Capítulo IV - Testes Estatísticos_e_Análise de variância-Materiais (1)

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UTFPR – Universidade Tecnológica Federal do Paraná/ Campus Londrina 
Disciplina: Probabilidade e Estatística 
Curso: MA92B-EM21 – Engenharia de Materiais 
Professor: Joelmir André Borssoi 
 
CAPÍTULO IV 
TESTES ESTATÍSTICOS E ANÁLISE DE VARIÂNCIA 
 
1 TESTES ESTATÍSTICOS 
 
Os testes estatísticos são testes de hipóteses que auxiliam em tomadas de decisões 
sobre um parâmetro de uma população, com base em amostras. Essas tomadas de decisões 
são chamadas decisões estatísticas. 
 
 
1.1 Principais conceitos 
 
i) Hipótese estatística: é uma suposição quanto ao valor de um parâmetro populacional que será 
verificada por meio de um teste paramétrico. 
 São exemplos de hipóteses estatísticas: 
1) Substituindo o processador A pelo processador B, há diferença no tempo médio de resposta de um 
computador; 
2) As instalações elétricas de uma casa foram trocadas. O proprietário deseja saber se há diferença 
significativa na média de consumo de energia; 
3) A proporção de reclamações após a implantação de um programa de melhoria de qualidade é menor 
do que antes da implantação. 
 
ii) Teste de hipótese: é uma regra de decisão para aceitar ou rejeitar uma hipótese estatística com base 
nos elementos amostrais. 
 
iii) As hipóteses: designa-se H0 (hipótese nula) a hipótese estatística a ser testada e por H1 a hipótese 
alternativa. 
 A rejeição de H0 implicará na aceitação de H1. A hipótese alternativa geralmente 
representa a suposição que o pesquisador quer provar, sendo H0 formulada com o expresso propósito 
de ser rejeitada. A seguir são apresentados os tipos de testes: 
i) Teste bicaudal (bilateral): H0: θ = θ0 
 vs 
 H1: θ  θ0 
ii) Teste unicaudal (unilateral) à direita: H0: θ = θ0 
 vs 
 H1: θ > θ0 
iii) Teste unicaudal (unilateral) à esquerda: H0: θ = θ0 
 vs 
 H1: θ < θ0 
 
 
 
 
1.2 Erros de decisão 
 
Erro tipo I ou erro de primeira espécie. 
 Constitui-se em rejeitar H0 quando ela é verdadeira. 
 Designa-se por  a probabilidade de se cometer o erro tipo I (nível de significância). 
 
Erro tipo II ou erro de segunda espécie. 
 Constitui-se em aceitar H0 quando ela é falsa. 
 Designa-se por  a probabilidade de se cometer erro de tipo II. 
 
 O objetivo de se testar uma hipótese é tomar uma decisão, se possível, correta. Rejeitar 
H0 implica a aceitação de H1; aceitar H0 implica a rejeição de H1. 
 Só pode ocorrer o erro tipo I quando H0 é rejeitada e o erro tipo II, quando H0 não é 
rejeitada. 
Exemplo: Decisão de um juiz sobre um réu. 
TESTE 
Situação específica da população 
H0 Verdadeira: 
Inocente 
H0 Falsa: 
Culpado 
Aceitar H0: 
Absolve o réu 
Decisão correta (1-) Erro tipo II () 
Rejeitar H0: 
Condena o réu 
Erro tipo I () Decisão correta (1-) 
 
O tomador de decisão deseja, obviamente, reduzir ao mínimo as probabilidades dos dois tipos 
de erros. Infelizmente, esta é uma tarefa difícil, porque para uma amostra de determinado tamanho, a 
probabilidade de se incorrer em um erro Tipo II aumenta à medida que diminui a probabilidade do erro 
Tipo I, e vice-versa. A redução simultânea dos erros poderá ser alcançada pelo aumento do tamanho da 
amostra. 
 
1.3 Procedimentos gerais para se efetuar um teste 
 
1º Passo) Enunciar as hipótese H0 e H1; 
2º Passo) Fixar o limite de erro  e identificar a estatística do teste; 
3º Passo) Determinar as RC (Região Crítica) e RA (Região de Aceitação) em função do nível de , 
pelas tabelas estatísticas; 
 
Bicaudal 
 
Unicaudal à direita 
 
Unicaudal à esquerda 
 
4º Passo) Por meio dos elementos amostrais, avaliar o valor da variável do teste (Z ou t); 
 
 
5º Passo) Concluir pela aceitação ou rejeição de H0, pela comparação do valor obtido no 4º passo com 
as regiões críticas e de aceitação fixadas no 3º passo. 
 
