações sobre o CV (coeficiente de variação).
O coeficiente de variação é calculado da seguinte maneira:
CV (%) = (√QMERRO / MG) X 100
QMERRO = Quadrado médio do erro
MG = G /IJ → média geral
O CV é utilizado para avaliação da precisão de experimentos. Quanto menor o CV mais preciso tende a ser o experimento. A título de classificação geral pode-se utilizar a seguinte tabela:
	CV
	Avaliação
	Precisão
	< 10%
	Baixo
	Alta
	10 a 20 %
	Médio
	Média
	20 a 30 %
	Alto
	Baixa
	> 30 %
	Muito alto
	Muito baixa
OBS: Porém o valor do CV não tem nada de absoluto, pois existe uma variabilidade inerente a cada área de pesquisa. Por exemplo, experimentos realizados em locais com ambiente controlado geralmente são mais precisos e podem apresentar CV menores que 5%.
ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL
UNIDADE IV - TESTE DE COMPARAÇÕES MÚLTIPLAS DE MÉDIAS EXPERIMENTAIS.
Generalidades
Teste de comparações múltiplas (PÓS – ANOVA).
↓
ANOVA: Testar pelo teste F a aceitação ou rejeição da hipótese H0. 
Análise de variância (rejeição da hipótese nula).
↓
Evidências que existem diferenças entre médias populacionais.
Mais entre que médias se registra estas diferenças? (Teste de Comparações Múltiplas).
Procedimento PÓS-ANOVA:
Teste de médias: tratamentos qualitativos.
Análise de regressão: tratamentos quantitativos.
Teste de comparações múltiplas de médias.
(Tukey, Duncan, Newmam Keulls, Dunnett, Sheffé, t de Student).
1 - TESTE TUKEY
Usado para testar todo e qualquer contraste entre duas médias.
O teste é exato e de uso simples quando o n0 de repetições é o mesmo para todos os tratamentos.
N0 de repetições é diferente é apenas aproximado.
Não permite comparar grupos entre sí
Tem por base a DMS:
Diferença mínima significativa.
∆ = diferença mínima significativa
(valor limite para diferença entre médias de dois tratamentos não diferirem estatisticamente entre sí).
q = amplitude total estudentizada.
Tabelas de Tukey: nível α, número de tratamentos (I) e do grau de liberdade do resíduo (n’).
QMR = quadrado médio do resíduo. 
ri e ru = número de repetições.
Tabela do teste de Tukey: (I, GLR)
Hipóteses estatísticas
H0: mI = mJ H1: mI ≠ mJ, I ≠ J
Regra de decisão
Y = |mI – mJ| ≤ ∆
Aceita-se H0. (contraste não significativo).
Y = |mI – mJ| > ∆
Rejeita-se H0. (contraste é significativo).
EX: Experimento DIC: A altura de plântulas de Eucaliptus (cm) submetidos a cinco tipos de substratos.
	Substrato 1
5,5
	Substrato 3
6,9
	Substrato 2
6,8
	Substrato 3
6,7
	Substrato 5
6,6
	Substrato 4
5,9
	Substrato 5
6,8
	Substrato 4
5,7
	Substrato 2
7,1
	Substrato 5
6,4
	Substrato 1
5,8
	Substrato 2
7,2
	Substrato 5
5,8
	Substrato 1
5,1
	Substrato 3
7,2
	Substrato 4
4,9
	Substrato 3
5,8
	Substrato 4
5,6
	Substrato 1
4,6
	Substrato 2
6,0
Quadro 1: Dados coletados no experimento.
	Substratos
	Repetições
	
	1
	2
	3
	4
	1
	4,6
	5,1
	5,8
	5,5
	2
	6,0
	7,1
	7,2
	6,8
	3
	5,8
	7,2
	6,9
	6,7
	4
	5,6
	4,9
	5,9
	5,7
	5
	5,8
	6,4
	6,6
	6,8
Quadro 2 – Resumo da ANOVA para a altura da plântula de Eucalipstus.
	FV
	GL
	SQ
	QM
	F
	Substratos
	4
	7,60
	1,90
	7,31*
	Resíduo
	15
	3,91
	0,26
	
	Total
	19
	11,51
	
	
F5%(4,15) = 3,06.
Fcal > Ftab (rejeita-se H0) → existe pelo menos um contraste entre médias de tratamentos, que difere entre sí ao nível de 5 % de probabilidade.
Conclusão do teste F da ANOVA: foi observada diferença significativa entre os substratos com relação à altura da plântula de Eucaliptus a 5 % pelo teste F. 
EX: Comparar as médias pelo teste Tukey.
H0: mi = mJ 
 H1: m1 ≠ mJ.
Teste de Tukey
Colocar as médias em ordem decrescente:
m2 = 27,1/4 = 6,77 
m3 = 26,6/4 = 6,65 
m5 = 25,6/4 = 6,40 
m4 = 22,1/4 = 5,52 
m1 = 21,0/4 = 5,25 
2) Formar e calcular o valor de cada contraste: 
Y1 = |m2 – m3| = 6,77 – 6,65 = 0,12ns
Y2 = |m2 – m5| = 6,77 – 6,40 = 0,37ns
Y3 = |m2 – m4| = 6,77 – 5,52 = 1,25*
Y4 = |m2 – m1| = 6,77 – 5,25 = 1,52*
Y5 = |m3 – m5| = 6,65 – 6,40 = 0,25ns
Y6 = |m3 – m4| = 6,65 – 5,52 = 1,13*
Y7 = |m3 – m1| = 6,65 – 5,25 = 1,40*
Y8 = |m5 – m4| = 6,40 – 5,52 = 0,88ns
Y9 = |m5 – m1| = 6,40 – 5,25 = 1,15*
 Y10 = |m4 – m1| = 5,52 – 5,25 = 0,27ns
3) calcular o valor da DMS:
∆ = q √QMR / J = 4,37 √0,26 / 4 = 1,11 dias
q5% (5,15) = 4,37
4) Colocar a significância nos contrastes (passo 2) comparando o valor do contraste com o valor DMS.
5) Colocar as letras nas médias dos tratamentos.
m2 = 27,1/4 = 6,77 a
m3 = 26,6/4 = 6,65 a
m5 = 25,6/4 = 6,40 ab
m4 = 22,1/4 = 5,52 bc
m1 = 21,0/4 = 5,25 c 
Calcular o coeficiente de variação
6) Conclusão.
A maior altura de plântulas de Eucaliptus foi observada nas plantas cultivadas nos substratos 2, 3 e 5 comparado a aquelas plantas cultivadas nos substratos4 e 1 ao nível de 5 % de probabilidade.
Tabela 1 – Valores médios da altura de plântulas de Eucaliptus submetidos a diferentes tipos de substratos em Londrina - PR. UFPR, 2012.
	Substratos
		Altura da plântula (cm)	
	2
	6,77 a
	3
	6,65 a
	5
	6,40 ab
	4
	5,52 bc
	1
	5,25 c
	DMS
	1,11
	CV (%)
	8,33
	* Nas colunas, as médias seguidas pela mesma letra não diferem entre sí ao nível de 5 % de probabilidade.
2 - TESTE DUNCAN
Usado para testar contraste entre duas médias.
É menos rigoroso que o teste Tukey em termos de rejeitar H0. Pode indicar resultados significativos que Tukey não indicaria. (aplicação mais trabalhosa). 
Exige que as médias sejam colocadas em ordem decrescente e que tenham o mesmo número de repetições para ser exato.
A significância do teste é indicada ligando-se por uma barra ou letras as médias que não diferem entre sí.
Baseia-se na amplitude total mínima significativa (Di)
Di = diferença mínima significativa
Zi = amplitude total estudentizada
Zi = f (α, i e n’).
α = nível de significância (1 e 5 %).
i = n0 de médias ordenadas abrangidas pelo contraste.
n’ = número de grau de liberdade do resíduo.
Tabela do teste de Duncan: (n, GLR)
 
Hipóteses estatísticas
H0: mi = mJ H1: m1 ≠ mJ, I ≠ J.
Regra de decisão
Y = |mI – mJ| ≤ Di
Aceita-se H0. (contraste não significativo).
Y = |mI – mJ| > Di
Rejeita-se H0. (contraste é significativo).
Ex: Aplicar o teste de Duncan nas médias abaixo.
1) Colocar as médias em ordem decrescente:
m2 = 6,77
m3 = 6,65
m5 = 6,40
m4 = 5,52
m1 = 5,25
Formar e calcular o valor de cada contraste envolvendo grupo de médias: calcular o valor da DMS e comparar com o valor de cada contraste para testar o contraste.
Contrastes envolvendo grupo com 5 médias
Z5% (5,15) = 3,31
D5 = 3,31 √0,26/4 = 0,84
Y5 = |m2 – m1| = 6,77 – 5,25 = 1,52*
Contrastes envolvendo grupo com 4 médias
Z5% (4,15) = 3,25
D4 = 3,25 √0,26/4 = 0,83
Y4 = |m2 – m4| = 6,77 – 5,52 = 1,25*
Y4 = |m3 – m1| = 6,65 – 5,25 = 1,40*
Contrastes envolvendo grupo com 3 médias
Z5% (3,15) = 3,16
D3 = 3,16 √0,26/4 = 0,80
Y3 = |m2 – m5| = 6,77 – 6,40 = 0,37ns
Y3 = |m3 – m4| = 6,65 – 5,52 = 1,13*
Y3 = |m5 – m1| = 6,40 – 5,25 = 1,15*
Contrastes envolvendo grupo com 2 médias
Z5% (2,15) = 3,01
D2 = 3,01 √0,26/4 = 0,77
Y2 = |m2 – m3| = 6,77 – 6,65 = 0,12ns
Y2 = |m3 – m5| = 6,65 – 6,40 = 0,15ns
Y2 = |m5 – m4| = 6,40 – 5,52 = 0,88*
Y2 = |m4 – m1| = 5,52 – 5,25 = 0,27ns
3) Conclusão.
A altura da plântula de Eucaliptus não diferiu entre sí quando foi utilizado os substratos 2, 3 e 5, porém apresentaram plantas com altura superior quando comparados com aquelas plantas cultivadas nos substratos 4 e 1 ao nível de 5 % de probabilidade.
Tabela 2 – Valores médios da altura de plântulas de Eucaliptus submetidos a diferentes tipos de substratos em Londrina - PR. UFPR, 2010.
3 - TESTE DE NEWMAM-KEULLS
Usado para testar contraste entre duas médias.
Rigor: intermediário entre Tukey e Duncan.
Usa-se a metodologia do Duncan com a tabela de Tukey. 
A significância do teste é indicada ligando-se por uma barra ou letras as médias que não diferem entre sí.
∆i = diferença mínima significativa
QMR = Quadrado médio do resíduo.
qi = amplitude total estudentizada.
qi = f (α, i e n’).
α = nível de significância
i = n0 de médias ordenadas abrangidas pelo contraste.
n’ = número de grau de liberdade do resíduo.
Tabela do teste: Tukey
Hipóteses estatísticas
H0: mI = mJ H1: mI ≠ mJ, I ≠ J
Regra de decisão
Y = |m1 – m2| ≤ ∆i
Aceita-se H0. (contraste não significativo).
Y = |m1 – m2| > ∆i
Rejeita-se H0. (contraste é significativo).
Ex: Aplicar o teste de Newman-Keuls nas médias.
1) Colocar as médias em ordem decrescente:
m2 = 6,77
m3 = 6,65
m5 = 6,40
m4 = 5,52
m1 = 5,25
2) Formar e calcular o valor de cada contraste envolvendo grupo de médias: calcular o valor da DMS e comparar com o valor de cada contraste para testar o contraste.
Contrastes envolvendo grupo com 5 médias
q5% (5,15) = 4,37
∆’5 = 4,37 √0,26/4 = 1,11
Y5 = |m2 – m1| = 6,77 – 5,25 = 1,52*
Contrastes envolvendo grupo com 4 médias
q5% (4,15) = 4,08
∆’4 = 4,08 √0,26/4 = 1,04
Y4 = |m2 – m4| = 6,77 – 5,52 = 1,25*
Y4 = |m3 – m1| = 6,65 – 5,25 = 1,40*
Contrastes envolvendo grupo com 3 médias
q5% (3,15) = 3,67
∆’3 = 3,67 √0,26/4 = 0,93
Y3 = |m2 – m5| = 6,77 – 6,40 = 0,37ns
Y3 = |m3 – m4| = 6,65 – 5,52 = 1,13*
Y3 = |m5 – m1| = 6,40 – 5,25 = 1,15*
Contrastes envolvendo grupo com 2 médias
q5% (2,15) = 3,01
∆’2 = 3,01 √0,26/4 = 0,77
Y2 = |m2 – m3| = 6,77 – 6,65 = 0,12ns
Y2 = |m3 – m5| = 6,65 – 6,40 = 0,15ns
Y2 = |m5 – m4| = 6,40 – 5,52 = 0,88*
Y2 = |m4 – m1| = 5,52 – 5,25 = 0,27*
Conclusão.
As plantas de Eucaliptus não apresentaram diferença significativa em sua altura quando cultivadas nos substratos 2, 3 e 5, porém as plantas cultivadas nestes substratos apresentaram altura superior aquelas plantas cultivadas nos substratos 4 e 1 que não diferiram entre sí a 5 % de probabilidade.
Tabela 3 – Valores médios da altura de plântulas de Eucaliptus submetidos a diferentes tipos de substratos em Londrina - PR. UFPR, 2012.
4 - TESTE DE DUNNETT
Usado quando há interesse em comparar media de um tratamento padrão (testemunha) com os demais tratamentos.
Não há interesse na comparação dos demais tratamentos entre sí.
Um experimento com I tratamentos permite a aplicação do teste a (I – 1) comparações.
Aplicação do teste Dunnett
Calcular a estimativa de cada contraste.
Y1 = mi - mP
Y2 = mi - mP
Y(I – 1) = m(I – 1) - mP
Calcular a estimativa de variância de cada contraste.
V(Y) = (1 / ri + 1/rp) QMR
Calcular o desvio padrão do contraste.
S(Y) = √V(Y)
Calcular o valor do teste d’.
d’ = td x s(Y)
td = valor tabelado para teste Dunnett (1 e 5 %). 
td = f (α, i e n).
α = nível de significância
i = n0 de grau de liberdade de tratamentos (I – 1).
n’ = número de grau de liberdade do resíduo.
Regra de decisão
Y = |mI – mJ| ≤ d’
Aceita-se H0. (contraste não significativo).
Y = |mI – mJ| > d’
Rejeita-se H0. (contraste é significativo).
Ex: Aplicar o teste Dunnett para o exercício anterior, admitindo o tratamento 1 como sendo a testemunha. 
1) Calcular a estimativa de cada constraste.
Y1 = m2 – m1 = 6,77 – 5,25 = 1,52*
Y2 = m3 – m1 = 6,65 – 5,25 = 1,40*
Y3 = m4 – m1 = 5,52 – 5,25 = 0,27ns
Y4 = m5 – m1 = 6,40 – 5,25 = 1,15*
2) Calcular a estimativa da variância de cada contraste.
V(Y) = (1/4 + 1/4) x 0,26 = 0,13
3) Calcular o erro padrão do contraste.
S(Y) = √V(Y) = √0,13 = 0,36.
4) Calcular o valor do teste d’.
d’ = td x S(Y)
td (5%,4,15) = 2,73 d’ = 2,73 x 0,36 = 0,98
5) Conclusão.
Verifica-se maior altura de plântulas de Eucaliptus quando utilizou-se os substratos 2, 3 e 5 comparado a testemunha (substrato 1). Não houve diferença significativa na altura da plântula de Eucaliptus quando se usou o substrato 4 comparado a testemunha (substrato 1) ao nível de 5 % de probabilidade pelo teste de Dunnett.
5 - TESTE DE SHEFFÉ
Aplicado para testar todo e qualquer contraste de médias.
Frequentemente utilizado para testar contraste que envolve grupos de médias.
Mais rigoroso que o teste t, porém mais flexível.
(ortogonalidade e estabelecimento dos contrastes).
OBS: a estatística do teste é denotada por S.
I = número de tratamentos do experimento.
Fα = valor tabelado; Fα = f(n1, n2).
n1 = grau de liberdade para tratamento.
 n2 = grau de liberdade para resíduo.
V(C) = Variância do contraste.
Regra de decisão
|C | ≤ S
Aceita-se H0. (contraste não significativo).
|C| > S
Rejeita-se H0. (contraste é significativo).
EX: Um experimento testou adubos nitrogenadospara o abacaxizeiro com 6 tratamentos (5 tipos de adubo e 1 testemunha) e 4 repetições no DIC.
	Médias de produção em kg / parcela.	
	1 – Testemunha
	m1 = 21,57
	2 – Sulfato de amônio
	m2 = 27,76
	3 – Salitre do Chile
	m3 = 24,58
	4 – Uréia
	m4 = 28,44
	5 – Nitrato de cálcio
	m5 = 28,85
	6 – Nitrato de potássio
	m6 = 28,30
- Estimativa da variância residual: QMR = 0,64.
- Esquema da ANOVA:
	FV
	GL
	Tratamento
	5
	Resíduo
	18
	Total
	23
1) Calcular o valor do contraste.
C = 5 m1 – m2 – m3 – m4 – m5 – m6
C = 5 (21,57) – 27,76 – 24,58 – 28,44 – 28,85 – 28,30
C = - 30,08 kg / parcela
2) Calcular o valor da DMS.
- Cálculo de S: 
I = 6; F5% (5,18) = 2,77
3) Comparar o valor do contraste com a DMS.
|C| ≥ S: rejeita-se H0.
4) Conclusão.
Os adubos nitrogenados proporcionaram, em média, um aumento de produção de 6,02 kg / parcela (C/5) em relação à testemunha.
6 - TESTE t DE STUDENT
Usado também para comparações de médias.
As comparações devem ser escolhidas antes de serem examinados os dados.
N0 de comparações = GL para tratamentos.
Os contrastes devem ser ortogonais.
Contraste: função linear (se a soma algébrica dos coeficientes das variáveis é igual a zero).
(Y = a1x1 + a2x2 +...+ anxn → ∑an = 0).
Contrastes ortogonais: a soma algébrica dos produtos dos coeficientes de mesma variável for também igual à zero.
(Y1 = a1x1 + a2x2 +...+ anxn → ∑an = 0). 
(Y2 = b1x1 + b2x2 +...+ bnxn → ∑bn = 0).
a1b1 + a2b2 +…+ anbn = 0
Experimento com 3 médias (m1, m2, m3) → 2 graus de liberdade para tratamentos (2 contrastes).
Y1 = m1 – m2
Y2 = m1 + m2 – 2m3
EX 1: Se as estimativas das médias forem:
m1 = 26,0; m2 = 24,8; m3 = 22,8;
Vejamos agora o caso do contraste Y1
Y1 = 26,0 – 24,8 = 1,20.
Dado um contraste: Y = c1m1 + c2m2 +...+ cnmn
Tratamento 1, 2, ... n (ri)
Estimativa da variância
Variância é o quadrado do desvio padrão.
S(Y) = √V(Y)
6 (número de repetições para todos os tratamentos).
V(Y1) = (1/6 + 1/6) S2 = 1/3 S2
Supondo S2 = 1,44 
S(Y1) = √1/3 x 1,44 = 0,693
Testando o contraste pelo teste t : 
Hipóteses
H0: Y1 = 0 H1: Y1 ≠ 0
t = 1,20 / 0,693 = 1,73 → t5%,9 = 2,09
tcal < ttab contraste é não significativo, as médias dos tratamentos não diferem entre sí (m1 = m2) a 5 % de probabilidade pelo teste t.
Vejamos agora o caso do contraste Y2
Y2 = m1 + m2 – 2m3 = 26,0 + 24,8 – 2 x (22,8) = 5,2.
V(Y) = (1/6 + 1/6 + 4/6) S2
S(Y2) = S2 = √1,44 = 1,20.
Tcalc = 5,20 / 1,20 = 4,33. t5%,9 = 2,09.
 tcal > ttab contraste é significativo. (m1 + m2 ≠ m3).
Conclusão: as médias dos tratamentos (1 e 2) apresentaram superioridade em comparação a média do tratamento 3 a 5 % de probabilidade.
ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL
UNIDADE V - REGRESSÃO LINEAR SIMPLES
Considerações
- Um fator em estudo num experimento pode ser classificado como qualitativo ou quantitativo.
- Um fator qualitativo é aquele onde os seus níveis diferem por algum atributo qualitativo.
EX: variedades, tipos de defensivos, métodos de conduzir uma determinada tarefa, etc.
- Um fator quantitativo é aquele onde os níveis se diferem com relação a quantidade do fator.
EX: temperatura, umidade, concentração de um princípio ativo, níveis de insumo, pH, etc.
- Fator é qualitativo: proceder à análise de variância dos dados e às comparações entre médias dos níveis do fator usando algum dos procedimentos para comparações múltiplas, quando o F for significativo.
- Fator quantitativo: estudar o efeito do fator quantitativo por meio de uma relação funcional entre o mesmo e a variável resposta. A técnica indicada neste caso é a análise de regressão.
Modelo Matemático: Y = β0 + β1X + εi
 Y = β0 + β1X + β2X2 + εi
Y → variável dependente (resposta).
X → variável independente (explanatória).
Y = 2,5 + 2,0 x X = 1; Y = 4,5;
Modelo de regressão linear simples:
Relaciona uma variável aleatória Y com uma variável X.
Yi = β0 + β1Xi 
A parte da variação de X não explicada é atribuída ao acaso e constitui a variação residual.
OBS: o n0 de observações disponíveis deve ser maior que o número de parâmetros da equação de regressão.
 