Para decidir qual variável será utilizada no teste pode-se observar a seguinte tabela: 
 
Tamanho da amostra 
(n) 
Variância 
Populacional ( 2) 
Uso da distribuição 
n é grande (n  30) 
É conhecida Normal (Z) 
Não é conhecida Normal (Z) 
n é pequeno (n < 30) 
É conhecida Normal (Z) 
Não é conhecida t de Student (t) 
 
1.4 Teste para a Média () - variância 𝝈𝟐 conhecida 
 
É conveniente lembrar que todos os testes de médias, pressupõem a normalidade da 
distribuição amostral da variável do teste X . 
Neste caso, a variável do teste será 
𝑍𝑐 =
�̄� − 𝜇0
𝜎
√𝑛
⁄
 
em que: 
x : média amostral; 
0: valor de H0; 
: desvio padrão populacional; 
n: tamanho da amostra. 
 
Conclusões do teste: se Zc estiver em RA, aceita-se a hipótese H0, caso contrário, rejeita-se H0, 
o que implica em aceitar a hipótese H1, ou seja: 
a) Teste Bicaudal: se −𝑍𝛼 2⁄ ≤  𝑍𝑐   ≤ 𝑍𝛼 2⁄ , aceita-se H0; 
b) Teste Unicaudal à direita: se 𝑍𝑐  > 𝑍𝛼 , rejeita-se H0; 
c) Teste Unicaudal à esquerda: se 𝑍𝑐 < −𝑍𝛼, rejeita-se H0; 
 
Exemplo: O diâmetro das peças produzidas é uma variável que tem se comportado segundo um 
modelo normal, com média igual a 7,4 mm e variância 1,3 mm2. Foi tomada uma amostra de 25 peças 
que acusou média de 6,72 mm. Considerando que não houve alteração na variabilidade e um nível de 
1% de significância, existe evidência suficiente de que a média do diâmetro reduziu? 
 1º passo) vamos testar as hipóteses: H0:  = 7,4 
 vs 
 H1:  < 7,4 (c) teste unicaudal à esquerda 
2º passo) Como a variância populacional é conhecida, aplicamos o teste Z. 
Nível de significância: 0,01, ou seja, =0,01 ou 1% 
 
3º passo) Para o teste unicaudal a esquerda e =0,01, obtém-se o valor de Z = -2,33. Assim, temos: 
 
 
 
4º passo) calcular o valor de Zc 
𝑍𝑐 =
�̄� − 𝜇0
𝜎
√𝑛
⁄
=
6,72 − 7,4
√1,3
√25
⁄
=
−0,68
0,228
⇒ 𝑍𝑐 = −2,98 
 
5º passo) Conclusão: como 𝑍𝑐 < −𝑍𝛼, o valor de Zc = – 2,98 encontra-se na região crítica (RC), então, 
rejeita-se a hipótese H0. Portanto, aceita-se a hipótese alternativa, ou seja, com 1% de 
significância, podemos dizer que a média do diâmetro reduziu. 
 
Exercício: Uma fábrica produz eixos para um motor de automóvel. O desgaste dos eixos depois de 
100000 Km é de interesse, visto que é provável ter um impacto nas reinvindicações de garantia. Uma 
amostra aleatória de n=15 eixos é testada e apresenta média igual a 2,78. Sabe-se que  = 0,9 e que o 
desgaste é normalmente distribuído. Usando =0,05: 
a) teste se a verdadeira média de desgaste é igual ou diferente de 3; 
b) teste se a verdadeira média de desgaste é igual ou inferior 3. 
 
1.5 Teste para a Média () - variância 𝝈𝟐 desconhecida 
 
Neste caso, admitindo-se que não se conhece a variância populacional e n < 30, a variável do 
teste será “t” que tem distribuição t de Student, com n-1 graus de liberdade: 
𝑡𝑐 =
�̄� − 𝜇0
𝑠 √𝑛⁄
 
x : média amostral; 0: valor de H0; S: desvio padrão amostral; n: tamanho da amostra. 
As regiões Críticas (RC) e de Aceitação (RA) são: 
 
Conclusões do teste: se tc estiver em RA, aceita-se a hipótese H0, caso contrário, rejeita-se H0, 
o que implica em aceitar a hipótese H1. 
a) Teste Bicaudal: se −𝑡1−𝛼 2⁄ ≤ 𝑡𝑐  ≤ 𝑡1−𝛼 2⁄ , aceita-se H0; 
b) Teste Unicaudal à direita: se 𝑡𝑐  > 𝑡1−𝛼, rejeita-se H0; 
c) Teste Unicaudal à esquerda: se 𝑡𝑐 < −𝑡1−𝛼, rejeita-se H0. 
 
 
Exemplo: Uma máquina foi regulada para fabricar placas com espessura média de 30mm. As 
espessuras das peças fabricadas seguem uma distribuição gaussiana. Iniciada a produção, foi obtida 
uma amostra de 15 placas, que forneceu as seguintes medidas de espessura abaixo: 
22, 31, 31, 26, 27, 22, 26, 24, 21, 40, 42, 30, 28, 26 e 25mm. 
Ao nível de 5% de significância, pode-se aceitar a hipótese de que a regulagem da máquina é 
satisfatória, ou seja, é de 30mm? 
Solução: 
07,28
15
421
===

n
x
x i mm 
( ) ( )






−
−
=





−
−
=


= 15
421
12337*
115
1
*
1
1
22
1
22
n
x
x
n
Si
n
i
i
 
  21,3793,520*
14
12 ==S , portanto, 1,621,37 ==S mm 
 
1º passo) vamos testar a hipótese de igualdade ou diferença: 
H0:  = 30 
vs 
H1:   30 (a) teste bicaudal 
 
2º passo) Como a variância populacional é desconhecida, e n=15 < 30, aplicamos o teste t. 
Graus de liberdade (gl): n-1 = 15-1=14; Nível de significância: 0,05, ou seja, =0,05 = 5% 
 
3º passo) Busca-se na tabela “t” Student, no eixo horizontal, o valor correspondente a 1-/2 e no eixo 
vertical os graus de liberdade (gl=14). Obtendo-se desta forma o valor de 2,145. Assim teríamos: 
 
 
4º passo) calcular o valor de tc: 𝑡𝑐 =
�̄�−𝜇0
𝑠 √𝑛⁄
=
28,07−30
6,10 √15⁄
= −1,225 
 
5º passo) Conclusão: como o valor de tc = -1,225 encontra-se na região aceitável (RA), aceita-se a 
hipótese H0. Assim, a média amostral ( x =28,07mm) é estatisticamente igual à média  = 30mm, 
ou seja, a regulagem da máquina é satisfatória. 
 
Exercício: Uma fábrica produz eixos para um motor de automóvel. O desgaste dos eixos 
depois de 100.000 Km é de interesse, visto que é provável ter um impacto nas reinvindicações 
de garantia. Uma amostra aleatória de n=15 eixos é testada e apresenta média igual a 2,78 e 
desvio padrão igual a 0,9. Usando =0,05, teste se a verdadeira média de desgaste é igual ou 
inferior 3. 
 
 
 
 
 
 
1.6 Teste para a proporção populacional () 
 
As mesmas ideias apresentadas no caso do teste de uma média podem ser utilizadas para se 
realizarem testes envolvendo a proporção populacional. Assim teremos: 
1º passo) Enunciar as hipóteses 
H0:  = 0 
 vs 
H1:   0 (a) teste bicaudal 
H1:  > 0 (b) teste unicaudal à direita 
H1:  < 0 (c) teste unicaudal à esquerda. 
 
2º passo) Fixa-se o nível de significância . A variável usada é a normal padronizada Z, em geral 
quando n > 30. 
3º passo) Definir a Região Crítica (RC) e Região Aceitável (RA) 
 
 
 
4º passo) Calcular o valor da variável Z: 
𝑍𝑐 =
𝑝 − 𝜌0
√𝜌0 ⋅ (1 − 𝜌0)
𝑛
 
em que: n: tamanho da amostra; 
 p = X/n: proporção a favor de determinada característica, baseada na amostra; 
 0: proporção segundo a hipótese H0. 
 
5º passo) Conclusões 
Se Zc estiver em RA, aceita-se a hipótese H0, caso contrário, rejeita-se H0, o que implica 
aceitar a hipótese H1. 
a) Teste Bicaudal: se −𝑍𝛼 2⁄ ≤ 𝑍𝑐 ≤ 𝑍𝛼 2⁄ , aceita-se H0; 
b) Teste Unicaudal à direita: se   𝑍𝑐 > 𝑍𝛼, rejeita-se H0; 
c) Teste Unicaudal à esquerda: se   𝑍𝑐 < −𝑍𝛼, rejeita-se H0. 
 
Exemplo: Há alguns anos foi realizado um estudo para saber a proporção de papeis filtro que eram 
fornecidos a um laboratório com algum contaminante. A conclusão foi que essa proporção era de 60%. 
Passado algum tempo, deseja-se verificar se houve alteração na qualidade dos papeis filtro. Para tanto, 
tomou-se uma amostra aleatória de 500 filtros e verificou-se que 265 continham algum contaminante. 
Ao nível de 5%, teste se a proporção verdadeira atual é significativamente diferente da anterior. 
 