R2: O coeficiente de determinação fornece uma informação auxiliar visando verificar se o modelo proposto é adequado ou não para descrever o fenômeno.
Trata-se do indicador de qualidade do ajustamento.
R2 = VE/VT
0 ≤ R2 ≤ 1, ou 0 a 100 %.
Ex 1: Os dados da tabela a seguir referem-se ao efeito das doses do inseticida Vertimec sob mosca branca em condições de laboratório.
	Doses (X)
ml
	Mortalidade (Y) %
	X2
	Y2
	XY
	0.5
	3
	0,25
	9
	1,5
	1,0
	9
	1,00
	81
	9,0
	1,5
	44
	2,25
	1936
	66,0
	2,0
	68
	4,00
	4624
	136,0
	2,5
	79
	6,25
	6241
	197,5
	3,0
	82
	9,00
	6724
	246,0
	3,5
	85
	12,25
	7225
	297,5
	4,0
	94
	16,00
	8836
	376,0
	4,5
	100
	20,25
	10000
	450,0
	Total
	-
	-
	-
	-
	22,5
	564
	71,25
	45676
	1779,5
* Com base nesses dados, calcule as estimativas dos parâmetros da equação de regressão:
 
 = ∑y / n = 564/9 = 62,66 
 = ∑x / n = 22,5/9 = 2,5 
β0 = 62,66 – 24,63 * 2,5 = 1,09.
Pode-se fazer então o diagrama de dispersão e traçar a reta da equação de regressão linear.
Coeficiente de determinação (R2)
Trata-se do indicador de qualidade do ajustamento.
R2 = VE/VT
a – Variância total (VT):
VT = ∑y2 - (∑y)2 / n.
b – Variação explicada pela variável independente (VE):
VE = β1 * ∑xy – (∑x * ∑y) / n
↓
0 ≤ R2 ≤ 1, ou 0 a 100 %.
Ex 2: Calcular o R2 para o exemplo anterior.
VT = ∑y2 - (∑y)2 / n = 45676 – (564)2/9 = 10332.
VE = β1 * ∑xy - (∑x * ∑y) / n
VE = 24,63 * [1779,5 – (22,5 * 564)/9] = 9100,79.
R2 = VE/VT = 9100,79/ 10332
R2 = 0,8808 ou 88,08 %.
Conclusão: O uso das doses do inseticida (x) explica 88,08 % da variação da mortalidade de insetos (Y).
ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL
UNIDADE VI
DELINEAMENTO EM BLOCOS AO ACASO - DBC
Características
Caracterizado pela introdução do princípio do controle local, representado pelos blocos.
DIC (repetição + casualização).
DBC (repetição + casualização + controle local)
↓
Quando usar o controle local?
Distinção entre condições experimentais.
(heterogeneidade do ambiente (fertilidade do solo, temperatura, etc...).
↓
EX: Quando o pesquisador deseja comparar o efeito de analgésicos em cobaias. No entanto as cobaias não são de mesma idade. Se o pesquisador achar que a idade da cobaia pode influenciar na avaliação dos analgésicos, ele deve controlar o efeito do fator perturbador: idade.
↓
O controle do efeito do fator pertubador é feito pela formação de grupos, ou seja, blocos de unidades experimentais homogêneas e fazendo com que todos os níveis do fator em estudo sejam avaliados em cada nível do fator pertubador, ou seja, em cada bloco de unidades homogêneas.
↓
Os blocos poderão ser espalhados por toda área ou agrupados.
↓
Poderá haver ou não grande variabilidade de um bloco para outro.
↓
Em experimentos instalados segundo o DBC, espera-se que as condições experimentais de um bloco sejam diferentes das condições experimentais do outro bloco e que haja homogeneidade das condições experimentais dentro de cada bloco.
Cada bloco seja tão uniforme quanto possível.
↓
Caso o pesquisador não controle o efeito do fator perturbador por meio da formação de blocos de unidades experimentais homogêneas e controle na casualização, o efeito do fator pertubador é absorvido pelo erro experimental. Tal absorção tende a provocar um aumento no valor do QMRes, o que pode acarretar em não identificar nenhuma diferença nos efeitos dos tratamentos, quando de fato uma ou mais diferenças possam existir.
Evitar uso de blocos grandes (variabilidade do ambiente – falta deuniformidade).
EX: Em ensaios agrícolas de campo.
Os tratamentos são atribuídos aos blocos (sorteio dentro dos bloco).
A casualização é feita independentemente para cada bloco.
EXPERIMENTO COM 3 TRATAMENTOS E 5 REPETIÇÕES (BLOCOS) = 15 PARCELAS.
DBC
	BLOCOS
	TRATAMENTOS
	1
	A
	C
	B
	2
	B
	A
	C
	3
	A
	B
	C
	4
	C
	B
	A
	5
	C
	A
	B
Os blocos: horizontal ou vertical.
DIC
	B
	A
	C
	B
	A
	C
	B
	C
	A
	B
	B
	C
	A
	A
	C
OBS 1: em experimentos zootécnicos cada bloco será constituído por animais com características semelhantes (peso, idade etc).
↓
OBS 2: o DBC é usado quando se deseja controlar uma causa de variação além do efeito de tratamentos:
- Falta de uniformidade do terreno
- Coleta de amostra em dias diferentes
- Uso de mais de um equipamento.
↓
Vantagens
1 - Se o controle local se fizer necessário então esse delineamento é mais eficiente do que o DIC (a formação dos blocos isola esta causa de heterogeneidade diminuindo a variação do acaso).
2 - Não há restrição no número de tratamentos (quadrado latino) ou de blocos, e não exige condições experimentais uniformes (DIC).
3 - Análise estatística é simples.
Desvantagens
1 - O delineamento perde eficiência quando o controle local for dispensável (o n0 de graus de liberdade do erro é menor que o obtido no DIC).
2 - Quando a variação entre unidades experimentais dentro do bloco é grande, o erro experimental é grande.
Modelo matemático
YIJ = μ + tI + βJ + εIJ
YIJ = valor observado na parcela que recebeu o tratamento i no bloco j.
μ = média geral do experimento.
tI = efeito de tratamento.
βJ = efeito de blocos.
εIJ = erro dos fatores não controlados na parcela.
Análise de variância
	FV
	GL
	SQ
	QM
	F
	Bloco
	J - 1
	SQB
	-
	-
	Trat.
	I – 1
	SQTR
	SQTR/GL
	QMTR
/QMR
	Res.
	(I – 1) (J – 1)
	SQTO – SQTR - SQBL
	SQR/GLR
	-
	Total
	IJ -1
	SQTO
	-
	-
Especificações
1a coluna: bloco, tratamento, resíduo e total.
2a coluna: GL: bloco, tratamento, resíduo e total.
3a coluna: SQ: blocos, tratamento, resíduo e total.
SQTO = ∑YIJ2 – C → C = G2 / IJ
SQTR = 1 / J (∑TR2) – C
SQB = 1 / I (∑BL2 ) – C 
SQR = SQTO - SQTR – SQBL
4a coluna: QM ou variância: bloco, tratamento e resíduo.
QMB = SQB / GLBL
QMTR = SQTR/GLTR
QMR = SQR/GLR
5a coluna: teste F (quociente: = QMTR/QMR).
 (quociente: = QMB/QMR).
OBS 1: efeito do bloco significativo indica que a precisão do experimento foi aumentada pelo uso desse delineamento em relação ao uso do DIC.
OBS 2: A abrangência do experimento pode ser aumentada, porque os tratamentos foram testados em variadas condições experimentais.
Hipóteses estatísticas
H0: m1 = m2 = m3 = ... = mi, aceita-se H0 ao nível α de probabilidade.
H0: m1 ≠ m2 ≠ m3 ≠... ≠ mi → rejeita-se H0: pelo menos um contraste entre médias de tratamentos diferem entre sí ao nível α de probabilidade.
Regra de decisão
Fcal ≤ Fα aceita-se H0.
Fcal > Fα rejeita-se H0.
EX: A área foliar da planta é um dos indicadores da eficiência do processo fotossintético de uma determinada espécie. Em função disso foi realizado um experimento que avaliou a área foliar (cm2.planta-1) de quatro espécies indicadas para utilização em áreas de reflorestamento 1 mês após a emergência da plântula. O experimento foi realizado no DBC com 3 repetições. 
	
	Área foliar (cm2.planta-1)
	
	
	Blocos
	
	Tratamentos
	I
	II
	III
	Totais Trat.
	Espécie A
	4,07
	3,80
	3,86
	11,73
	Espécie B 
	3,91
	3,77
	3,46
	11,14
	Espécie C 
	4,90
	5,31
	4,73
	14,94
	Espécie D 
	3,79
	3,50
	3,46
	10,75
	Totais Blocos
	16,67
	16,38
	15,51
	48,56
Grau de liberdade
- Bloco: J – 1 = 3 – 1 = 2.
- Total: IJ – 1 = 4 x 3 – 1 = 11.
- Tratamento: I – 1 = 4 – 1 = 3.
- Residual: GLTO – GLTR – GLBL = 11 – 3 – 2 = 6.
Soma de quadrados
- Total: SQT0 = ∑YIJ2 – C → C = G2 / IJ
C = 48,562 / 12 = 196,5061
SQTO = (4,072 + 3,802 + ...+ 3,462) – 196,5061
SQTO = 200,5418 – 196,5061 = 4,0357
- Tratamento: SQTR = 1 / J (∑TR2) – C
SQTR = 1 / 3 (11,732 + ...+ 10,752) – 196,5061
SQTR = 200,1529 – 196,5061 = 3,6468
- Blocos: SQB = 1 / I (∑BJ2) – C
SQB = 1 / 4 (16,672 +… + 15,512) – 196,5061
SQB = 196,6884 – 196,5061 = 0,1823
- Residual: SQR = SQTO – SQTR - SQB
SQR = 4,0357 – 3,6468 – 0,1823 = 0,2066
Quadrados médios
- Tratamento: SQTR / GL
QMTR = 3,6468 / 3 = 1,2156
- Blocos: SQB / GL
QMB = 0,1823 / 2 = 0,0912
- Residual: SQR / GL
QMR = 0,2066 / 6 = 0,0344
Valor de F
FB = QMB / GLB = 0,50
F = QMTR / QMR = 1,2156 / 0,0344 = 35,34
F(3,6) 5% = 4,76; F(3,6) 1% = 9,78.
Quadro 1 – Resumo da ANOVA para área foliar da planta em diferentes espécies florestais.
	FV
	GL
	SQ
	QM
	F
	Blocos
	2
	0,1823
	0,0912
	0,50ns
	Espécies
	3
	3,6468
	1,2156
	35,34*
	Resíduo
	6
	0,2066
	0,0344
	
	Total
	11
	4,0357
	
	
F indica que há diferença mais não discrimina quais são.
Procedimento pós ANOVA
Teste de médias e contrastes: tratamentos qualitativos.
Análise de regressão: tratamentos quantitativos.
Teste de médias (Tukey, t, Duncan, Scheffé, Dunett, Newman Keulls etc).
Aplicação do teste de Tukey
Dados do exemplo anterior.
Colocar as médias em ordem decrescente:
MC = 14,94/3 = 4,98 a
MA = 11,73/3 = 3,91 b
MB = 11,14/3 = 3,71 b
MD = 10,75/3 = 3,58 b 
Calcular o valor de cada contraste:
Y = |MC – MA| = 4,98 – 3,91 = 1,07*
Y = |MC – MB| = 4,98 – 3,71 = 1,27*
Y = |MC – MD| = 4,98 – 3,58 = 1,40*
Y = |MA – MB| = 3,91 – 3,71 = 0,20ns
Y = |MA – MD| = 3,91 – 3,58 = 0,33ns
Y = |MB – MD| = 3,71 – 3,58 = 0,13ns
Calcular a DMS do teste:
∆ = q √QMR / J = 4,90 √0,0344 / 3 = 0,52 cm2.planta-1
q5% (4,6) = 4,90
Conclusão: A área foliar das plantas foi superior na espécie C comparado a utilização das demais espécies, que não diferiram entre si ao nível de 5 % de probabilidade pelo teste Tukey.
CV = S / mg x 100 = 0,1855 / 4,047 x 100 = 4,58 %.
Tabela 1 – Valores médios da área foliar de diferentes espécies florestais. Pombal – PB. CCTA/UFCG, 2012.
	Tratamentos
	Área foliar (cm2.planta-1)
	Espécie A
	3,91 b
	Espécie B
	3,71 b
	Espécie C
	4,98 a 
	Espécie D
	3,58 b
	DMS
	0,52
	CV (%)
	4,58
	* Nas colunas, as médias seguidas pela mesma letra não diferem entre sí pelo teste de Tukey ao nível de 5 % de probabilidade.
Exercício extra aula: com as médias do exemplo anterior aplique os testes de Duncan e Dunnett (utilize o tratamento D como testemunha).
Decomposição da SQTR em contrastes ortogonais.
→ Se ∑anbn = 0, os contrastes Y1 e Y2 serão ortogonais: tratamentos tenham o mesmo número de repetições.
→ Caso contrário:
EX: Com os dados do exemplo anterior teste os contrastes abaixo: (Característica avaliada = área foliar de diferentes espécies florestais).
Espécie A e B vs C e D.
Espécie A vs B
Espécie C vs D
 n1 = 2 e n2 = 2; mmc (2,2)
 n1 = 1 e n2 = 1; mmc (1,1)
 n1 = 1 e n2 = 1; mmc (1,1)
Médias dos tratamentos: 
	Ma = 3,91 
	Mb = 3,71 
	Mc = 4,98 
	Md = 3,58
C1 = ma + mb – mc – md = 3,91 + 3,71 – 4,98 – 3,58 = - 0,94
 
C2 = ma - mb = 3,91 - 3,71 = 0,20
 
C3 = mc – md = 4,98 – 3,58 = 1,40
 
Quadro da ANOVA:
	Contrastes
	GL
	SQ
	QM
	F
	(MA+MB) vs (MC+MD)
	1
	0,6627
	0,6627
	19,26*
	MA vs MB
	1
	0,0600
	0,0600
	1,74ns
	MC vs MD
	1
	2,9400
	2,9400
	85,46*
	Tratamento
	(3)
	3,6627
	
	
	Resíduo
	6
	-
	0,0344
	
F5% (1, 6) = 5,99.
Conclusão: Em media, as espécies A e B proporcionaram plantas com menor área foliar comparado à média da área foliar observadas nas plantas das espécies C e D. Nas plantas da espécie C observou-se maiorárea foliar comparado as plantas da espécie D. As espécies A e B não diferiram com relação à área foliar da planta, a 5 % de probabilidade pelo teste F.
DBC: caso de parcelas perdidas.
Estimação da parcela perdida
I: Número de tratamentos. 
J: número de repetições.
B: totais das observações restantes no bloco contendo a parcela perdida.
T: totais das observações restantes no tratamento contendo a parcela perdida.
G: total geral das observações disponíveis.
2 - O valor estimado é colocado na planilha (valor perdido) e a ANOVA é executada.
3 – A SQTR fica sobreestimado → Fazer a correção.
SQTR(aj) = SQT – U
4 – O número de GLR fica reduzido de uma unidade.
GLR = (I – 1) ( J – 1) – 1
5 – Se as comparações das médias forem feitas pelo teste Tukey exige o cálculo de duas DMS’s.
(Contraste sem parcela perdida)
Contrastes com parcela perdida.
EX: Um melhorista de plantas instalou um experimento visando selecionar as melhores progênies para dar continuidade ao seu programa de melhoramento. Na instalação do experimento, ele verificou que a área a ser utilizada não era completamente homogênea. Então dividiu a área em 3 sub-áreas de tal forma que cada uma fosse completamente homogênea e pudesse conter todas as 4 progênies em teste. Após esta divisão, as progênies foram distribuídas ao acaso dentro de cada sub-área. Na época da colheita ele avaliou a produção de grãos por planta (kg/planta), cujos resultados foram:
	
	Blocos
	Totais Trat.
	Progênies
	I
	II
	III
	
	Progênie A
	5,0
	X
	8,0
	13,0 + X
	Progênie B
	4,0
	4,5
	6,5
	15,0
	Progênie C
	3,0
	5,0
	6,0
	14,0
	Progênie D
	3,5
	4,5
	5,0
	13,0
	Totais Bloco
	15,5
	14,0 + X
	25,5
	55,0 + X
1 – Cálculo da estimativa da parcela perdida
X = 6,5
2 – Análise de variância
	
	Blocos
	Totais Trat.
	Progênies
	I
	II
	III
	
	Progênie A
	5,0
	6,5
	8,0
	19,5
	Progênie B
	4,0
	4,5
	6,5
	15,0
	Progênie C
	3,0
	5,0
	6,0
	14,0
	Progênie D
	3,5
	4,5
	5,0
	13,0
	Totais Bloco
	15,5
	20,5
	25,5
	61,5
Grau de liberdade
- Blocos: J – 1 = 3 – 1 = 2.
- Tratamento: I – 1 = 4 – 1 = 3.
- Residual: (I – 1) ( J – 1) – 1 = (4 – 1) ( 3 – 1) – 1 = 5.
- Total = 2 + 3 + 5 = 10.
Soma de quadrados
- Total: SQT0 = ∑YIJ2 – C → C = G2 / IJ
C = 61,52 / 12 = 315,1875
SQTO = (52 + 6,52 + ...+ 5,02) – 315,1875
SQTO = 337,25 – 315,1875 = 22,0625
- Tratamento: SQTR = 1 / J (∑ti2) – C
SQTR = 1 / 3 (19,52 + ...+ 13,02) – 315,1875
SQTR = 323,4167 – 315,1875 = 8,2292
SQTR (AJ) = SQT – U
 