1º passo: 
H0:  = 60% 
 
 
 vs 
H1:   60% (a) teste bicaudal 
2º passo: Nível de significância: 0,05, ou seja,  = 0,05 = 5% e a variável usada é a normal padrão, Z 
~ N(0,1). 
 
3º passo: Quando se trata da família de distribuição normal reduzida Z, para a proporção de 95% de 
área abaixo da curva, obtemos o valor de Z igual a 1,96. Ou seja, com nível de significância de 5%, 
obtém-se o valor crítico (RC) de 96,1025,0
2
== ZZ . 
 
4º passo: calcular o valor de Z 
53,0
500
265 ==p que representa a proporção de papéis filtro contaminados dos 500 amostrados. 
n
p
Z cal
)1(* 00
0


−
−
= 
500
)60,01(*60,0
60,053,0
−
−
=calZ 19,3−=calZ 
5º passo: Conclusão: 
Como o valor de Zcal = -3,19 encontra-se na região crítica (RC), rejeita-se a hipótese H0. 
Portanto, a proporção atual de papéis filtro com contaminante é estatisticamente diferente da proporção 
anterior ( = 0,60). 
 
Exercício: Um fabricante garante que 90% das peças que fornece à linha de produção de uma 
determinada fábrica estão de acordo com as especificações exigidas. A análise de uma amostra 
de 200 peças revelou 25 defeituosas. A um nível de 5%, podemos dizer que é verdadeira a afirmação 
do fabricante? (R: é verdadeira) 
 
 
1.7 Abordagem do p-valor para testes de hipóteses 
 
 O p-valor é o chamado nível descritivo do teste de hipóteses e é a probabilidade da variável do 
teste assumir um valor mais extremo do que o valor calculado para tal variável (Zc ou tc). 
Regra de decisão: usando esta abordagem, compara-se o p-valor com o nível de significância: 
i) p-valor ≥ α => não rejeita-se H0; 
ii) p-valor < α => rejeita-se H0. 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 EXPERIMENTAÇÃO E ANÁLISE DE VARIÂNCIA 
 
Experimentos são uma parte natural do processo de tomada de decisões em engenharia. 
Suponha, por exemplo, que um engenheiro de materiais esteja investigando os efeitos de diferentes 
métodos de cura sobre a resistência à compressão do concreto. O experimento consistiria em fabricar 
vários corpos de prova de concreto usando cada um dos métodos de cura e então testar a resistência à 
compressão de cada um. Assim, seria possível determinar qual método de cura deveria ser usado para 
fornecer a máxima resistência média à compressão. 
A experimentação tem por objetivo o estudo de experimentos, isto é, seu planejamento, 
execução, análise dos dados obtidos e interpretação dos resultados. Isto é realizado a partir de uma 
pesquisa. 
Denomina-se pesquisa, um conjunto de atividades orientadas para a busca de um 
determinado conhecimento. Para merecer o qualificativo de científica, a pesquisa deve ser feita de 
modo sistematizado, utilizando, para isto, métodos próprios e técnicas específicas. 
 
2.1 DEFINIÇÕES 
 
a) Experimento ou ensaio: é um procedimento no qual alterações propositais são feitas nas 
variáveis de entrada de um processo ou sistema, de forma que se possa avaliar as possíveis 
alterações sofridas pela variável resposta, como também a razão destas alterações. É um trabalho 
previamente planejado que segue determinados princípios básicos no qual se faz a comparação dos 
efeitos dos tratamentos. 
b) Variável resposta (Y): é o resultado de interesse registrado após a realização de um ensaio. 
c) Unidade experimental ou parcela: é a unidade que vai receber o tratamento e fornecer os dados 
que deverão refletir seu efeito. 
d) Fatores: são tipos distintos de condições que serão manipuladas nas unidades experimentais. Os 
diferentes modos de presença de um fator no estudo são considerados níveis do fator. 
e) Tratamento: é um método, elemento ou material cujo efeito deseja-se medir ou comparar em um 
experimento (máquinas, métodos, produtos, materiais). Como exemplo, veja a Figura 1, que mostra 
o esquema de um experimento feito para comparar dois compostos químicos (Tratamentos 1 e 2), 
em tubos de ensaio. 
 
Figura 1. Tratamento1 versus Tratamento2. 
f) Testemunha ou grupo controle: conjunto de parcelas que, ou não recebe tratamento, ou recebe um 
tratamento já conhecido. Sua resposta é comparada com as respostas dos grupos tratados. 
g) Erro experimental: é a variação existente entre duas parcelas que receberam o mesmo 
tratamento. É importante ressaltar que a homogeneidade das parcelas experimentais, antes de 
receber os tratamentos, é condição essencial para validade do experimento; 
h) Delineamento experimental: é o plano utilizado na experimentação e implica na forma como os 
tratamentos serão designados às unidades experimentais e em um amplo entendimento da 
análise estatística. 
 
 
2.2 PRINCÍPIOS BÁSICOS DA EXPERIMENTAÇÃO 
 
Para que possamos planejar adequadamente a coleta de dados, devemos conhecer ainda três 
princípios básicos do planejamento de experimentos que são: a réplica (repetição), a aleatorização 
(ou casualização) e a formação de blocos. 
 
i) Réplica 
De acordo com VIEIRA & HOFFMANN (1989) em experimentação a ideia é comparargrupos e não apenas unidades. As unidades experimentais do mesmo grupo recebem, em estatística, o 
nome genérico de repetições. A repetição é importante porque: 
➢ permite a obtenção de uma estimativa da variabilidade devido ao erro experimental dentro de 
cada tratamento; 
➢ aumenta a precisão do experimento e das estimativas obtidas no experimento; 
➢ amplia o alcance da inferência pela repetição do experimento no tempo e no espaço. 
 
Exemplo: Imagine que para verificar se determinado hormônio tem efeito sobre o peso de ratos, um 
pesquisador forneceu o hormônio para um rato e deixou outro sem o hormônio. Se no final do 
experimento, o rato que recebeu hormônio pesar, por exemplo, 150g e o outro 120g, o pesquisador 
poderia afirmar que o hormônio tem efeito sobre o peso dos ratos (150g > 120g). 
Mas esta é uma conclusão pouco confiável, porque dois ratos podem apresentar diferenças de 
peso por diversas razões, além do tratamento. Porém, se um grupo de ratos receber hormônio (tratado) 
e um outro grupo de ratos ficar sem hormônio (controle) e mesmo assim, ao final do experimento 
encontrar o resultado acima (150g > 120g), o pesquisador poderá concluir com maior confiabilidade 
que o hormônio tem efeito sobre o peso dos ratos. 
 
ii) Aleatorização 
O termo aleatorização (casualização) refere-se ao fato de que tanto a alocação do material 
experimental às diversas condições de experimentação, quanto à ordem segundo a qual os ensaios 
serão realizados, são determinados ao acaso. 
A aleatorização torna possível a aplicação dos métodos estatísticos para análise dos dados, 
pois modelos estatísticos exigem que o erro experimental seja aleatório e independente. A 
aleatorização permite ainda que os efeitos não-controláveis que afetam a variável resposta sejam 
balanceados entre todas as medidas. 
 
iii) Formação de blocos 
A formação de blocos é realizada quando se deseja avaliar com maior eficiência os efeitos dos 
fatores de interesse (fatores perturbadores conhecidos). Assim, os blocos são considerados conjuntos 
homogêneos de unidades experimentais. A principal finalidade é reunir unidades experimentais 
heterogêneas em grupos homogêneos. 
 
2.3 DELINEAMENTOS EXPERIMENTAIS E TESTES DE COMPARAÇÕES DE MÉDIAS 
 
A comparação de várias situações experimentais pode ser feita utilizando-se amostras da 
população. Muitas vezes deseja-se comparar médias de duas ou mais populações. 
A análise de variância, conhecida por ANOVA, consiste de uma generalização do teste para 
 
 
igualdade de duas médias populacionais. Nesta análise testamos k (k > 2) médias populacionais para 
serem testadas. 
Suponha que se deseja testar a hipótese de k (k > 2) médias populacionais sejam iguais, ou 
seja, H0: μ1= μ2= ... = μk, contra a hipótese alternativa de que pelo menos uma dessas médias seja 
diferente das demais. 
Na ANOVA, a variabilidade devido aos “tratamentos” é separada da variabilidade residual 
(erro devido ao acaso). Assim, a ideia da análise de variância é comparar a variação devida aos 
tratamentos com a variação devido ao acaso. O desenvolvimento da ANOVA depende do tipo de 
delineamento experimental que está sendo considerado. 
 