U = 2,52
SQTR (AJ) = 8,2292 – 2,52 = 5,7092
- Blocos: SQB = 1 / I (∑B2) – C
SQB = 1 / 4 (15,52 + …+ 25,52) – 315,1875
SQB = 327,6875 – 315,1875 = 12,5000
- Residual: SQR = SQTO – SQB - SQTR (AJ) - 
SQR = 22,0625 – 12,50 – 5,7092 = 3,8533
Quadrados médios
- Tratamento: SQTR / GL
QMTR = 5,7092 / 3 = 1,9031
- Blocos: SQB / GL
QMB = 12,5000 / 2 = 6,2500
- Residual: SQR / GL
QMR = 3,8533 / 5 = 0,7707
Valor de F
F = QMTR / QMR = 1,9031 / 0,7707 = 2,47ns
F(3,5) 5% = 5,41.
Fcal ≤ Ftab(5%) (aceita-se H0) → não existe diferença significativa na produção de grãos das quatro progênies avaliadas ao nível de 5 % de probabilidade pelo teste F.
Quadro 1 – Resumo da ANOVA da produção de grãos em diferentes progênies. CCTA/UFCG, 2011.
	FV
	GL
	SQ
	QM
	F
	Blocos
	2
	12,5000
	6,2500
	
	Progênie
	3
	5,7092
	1,9031
	2,47ns
	Resíduo
	5
	3,8533
	0,7707
	
	Total
	10
	22,0625
	
	
Aplicação do teste Tukey
As estimativas das médias dos contrastes seriam:
m1 = 6,50
m2 = 5,00
m3 = 4,67
m4 = 4,33
Cálculo das DMS’s:
∆ = q x √QMR/J =
∆ = 5,22 √0,7707 / 3 = 2,65
q5% (4,5) = 5,22
 
∆ = 3,05
Y = |m1 – m2| = 6,5 – 5,0 = 1,50 < 3,05ns
Y = |m1 – m3| = 6,5 – 4,67 = 1,83 < 3,05ns
Y = |m1 – m4| = 6,5 – 4,33 = 2,17 < 3,05ns
Y = |m2 – m3| = 5,0 – 4,67 = 0,33 < 2,65ns
Y = |m2 – m4| = 5,0 – 4,33 = 0,67 < 2,65ns
Y = |m3 – m4| = 4,67 – 4,33 = 0,34 < 2,65ns
CV (%) = (S / m) x 100 =
CV (%) = (0,8778 / 5,125) x 100 = CV = 17,13 %.
Tabela 1 – Valores médios para a produção de grãos em diferentes progênies. CCTA/UFCG, 2012.
	Progênies
	Média
	Progênie A
	6,50* a
	Progênie B
	5,00 a
	Progênie C
	4,67 a
	Progênie D
	4,33 a
	DMS = 2,65 e DMS’ = 3,05 
	
	CV (%)
	17,13
	* Nas colunas, as médias seguidas pela mesma letra não diferem entre sí pelo teste Tukey ao nível de 5 % de probabilidade.
Conclusão: Não houve diferença significativa quanto a produção de grãos das quatro progênies avaliadas a 5 % de probabilidade pelo teste de Tukey.
ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL
DELINEAMENTO EM QUADRADO LATINO (DQL)
(UNIDADE VII)
Considerações:
Os ensaios em DBC: controla a heterogeneidade em um só sentido.
(1 controle local representado pelos blocos).
↓
OBS: Quando há variação em sentido perpendicular na realização do experimento em campo ou laboratório 
(Utiliza-se mais 1 controle local).
↓
No Delineamento em Quadrado Latino (DQL), além dos princípios da repetição e da casualização, é utilizado também duas vezes o princípio do controle na casualização para controlar o efeito de dois fatores perturbadores que causam variabilidade entre as unidades experimentais.
Dois controles: considerando 1 no sentido da linha + 1 no sentido da coluna.
Geralmente, na configuração de um experimento instalado segundo o DQL, os níveis de um fator perturbador são identificados por linhas em uma tabela de dupla entrada e os níveis do outro fator perturbador são identificados por colunas na tabela.
↓
Quadrado latino
EX: Em experimentos com animais este delineamento é bastante usado.
↓
Experimentos em campo ou laboratório apresentam limitações quando o número de tratamentos for grande.
↓
Dois blocos: sentido linha e coluna.
No DQL o número de linhas, colunas e tratamentos são iguais.
Características
	
	Colunas
	
	B
	C
	D
	A
	Linhas
	D
	A
	B
	C
	
	A
	B
	C
	D
	
	C
	D
	A
	B
Utilizado: quando as unidades experimentais puderem ser agrupadas com os níveis das 2 fontes de variação.
↓
Ex 2: Num experimento com suínos pretende-se testar 4 tipos de ração (A,B,C e D), em 4 raças e 4 idades de animais. Sendo interesse fundamental o comportamento dos 4 tipos de ração, toma-se a raça e a idade como blocos, ou seja:
	
	Raça
	Idade
	R1
	R2
	R3
	R4
	I1
	Ração A
	Ração B
	Ração D
	Ração C
	I2
	Ração B
	Ração C
	Ração A
	Ração D
	I3
	Ração D
	Ração A
	Ração C
	Ração B
	I4
	Ração C
	Ração D
	Ração B
	Ração A
O número total de unidades experimentais é igual a I2, sendo I o número de tratamentos.
Cada tratamento é representado uma única vez em cada linha e em cada coluna.
↓
N0 de tratamentos = N0 de repetições (menos flexível)
> de 8 tratamentos: não recomendado (n0 de repetições).
Dentro das linhas e das colunas: uniformidade.
↓
O DQL 2 x 2, 3 x 3 e 4 x 4 apresentam 0, 2 e 6 GLR.
DQL: 5 x 5 a 8 x 8 (mais utilizados).
↓
Casualização do DQL
Sorteio da ordem das linhas e depois das colunas.
Aplicação de quatro rações em vacas em lactação.
	
	Colunas
	
	A
	B
	C
	D
	Linhas
	D
	A
	B
	C
	
	C
	D
	A
	B
	
	B
	C
	D
	A
* Admitindo que o sorteio da ordem das linhas tenha sido:
4,2,1 e 3.
	
	Colunas
	
	B
	C
	D
	A
	Linhas
	D
	A
	B
	C
	
	A
	B
	C
	D
	
	C
	D
	A
	B
* Admitindo que o sorteio da ordem das colunas tenha sido:
2,3,1 e 4.
	
	Colunas
	
	C
	D
	B
	A
	Linhas
	A
	B
	D
	C
	
	B
	C
	A
	D
	
	D
	A
	C
	B
Modelo matemático
Yijk = m + li + cj + (tk)ij + eijk
Yijk = observação relativa ao tratamento k na linha i e na coluna j.
m = média geral
li = efeito da linha i
cj = efeito da coluna j
(tk)ij = efeito do tratamentok na linha i e na coluna j.
eijk = erro experimental associado a observação Yijk.
Análise de variância
De acordo com o modelo matemático:
	FV
	GL
	SQ
	QM
	F
	Linhas
	I – 1
	SQL
	
	
	Colunas
	I – 1
	SQC
	
	
	Tratamentos
	I – 1
	SQTR
	QMTR
	QMTR / QMR
	Resíduo
	(I – 2) (I – 1)
	SQR
	QMR
	
	Total
	I2 - 1
	SQTO
	
	
Especificações
1a coluna: FV: linhas, colunas, tratamentos, resíduo e total.
2a coluna: GL: linhas, colunas, tratamentos, resíduo e total.
3a coluna: SQ: linhas, colunas, tratamentos, resíduo e total.
SQTO = ∑YIJK2 – C → C = G2 / I2
SQTR = 1 / I (∑ TR2) – C
SQL = 1 / I (∑LI2) – C
SQC = 1 / I (∑CO2) – C
SQR = SQTO – SQTR – SQL – SQC
4a coluna: QMR: tratamento e resíduo.
QMTR = SQTR/GLT
QMR = SQR/GLR
5a coluna: teste F (quociente = QMTR/QMR).
Hipóteses estatísticas
H0: σ12 = σ22
H1: σ12 ≠ σ22
Termos práticos
H0: aceita-se H0: m1 = m2 = m3 = ... = mi ao nível α de probabilidade.
H1: rejeita-se H0: pelo menos a média de dois tratamentos difere entre sí ao nível α de probabilidade.
Regra de decisão
Fcal ≤ Fα aceita-se H0.
Fcal > Fα rejeita-se H0.
Exemplo prático – Um experimento foi realizado visando avaliar o efeito da utilização de 4 tipos de compostos orgânicos sob o acúmulo de massa seca em mudas de Eucaliptus para produção de madeira para indústria.
Tratamentos:
A = restos vegetais + esterco bovino.
B= restos vegetais + esterco caprino.
C = restos vegetais + esterco de aves.
D = restos vegetais.
	
	Colunas
	Totais Linhas
	Linhas
	1
	2
	3
	4
	
	1
	93,0 A
	108,6 B
	108,9 C
	102,0 D
	412,5
	2
	115,4 B
	96,5 D
	77,6 A
	100,2 C
	389,7
	3
	102,1 C
	94,9 A
	116,9 D
	96,0 B
	409,9
	4
	112,6 D
	114,1 C
	118,7 B
	97,6 A
	443,0
	Totais Colunas
	423,1
	414,1
	422,1
	395,8
	1655,1
	
	Graus de liberdade
Linhas, colunas e tratamentos = I – 1 = 4 – 1 = 3.
Total = I2 -1 = 42 – 1 = 15
GLR = GLto – GLLinhas – GLcolunas – GLTrat. =
GLR = 15 – 3 – 3 – 3= 6. 
Soma de quadrado de linhas
SQL = 1 /4 (412,52 + ...+ 443,02) – 1655,12/16 = 362,5869.
Soma de quadrado de colunas
SQC = 1 /4 (423,12 + ...+ 395,82) – 1655,12/16 = 119,8669.
Soma de quadrado de tratamentos
TA = 363,1; TB = 438,7; TC = 425,3; TD = 428,0
SQTR = 1 /4 (363,12 + ...+ 428,02) – 1655,12/16 = 881,0969.
Soma de quadrado total
SQTO = (93,02 + ...+ 97,62) – 1655,12/16 = 1812,6794.
Soma de quadrado do resíduo
SQR = SQTO – SQTR – SQL – SQC
SQR = 1812,6794 – 881,0969 – 362,5869 – 119,8669 = 449,1287.
Quadrados médios
Tratamento
QMTR = SQTR / GLTR = 881,0969 / 3 = 293,6989
Resíduo
QMR = SQR / GLR = 449,1287 / 6 = 74,8548
Valor de F
FCAL = QMTR / QMR = 293,6989 / 74,8548 = 3,92ns
F (3,6) 5 % = 4,76
Quadro da Anova:
	FV
	GL
	SQ
	QM
	F
	Linhas
	3
	362,5869
	
	
	Colunas
	3
	119,8669
	
	
	Compostos
	3
	881,0969
	293,6989
	3,92ns
	Resíduo
	6
	449,1287
	74,8548
	
	Total
	15
	1812,6794
	
	
Conclusão: não foi observada diferença significativa na massa seca de plântulas de Eucaliptus em função dos compostos orgânicos avaliados pelo teste F a 5 % de probabilidade.
Tabela 1 – Massa seca em plantas de Eucaliptus submetidos a diferentes tipos de compostos orgânicos em Pombal-PB. CCTA/UFCG, 2011. 
	Tratamentos
	Massa seca (g.planta-1)
	RV+EC (B)
	*109,68 a
	RV (D)
	108,25 a
	RV+EA (C)
	106,32 a
	RV+EB (A)
	90,85 a
	DMS
	20,33
	CV (%)
	7,99
	* Nas colunas, as médias seguidas pela mesma letra não diferem entre sí ao nível de 5 % de probabilidade pelo teste de Tukey.
A = restos vegetais + esterco bovino.
B= restos vegetais + esterco caprino.
C = restos vegetais + esterco de aves.
D = restos vegetais.
OBS 1: Se as comparações das médias forem feitas pelo teste Tukey exige o cálculo de duas DMS’s.
∆ = q √QMR / J 
(Contraste sem parcela perdida)
Contrastes com parcela perdida.
OBS 2: Se as comparações das médias forem feitas pelo teste Duncan exige o cálculo de duas DMS’s.
D = Z √QMR / J 
(Contraste sem parcela perdida)
Contrastes com parcela perdida.
DQL com parcela perdida
Exista condição de igualdade entre tratamentos
Perda de parcelas
Estimação da parcela perdida.
r = número de repetições.
G = total geral das parcelas mensuradas
L, C e T são os totais das linhas, colunas e tratamento que ocorreu à parcela perdida.
Análise de variância
De acordo com o modelo matemático:
	FV
	GL
	SQ
	QM
	F
	Linhas
	I – 1
	SQL
	
	
	Colunas
	I – 1
	SQC
	
	
	Tratamentos
	I – 1
	SQT
	QMT
	QMT / QMR
	Resíduo
	(I – 2) (I – 1) - 1
	SQR
	QMR
	
	Total
	Soma
	SQTO
	
	
DBC: o procedimento feito leva a um valor não correto para SQTR.
Correção: SQTR
→ Subtração de U da SQTR.
Prossegue a análise de variância de forma usual.
 Exercitando:
Exemplo 2: Os dados abaixo são de um experimento que foi realizado no DQL e avaliou o efeito de 4 espécies indicadas para áreas de reflorestamento sob o acúmulo de matéria orgânica no solo. 
	
	Colunas
	Totais L
	Linhas
	1
	2
	3
	4
	
	1
	93,0 A
	108,6 B
	108,9 C
	102,0 D
	412,5
	2
	* B
	96,5 D
	77,6 A
	100,2 C
	274,3
	3
	102,1 C
	94,9 A
	116,9 D
	96,0 B
	409,9
	4
	112,6 D
	114,1 C
	118,7 B
	97,6 A
	443,0
	Totais C
	307,7
	414,1
	422,1
	395,8
	1539,7
Y = 90,3
	
	Colunas
	Totais L
	Linhas
	1
	2
	3
	4
	
	1
	93,0 A
	108,6 B
	108,9 C
	102,0 D
	412,5
	2
	90,3 B
	96,5 D
	77,6 A
	100,2 C
	364,6
	3
	102,1 C
	94,9 A
	116,9 D
	96,0 B
	409,9
	4
	112,6 D
	114,1 C
	118,7 B
	97,6 A
	443,0
	Totais C
	398,0
	414,1
	422,1
	395,8
	1630,0
Graus de liberdade
Linhas, colunas e tratamentos = I – 1 = 4 – 1 = 3.
GLR = (I – 2) (I – 1) - 1 = (4 – 2) (4 – 1) - 1 = 5.
Soma de quadrado de linhas
SQL = 1 /4 (412,52 + ...+ 443,02) – 16302/16 = 782,8550.
Soma de quadrado de colunas
SQC = 1 /4 (398,02 + ...+ 395,82) – 1655,12/16 = 120,9650.
Soma de quadrado de tratamentos
TA = 363,1; TB = 413,6; TC = 425,3; TD = 428,0
↓
SQTR = 1 /4 (363,12 + ...+ 428,02) – 1630,02/16 = 686,4150.
Correção: SQTR
U = 4,1344
SQTR (AJ) = SQTR – U = 686,4150 – 4,1344 = 682,2806
Soma de quadrado total
SQTO = (93,02 + ...+ 97,62) – 16302/16 = 1803,1100.
Soma de quadrado do resíduo
SQR = SQTO – SQTR (AJ) – SQL – SQC
SQR = 1803,1100 – 682,2806 – 782,8550 – 120,9650 = 217,0094.
Quadrados médios
Tratamento
QMTR = SQTR (AJ) / GLTR = 682,2806 / 3 = 227,4269
Resíduo
QMR = SQR / GLR = 217,0094 / 5 = 43,4019
Valor de F
FCAL = QMTR / QMR = 227,4269 / 43,4019 = 5,24ns
F (3,5) 5 % = 5,41
	FV
	GL
	SQ
	QM
	F
	Linhas
	3
	782,8550
	
	
	Colunas
	3
	120,9650
	
	
	Espécies
	3
	682,2806
	227,4269
	5,24ns
	Resíduo
	5
	217,0094
	43,4019
	
	Total
	14
	1803,1100
	
	
F (3,5) 5 % = 5,41
Fcal < Ftab (Contrastes não significativo). 
Conclusão: não foi observada diferença significativa no acúmulo de matéria orgânica do solo em função das quatro espécies avaliadas pelo teste F a 5 % de probabilidade.
UNIDADE VIII - EXPERIMENTOS FATORIAIS 
Conceitos básicos
Experimento fatorial: É aquele que compara todos os tratamentos que podem ser formados pela combinação de níveis nos seus diferentes fatores.
Fator
É um tipo de tratamento.
EX: variedade, espaçamento, doses de potássio... etc.
Nível
Refere-se aos diversos tratamentos dentro de qualquer fator.
EX: Fator: doses de K (níveis: 0, 50, 100 kg ha-1).
Fator: Temperaturas (níveis: 5, 10, 15 e 20 0C).
Tratamentos
Consistem de todas as combinações possíveis entre os diversos fatores nos seus diferentes níveis.
Fatorial: tipo de esquema, ou seja, uma maneira de organizar os tratamentos e não um tipo de delineamento, querepresenta a maneira de como os tratamentos serão distribuídos às parcelas.
A principal aplicação dos experimentos fatoriais é quando se quer saber sobre o efeito de diversos fatores que influenciam na variável em estudo e o relacionamento entre eles.
A simbologia comumente utilizada, para experimentos fatoriais é indicar o produto dos níveis dos fatores em teste. Por exemplo: Experimento Fatorial 2 x 4 x 6. O produto 2 x 4 x 6 informa que no experimento foram testados simultaneamente 3 fatores. O primeiro possui 2 níveis, o segundo 4 níveis e o terceiro 6 níveis.
Ex: Avaliar a vida útil de morango em 4 temperatura de armazenamento e 3 tipos de embalagem.
T1E1 (tratamento).
Características
São mais eficientes que os experimentos simples permitindo tirar conclusões mais gerais.
Agronomia
Fatorial 4 x 3 (4 Variedades e 3 espaçamentos).
EX: Variedades V1, V2, V3 e V4 x Espaçamento E1, E2 e E3.
	V1E1
	V1E2
	V1E3
	V2E1
	V2E2
	V2E3
	V3E1
	V3E2
	V3E3
	V4E1
	V4E2
	V4E3
Ambiental
Fatorial 3 x 3 (3 compostos e 3 doses).
EX: Composto C1,C2 e C3 x Doses D1, D2 e D3.
	C1 D1
	C2 D1
	C3 D1
	C1 D2
	C2 D2
	C3 D2
	C1 D3
	C2 D3
	C3 D3
Fatorial: cada nível de um fator se combina com cada um dos níveis de outros fatores. 
Alimentos
Fatorial 4 x 4 (4 tipos de conservantes e 4 temperaturas de armazenamento).
	C1T1
	C1T2
	C1T3
	C1T4
	C2T1
	C2T2
	C2T3
	C2T4
	C3T1
	C3T2
	C3T3
	C3T4
	C4T1
	C4T2
	C4T3
	C4T4
Cada combinação de tratamentos constitui uma parcela (unidade de material ao qual é aplicado um tratamento).
EX: um animal, 20 plantas etc.
Fatorial: 4 x 4, com 4 repetições = 64 parcelas.
Os experimentos fatoriais não constituem um delineamento experimental.
Podem ser instalados: DIC, DBC, DQL.
Estudam-se os efeitos dos fatores individuais e da interação dos fatores.
CROQUI DO EXPERIMENTO
Fatorial 2 x 4, com 4 repetições.
Fator A: 2 níveis Fator B: 4 níveis
DIC
	A1B1
	