2.3.1 Delineamento Inteiramente Casualizado (DIC) 
 
Este delineamento é o mais simples de todos os delineamentos experimentais. Entretanto, 
deve ser utilizado apenas quando se tem certeza absoluta da homogeneidade das condições ambientais 
e do material experimental. Assim, as parcelas que receberão cada um dos tratamentos são 
determinadas de forma inteiramente casual, através de sorteio, para que cada unidade experimental 
tenha a mesma probabilidade de receber qualquer um dos tratamentos estudados, sem qualquer 
restrição (BANZATTO & KRONKA, 1992). 
Exemplo: Considere que um produtor dispõe de 12 suínos e queira comparar o efeito de três tipos de 
ração (fator): A, B e C (tratamentos) sobre o peso dos animais (variável resposta - Y). Considerando 
que as unidades experimentais (suínos) são similares, ou seja, mesma raça, sexo, idade e pesos 
próximos no início do experimento, o produtor realizou o sorteio de 4 animais para cada tipo de ração, 
conforme o que é apresentado na Figura 2. 
 
Figura 2. Experimento inteiramente ao acaso. 
Fonte: VIEIRA & HOFFMANN (1989). 
 Figura 3. Experimento inteiramente ao acaso 
com nº diferente de repetições. 
 Fonte: VIEIRA & HOFFMANN (1989). 
 
É comum em experimentos inteiramente ao acaso, que todos os tratamentos tenham igual 
número de repetições, como foi visto na Figura 2. Entretanto, existem situações onde isto não ocorre. 
Vamos supor que um professor pretenda comparar dois métodos de ensino e dispõe de 41 crianças 
similares para o experimento. Assim, uma das formas de resolver o problema seria o professor dividir 
o conjunto de 41 crianças, ao acaso, em dois grupos iguais de 20 crianças e descartar uma delas, ou 
então, ter um grupo de 20 crianças e outro de 21 crianças, como mostra a Figura 3. 
 
Análise de Variância – ANOVA 
Uma suposição básica e implícita na ANOVA é que as diversas médias amostrais são obtidas 
de populações normalmente distribuídas e que têm mesma variância. Entretanto, segundo 
 
 
KAZMIER (1982) esta suposição não é muito afetado por violações da hipótese de normalidade, 
quando as populações são unimodais e os tamanhos das amostras aproximadamente iguais. 
Se a variável em estudo tem distribuição normal ou aproximadamente normal, para comparar 
mais de duas médias aplica-se o teste F (Fisher-Snedecor). Primeiro, é preciso estudar as causas da 
variação. 
Por que os dados variam??? 
Uma explicação é o fato de as amostras provirem de populações diferentes. Outra explicação 
é o acaso, porque mesmo dados provenientes da mesma população variam. 
O teste F é feito por meio da análise de variância. Na ANOVA, a variabilidade devido aos 
“tratamentos” é separada da variabilidade residual (erro devido ao acaso). Assim, a ideia da análise de 
variância é comparar a variação devida aos tratamentos com a variação devido ao acaso. Seja k o 
número de níveis de um fator em estudo. A notação é a seguinte: 
Repetição 
Tratamento 
Total 
T1 T2 T3 ... Tk 
1 Y11 Y21 Y31 ... Yk1 
2 Y12 Y22 Y32 ... Yk2 
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 
ri Y1r1 Y2r2 Y3r3 ... Ykrk 
Total T1 T2 T3 … Tk T 
Média de cada 
tratamento .1T
Y .2TY .3TY … .TkY ..Y 
Nº de repetições r1 r2 r3 ... rk n=kr 
em que: 
Yij : é a j-ésima observação correspondente ao i-ésimo tratamento (valor da variável resposta); 
ri : é o número de unidades experimentais ou parcelas submetidas ao i-ésimo tratamento; 

=
=
k
i
irn
1
: é o tamanho amostral (o número total de ensaios); 

=
=
in
j
ij
i
i Y
r
Y
1
.
1
: média por tratamento i=1,2,...,k; 

==
=
in
j
ij
k
i
Y
n
Y
11
..
1
: média geral. 
 
a) Modelo Estatístico (Modelos de Efeito Fixo) 
O modelo estatístico associado a experimentos com um fator fixo é dado pela forma: 
ijiij
ΤμY ++= para i =1,2,..., k e j=1,2,..., ri 
em que: 
Yij = variável resposta para o tratamento i e repetição j; 
 = média geral comum a todas as observações 
=
=
k
i
iir
n 1
1
 ; 
i = efeito do i-ésimo tratamento em Y e mede o desvio padrão da i-ésima média, i, em relação 
a , isto é  −= iiT ; 
ij = é o erro aleatório não observável associado a Yij. 
 