	A1B1
	A2B2
	
	A1B2
	A1B4
	
	A2B4
	A1B2
	
	A1B1
	A2B1
	
	A2B2
	A2B3
	
	A2B1
	A1B4
	
	A1B3
	A2B2
	
	A2B3
	A1B2
	
	A1B1
	A2B3
	
	A2B4
	A2B4
	
	A2B1
	A1B3
	
	A1B4
	A2B2
	
	A1B2
	A1B3
	
	A2B4
	A2B1
	
	A1B3
	A1B4
	
	A2B3
CROQUI DO EXPERIMENTO
Fatorial 2 x 4, com 3 repetições.
Fator A: 2 níveis Fator B: 4 níveis
DBC
	I
	
	II
	
	III
	A1B1
	
	A1B3
	
	A1B1
	A2B1
	
	A2B2
	
	A2B3
	A1B2
	
	A1B4
	
	A1B2
	A1B3
	
	A1B1
	
	A2B2
	A2B4
	
	A2B1
	
	A1B4
	A1B4
	
	A2B3
	
	A2B1
	A2B2
	
	A1B2
	
	A1B3
	A2B3
	
	A2B4
	
	A2B4
Classificação
Qualitativos: Diferentes tipos de categorias (variedades, tratos culturais, métodos de cultivo, tipos de conservantes químicos).
Quantitativos: podem ser dosados ou quantificados (doses de N, temperaturas etc).
Vantagens
As conclusões são mais generalizadas.
É possível se testar qualquer tipo de combinação, obtendo a informação sobre a interação entre fatores.
Maior eficiência na utilização de recursos materiais e humanos.
O no de GL associado ao resíduo é alto quando comparado com os experimentos simples dos mesmos fatores, o que contribui para diminuir a variância residual, aumentando a precisão do experimento.
Desvantagens
A análise estatística em alguns casos se torna bastante complexa com o aumento de níveis e de fatores.
À medida que cresce o n0 de fatores ou níveis, cresce o n0 de combinações de tratamentos, implicando em perda de eficiência (homogeneidade das parcelas).
Requer maior número de unidades experimentais em relação aos experimentos simples.
 Classificação dos efeitos
Efeito principal: é o efeito de cada fator, independente da influência de outros fatores.
EX: Temperatura e/ou embalagens.
Efeito da interação: é o efeito simultâneo dos fatores sobre a variável em estudo. Resposta diferencial da combinação de tratamentos que não se deve a efeitos principais.
Interação: ocorre quando os efeitos dos níveis de um fator são modificados por níveis de outro fator.
EX: variedade x doses de esterco.
O efeito da interação pode ser mais facilmente compreendido por meio dos gráficos. Para ilustrar o efeito da interação, considere um experimento fatorial 3x2, em que os fatores em testes são Variedade (A) e Espaçamento (B).
Não há interação
	
	A1
	A2
	A3
	B1
	2
	4
	6
	B2
	5
	7
	9
Tratamento A não exerce influência em B e vice versa.
Há interação
	
	A1
	A2
	A3
	B1
	2
	4
	6
	B2
	5
	7
	4
Tratamento A exerce influência em B e vice versa.
Modelo matemático
Considere um experimento fatorial, com dois fatores: o fator A com I níveis e o fator B com J níveis, instalados segundo o DIC, com K repetições. O modelo estatístico para um experimento como este é:
YIJK = μ + αI + βJ + (αβ)IJ + eIJK (DIC)
YIJK = valor observado que recebeu os níveis do fator α e os níveis do fator β.
μ = é uma constante (média) comum a todas as observações.
αI = efeito do nível do fator α com i = 1,... a.
βJ = efeito do nível do fator β com j = 1,... b.
αβIJ = efeito da interação do nível do fator α com o efeito do nível do fator β.
eIJK = erro experimental associado a observação YIJK.
Análise de variância
A análise de variância de um experimento fatorial é feita desdobrando-se a soma de quadrados de tratamentos nas partes devido aos efeitos principais de cada fator e na parte devido à interação entre os fatores.
Quadro da ANOVA: DIC
	FV
	GL
	SQ
	QM
	F
	A
	I – 1
	SQA
	QMA
	QMA/ QMR
	B
	J – 1
	SQB
	QMB
	QMB/QMR
	A x B
	(I – 1)(J – 1)
	SQ(AxB)
	QMAB
	QMAB/QMR
	Trat.
	(IJ – 1)
	SQT
	-
	-
	Resíduo
	Diferença
	SQR
	QMR
	-
	Total
	IJK - 1
	SQTO
	-
	-
Quadro da ANOVA: DBC
	FV
	GL
	SQ
	QM
	F
	A
	I – 1
	SQA
	QMA
	QMA/ QMR
	B
	J – 1
	SQB
	QMB
	QMB/QMR
	A x B
	Diferença
	SQ(AxB)
	QMAxB
	QMAB/QMR
	Trat.
	(IJ – 1)
	SQTR
	-
	-
	Bloco
	K – 1
	SQBL
	-
	-
	Resíduo
	Diferença
	SQRES
	QMR
	-
	Total
	IJK - 1
	SQTO
	-
	-
SQTO = ∑Y2IJK – C → C = G2 / IJK
SQA = 1 / JK ∑TAI2 – C 
SQB = 1 / IK ∑TBI2 – C 
SQ(A X B) = SQ(A,B) – SQA – SQB
SQ(A,B) = SQTR = 1 / K ∑(TAIBj)2 – C
SQR = SQTO - SQTR
Se for em DBC
SQR = SQTO - SQTR – SQBL
QMA = SQA / GLA
QMB= SQB/ GLB
QM A X B = SQ A X B / GLA X B
FA = QMA / QMR
 FB = QMB / QMR
FA X B = QM A X B / QMR
EX: Experimento fatorial do tipo 3 x 4, com 3 repetições. Fator A (tipos de filme plástico) e fator B (tipos de cera). Vida útil do fruto de goiaba (dias). Interação não significativa.
	
	REPETIÇÕES
	
	TRATAMENTOS
	I
	II
	III
	TOTAIS
	1 - A1B1
	35
	45
	40
	120
	2 - A1B2
	45
	48
	39
	132
	3 - A1B3
	51
	54
	45
	150
	4 - A1B4
	45
	50
	67
	162
	5 – A2B1
	38
	44
	44
	126
	6 – A2B2
	40
	50
	51
	141
	7 – A2B3
	55
	56
	51
	162
	8 – A2B4
	58
	66
	47
	171
	9 – A3B1
	45
	48
	51
	144
	10 – A3B2
	44
	60
	46
	150
	11 – A3B3
	50
	65
	56
	171
	12 - A3B4 
	62
	65
	59
	186
SQTO = ∑Y2IJK – C = (352 + 452...+ 592) – (1815)2 / 36 = 2450,75.
C = G2 / IJK = (1815)2 / 3*4*3 = 91506,25.
SQA = 1/JK ∑AI2 – C = 1/12 (5642 +...+ 6512) – 91506,25 = 318,5.
 SQB = 1/IK ∑BI2 – C = 1/9 (3902 +...+ 5192) – 91506,25 = 92631 – 91560,25 = 1124,75.
SQ(AxB) = SQ(A,B) – SQA – SQB
SQ(A,B) = 1/K ∑(A1Bj)2 – C = 1/3 (1202 +…+ 1862) - 91506,25 = 92961 – 91506,25 = 1454,75. 
SQ(AxB) = SQ(A,B) – SQA – SQB
SQ(AxB) = 1454,75 – 318,5 – 1124,75 = 11,50. 
SQR = SQTO - SQTR
SQR = 2450,75 – 1454,75 = 996,00.
QMA = SQA / GLA = 318,5 / 2 = 159,25
QMB = SQB / GLB = 1124,75 / 3 = 374,91
QM A X B = SQ A X B / GLA X B = 11,5 / 6 = 1,92
FA = QMA / QMR = 159,25 / 41,5 = 3,84
 FB = QMB / QMR = 374,91 / 41,5 = 9,03
FA X B = QM A X B / QMR = 1,92 /41,5 = 0,05
	FV
	GL
	SQ
	QM
	F
	Plástico (P)
	2
	318,5
	159,25
	3,84**
	Cera (C)
	3
	1124,75
	374,91
	9,03**
	P x C
	6
	11,5
	1,92
	0,05ns
	Trat.
	11
	1454,75
	
	
	Resíduo
	24
	996,00
	41,5
	
	Total
	35
	2450,75
	
	
Fator A: F5% (2,24) = 3,40
Fator B: F5% (3,24) = 3,01
Fator A x B: F5% (6,24) = 2,51
Conclusões
Existe pelo menos um contraste entre médias dos níveis do fator A e do fator B com efeito significativo, ao nível de 5 % de probabilidade.
Não houve interação entre os fatores A e B. Os fatores podem ser estudados isoladamente.
Interação não significativa
Este resultado indica que os efeitos entre os fatores ocorre de forma independente. Portanto recomenda-se que as comparações dos níveis de um fator sejam feitas de forma geral em relação ao outro fator, ou seja, independente dos níveis outro fator.
Procedimento pós – ANOVA
Teste de comparações múltiplas (Tukey, Duncan etc).
Fator A
 mA3 = 54,25 a
mA2 = 50,00 ab
mA1 = 47,00 b
Y1 = mA3 – mA2 = 54,25 – 50,00 = 4,25ns
Y2 = mA3 – mA1 = 54,25 – 47,00 = 7,25*
Y3 = mA2 – mA1 = 50,00 – 47,00 = 3,00ns
∆ = q √QMR/ JK
∆ = 3,53 √41,5 / 12 = 6,56; q5% (3, 24) = 3,53.
Conclusão: Os frutos de goiaba obtiveram maior vida útil quando acondicionados na embalagem 3 comparado aqueles acondicionados na embalagem 1 a 5 % de probabilidade pelo teste Tukey. 
Fator B
mB4 = 57,66 a
mB3 = 53,66 ab
mB2 = 47,00 bc
mB1 = 43,33 c
Y1 = mB4 – mB3 = 57,66 – 53,66 = 4,00ns
Y2 = mB4 – mB2 = 57,66 – 47,00 = 10,66*
Y3 = mB4 – mB1 = 57,66 – 43,33 = 14,66*
Y4 = mB3 – mB2 = 53,66 – 47,00 = 6,66ns
Y5 = mB3 – mB1 = 53,66 – 43,33 = 10,33*
Y6 = mB2 – mB1 = 47,00 – 43,33 = 3,67ns
∆ = q √QMR/ IK
∆ = 3,90 √41,5 / 9 = 7,25
q5% (4, 24) = 3,90
Conclusão: Os frutos de goiaba obtiveram maior vida útil quando utilizou a cera tipo 4 comparado as ceras 2 e 1 a 5 % pelo teste Tukey. 
Tabela 1 – Valores médios da vida útil de frutos de goiaba em função de tipos de filmes plásticos e tipos de cera em Pombal – PB. CCTA/UFCG, 2012.
	Tipos de Filmes
	Vida útil (dias)
	Filme (1)
	47,00 b
	Filme (2)
	50,00 ab
	Filme (3)
	54,25 a
	DMS
	6,56
	Tipos de Cera
	
	Cera (1)
	43,33 c
	Cera (2)
	47,00 bc
	Cera (3)
	53,66 ab
	Cera (4)
	57,66 a
	DMS
	7,25
	CV (%)
	2,68
	* Nas colunas, as médias seguidas pela mesma letra não diferem entre sí pelo teste de Tukey ao nível de 5 % de probabilidade.
CV = S / mg x 100 = √41,5 / 50,42 x 100 = 12,78 %.
CASO O MESMO EXPERIMENTO FOSSE FEITO NO DBC TERIA QUE CALCULAR A SOMA DE QUADRADOS DE BLOCOS
	
	REPETIÇÕES
	
	TRATAMENTOS
	I
	II
	III
	TOTAIS
	1 - A1B1
	35
	45
	40
	120
	2 - A1B2
	45
	48
	39
	132
	3 - A1B3
	51
	54
	45
	150
	4 - A1B4
	45
	50
	67
	162
	5 – A2B4
	38
	44
	44
	126
	6 – A2B4
	40
	50
	51
	141
	7 – A2B4
	55
	56
	51
	162
	8 – A2B4
	58
	66
	47
	171
	9 – A3B1
	45
	48
	51
	144
	10 – A3B2
	44
	60
	46
	150
	11 – A3B3
	50
	65
	56
	171
	12 - A3B4 
	62
	65
	59
	186
	TOTAIS DE BLOCOS
	568
	651
	596
	1815
SQBLOCOS = 1 / IJ (∑TB2) – C
SQBLOCOS = 1 / 12 (5682 + ... + 5962) – 18152 / 36 = 297,17 
SQR = SQTO - SQTR - SQBL
SQR = 2450,75 – 1454,75 – 297,17 = 698,83.
QMR = 698,83 / 22 = 31,77
FA = QMA / QMR = 159,25 / 31,77 = 5,01
 FB = QMB / QMR = 374,91 / 31,77 = 204,87
FA X B = QM A X B / QMR = 1,92 / 31,77 = 1,05
	FV
	GL
	SQ
	QM
	F
	Plástico (P)
	2
	318,50
	159,25
	5,01**
	Cera (C)
	3
	1124,75
	374,91
	11,80**
	P x C
	6
	11,50
	1,92
	0,06ns
	Trat.
	11
	1454,75
	
	
	Bloco
	2
	297,17
	
	
	Resíduo
	22
	698,83
	31,77
	
	Total
	35
	2450,75
	
	
Fator A: F5% (2,24) = 3,40
Fator B: F5% (3,24) = 3,01
Fator A x B: F5% (6,24) = 2,51
NESTE CASO, COMO OS FATORES A e B FORAM SIGNIFICATIVOS A 5 % PELO TESTE F, DEVE-SE APLICAR UM TESTE DE COMPARAÇÕES MÚLTIPLAS DE MÉDIAS (EX.TESTE DE TUKEY) PARA OS FATORES ISOLADOS. ESTE PROCEDIMENTO JÁ FOI FEITO NO EXEMPLO ANTERIOR, NÃO HAVENDO A NECESSIDADE DE SE FAZER NOVAMENTE.
Interação significativa
Este resultado implica que os efeitos dos fatores atuam de forma dependente. Neste caso as comparações entre os níveis de um fator levam em consideração o nível do outro fator, pois o resultado significativo para a interação indica que o efeito de um fator depende do nível do outro fator.
↓
Portanto, não é recomendado realizar o teste F para cada fator isoladamente tal como foi apresentado para o caso da interação não- significativa. O procedimento recomendado é realizar o desdobramento do efeito da interação.
↓
Para realizar este desdobramento deve-se fazer uma nova análise de variância em que os níveis de um fator são comparados dentro de cada nível do outro fator.
UM EXEMPLO COM A INTERAÇÃO DOS FATORES A e B SIGNIFICATIVA
EX: Experimento fatorial do tipo 3 x 4, com 3 repetições. Fator A (Fontes de adubos N – F1, F2 e F3) e fator B (Espaçamento – E1, E2, E3 e E4). Avaliar a massa seca da folhas de mudas de Eucaliptus.
Interação significativa.
	FV
	GL
	SQ
	QM
	F
	A
	2
	148,8039
	74,4019
	66,43**
	B
	3
	22,4097
	7,4699
	6,67**
	A x B
	6
	44,3228
	7,3871
	6,59**
	Trat.
	11
	215,5364
	-
	-
	Blocos
	2
	-
	-
	-
	Resíduo
	22
	24,60
	1,1200
	-
	Total
	35
	-
	-
	-
Fator A: F1% (2,22) = 5,72
Fator B: F1% (3,22) = 4,82
Fator A x B: F1% (6,22) = 3,76
Conclusões
Houve interação entre os fatores A e B a 1 % de probabilidade. Estudo da interação (desdobramento de A dentro de B e de B dentro de A).
A → Fator A dentro dos níveis do fator B
SQ(A/B1) = 1/3 (69,42 +...+ 64,52) – (208,4)2/9 = 16,6689
SQ(A/B2) = 1/3 (74,52 +...+ 63,52) – (217,4)2/9 = 44,2022
SQ(A/B3) = 1/3 (78,42 +...+ 65,22) – (228,4)2/9 = 66,5955
SQ(A/B4) = 1/3 (82,62 +...+ 62,82) – (216,9)2/9 = 65,6600
QM A/B1 = SQ A/B1 / GL A/B1 = 16,6689 / 2 = 8,3344
QM A/B2 = SQ A/B2 / GL A/B2 = 44,2022 / 2 = 22,1011
QM A/B3 = SQ A/B3 / GL A/B3 = 66,5955 / 2 = 33,2977
QM A/B4 = SQ A/B3/ GL A/B3 = 65,6600 / 2 = 32,8300
F A/B1 = QM A/B1 / QMR = 8,3344 / 1,1200 = 7,44
F A/B2 = QM A/B2 / QMR = 22,1011 / 1,1200 = 19,73
F A/B3 = QM A/B3 / QMR = 33,2977 / 1,1200 = 29,73
F A/B4 = QM A/B4 / QMR = 32,8300 / 1,1200 = 29,31
Desdobramento de A dentro de B
	FV
	GL
	SQ
	QM
	F
	A/B1
	2
	16,6689
	8,3344
	7,44*
	A/B2
	2
	44,2022
	22,1011
	19,73*
	A/B3
	2
	66,5955
	33,2977
	29,73*
	A/B4
	2
	65,6600
	32,8300
	29,31*
	Trat.
	-
	-
	
	
	Bloco
	
	
	
	
	Resíduo
	
	
	1,1200
	
	Total
	
	
	
	
	* Significativo a 5 % de probabilidade. F5% (2,22) = 3,44.
Conclusão
Dentro de cada nível de B, há pelo menos um contraste entre médias dos níveis de A, que apresenta efeito significativo, ao nível de 5 % de probabilidade.
Métodos de comparações múltiplas: A/B níveis.
Teste Tukey
∆ = 3,55 √1,12/3 = 2,17.
q5% (3,22) = 3,55.
mA2/B1 = 24,83 a mA2/B2 = 26,47 a
mA1/B1 = 23,13 ab mA1/B2 = 24,83 a
 mA3/B1 = 21,50 b mA3/B2 = 21,17 b
 mA2/B3 = 28,27 a mA1/B4 = 27,53 a
mA1/B3 = 26,13 a mA2/B4 = 23,83 b
 mA3/B3 = 21,73 b mA3/B4 = 20,93 c
YA/B1
Y1 = mA2/B1 - mA1/B1 = 24,83 – 23,13 = 1,70NS
Y2 = mA2/B1 - mA3/B1 = 24,83 – 21,50 = 3,33*
Y3 = mA1/B1 - mA3/B1 = 23,13 – 21,50 = 1,63NS
YA/B2
Y1 = mA2/B2 - mA1/B2 = 26,47 – 24,83 = 1,64NS
Y2 = mA2/B2 - mA3/B2 = 26,47 – 21,17 = 5,30*
Y3 = mA1/B2 - mA3/B2 = 24,83 – 21,17 = 3,66*
YA/B3
Y1 = mA2/B3 - mA1/B3= 28,27 – 26,13 = 2,14NS
Y2 = mA2/B3 - mA3/B3 = 28,27 – 21,73 = 6,54*
Y3 = mA1/B3 - mA3/B3 = 26,13 – 21,73 = 4,40*
YA/B4
Y1 = mA1/B4 - mA2/B4 = 27,53 – 23,83 = 3,70*
Y2 = mA1/B4 - mA3/B4 = 27,53 – 20,93 = 6,60*
Y3 = mA2/B4 - mA3/B4 = 23,83 – 20,93 = 2,90*
Conclusão YA/B1
No espaçamento 1 foi observado maior massa seca da planta de Eucaliptus quando foi utilizada a fonte de adubo 2 comparado com a fonte de adubo 3 a 5 % de probabilidade pelo teste F.
 Conclusão YA/B2 e YA/B3
Nos espaçamentos 2 e 3 foi observado maior massa seca da planta de Eucaliptus quando com as fontes de adubo 2 e 1 comparado com a fonte de adubo 3 a 5 % de probabilidade pelo teste F.
Conclusão YA/B4
No espaçamento 4 foi observado maior massa seca da planta de Eucaliptus quando foi utilizada a fonte de adubo 1 comparado com as demais fontes de adubo (2 e 3) a 5 % de probabilidade pelo teste F.
B → Fator B dentro dos níveis do fator A
SQ(B/A1) = 1/3 (69,42 +...+ 82,602) – (304,9)2/12 = 31,6425
SQ(B/A2) = 1/3 (74,52 +...+ 71,502) – (310,20)2/12 = 33,9633
SQ(B/A3) = 1/3 (64,502 +...+ 62,802) – (256,00)2/12 = 1,1266
QM B/A1 = SQ B/A1 / GL B/A1 = 31,6425 / 3 = 10,5475 
QM B/A2 = SQ B/A2 / GL B/A2 = 33,9633 / 3 = 11,3211
QM B/A3 = SQ B/A3 / GL B/A3 = 1,1266 / 3 = 0,3755
F B/A1 = QM B/A1 / QMR = 10,5475 / 1,1200 = 9,42
F B/A2 = QM B/A2 / QMR = 11,3211 / 1,1200 = 10,11
F B/A3 = QM B/A3 / QMR = 0,3755 / 1,1200 = 0,34
Desdobramento de B dentro de A
	FV
	GL
	SQ
	QM
	F
	B/A1
	3
	31,6425
	10,5475
	9,42*
	B/A2
	3
	33,9633
	11,3211
	10,11*
	 B/A3
	3
	1,1266
	0,3755
	0,34NS
	Trat.
	
	
	
	
	Bloco
	
	
	
	
	Resíduo
	
	
	1,1200
	
	Total
	
	
	
	
	* Significativo a 5 % de probabilidade. F5% (3,22) = 3,05.
Conclusão
Dentro de cada nível de A1 e A2, há pelo menos um contraste entre médias dos níveis de B, que apresenta efeito significativo, ao nível de 5 % de probabilidade.
Métodos de comparações múltiplas: A/B níveis.
Teste Tukey
mB4 / A1 = 27,53 A mB3 / A2 = 28,27 A
 mB3 / A1 = 26,13 AB mB2 / A2 = 26,47 AB
mB2 / A1 = 24,83 BC mB1 / A2 = 24,83 BC
mB 1 /A1 = 23,13 C mB 4 /A2 = 23,83 C
mB3 / A3 = 21,73 A 
mB1 / A3 = 21,50 A 
mB2 / A3 = 21,17 A 
 mB 4 /A3 = 20,93 A
YB/A1
Y1 = mB4/A1 – mB3/A1 = 27,53 – 26,13 = 1,40ns
Y2 = mB4/A1 – mB2/A1 = 27,53 – 24,83 = 2,70*
Y3 = mB4/A1 – mB1/A1 = 27,53 – 23,13 = 4,40*
Y4 = mB3/A1 – mB2/A1 = 26,13 – 24,83 = 1,30ns
Y5 = mB3/A1 – mB1/A1 = 26,13 – 23,13 = 3,30*
Y6 = mB2/A1 – mB1/A1 = 24,83 – 23,13 = 1,70ns
YB/A2
Y1 = mB3/A2 – mB2/A2 = 28,27 – 26,47 = 1,80ns
Y2 = mB3/A2 – mB1/A2 = 28,27 – 24,83 = 3,44*
Y3 = mB3/A2 – mB4/A2 = 28,27 – 23,83 = 4,44*
Y4 = mB2/A2 – mB1/A2 = 26,47 – 24,83 = 1,64ns
Y5 = mB2/A2 – mB4/A2 = 26,47 – 23,83 = 2,64*
Y6 = mB1/A2 – mB4/A2 = 24,83 – 23,83 = 1,00ns
YB/A3
Y1 = mB3/A3 – mB1/A3 = 21,73 – 21,50 = 0,23ns
Y2 = mB3/A3 – mB2/A3 = 21,73 – 21,17 = 0,56ns
Y3 = mB3/A3 – mB4/A3 = 21,73 – 20,93 = 0,80ns
Y4 = mB1/A3 – mB2/A3 = 21,50 – 21,17 = 0,33ns
Y5 = mB1/A3 – mB4/A3 = 21,50 – 20,93 = 0,57ns
Y6 = mB2/A3 – mB4/A3 = 21,17 – 20,93 = 0,24ns
∆ = 3,93 √1,12/3 = 2,40
q5% (4,22) = 3,93.
Conclusão YB/A1
Na fonte de adubo 1 foi observado maior massa seca da planta de Eucaliptus quando as plantas foram cultivadas no espaçamento 4 comparado aquelas cultivadas no espaçamento 2 e 1 a 5 % de probabilidade pelo teste F.
 
Conclusão YB/A2
Na fonte de adubo 2 foi observado maior massa seca da planta de Eucaliptus quando as plantas foram cultivadas no espaçamento 3 comparado aquelas cultivadas no espaçamento 1 e 4 a 5 % de probabilidade pelo teste F.
Conclusão YB/A3
Na fonte de adubo 3 não foi observada diferença significativa na maior massa seca da planta de Eucaliptus quando as plantas foram cultivadas no diferentes espaçamentos de plantio a 5 % de probabilidade pelo teste F.
Tabela 1 – Valores médios da massa seca da folha de Eucaliptus em função da fonte do adubo N e do espaçamento da cultura em Pombal – PB. CCTA/UFCG, 2012.
		
	Massa seca (g.planta-1)
	
	Espaçamentos
	Fontes de Adubos N
	E1
	E2
	E3
	E4
	F1
	23,13 ab C
	24,83 a BC
	26,13 a AB
	27,53 a A
	F2
	24,83 a BC
	26,47 a AB
	28,27 a A
	23,83 b C
	F3
	21,50 b A
	21,17 b A
	21,73 b A
	20,93 c A
	Nas colunas, as médias seguidas pela mesma letra minúscula, e nas linhas pela mesma letra maiúscula não diferem entre sí pelo teste de Tukey ao nível de 5 % de probabilidade.
UNIDADE IX - EXPERIMENTOS EM PARCELAS SUB-DIVIDIDAS
Generalidades
Tal como no caso de fatorial, o termo parcelas subdivididas não se refere a um tipo de delineamento e sim ao esquema do experimento, ou seja, a maneira pela qual os tratamentos são organizados. Nos experimentos em parcelas subdivididas, em geral, estuda-se simultaneamente dois tipos de fatores os quais são geralmente denominados de fatores primários e fatores secundários.
↓
As unidades experimentais são agrupadas em parcelas as quais devem conter um número de unidades experimentais (subparcelas) igual ao número de níveis do fator secundário.
↓
Na instalação: os níveis do fator primário são distribuídos às parcelas segundo um tipo de delineamento experimental (DIC, DBC, etc...). Posteriormente os níveis do fator secundário são distribuídos ao acaso as subparcerlas de cada parcela.
↓
CROQUI DO EXPERIMENTO
Parcela subdividida 3 x 3, com 3 repetições.
Fator A (Parcela): 3 níveis
Fator B (subparcela): 3 níveis
DIC
	A1B1
	A2B2
	A2B3
	A1B3
	A2B3
	A2B2
	A1B2
	A2B1
	A2B1
	A2B1
	A3B1
	A1B1
	A2B3
	A3B2
	A1B2
	A2B2
	A3B3
	A1B3
	A1B2
	A3B3
	A3B2
	A1B3
	A3B2
	A3B1
	A1B1
	A3B1
	A3B3
CROQUI DO EXPERIMENTO
Parcela subdividida 2 x 4, com 3 repetições.
Fator A (Parcela): 2 níveis
Fator B (subparcela): 4 níveis
DBC
	I
	
	II
	
	III
	A1B1
	
	A1B3
	
	A2B1
	A1B4
	
	A1B2
	
	A2B3
	A1B2
	
	A1B4
	
	A2B2
	A1B3
	
	A1B1
	
	A2B4
	A2B4
	
	A2B1
	
	A1B4
	A2B1
	
	A2B3
	
	A1B1
	A2B2
	
	A2B2
	
	A1B3
	A2B3
	
	A2B4
	
	A2B2
↓
Tratamentos principais (níveis do fator A colocados nas parcelas).
Tratamentos secundários (níveis do fator B casualizado nas sub-parcelas de cada parcela).
Tipos de ensaio em parcelas subdivididas
No espaço: quando em cada parcela há uma subdivisão de áreas em sub-áreas, constituindo, cada uma delas uma sub-parcela.
EX: Parcelas (variedades); sub-parcelas (espaçamentos).
↓
No tempo: a parcela não se subdivide em sub-áreas (são tomados dados periodicamente ao longo do tempo em cada uma delas, constituindo as sub-parcelas).
Ex: Parcelas (diferentes variedades) e a cada 15 dias retirar amostras (épocas – sub-parcelas) para análise de crescimento. 
Características
As parcelas poderão estar dispostas em qualquer tipo de delineamento: DIC, DBC, DQL. 
Sub-parcelas são distribuídas aleatoriamente em cada parcela.
↓
Dois resíduos distintos:
Resíduo a (parcelas)
Resíduo b (subparcelas dentro das parcelas) 
Efeitos dos tratamentos secundários são determinados com maior precisão).
↓
Como a variação residual entre subparcelas é esperada ser menor do que entre parcelas, deve-se escolher como fator secundário, o fator que se espera apresentar menor diferenças, ou para o qual deseja-se maior precisão.
↓
Casualização em dois estágios:
Níveis do fator A nas parcelas de cada bloco.
Níveis do fator B nas subparcela de cada parcela.
↓
Às vezes o pesquisador pode optar entre um experimento com parcelas subdivididas e um experimento fatorial. Para a escolha do esquemaem parcelas subdivididas, o pesquisador pode se basear nos seguintes critérios:
1 - A parcela é uma unidade "física" (um vaso, um animal, uma pessoa)
que pode receber vários níveis de um fator secundário;
2 - o fator principal exige "grandes parcelas" - como é o caso da irrigação e de processos industriais;
3 - o pesquisador quer comparar níveis de um fator secundário com maior precisão.
Vantagens
As conclusões são mais generalizadas (DIC, DBC).
↓
Maior facilidade de instalação comparado aos fatoriais. 
↓
É possível se testar combinação de tratamentos, obtendo a informação sobre a interação entre fatores.
↓
Maior eficiência na utilização de recursos materiais e humanos (DIC, DBC, DQL).
Desvantagens
Análise estatística é mais complicada (DBC, DIC, DQL). 
↓
À medida que cresce o n0 de fatores ou níveis, cresce o n0 de tratamentos, implicando em perda de eficiência (homogeneidade das parcelas).
↓
Existe duas estimativas de variância residual: uma associada às parcelas e outra associada às subparcelas. Este desdobramento da variância residual faz com que o número de graus de liberdade associado a cada um dos resíduos seja menor do o associado ao resíduo se o experimento tivesse sido instalado segundo o esquema fatorial.
↓
Há uma tendência de se obter maior valor para a estimativa do erro experimental. Portanto, em experimentos com parcelas subdivididas, todos os efeitos são avaliados com menor precisão que nos experimentos fatoriais correspondentes.
Modelo matemático
De acordo com o delineamento utilizado (DIC, DBC, DQL) com j repetições:
YIJK = μ + αI + SIK + βJ + (αβ)IJ + eIJK (DIC)
YIJK = μ + αI + RK + (SRIK) + βJ + (αβ)IJ + eIJK (DBC)
μ = é uma constante (média geral).
αI = efeito do nível do fator α. (Parcela)
βJ = efeito do nível do fator β . (Subparcela)
SIK = (erro A). (DIC)
Rk = efeito do bloco.
(SRIK) = (erro A). (DBC)
αβIJ = efeito da interação do nível do fator α com o nível do fator β.
eIJK = efeito do erro aleatório.
I = NÍVEIS DO FATOR A (PARCELA)
J = NÍVEIS DO FATOR B (SUBPARCELA).
K = NÚMERO DE REPETIÇÕES OU BLOCOS
Análise de variância
A análise de variância de um experimento em parcelas subdivididas é feita desdobrando os efeitos das parcelas e das subparcelas nas partes que as compõem. Para cada um destes desdobramentos, existe um resíduo, o qual é utilizado para testar o efeito das fontes de variação pertinentes.
Quadro da ANOVA: DIC:
	FV
	GL
	SQ
	QM
	F
	A
	I – 1
	SQA
	QMA
	QMA/QMRA
	Erro a
	(I – 1)( K – 1)
	SQRA
	QMRA
	
	Parcelas
	(IK – 1)
	SQPARC.
	-
	
	B
	(J – 1)
	SQB
	QMB
	QMB/QMRB
	A x B
	(I – 1)(J – 1)
	SQ (A x B)
	QM (A x B)
	QM (A x B)/ QMRB
	Erro b
	I(K – 1) (J – 1)
	SQRB
	QMRB
	
	Total
	IJK - 1
	SQTOTAL
	-
	
Quadro da ANOVA: DBC:
	FV
	GL
	SQ
	QM
	F
	Bloco
	K - 1
	SQBL
	-
	
	A
	I – 1
	SQA
	QMA
	QMA/QMRA
	Erro a
	(I – 1)( K – 1)
	SQRA
	QMRA
	
	Parcelas
	(IK – 1)
	SQPARC.
	-
	
	B
	(J – 1)
	SQB
	QMB
	QMB/QMRB
	A x B
	(I – 1)(J – 1)
	SQ (A x B)
	QM (A x B)
	QM (A x B)/ QMRB
	Erro b
	I(K – 1) (J – 1)
	SQRB
	QMRB
	
	Total
	IJK - 1
	SQTOTAL
	-
	
SQTO = ∑Y2IJK – C → C = G2 / IJK
SQA = 1 / JK ∑AI2 – C
SQBL = 1 / IJ ∑BLJ2 – C
SQPar = 1 / K ∑T2Parc – C
SQerro A = SQPparc – SQBL – SQA
SQB = 1 / IK ∑BK2 – C
SQ (A x B) = SQ (A,B) – SQA – SQBL
SQ (A,B) = SQTRAT = 1 / K ∑(AIBK)2 – C
SQRB = SQTO – SQPARC – SQB – SQ (A x B).
QMA = SQA / GLA
QMRA = SQRA / GLA
QMB= SQB/ GLB
QMRB = SQRB / GLB
QM A X B = SQ A X B / GLA X B
FA = QMA / QMRA
 FB = QMB / QMRB
FA X B = QM A X B / QMRB
Interação não significativa
Este resultado indica que os efeitos entre os fatores ocorre de forma independente. Portanto recomenda-se que as comparações dos níveis de um fator sejam feitas de forma geral em relação ao outro fator, ou seja, independente dos níveis outro fator.
Interação significativa
Este resultado implica que os efeitos dos fatores atuam de forma dependente. Neste caso as comparações entre os níveis de um fator levam em consideração o nível do outro fator, pois o resultado significativo para a interação indica que o efeito de um fator depende do nível do outro fator.
Portanto, não é recomendado realizar o teste F para cada fator isoladamente tal como foi apresentado para o caso da interação não- significativa. O procedimento recomendado é realizar o desdobramento do efeito da interação.
Para realizar este desdobramento deve-se fazer uma nova análise de variância em que os níveis de um fator são comparados dentro de cada nível do outro fator.
Procedimentos para os testes de comparações de média
Tem-se que considerar quais tratamentos estão em comparação e se a interação foi significativa ou não.
Após a análise de variância (interesse comparar médias)
Quatro tipos de contrastes entre médias.
Problema: consiste em usar a estimativa da variância apropriada.
A – Entre duas médias de tratamentos primários:
Interação não significativa entre tratamentos primários e secundários.
Informações da variância amostral e do GLRA que são utilizadas para realizar o teste desejado são pertinentes ao resíduo (a) da ANOVA.
 qα = f [ I; GLRA ]
B – Entre duas médias de tratamentos secundários:
Interação não significativa entre tratamentos primários e secundários.
Informações da variância amostral e do GLRB que são utilizadas para realizar o teste desejado são pertinentes ao resíduo (b) da ANOVA.
qα = f [ J; GLRB ]
C – Entre duas médias de tratamentos secundários num mesmo tratamento primário:
Interação significativa entre tratamentos primários e secundários.
Informações da variância amostral e do GLRB que são utilizadas para realizar o teste desejado são pertinentes ao resíduo (b) da ANOVA.
 
qα = f [ J; GLRB ]
D – Entre duas médias de tratamentos primários num mesmo tratamento secundário:
Interação significativa entre tratamentos primários e secundários.
Informações da variância amostral e do GLR são obtidos por uma composição do resíduo (a) com o resíduo (b) denominado (QMR combinado).
qα = f [ I; n’]
Por uma composição do resíduo (A) e do resíduo (b) denominado de GL de Satterhwaitte (n’).
Ex 1: Para se estudar o brix de mangas de acordo com a variedade e a posição dos frutos na planta, um pesquisador procedeu a coleta de 4 frutos, cada um deles de um ponto cardeal, em cada um das 3 repetições de cada uma das 5 variedades em teste. Com base nos resultados (brix) fornecidos a seguir, pede-se usando o nível de 5% de probabilidade, proceder a análise de variância.
	VAR
	NORTE
	SUL
	LESTE
	OESTE
	TOTAIS PARC.
	TOTAIS VAR.
	