 
 
As suposições associadas a este modelo são: 
i) Os erros ij são independentes (aleatorização); 
ii) Os erros ij possuem variância constante (2 = cte); 
iii) Os erros ij são variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas, tendo distribuição 
normal com média zero e variância constante, isto é, ij  N (0,2). 
 
b) Hipóteses 
O objetivo do estudo realizado é verificar se as médias 1, 2,…, k são iguais ou não, o que 
equivale a testar se os efeitos dos tratamentos (i) são iguais a zero ou não. Este teste pode ser 
expresso por: 
0: 1=2= … = k=0 (igualdade dos tratamentos) 
 vs1: i  0 para pelo menos um i, (hipótese alternativa), ou seja, existe o efeito tratamento. 
O procedimento utilizado para testar as hipóteses é a análise de variância. 
 
c) Tabela de Análise de Variância para um fator (ANOVA) 
A ANOVA constata se existe efeito dos tratamentos em estudo. 
Fonte de 
Variação (FV) 
Graus de 
Liberdade(GL) 
Soma 
Quadrado 
(SQ) 
Quadrado 
Médio (QM) 
F 
Tratamentos k–1 SQTr QMTr F0 
Resíduos n–k SQR QMR - 
TOTAL n–1 SQTot - - 
Para fazer a análise de variância de um experimento inteiramente casualizado (DIC) é preciso 
calcular os seguintes itens: 
i) graus de liberdade: 
* dos tratamentos: k -1; 
* do total: n -1; 
* do resíduo: (n -1)-(k -1) = n - k. 
 
ii) Correção C: o valor de C é dado pelo total geral elevado ao quadrado e dividido pelo número de 
dados. 
( )
n
Y
C
ij
2

= ou 
( )
n
T
C
i
2

= 
iii) soma de quadrados total: mede a variabilidade total das observações em relação a média geral. 
CYSQTot ij −=
2
 ou ( ) 
= =
−=
k
i
n
j
ij
i
..YYSQTot
1 1
2
 
iv) soma de quadrados de tratamentos: mede a variabilidade entre as médias dos tratamentos em 
relação a média geral 
C
r
Τ
SQTr
i
−=
 2 ou ( )
=
−=
k
i
ii
..Y.YrSQTr
1
2
 
 
 
OBS: Caso o número de repetições seja diferente entre os tratamentos (experimento não balanceado), 
calcula-se: C
r
T
r
T
r
T
SQTr
k
k −





+++=
2
2
2
2
1
2
1 ... , em que, r1, r2,...,rk representam o número de repetições 
para cada tratamento. 
 
v) soma de quadrados de resíduos: é uma medida de homogeneidade interna dos tratamentos. 
SQTot-SQTrSQR = ou ( ) 
= =
−=
k
i
n
j
iij
i
.YYSQR
1 1
2
 
vi) quadrado médio de tratamentos: este será um estimador não viciado da variância populacional 2, 
se a hipótese de nulidade for verdadeira. 
1−
=
k
SQTr
QMTr 
vii) quadrado médio de resíduos: este é um estimador não viciado de  2. 
n-k
SQR
QMR = 
viii) valor de F:
QMR
QMTr
F =
0
 
 
d) Regra de Decisão: Para avaliarmos as hipóteses fazemos uso da tabela de Fisher-Snedecor (Tabela 
1, para nível de significância de 5%) procurando o valor de F(k-1,n-k,%), com (k-1) graus de liberdade 
no numerador e (n - k) no denominador. 
➢ Se F0  F(k-1, n-k,%), rejeita-se a hipótese 0 ao nível de % de significância, ou seja, aceita-se a 
hipótese alternativa 1 que diz que em média os tratamentos são diferentes. 
➢ Se F0 < F(k-1, n-k,%), aceita-se a hipótese 0 ao nível de % de significância, ou seja, em média não 
há diferença entre os tratamentos. 
 
2.3.2 Testes de comparações múltiplas 
 
Quando a ANOVA (Fo) de um experimento mostra que as médias dos tratamentos são 
estatisticamente diferentes, pode-se perguntar quais as médias que diferem entre si. Imagine que um 
pesquisador deseje comparar três tratamentos (A,B,C) entre si. Se a ANOVA mostrar que as médias 
desses tratamentos são estatisticamente diferentes, pode-se usar um determinado teste estatístico para 
comparar as médias de A e B, A e C, B e C, que representam os contrastes. 
Estes testes estatísticos servem então, como um complemento do teste F (Fisher-Snedecor) 
aplicado na análise de variância, pois este permite estabelecer apenas se as médias das populações em 
estudo são, ou não, estatisticamente iguais. No entanto, este tipo de análise não permite detectar quais 
são as médias estatisticamente diferentes das demais. 
Existe uma série de métodos de comparação múltipla: teste T, Tukey, Scott-Knott, Duncan, 
Dunnett, Scheffé e Bonferroni. Os quatro testes iniciais, só devem ser aplicados quando a estatística 
F0 (ANOVA) for significativa, ou seja, existir diferenças significativas entre os tratamentos (aceitar a 
hipótese H1). 
❑ O teste T deve ser utilizado apenas para comparação de duas médias. 
❑ O teste Tukey pode ser utilizado para realizar a comparação entre as médias. 
 