1
	18,0
	17,1
	17,6
	17,6
	70,3
	
210,7
	
	17,5
	18,8
	18,1
	17,2
	71,6
	
	
	17,8
	16,9
	17,6
	16,5
	68,8
	
	
2
	16,3
	15,9
	16,5
	18,3
	67,0
	
191,8
	
	16,6
	14,3
	16,3
	17,5
	64,7
	
	
	15,0
	14,0
	15,9
	15,2
	60,1
	
	
3
	16,0
	16,2
	17,9
	16,1
	66,2
	
196,0
	
	19,5
	14,9
	15,0
	15,3
	64,7
	
	
	16,3
	16,4
	16,0
	16,4
	65,1
	
	
4
	16,6
	15,2
	14,2
	15,5
	61,5
	
194,3
	
	15,9
	13,2
	18,0
	17,3
	64,4
	
	
	17,5
	15,8
	16,7
	18,4
	68,4
	
	
5
	18,9
	18,6
	15,3
	17,0
	69,8
	
211,3
	
	18,5
	13,7
	18,2
	18,3
	68,7
	
	
	21,5
	16,4
	18,3
	16,6
	72,8
	
	
	261,9
	237,4
	251,6
	253,2
	1004,1
	1004,1
C = (1004,1)2 / 60 = 16.803,61
SQVA = 1 /12 (210,72 +...+ 211,32) – C = 29,55
SQPARC = 1 / 4 (70,32 +...+ 72,82) – C = 45,26
SQRA = SQPARC – SQV = 45,26 – 29,55 = 15,71
SQFA = 1 / 15 (261,92 +...+ 253,22) – C = 20,60
SQTO = (18,02 + 17,12 +...+ 16,62) – C = 137,58
→ Calcular a SQ (VA x FA): quadro auxiliar:
SQ (VA x FA) = SQ (VA,FA ) – SQVA – SQFA
SQ (VA,FA ) = 1 / 3 (53,32 + 47,92 +...+ 51,92) – C = 70,27
SQ (V x FA) = 70,27– 29,55 – 20,60 = 20,12
SQRB = SQTO – SQP – SQFA – SQ (V x FA).
SQRB = 137,58 – 45,26 – 20,60 – 20,12 = 51,60
QMVA = SQV / GLV = 29,55 / 4 = 7,39 
QMRA = SQRA / GLA = 15,71 / 10 = 1,57 
QMFA = SQFA / GLFA = 20,60 / 3 = 6,87 
QMRB = SQRB / GLB = 51,60 / 30 = 1,72
QM V X FA = SQ V X FA / GLV X FA = 20,12 / 12 = 1,68 
FVA = QMV / QMRA = 7,39 / 1,57 = 4,71
 FFA = QMFA / QMRB = 6,87 / 1,72 = 3,99 
FV X FA = QM V X FA / QMRB = 1,68 / 1,72 = 0,97
Quadro da ANOVA:
	FV
	GL
	SQ
	QM
	F
	VA
	4
	29,55
	7,39
	4,71*
	Erro a
	10
	15,71
	1,57
	
	Parcelas
	14
	45,26
	
	
	FA
	3
	20,60
	6,87
	3,99*
	VA x FA
	12
	20,12
	1,68
	0,97ns
	Erro b
	30
	51,60
	1,72
	
	Total
	59
	137,58
	
	
Variedade: F5% (4,10) = 3,48
Faces: F5% (3,30) = 2,92
Interação V x FA: F5% (12,30) = 2,09
Conclusões
Existe pelo menos um contraste entre médias dos níveis da variedade e da face da árvore, com efeito significativo, ao nível de 5 % de probabilidade.
Não houve interação entre os fatores VA x FA. Os fatores podem ser estudados isoladamente.
Procedimento pós – ANOVA
Aplicando o teste Tukey para os fatores V e FA, temos:
Variedades
A – Entre duas médias de tratamentos primários:
1 – Colocar as médias em ordem decrescente. 
m5 = 17,61 a 
m1 = 17,56 ab 
m3 = 16,33 ab
m4 = 16,19 ab
m2 = 15,90 b
2 – Formar e calcular o valor de cada contraste.
Y1 = m5 – m1 = 17,61 – 17,56 = 0,05ns
Y2 = m5 – m3 = 17,61 – 16,33 = 1,28ns
Y3 = m5 – m4 = 17,61 – 16,19 = 1,42ns
Y4 = m5 – m2 = 17,61 – 15,90 = 1,71*
Y5 = m1 – m3 = 17,56 – 16,33 = 1,23ns
Y6 = m1 – m4 = 17,56 – 16,19 = 1,37ns
Y7 = m1 – m2 = 17,56 – 15,90 = 1,66ns
Y8 = m3 – m3 = 16,33 – 16,19 = 0,14ns
Y9 = m3 – m2 = 16,33 – 15,90 = 0,43ns
Y10 = m4 – m2 = 16,19 – 15,90 = 0,29ns
 qα = f [ I; GLRA ]
∆ = 4,65 √1,57/12 = 1,67
q5% (5, 10) = 4,65
Conclusão: foi observado maior teor de sólidos solúveis em frutos de plantas proveniente da variedade 5 comparado com os frutos da variedade 2 a 5 % de probabilidade pelo teste Tukey.
B – Entre duas médias de tratamentos secundários:
Faces da planta
1 – Colocar as médias em ordem decrescente. 
mN = 17,46 a 
mO = 16,88 a b 
mL = 16,77 a b 
mS = 15,83 b
2 – Formar e calcular o valor de cada contraste.
Y1 = mN – mO = 17,46 – 16,88 = 0,58ns
Y2 = mN – mL = 17,46 – 16,77 = 0,69ns
Y3 = mN – mS = 17,46 – 15,83 = 1,63*
Y4 = mO– mL = 16,88 – 16,77 = 0,11NS
Y5 = mO – mS = 16,88 – 15,83 = 1,05NS
Y6 = mL – mS= 16,77 – 15,83 = 0,94NS
 qα = f [ J; GLRB ]
∆ = 3,85 √1,72/15 = 1,30
q5% (4, 30) = 3,85
Conclusão: foi observado maior teor de sólidos solúveis em frutos de plantas proveniente da face norte da planta comparado com os frutos da face sul a 5 % de probabilidade pelo teste Tukey.
Tabela 1 – Valores médios para o TSS (%) de frutos da manga em função da variedade e da face da planta. CCTA/UFCG, Pombal-PB, 2012.
	Variedades
	Brix
	1
	17,56 a
	2
	15,98 b
	3
	16,33 a
	4
	16,19 a
	5
	17,61 a
	Faces
	
	Norte
	17,46 a
	Sul
	15,83 b
	Leste
	16,77 ab
	Oeste
	16,80 ab
	* As médias seguidas pela mesma letra não diferem entre sí ao nível de 5% de probabilidade, pelo teste Tukey.
- Coeficiente de variação da parcela:
- Coeficiente de variação da subparcela:
EX 2: Os dados do experimento foram coletados em laboratório. Na parcela constaram de 4 tipos de cera (C1, C2, C3 e C4) e na subparcela de 4 filmes plásticos (F1, F2, F3, e F4) para acondicionar frutos de morango. O experimento foi feito no DIC com 4 repetições. Os dados abaixo (dados aleatórios) referem-se ao teor de vitamina C do fruto.
	CER
	REP
	F1
	F2
	F3
	F4
	TOTAIS PARC.
	TOTAIS PREP.
	
C1
	1
	42,9
	41,6
	28,9
	30,8
	144,2
	
679,3
	
	2
	53,8
	58,5
	43,9
	46,3
	202,5
	
	
	3
	49,5
	53,8
	40,7
	39,4
	183,4
	
	
	4
	44,4
	41,8
	28,3
	34,7
	149,2
	
	
C2
	1
	53,3
	69,6
	45,4
	35,1
	203,4
	
854,5
	
	2
	57,6
	69,6
	42,4
	51,9
	221,5
	
	
	3
	59,8
	65,8
	41,4
	45,4
	212,4
	
	
	4
	64,1
	57,4
	44,1
	51,6
	217,2
	
	
C3
	1
	62,3
	58,5
	44,6
	50,3
	215,7
	
868,9
	
	2
	63,4
	50,4
	45,0
	46,7
	205,5
	
	
	3
	64,5
	46,1
	62,6
	50,3
	223,5
	
	
	4
	63,6
	56,1
	52,7
	51,8
	224,2
	
	
C4
	1
	75,4
	65,6
	54,0
	52,7
	247,7
	
977,1
	
	2
	70,3
	67,3
	57,6
	58,5
	253,7
	
	
	3
	68,8
	65,3
	45,6
	51,0
	230,7
	
	
	4
	71,6
	69,4
	56,6
	47,4
	245,0
	
	
	
	965,3
	936,8
	733,8
	743,9
	3.379,8
	
C = (3.379,8)2 / 64 = 178.485,13
SQC = 1 /16 (679,32 +...+ 977,12) – C = 2.848,02
SQPARC = 1 / 4 (144,22 +...+ 245,02) – C = 3.590,61
SQRA = SQC – SQV = 3.590,61 – 2.848,02 = 742,59
SQF = 1 / 16 (965,32 +...+ 743,92) – C = 2.842,87
SQTO = (18,02 + 17,12 +...+ 16,62) – C = 7.797,39
- Para calcular a SQ interação, vamos estruturar o quadro:
SQ (P x F) = SQ (P,F) – SQC – SQF
SQ (C,F) = 1 / 4 (190,62 + ...+ 209,62) – C = 6.309,19
SQ (C x F) = 6.309,19 – 2.848,02 – 2.842,87 = 618,30
SQRB = SQTO – SQPARC – SQF – SQ (C x F).
SQRB = 7.797,39 – 3.590,61 – 2.842,87 – 618,30 = 745,61
QMC = SQC / GLP = 2848,02 / 3 = 947,34 
QMRA = SQRA / GLRA = 742,59 / 12 = 61,88 
QMF = SQF / GLF = 2842,87 / 3 = 947,62 
QMRB = SQRB / GLRB = 745,61 / 36 = 20,71
QM C X F = SQ C X F / GLP X F = 618,3 / 9 = 68,70 
FC = QMC / QMRA = 947,34 / 61,88 = 15,31
 FF = QMF / QMRB = 947,62 / 20,71 = 45,75 
FC X F = QM C X F / QMRB = 68,70 / 20,71 = 3,32
Quadro da ANOVA:
	FV
	GL
	SQ
	QM
	F
	C
	3
	2.848,02
	947,34
	15,31*
	Erro a
	12
	742,59
	61,88
	
	Parcelas
	15
	3.590,61
	
	
	F
	3
	2.842,87
	947,62
	45,75*
	C x F
	9
	618,30
	68,70
	3,32*
	Erro b
	36
	745,61
	20,71
	
	Total
	63
	7.797,39
	
	
Cera: F5% (3,12) = 3,49 
Filmes: F5% (3,36) = 2,84
Interação C x F: F5% (9,36) = 2,12
Conclusões
Houve interação entre os fatores C x F. Deve-se fazer o desdobramento da interação dos fatores C e F.
Procedimento pós – ANOVA
Comparações entre duas médias de tratamentos primários num mesmo tratamento secundário:
Métodos de comparações múltiplas: A/B níveis.
	MC4/F1 = 71,53 a
	
	mC4/F2 = 66,90 a
	mC3/F1 = 63,45 ab
	
	mC2/F2 = 65,60 a
	mC2/F1 = 58,70 b
	
	mC3/F2 = 52,78 b 
	MC1/F1 = 47,65 c
	
	mC1/F2 = 48,92 b
	↓
	
	↓
	MC4/F3 = 53,45 a
	
	MC4/F4 = 52,40 a 
	MC3/F3 = 51,22 a
	
	MC3/F4 = 49,78 a
	MC2/F3 = 43,33 ab
	
	MC2/F4 = 46,00 ab
	MC1/F3 = 35,45 b
	
	MC1/F4 = 37,80 b
YC/F1
Y1 = mC4/F1 – mC3/F1 = 71,53 – 63,45 = 8,08 ns
Y2 = mC4/F1 – mC2/F1 = 71,53 – 58,70 = 12,83*
Y3 = mC4/F1 – mC1/F1 = 71,53 – 47,65 = 23,88*
Y4 = mC3/F1 – mC2/F1 = 63,45 – 58,70 = 4,75ns
Y5 = mC3/F1 – mC1/F1 = 63,45 – 47,65 = 15,80*
Y6 = mC2/F1 – mC1/F1 = 58,70 – 47,65 = 11,05*
YC/F2
Y1 = mC4/F2 – mC2/F2 = 66,90 – 65,60 = 1,30NS
Y2 = mC4/F2 – mC3/F2 = 66,90 – 52,78 = 14,12*
Y3 = mC4/F2 – mC1/F2 = 66,90 – 48,92 = 17,98*
Y4 = mC2/F2 – mC3/F2 = 65,60 – 52,78 = 12,82*
Y5 = mC2/F2 – mC1/F2 = 65,60 – 48,92 = 16,68*
Y6 = mC3/F2 – mC1/F2 = 52,78 – 48,92 = 3,86NS
YC/F3
Y1 = mC4/F3 – mC3/F3 = 53,45 – 51,22 = 2,23NS
Y2 = mC4/F3 – mC2/F3 = 53,45 – 43,33 = 10,12NS
Y3 = mC4/F3 – mC1/F3 = 53,45 – 35,45 = 18,00*
Y4 = mC3/F3 – mC2/F3 = 51,22 – 43,33 = 7,89NS
Y5 = mC3/F3 – mC1/F3 = 51,22 – 35,45 = 15,77*
Y6 = mC2/F3 – mC1/F3 = 43,33 – 35,45 = 7,88NS
YC/F4
Y1 = mC4/F4 – mC3/F4 = 52,40 – 49,78 = 2,62NS
Y2 = mC4/F4 – mC2/F4 = 52,40 – 46,00 = 6,40NS
Y3 = mC4/F4 – mC1/F4 = 52,40 – 37,80 = 14,60*
Y4 = mC3/F4 – mC2/F4 = 49,78 – 46,00 = 3,78NS
Y5 = mC3/F4 – mC1/F4 = 49,78 – 37,80 = 11,98*
Y6 = mC2/F4– mC1/F4 = 46,00 – 37,80 = 8,20NS
; qα = f [ I; n’]
n’ = 28,86 ≈ 29 GL.
q 5% (4, 29) = 3,85
Conclusão YC/F1
Quando foi utilizado o tipo de filme plástico 1 foi observado maior teor de vitamina C na polpa do fruto da goiaba associado com o tipode cera 4 comparado aqueles frutos que receberam o tipo de cera 2 e 1 a 5 % de probabilidade pelo teste Tukey.
Conclusão YC/F2
Quando foi utilizado o tipo de filme plástico 2 foi observado maior teor de vitamina C na polpa do fruto da goiaba associado com o tipo de cera 4 e 2 comparado aqueles frutos que receberam o tipo de cera 2 e 1 a 5 % de probabilidade pelo teste Tukey.
Conclusão YC/F3 e YC/F4
Quando foi utilizado o tipo de filme plástico 3 e 4 foi observado maior teor de vitamina C na polpa do fruto da goiaba associado com o tipo de cera 4 comparado aqueles frutos que receberam o tipo de cera 1 a 5 % de probabilidade pelo teste Tukey.
Comparações entre duas médias de tratamentos secundários num mesmo tratamento primário:
Métodos de comparações múltiplas: B/A níveis.
	mF2/c1 = 48,92 A
	
	mF2/c2 = 65,60 A
	mF1/c1 = 47,65 A
	
	mF1/c2 = 58,70 A
	mF4/c1 = 37,80 B
	
	mF4/c2 = 46,00 B
	mF3/c1 = 35,45 B
	
	mF3/c2 = 43,33 B
	
mF1/c3 = 63,45 A
	
	
mF1/c4 = 71,53 A 
	mF2/c3 = 52,78 B
	
	mF2/c4 = 66,90 A
	mF3/c3 = 51,22 B
	
	mF3/c4 = 53,45 B
	mF4/c3 = 49,78 B
	
	mF4/c4 = 52,40 B
YF/C1
Y1 = mF2/C1 – mF1/C1 = 48,92 – 47,65 = 1,27NS
Y2 = mF2/C1 – mF4/C = 48,92 – 37,80 = 11,12*
Y3 = mF2/C1 – mF3/C1 = 48,92 – 35,45 = 13,45*
Y4 = mF1/C1 – mF4/C1 = 47,65 – 37,80 = 9,85*
Y5 = mF1/C1 – mF3/C1 = 47,65 – 35,45 = 12,2*
Y6 = mF4/C1 – mF3/C1 = 37,80 – 35,45 = 2,35NS
YF/C2
Y1 = mF2/C2 – mF1/C2 = 65,60 – 58,70 = 6,90NS
Y2 = mF2/C2 – mF4/C2= 65,60 – 46,00 = 19,60*
Y3 = mF2/C2 – mF3/C2 = 65,60 – 43,33 = 22,27*
Y4 = mF1/C2 – mF4/C2 = 58,70 – 46,00 = 12,70*
Y5 = mF1/C2 – mF3/C2 = 58,70 – 43,33 = 15,37*
Y6 = mF4/C2 – mF3/C2 = 46,00 – 43,33 = 2,67NS
YF/C3
Y1 = mF1/C3 – mF2/C3 = 63,45 – 52,78 = 10,67*
Y2 = mF1/C3 – mF3/C3= 63,45 – 51,22 = 12,23*
Y3 = mF1/C3 – mF4/C3 = 63,45 – 49,78 = 13,67*
Y4 = mF2/C3 – mF3/C3 = 52,78 – 51,22 = 1,56NS
Y5 = mF2/C3 – mF4/C3 = 52,78 – 49,78 = 3,00NS
Y6 = mF3/C3 – mF4/C3 = 51,22 – 49,78 = 1,44NS
YF/C4
Y1 = mF1/C3 – mF2/C3 = 71,53 – 66,90 = 4,63NS
Y2 = mF1/C3 – mF3/C3= 71,53 – 53,45 = 18,08*
Y3 = mF1/C3 – mF4/C3 = 71,53 – 52,40 = 19,13*
Y4 = mF2/C3 – mF3/C3 = 66,90 – 53,45 = 13,45*
Y5 = mF2/C3 – mF4/C3 = 66,90 – 52,40 = 14,50*
Y6 = mF3/C3 – mF4/C3 = 53,45 – 52,40 = 1,05NS
 qα = f [ J; GLRB ]
 ∆ = 3,79 √20,71/4 = 8,62
Q5% (4, 36) = 3,79
Conclusão YF/C1 e YF/C2
Quando foi utilizado o tipo de ceras 1 e 2 foi observado maior teor de vitamina C na polpa do fruto da goiaba associado com o tipo de filme plástico 2 e 1 comparado aqueles frutos que foram acondicionados com o tipo de filme plástico 4 e 3 a 5 % de probabilidade pelo teste Tukey.
Conclusão YF/C3
Quando foi utilizado o tipo de cera 3 foi observado maior teor de vitamina C na polpa do fruto da goiaba associado com o tipo de filme plástico 1 comparado aqueles frutos que foram acondicionados nos demais tipos de filmes plásticos (2, 3 e 4) a 5 % de probabilidade pelo teste Tukey.
Conclusão YF/C4
Quando foi utilizado o tipo de cera 4 foi observado maior teor de vitamina C na polpa do fruto da goiaba associado com o tipo de filme plástico 1 e 2 comparado aqueles frutos que foram acondicionados nos filmes plásticos 3 e 4 a 5 % de probabilidade pelo teste Tukey.
Tabela 1 – Valores médios de teor de vitamina C em função do tipo de cera e do filme plástico em frutos de goiaba em Pombal – PB. CCTA/UFCG, 2012.
	
	Teor de Vitamina C (mg.100 g de amostra)
	
	Filme plástico
	Preparo
	F1
	F2
	F3
	F4
	P1
	47,65 c A
	48,92 b A
	35,45 b B 
	37,80 b B
	P2
	58,70 ab A
	65,60 a A
	43,33 ab B
	46,00 ab B
	P3
	63,45 a A
	52,78 b B
	51,22 a B
	49,78 a B
	P4
	71,53 a A
	66,90 a A
	53,45 a B
	52,40 a B
	Nas colunas, as médias seguidas pela mesma letra minúscula e nas linhas pela mesma letra maiúscula, não diferem entre sí pelo teste de Tukey ao nível de 5 % de probabilidade.
MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO
CENTRO DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIA AGROALIMENTAR
DISCIPLINA: ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL -2013.2
LISTA DE EXERCÍCIOS – 1a AVALIAÇÃO
PROFESSOR: ROBERTO QUEIROGA
Questão 1:
a – Defina ensaio experimental, tratamentos, parcelas e delineamento experimental.
b – Faça um croqui (disposição dos tratamentos no plano experimental) de um experimento no delineamento inteiramente casualizado que testou 4 temperaturas de armazenamento (2, 4, 6 e 80C) sob a vida útil de frutos de morango com 5 repetições por tratamento. Cada parcela constava de 8 frutos e uma área de 0,40m2. Com base nos dados acima, responda:
- Qual a característica avaliada: 
- Quais e quantos são os tratamentos: 
- Qual o número de unidades experimentais:
- Calcule a área do experimento e o número de frutos necessários para a realização do experimento:
- Faça o croqui do experimento no DIC:
c – Quais os 3 princípios básicos da experimentação? Defina e comente a finalidade destes.
d – Quais as vantagens e desvantagens de um delineamento inteiramente casualizado. 
e – Qual a finalidade do teste F da análise de variância. 
f – Cite 3 fatores que podem influenciar no momento de determinar o tamanho de uma parcela.
g – Diferencie população e amostra.
Questão 2:
- Um fabricante de móveis realizou um experimento para verificar qual dentre cinco marcas de verniz proporciona maior brilho. Com esta finalidade, procedeu da seguinte forma:
- Em sua fábrica identificou amostras de madeira que estariam disponíveis para a realização deste experimento. Verificou que possuía cinco tábuas de Jatobá, cinco tábuas de Cerejeira, cinco tábuas de Mogno, cinco tábuas de Goiabão e cinco tábuas de Castanheira. Constatou também que as cinco tábuas de cada tipo de madeira eram homogêneas para as características essenciais e que havia uma grande variedade de cores entre os cinco tipos de madeira (Jatobá, Cerejeira, Mogno, Goiabão e Castanheira). Sabe-se que a cor da madeira pode influenciar muito o brilho da mesma quando envernizada;
- Resolveu então distribuir ao acaso as cinco marcas de verniz às tábuas de madeira, de tal forma que cada tipo de madeira fosse testada com todas as marcas de verniz;
- O brilho foi medido por meio de um aparelho que mede a refletância da luz branca projetado sobre a tábua de madeira envernizada;
- Baseado nas informações deste experimento, pergunta-se:
a - Qual foi a unidade experimental utilizada neste experimento? Justifique sua resposta.
b - Quais foram os tratamentos comparados neste experimento? Justifique a sua resposta.
c - Quais foram os princípios básicos da experimentação utilizados neste experimento? Justifique a sua resposta.
d - É possível estimar o erro experimental neste experimento? Justifique a sua resposta. Se a resposta for afirmativa, a estimativa do erro é válida? Justifique. Se a resposta foi negativa, explique o que deveria ser feito para obter uma estimativa válida para o erro experimental.
e - O que faz surgir o erro num experimento? É possível eliminar totalmente o efeito do erro experimental em um experimento? Justifique a sua resposta.
f - O procedimento adotado pelo pesquisador de distribuir as marcas de verniz ao acaso dentro de cada tipo de madeira foi realmente necessário? Justifique a sua resposta.
Questão 3:
– Os dados abaixo são de um experimento realizado no delineamento inteiramente casualizado (DIC) que avaliou a produtividade do meloeiro (t.ha-1) em função de quatro espaçamentos de plantio com quatro repetições por tratamento.
	
	Produtividade do meloeiro (t.ha-1)
	
	
	Repetições
	
	Tratamentos
	I
	II
	III
	IVTotais
	1 – 2,0 x 0,5 m
	26,3
	27,5
	26,1
	26,6
	
	2 – 2,0 x 0,75 m
	26,4
	24,4
	25,7
	28,2
	
	3 – 2,0 x 1,0 m
	19,1
	22,2
	23,1
	20,5
	
	4 – 2,0 x 1,25 m
	18,3
	17,6
	21,6
	19,8
	
	
	
	
	
	
	G = 
a - Faça a análise de variância do experimento e conclua.
b – Calcule o coeficiente de variação da característica em análise. 
c - Faça a decomposição da soma de quadrados de tratamento em contrastes ortogonais. Testar os seguintes contrastes (C1 = 3m1 – m2 – m3 – m4; C2 = 2m2 – m3 – m4; C3 = m3 – m4) e conclua. 
d - Aplique o teste de Tukey, Duncan, Newman-Keuls, Dunnett, teste t (C = 2m2 – m3 – m4) e de Sheffé (C = m3 – m4) e conclua. Utilizar para o teste Dunnett o tratamento 4 (2,0 x 1,25 m) como testemunha.
Questão 4:
 – Os dados da tabela são de um experimento realizado no delineamento inteiramente casualizado que avaliou a massa do fruto (g.fruto-1) de tomate cultivado em estufa em hidroponia submetido a 3 soluções nutritivas composta por diferentes concentrações de nutrientes: soluções 1, 2 e 3. 
	
	Massa do fruto (g.fruto-1)
	
	
	Repetições
	
	Tratamentos
	I
	II
	III
	IV
	Totais
	1 – Solução nutritiva 1 (Test.)
	-
	62,7
	61,5
	62,3
	
	2 – Solução nutritiva 2
	70,5
	71,5
	72,2
	74,2
	
	3 – Solução nutritiva 3
	64,4
	65,5
	66,9
	-
	
	
	
	
	
	
	G = 
a-) Faça a análise de variância e conclua.
b-) Faça a decomposição da soma de quadrados de tratamento em contrastes ortogonais. Testar os contrastes (C1 = 2m2 – m1 – m3; C2 = m1 – m3) e conclua.
c-) Aplique o teste de Tukey, Duncan, Newmann Keulls, Dunnett, t de student (C = 2m2 – m1 – m3) e Sheffé (C = m1 – m3). Utilizar para o teste Dunnett o tratamento 1 (solução nutritiva 1) como testemunha.
Questão 5:
– Os dados abaixo são de um experimento que avaliou o teor de sólidos solúveis em frutos de melancia em função de 5 dosagens de nitrogênio aplicadas as plantas (0, 50, 100, 150 e 200 kg/ha) em quatro repetições. 
	
	Teor de sólidos solúveis
	
	
	Repetições
	
	Dose de N (kg/ha)
	I
	II
	III
	IV
	Totais
	0
	9,80
	10,20
	11,30
	10,70
	
	50
	10,50
	10,90
	11,55
	10,95
	
	100
	11,50
	11,60
	12,00
	12,90
	
	150
	12,50
	12,80
	13,10
	13,50
	
	200
	13,50
	14,00
	14,50
	14,20
	
	
	
	
	
	
	G = 
a-) Faça a análise de variância para a característica em análise.
b-) Faça a análise de regressão obtendo os parâmetros da equação de regressão linear simples..
c-) Qual o valor estimado do teor de sólidos solúveis dos frutos de melancia caso a cultura fosse adubada com uma dose de 130 kg ha-1 de N.
d) Calcule e interprete o coeficiente de determinação.
e-) Calcule o coeficiente de variação da característica em análise. 
Questão 6:
- Num experimento, 4 novos tipos de herbicida foram comparados para verificar se são eficazes para combater ervas daninhas e assim manter a produção de milho em níveis elevados. Um resumo do experimento é dado a seguir:
	Herbicida
	Média de produção (kg/ha)
	Repetições
	1 – Biológico
	46
	4
	2 – Químico à base de nitrogênio e enxofre
	31
	4
	3 – Químico à base de nitrogênio e fósforo
	32
	4
	4 – Químico à base de inativadores enzimáticos
	25
	4
Suponha que seja de interesse testar o seguinte contraste entre as médias de�
tratamentos
�C1 = 3m1 − m2 − m3 − m4 . Suponha ainda que todos os tratamentos possuam�
uma mesma variância e que sua estimativa é igual a 35 (kg / ha)2 . Pergunta-se:
a - Qual a comparação que está sendo feita pelo contraste C1? Qual a estimativa para este contraste?
b - Por meio da estimativa obtida para o contraste C1 pode-se AFIRMAR que exista um grupo melhor de herbicidas do que outro? Justifique a sua resposta.
c - Qual a estimativa da variância para a estimativa do contraste C1?
d - Forme um grupo de contrastes ortogonais a partir do contraste C1. Descreva qual comparação que está sendo feita por cada contraste que você obteve. Baseando-se nos dados amostrais fornecidos, obtenha também a estimativa para cada um dos contrastes.
Questão 7:
- Os seguintes dados referem-se a ganhos de peso, em kg, de animais durante um período experimental.
Repetições
	Rações
	1
	2
	3
	4
	Totais
	A
	7,1
	8,9
	6,0
	7,0
	29,0
	B
	6,2
	8,8
	4,9
	6,1
	26,0
	C
	6,0
	5,0
	9,1
	3,9
	24,0
	D
	11,1
	10,8
	10,2
	11,9
	44,0
	E
	7,0
	11,3
	10,0
	11,7
	40,0
	
	
	
	
	
	163,0
- Tais dados são descritos segundo o modelo estatístico: Yij = m + ti + eij. Baseando nas informações fornecidas, pede-se:
a - Proceda a análise de variância dos dados (use α = 5%).
b - De acordo com o resultado do teste F pode-se concluir que existe efeito significativo de rações com relação ao ganho de peso médio proporcionado pelas mesmas?
c - Proponha um contraste que compare as rações B e C juntas contra as rações D e E. Obtenha a estimativa para este contraste.
d - Calcule o coeficiente de variação e interprete-o.
Questão 8:
�
- Um experimento para avaliar a influência de 4 tipos de aleitamento no ganho de peso de leitões foi conduzido utilizando-se o delineamento inteiramente casualizado com 4 repetições. Foram obtidos os seguintes resultados parciais:
	Tratamentos
	1
	2
	3
	4
	Totais
	37,2
	44,8
	31,6
	32,8
	FV
	GL
	SQ
	QM
	F
	Tratamento
Resíduo
	
	26,76
	
	
	Total
	
	33,82
	
	
	
- Complete o quadro quadroquadro
	
da ANOVA e 
	e, considerando-se α
	
= 1%,
	
responda qual(is) o(s)
melhor(es) tipo(s) de aleitamento. (Use o teste de Tukey, se necessário).
Questão 9:
- Para o seguinte conjunto de valores de X (variável independente) e Y (variável dependente), faça a análise de regressão segundo o modelo linear de 1º grau e obtenha a equação de regressão estimada. 
	X
	2
	4
	6
	8
	10
	12
	14
	16
	18
	20
	Y
	10,3
	18,2
	25,1
	35,6
	43,0
	50,0
	59,1
	67,8
	75,2
	85,0
Questão 10:
- Para verificar se existe uma relação linear de 1º grau entre Umidade Relativa (UR) do ar da secagem de sementes e a germinação das mesmas, um pesquisador realizou um teste com 4 diferentes valores para a % de UR do ar que atravessava as sementes armazenadas, obtendo-se os seguintes valores amostrais:
	UR (%)
	20
	30
	40
	50
	Germinação (%)
	94
	96
	97
	99
�
MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO
CENTRO DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIA AGROALIMENTAR
DISCIPLINA: ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL -2013.2
LISTA DE EXERCÍCIOS – 2a AVALIAÇÃO
PROFESSOR: ROBERTO QUEIROGA
Questão 1:
– Faça um croqui (disposição dos tratamentos no plano experimental) de um experimento no delineamento de blocos ao acaso e outro no delineamento em quadrado latino com 5 tratamentos e 5 repetições. Os tratamentos constaram de 5 tipos de adubos orgânicos (estercos) aplicados no solo visando a melhoria de suas qualidades físico-químicas, codificados por letras (A, B, C, D e E). Considere a área da parcela igual a 2,0 m2 e que em cada parcela serão aplicados 20 kg de esterco. Com base nessas afirmações responda para o DBC e depois para o DQL: 
a) Qual o número de parcelas do DBC e DQL?
b) Qual a área total do experimento nos dois delineamentos?
c) Quantos kg de estercos serão necessários para utilização no experimento nos dois delineamentos?
d) Cite duas diferenças entre DBC e DQL.
Questão 2:
– Os dados abaixo são de um experimento realizado no delineamento blocos casualizados que avaliou a concentração de P em quatro tipos de substratos utilizados para produção de mudas de espécies florestais destinadas a área de reflorestamento, em 4 repetições.
	
	Concentração de P
	
	
	Blocos
	
	Substratos
	I
	II
	III
	IV
	Totais de substratos 
	1
	26,3
	27,5
	26,1
	26,6
	
	2
	26,4
	24,4
	25,7
	28,2
	
	3
	19,1
	22,2
	23,1
	20,5
	
	4
	18,3
	17,6
	21,619,8
	
	Totais Blocos
	
	
	
	
	G = 
a - Faça a análise de variância do experimento.
b - Faça a decomposição da soma de quadrados de tratamento em contrastes ortogonais. Testar os contrastes (C1 = 3mA – mB – mC – mD; C2 = 2mB – mC – mD; C3 = mC – mD) e conclua.
c - Aplique o teste de Tukey e Duncan e conclua.
Questão 3:
- Os dados abaixo, se referem a um experimento instalado segundo o DBC, em que os tratamentos, 5 produtos comerciais para suprir deficiência de micronutriente em caprinos, foram fornecidos aos animais os quais foram separados em 3 grupos segundo a idade. Os resultados obtidos, expressos em ppm de micronutriente/ml de sangue, foram os seguintes:
	Produtos comerciais
	Bloco
	1
	2
	3
	4
	5
	Totais
	1
	83
	86
	103
	116
	132
	520
	2
	63
	69
	79
	81
	98
	390
	3
	55
	61
	79
	79
	91
	365
	Totais
	201
	216
	261
	276
	321
	1275
- Pede-se proceder a ANOVA e aplicar o teste Tukey e Duncan, usando o nível de 5% de probabilidade.
Questão 4:
- Os dados abaixo são de um experimento realizado no delineamento blocos casualizados que avaliou a altura de mudas de Pinus (cm) quando as plantas foram submetidas a 4 doses de nitrogênio em 4 repetições.
	
	Altura de mudas (cm)
	
	
	Blocos
	
	Doses de nitrogênio (kg.ha-1)
	I
	II
	III
	IV
	Totais Doses 
	0
	14,3
	15,5
	16,1
	15,6
	
	40
	18,4
	18,7
	19,9
	17,5
	
	80
	19,1
	22,2
	20,5
	20,7
	
	160
	22,2
	24,6
	23,6
	24,1
	
	Totais Blocos
	
	
	
	
	G = 
a - Faça a análise de variância.
b - Aplique o procedimento pós-análise de variância recomendado para o experimento.
Questão 5:
– Os dados da tabela são de um experimento realizado no delineamento blocos casualizados que apresentou uma parcela perdida e avaliou a produtividade (t ha-1) de madeira de Eucaliptus cultivado em diferentes solos (1 – argilo arenoso, 2 – argiloso, e 3 – arenoso) com 4 repetições. 
	
	Produtividade
	
	
	Blocos
	
	Tipos de solos
	I
	II
	III
	IV
	Totais Tratamentos
	1 - Argilo - arenoso
	-
	64,7
	63,5
	64,3
	
	2 - Argiloso
	72,5
	73,5
	74,2
	76,2
	
	3 - Arenoso
	66,4
	67,5
	68,9
	66,7
	
	Totais Blocos
	
	
	
	
	G = 
a - Calcule o valor da parcela perdida
b - Faça a análise de variância e conclua com base no valor de F.
b-) Faça a decomposição da soma de quadrados de tratamento em contrastes ortogonais. Testar os contrastes (C1 = 2m2 – m1 – m3; C2 = m1 – m3) e conclua.
c-) Aplique o teste de Tukey e Duncan e conclua.
Questão 6:
- Com a finalidade de aumentar a produção de lã de suas ovelhas, por meio de uma alimentação mais apropriada um criador separou 28 ovelhas de sua criação. Como as ovelhas eram de idades diferentes, dividiu-as em 7 grupos, sendo que dentro de cada um destes grupos havia 4 ovelhas de mesma idade e homogeneidade para as demais características. Dentro de cada grupo foi realizado um sorteio para distribuir ao acaso, os 4 Tipos de Alimentação (TA) às ovelhas do grupo. O experimento se iniciou logo após as ovelhas terem sido submetidas a uma tosquia e se encerrou quando já era o momento de se realizar uma nova tosquia da qual foram obtidos os seguintes resultados, expressos em unidade de medida de lã por animal:
	
	grupos
	
	TA
	1
	2
	3
	4
	5
	6
	7
	Totais
	1
	30
	32
	33
	34
	29
	30
	33
	221
	2
	29
	31
	34
	31
	33
	33
	29
	220
	3
	43
	47
	46
	47
	48
	44
	47
	322
	4
	23
	25
	21
	19
	20
	21
	22
	151
	Totais
	125
	135
	134
	131
	130
	128
	131
	914
- Com base nas informações anteriores, pede-se ( α = 1% ):
a - Qual o tipo de delineamento experimental que o criador utilizou? Justifique sua
resposta.
b - Existe diferença entre os tipos de alimentação fornecidos às ovelhas com relação a produção de lã?
c – Com base no teste Tukey, qual (is) seria (m) o (s) tipo (s) de alimentação a ser (em) recomendados as ovelhas?
Questão 7:
- O resumo da Análise de Variância de um experimento instalado segundo o Delineamento em Blocos Casualizados, para verificar se existe diferença entre 5 tipos de Levedura na produção de cerveja, é fornecido a seguir:
	FV
	GL
	QM
	F
	Blocos Tratamentos Resíduo
	3
	---
4,895
	---
	Total
	
	
	
- Totais de tratamentos: T1 = 12,0; T1 = 25,2; T1 = 22,0; T1 = 24,0; T1 = 45,6.
- Ao nível de 5% de probabilidade, pede-se:
a - Existe diferença entre os 5 tipos de Levedura, na produção de cerveja?
B - Pelo teste Tukey, qual(is) o(s) tipo(s) de Levedura que apresentou(aram) maior produção?
C - Pelo teste Duncan, qual(is) o(s) tipo(s) de Levedura que apresentou(aram) menor produção?
Questão 8:
– Num experimento de competição de variedades de cana-de-açúcar foram usadas 5 variedades (A, B, C, D e E) dispostas em um quadrado latino de 5 x 5. A área foliar formada em g por parcela foi dada na tabela seguinte:
	
	Área foliar (g por parcela)
	
	
	
	
	
	
	
	Totais de linhas
	
	D 447
	A 528
	B 468
	C 598
	E 351
	
	
	C 739
	E 498
	 A 534
	B 560
	D 415
	
	
	E 509
	B 394
	C 571
	D 312
	A 430
	
	
	B 504
	D 515
	E 333
	A 496
	C 516
	
	
	A 525
	C 675
	D 453
	E 414
	B 328
	
	Total de colunas
	
	
	
	
	
	
a - Faça a análise de variância.
b - Aplique o teste de Tukey e Duncan e conclua.
c – Calcule e interprete o coeficiente de variação.
Questão 9:
– Foi realizado um experimento que avaliou o diâmetro do caule de plantas de Sabiá em função de quatro espaçamentos de plantio que foram dispostos em um quadrado latino de 4 x 4. O diâmetro do caule (cm) é dado na tabela seguinte:
	
	
	
	
	
	Totais de linhas
	
	D 2,55
	A 3,87
	B 3,45
	C 1,89
	
	
	C 1,25
	B 3,39
	A 1,54
	D 2,61
	
	
	B 3,33
	D 3,06
	* C 
	A 4,55
	
	
	A 3,45
	C 1,46
	D 2,87
	B 3,66
	
	Total de colunas
	
	
	
	
	
* Parcela perdida.
a - Calcule o valor da parcela perdida.
b - Faça a análise de variância e conclua com base no valor de F.
c - Aplique o teste de Tukey e Duncan e conclua.
Questão 10: 
- Um experimento foi conduzido numa região do Pantanal com o objetivo de selecionar forrageiras que garantissem uma maior produção de matéria seca. Foi utilizado o delineamento em quadrado latino, buscando controlar diferenças de fertilidade em duas direções, sendo avaliadas 7 forrageiras (A, B, C, D, E, F, G). Foram obtidos os seguintes resultados parciais com a realização do experimento:
	Tratamentos
	A
	B
	C
	D
	E
	F
	G
	Totais
	30,8
	25,2
	19,6
	14,0
	13,3
	9,8
	8,4
	Linhas
	1
	2
	3
	4
	5
	6
	7
	Totais
	18,9
	19,9
	14,5
	18,1
	15,6
	17,4
	16,7
SQTotal = 72,36 e SQColunas=1,27.
- Verificar se existe efeito significativo de forrageiras, pelo teste F, e concluir para α =1%.
Questão 11:
- Um pesquisador instalou um experimento para comparar 5 tipos de bacilos (A, B, C, D, e E) usados para produção de iogurte. No momento da instalação do experimento, o pesquisador verificou que o material experimental disponível (25 unidades de 1 litro de leite) não era completamente homogêneo entre si, pois apresentavam variação quanto ao teor de gordura e grau de acidez. Para controlar estas duas fontes de variação, o pesquisador distribuiu os bacilos ao acaso às amostras de leite de tal forma que cada bacilo pudesse ser testado em todas as condições de teor de gordura e grau de acidez. O quadro dado a seguir ilustra a distribuição dos bacilos às amostras de leite bem como o volume (em ml) de iogurte produzido:
	
	Grau de acidez
	Teor de gordura
	1
	2
	3
	4
	5
	Totais
	1
	450 A
	620 E
	680 C
	620 D
	780 B
	3150
	2
	750 C
	990 B
	750 E
	660 A
	830 D
	3980
	3
	750 D
	910 C
	690 A
	990 B
	760 E
	4100
	4
	650 E
	890 D
	835 B
	850 C
	875 A
	4100
	5750 B
	720 A
	850 D
	770 E
	890 C
	3980
	Totais
	3350
	4130
	3805
	3890
	4135
	19310
TA = 3395 TB = 4345 TC = 4080 TD = 3940 TE = 3550
- Com base nas informações fornecidas, pergunta-se:
a - Qual foi a unidade experimental utilizada?
b - Quais foram os tratamentos em teste?
c - Quantas vezes o princípio do controle local foi utilizado neste experimento?
d - Qual foi o Delineamento experimental utilizado nesta pesquisa?
e - Usando os dados experimentais fornecidos anteriormente e o teste F para testar a fonte de variação bacilos, pode-se concluir que ao nível de 5% de probabilidade que:
- Existe pelo menos um contraste entre médias de bacilos estatisticamente diferente de zero
- O teste de Tukey indica que o(s) bacilo(s) que proporciona(m) maior(es) média(s)
de produção de iogurte é (são) (use o nível de 5% de significância) foi(ram):
a) o bacilo A b) o bacilo B c) o bacilo C d) o bacilo D e) o bacilo E
f) os bacilos A, B e C g) os bacilos B, C e D h) os bacilos C, D e E i) os bacilos A, D e E
j) nenhuma das alternativas anteriores�
MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO
CENTRO DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIA AGROALIMENTAR
DISCIPLINA: ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL -2013.2
LISTA DE EXERCÍCIOS – 3a AVALIAÇÃO
PROFESSOR: ROBERTO QUEIROGA
Questão 1:
– Faça um croqui (disposição dos tratamentos no plano experimental) de um experimento montado no DIC e no DBC em fatorial do tipo 3 x 3 [fator A: 3 tipos de adubos químicos (A1, A2 e A3) e fator B: 3 espaçamentos de plantio (E1, E2 e E3) e outro croqui no DIC e DBC em parcelas subdivididas do tipo 2 x 3 [parcela: 2 tipos de substrato (S1 e S2) e na subparcela : 3 variedades de sabiá (V1, V2 e V3). Em todos os experimentos constam 3 repetições. 
OBS 1: no experimento em fatorial cada parcela constava de uma área de 5,0 m2. Qual a área total ocupada com as parcelas do experimento?
OBS 2: No experimento em parcelas subdivididas cada subparcela constava de uma área de 2,0 m2. Qual a área total ocupada com as parcelas do experimento?
 
Questão 2:
– Defina tratamentos, fator, nível, parcela, subparcela, coeficiente de variação e interação entre fatores. 
Questão 3:
– Os dados abaixo são de um experimento realizado no delineamento inteiramente casualizados em fatorial 2 x 4 com 5 repetições. O fator A constava de duas variedades de milho (V1 e V2) e o fator B de quatro doses de N (0, 50, 100 e 150 kg.ha-1). Os resultados abaixo são referentes à produtividade (kg/parcela).
	Tratamentos
	Repetições
	Variedades
	Doses de N
	I
	II
	III
	IV
	V
	V1
	0
	12
	11
	10
	11
	11
	V1
	50
	15
	14
	16
	17
	18
	V1
	100
	16
	19
	19
	20
	21
	V1
	150
	24
	23
	21
	20
	26
	V2
	0
	8
	7
	6
	8
	7
	V2
	50
	12
	14
	13
	16
	11
	V2
	100
	18
	17
	19
	16
	20
	V2
	150
	22
	24
	23
	21
	20
Faça a análise de variância. De acordo com os resultados do teste F, tome a decisão correta para a complementação da análise estatística do experimento aplicando o procedimento Pós Anova recomendado.
Qual a produtividade estimada de milho se fosse aplicada uma dose de 135 kg.ha-1 de N
Questão 4:
– Os dados abaixo são de um experimento realizado no delineamento de blocos ao acaso em fatorial 2 x 2 com 5 repetições. O fator A constava de água captada de fontes diferentes (F1 e F2) e o fator B de dois métodos de irrigação (M1 e M2). Os resultados abaixo são referentes à altura de plantas (cm) de Eucaliptus aos 2 anos de cultivo.
	Tratamentos
	Blocos
	Fontes água
	Métodos
	I
	II
	III
	IV
	V
	F1
	M1
	100
	104
	100
	105
	102
	F1
	M2
	112
	115
	115
	115
	114
	F2
	M1
	102
	105
	105
	106
	104
	F2
	M2
	111
	115
	116
	119
	115
Faça a análise de variância. De acordo com os resultados do teste F, tome a decisão correta para a complementação da análise estatística do experimento aplicando o procedimento Pós Anova recomendado.
Calcule e interprete o coeficiente de variação para a característica em análise.
Questão 5:
- Foi realizada uma pesquisa para testar dois tipos de ambiente (com luz artificial e sem luz artificial no período da noite) e dois tipos de ração (com cálcio e sem cálcio). Para tanto foram utilizadas 24 poedeiras similares, escolhidas aleatoriamente. Ao final da avaliação foram obtidos os seguintes resultados (ovos/poedeira):
	Ração
	com luz artificial
	
	sem luz artificial
	com cálcio
	50 52 48 54 52
	50
	49 52 50 48 46 45
	sem cálcio
	42 44 46 43 44
	45
	40 40 38 39 41 43
- Ao nível de 1% de probabilidade e admitindo que se trata de um experimento instalado segundo o DIC, pede-se:
a) Pode-se afirmar que o tipo de Ração e o tipo de Ambiente atuam independentemente na produção de ovos?
b) Qual seria o tipo de Ração recomendada? (Use o teste Tukey se necessário).
c) Qual seria o tipo de Ambiente recomendado? (Use o teste Tukey se necessário).
Questão 6:
- Para se avaliar o comportamento de 4 espécies de fungos (A, B, C e D) com relação ao crescimento em meio mínimo (m.m.) com (c/) ou sem (s/) a fonte nutritiva extrato de levedura, foi realizado um experimento fatorial 4x2 no D.B.C. com 5 repetições. Após a coleta e tabulação dos dados (numa unidade de medida qualquer) foi montado o seguinte quadro de interação de totais de tratamentos:
	Meio
	Fungo A
	Fungo B
	Fungo C
	Fungo D
	Totais
	m.m.c/
	52
	60
	60
	90
	262
	m.m s/
	50
	56
	40
	40
	186
	Totais
	102
	116
	100
	130
	448
A análise de variância dos dados no computador forneceu o seguinte
quadro (incompleto) da ANOVA:
	F.V.
	G.L.
	QM
	Fator A
	1
	144,40
	Fator B
	3
	19,40
	Int. AxB
	
	49,20
	(Trat)
	
	----
	Blocos
	
	----
	Resíduo
	
	10,00
	Total
	
	
- Com base nos resultados fornecidos acima, pede-se: (obs.: use α=1%).
a) Cada valor interno no quadro de interação acima veio de quantas
observações? Justifique.
b) Complete a coluna de G.L. do quadro acima, explicando como obteve cada um deles.
c) A que se refere o Fator A do quadro da ANOVA acima? E o Fator B? Justifique suas respostas.
d) Os fatores em estudo atuam independentemente na variável em análise (crescimento)? Justifique sua resposta.
e) Qual meio de cultura (meio mínimo com extrato de levedura ou meio mínimo sem extrato de levedura) você usaria para propiciar um maior crescimento do fungo B? Justifique sua resposta.
Questão 7:
- Em um experimento no esquema fatorial, com dois fatores qualitativos A e B, em que se deseja estudar os efeitos dos dois fatores, qual procedimento deve-se adotar quando:
A interação for não significativa.
A interação for significativa
Questão 8:
- Em um experimento fatorial em que foram combinados 4 níveis do fator A com 2 níveis do fator B, no delineamento em Blocos Casualizados com 5 repetições, são dados:
	Níveis de A
	A1
	A2
	A3
	A4
	Totais
	198
	184
	162
	154
SQResíduo = 223,9680
- Admitindo que os fatores atuam independentemente, aplicar o teste
Tukey aos níveis do fator A a 5 %.
Questão 9:
- Uma fábrica de automóveis realizou um experimento fatorial segundo o delineamento inteiramente casualizado com seis repetições, para verificar o efeito de dois fatores sobre o consumo de combustível. O primeiro fator se refere ao método de aceleração: eletrônica (A1) ou via cabo mecânico (A2). O outro fator se refere ao porte do motor: pequeno (B1), médio (B2) ou grande (B3). Os níveis destes dois fatores foram combinados, obtendo-se um total de seis tratamentos. Foram montados 36 carros e o consumo destes carros, expresso em km/l, foram medidos. Os totais observados para cada tratamento foram
Totais de Tratamentos
Fator A
	Fator B
	A1
	A2
	Totais
	
	B1
	73
	69
	142
	
	B2
	85
	79
	164
	
	B3
	5852
	110
	
	Totais
	216
	200
	416
	
	FV
	GL
	SQ
	QM
	
	F
	A
	
	7,11
	
	
	
	B
A*B
	
	122,99
	
	
	
	Tratamentos
Resíduo
	
	
48,67
	
	
	
	Total
	
	178,89
	
	
	
- Baseado nestas informações e usando o nível de 1% de signficância, pede-se:
a) Os fatores método de aceleração e porte do motor atuam independentemente sobre o consumo de combustível dos carros? Justifique a sua resposta.
b) Qual método de aceleração proporciona maior consumo? Utilize o teste de Duncan se necessário. Justifique a sua resposta.
Questão 10:
- Em um experimento instalado segundo o delineamento inteiramente casualizado, com 4 repetições, foram estudados os fatores A e B, com 3 e 2 níveis respectivamente. Deste experimento, são fornecidas as seguintes informações:
	FV
	GL
	SQ
	QM
	F
	A
	
	92,86
	
	
	B
AxB
	
	19,08
	
	
	(Trat) Resíduo
	
	(175,70)
	
	
	Total
	
	198,70
	
	
	
Ttotais de Tratamentos
	
Fator B 	
	
A1
	Fator A 	
A2
	
A3
	
	
Totais
	B1
	102,6
	103,5
	80,2
	
	286,3
	B2
	101,3
	78,3
	85,3
	
	264,9
	Totais
	203,9
	181,8
	165,5
	
	551,2
- Com base nas informações fornecidas, pede-se (use o nível de 1% de significância:
a) Os fatores A e B atuam independentemente?
b) Existe diferença entre os níveis de A dentro do nível B1?
c) Qual o nível de B apresenta maior média dentro do nível A2? Use o
teste de Tukey, se necessário.
Questão 11:
– Os dados abaixo são de um experimento realizado no delineamento inteiramente casualizado em parcelas subdivididas 2 x 3. Na parcela constou de 2 variedades de Ipê Amarelo (V1 e V2) e nas subparcelas 3 métodos de plantio (M1, M2 e M3) com 4 repetições. Os resultados abaixo são referentes ao diâmetro (cm) de plantas de Eucaliptus medido a 1,80m do solo.
	Tratamentos
	Repetições
	Variedades
	Métodos plantio
	I
	II
	III
	IV
	V1
	M1
	40
	45
	44
	48
	V1
	M2
	35
	33
	34
	36
	V1
	M3
	30
	33
	32
	34
	V2
	M1
	50
	51
	54
	49
	V2
	M2
	44
	45
	47
	41
	V2
	M3
	40
	38
	34
	35
Faça a análise de variância. De acordo com os resultados do teste F, tome a decisão correta para a complementação da análise estatística do experimento aplicando o procedimento Pós Anova recomendado.
Calcule o coeficiente de variação da parcela e da subparcela para a característica em análise. 
Questão 12:
- Um pesquisador, com o objetivo de verificar o efeito da dose de adubação fosfatada e o seu tipo de aplicação na cultura do milho, instalou um experimento no qual cada uma as doses de adubação fosfatada constituíram as parcelas as quais foram distribuídas segundo o DBC e o tipo de aplicação as subparcelas. Com base nos resultados fornecidos abaixo, referentes a produção de milho (kg/ha), pede-se ao nível de 5% de probabilidade, proceder a análise de variância e ao teste Tukey quando necessário.
 Blocos
	Doses
	Tipos de Aplicação
	I
	II
	III
	IV
	Totais de tratamentos
	
	cova
	3778
	3618
	2164
	3996
	13556
	0
	sulco
	3467
	4284
	3773
	3280
	14804
	
	lanço
	3422
	3760
	2747
	2853
	12782
	
	Totais de Parcelas
	10667
	11662
	8684
	10129
	
	
	cova
	3302
	2671
	2782
	2502
	11257
	40
	sulco
	3653
	2653
	3529
	2258
	12093
	
	lanço
	3711
	3284
	2556
	3284
	12835
	
	Totais de parcelas
	10666
	8608
	8867
	8044
	
	
	cova
	2938
	2813
	2560
	3049
	11360
	80
	sulco
	3800
	4356
	3560
	4013
	15729
	
	lanço
	2702
	3520
	3382
	3524
	13128
	
	Totais de parcelas
	9440
	10689
	9502
	10586
	
	
	cova
	3013
	3787
	3142
	3604
	13546
	120
	sulco
	3338
	3369
	2507
	4200
	13414
	
	lanço
	3156
	4369
	2831
	4222
	14578
	
	Totais de parcelas
	9507
	11525
	8480
	12026
	
	
	Totais de blocos
	40280
	42484
	35493
	40785
	159082
Questão 13:
- Suponha que para um experimento instalado segundo o delineamento inteiramente casualizado e no esquema de parcelas subdivididas com 3 repetições, foram obtidos os seguintes resultados:
	FV
	GL
	SQ
	QM
	F
	Fator A
	
	29,55
	
	
	Resíduo(a)
	
	15,71
	
	
	(Parcelas)
	
	(45,26)
	
	
	Fator B
	
	20,60
	
	
	Interação A*B
	
	20,12
	
	
	Resíduo(b)
	
	51,60
	
	
	Total
	
	137,58
	
	
Totais de Tratamentos
	
	B1
	B2
	B3
	B4
	Totais
	A1
	53,3
	52,8
	53,3
	51,3
	210,7
	A2
	47,9
	44,2
	48,7
	51,0
	191,8
	A3
	51,8
	47,5
	48,9
	47,8
	196,0
	A4
	50,0
	44,2
	48,9
	51,2
	194,3
	A5
	58,9
	48,7
	51,8
	51,9
	211,3
	Totais
	261,9
	237,4
	251,6
	253,2
	1004,1
- Usando o nível de 5% de significância quando necessário, pede-se:
a) Os fatores A e B atuam independentemente? Justifique sua resposta.
b) Existe diferença entre os níveis de B pelo teste F da análise de variância?
c) Se o objetivo é obter menores médias, qual(is) o(s) nível(is) de B que devem ser recomendados? (Use o teste de Duncan, se necessário).
Questão 14:
- Considere um experimento em parcelas subdivididas no delineamento inteiramente casualizado com 4 repetições, onde o fator A foi casualizado nas parcelas e fator B casualizado nas subparcelas, sendo dados:
Totais de Tratamentos
	
	B1
	B2
	B3
	
	A1
	20,4
	19,7
	32,3
	72,4
	A2
	11,3
	10,6
	18,0
	39,9
	
	31,7
	30,3
	50,3
	112,3
SQParcelas = 55,9836 e SQTotal = 121,4907.
- Efetue o teste F para a interação AxB e proceda às comparações dos níveis dos fatores A e B pelo teste de Tukey a 5 %, se necessário, de acordo com o resultado de significância para a interação.
Questão 15:
– Escolher a equação de regressão linear utilizando os dados amostrais fornecidos abaixo, se a temperatura tem influência significativa sobre o comprimento de uma barra de aço. 
	Temperatura (ºC)
	10
	15
	20
	25
	30
	Comprimento (mm)
	1003
	1005
	1010
	1011
	1014
Questão 16:
- Para o seguinte conjunto de valores de X (variável independente) e Y (variável dependente), faça a análise de regressão segundo o modelo linear de 1º grau e obtenha a equação de regressão estimada. Use o nível de significância de 5%.
	X
	2
	4
	6
	8
	10
	12
	14
	16
	18
	20
	Y
	10,3
	18,2
	25,1
	35,6
	43,0
	50,0
	59,1
	67,8
	75,2
	85,0
Questão 17:
- Para se avaliar o efeito de diferentes dosagens de um micronutriente no desenvolvimento de duas espécies vegetais, foi realizado em experimento fatorial 4x2 no D.B.C. com 5 repetições. Após a coleta e tabulação dos dados (em produção de matéria verde por determinada unidade de área) foi montado o seguinte quadro de totais de tratamentos:
	
	Dose 1 Dose 2 Dose 3 Dose 4
	
	Espécie 1
Espécie 2
	60 52 60 90
56 50 40 40
	262
186
	
	116 102 100 130
	448
- A análise de variância dos dados no computador forneceu o seguinte quadro (incompleto) da ANOVA:
	F.V.
	G.L.
	S.Q.
	Q.M.
	Fator A
	1
	
	
	Fator B
	3
	58,2
	
	Int. AxB
	
	----
	49,20
	(Trat.)
	
	----
	Blocos
	
	----
	
	Resíduo
	
	----
	10,00
	Total
	
	----
	
Com base nos dados apresentados acima, pede-se: (obs.: use α = 5%):
a) Obtenha a soma de quadrados para o fator A. Apresente os cálculos.
b) Os fatores em estudo atuam independentemente na variável em análise? Justifique.
c) Qual espécie deveria ser usada de modo a termos uma maior produção de massa verde, quando for usada a dose 3 do micronutriente? Justifique.
d) Como deveríamos continuar a análise caso fosse de nosso interesse determinar a melhor dose do micronutriente? Descreva a estratégia de análise de maneiraresumida, apresentando a seqüência dos procedimentos a serem realizados, mas sem precisar fazer nenhum tipo de cálculo.
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