 
❑ O teste Dunnett deve ser utilizado somente para comparar os tratamentos com um tratamento 
controle. 
❑ O teste de Duncan é utilizado para saber qual dos tratamentos é o melhor. 
Antes de estudarmos estes testes, são necessários alguns conceitos. Contraste (C) é a 
combinação linear das médias dos k tratamentos em estudo. Numa análise estatística devemos formular 
aqueles contrastes que sejam de maior interesse para o experimentador. Os contrastes são ditos 
ortogonais, quando existe independência entre duas comparações, ou seja, a variação de um contraste é 
inteiramente independente da variação do outro. 
Os contrastes devem ser avaliados comparativamente com um método que forneça a diferença 
mínima significante (d.m.s) entre duas médias, que é um instrumento de medida. Toda vez que o valor 
absoluto da diferença entre duas médias for maior ou igual que a d.m.s, as médias são consideradas 
estatisticamente diferentes, ao nível de significância adotado. 
Foram propostas diversas maneiras de calcular a d.m.s. Cada proposta é, na realidade, um teste 
que, de forma geral, leva o nome do autor. Não existe procedimento para comparação de médias que 
seja “melhor” que todos os outros. Por isto, estão apresentados e discutidos abaixo os testes mais 
utilizados. 
 
a) Teste T (t de Student) 
De acordo com BANZATTO & KRONKA (1992), os requisitos básicos deste teste são: 
i) os contrastes a serem testados devem ser ortogonais entre si; 
ii) os contrastes devem ser estabelecidos antes de serem examinados os dados (na fase de 
planejamento do experimento). 
 
❑ Hipótese de interesse 
H0: C=0 vs H1: C0 
 A estatística do Teste T para testar a hipótese H0 é dada através da diferença mínima 
significativa (d.m.s.): 
• Experimento não balanceado → QMR
rr
tsmd
ji
kn *
11
*... %);( 







+= −  
• Experimento balanceado → 
r
QMR
tsmd kn
*2
*... %);( −= 
O valor de t(n-k; %) com n-k graus de liberdade para o resíduo e % de significância podem 
ser encontrados na Tabela t-Student. Já QMR (quadrado médio dos resíduos) pode ser encontrado na 
Tabela ANOVA e r, representa o nº de repetições de cada tratamento. 
 
❑ Regra de Decisão 
Toda vez que o valor absoluto da diferença entre duas médias (contrastes) for maior ou igual 
que o valor da d.m.s, as médias são estatisticamente diferentes, ao nível de significância de %, o que 
implica na rejeição da hipótese H0. 
 
 
 
 
 
b) Teste de Tukey 
De acordo com BANZATTO & KRONKA (1992), este teste pode ser utilizado para testar todo 
e qualquer contraste entre duas médias. É um teste muito versátil, mas não permite comparar grupos 
entre si. Para que o teste seja exato, é necessário que todos os tratamentos possuam o mesmo número 
de réplicas. 
O teste tem por base a diferença mínima significante (d.m.s), ou seja, a menor diferença de 
médias de amostras que deve ser tomada como estatisticamente significante, em determinado nível. 
❑ Hipótese de interesse 
H0: i=j 
 vs 
H1: ij para ij 
A estatística de Tukey é dada através da diferença mínima significativa (d.m.s) 
• Experimento não balanceado → 
2
QMR
*
r
1
r
1
*qd.m.s.
ji
α%)k;n(k; 







+=
−
 
• Experimento balanceado → 
r
QMR
*qd.m.s.
α%)k;n(k; −
= 
O valor de qc(k;n-k;%) com k graus de liberdade para o tratamento e (n-k) graus de liberdade 
para o resíduo podem ser encontrados na Tabela 2, para um nível de significância de 5% (anexo). Já 
QMR (quadrado médio dos resíduos) pode ser encontrado na Tabela ANOVA e r, representa o nº de 
repetições de cada tratamento. 
 
❑ Regra de Decisão 
Para este teste, duas médias são estatisticamente diferentes quando o valor absoluto da 
diferença entre elas for maior ou igual a d.m.s. 
Obs.: De acordo com GOMES (1987), no caso de serem diferentes os números de repetições, o teste 
de Tukey pode ainda ser usado, mas então é apenas aproximado. 
 
Exemplo: Um engenheiro de uma indústria produtora de material cerâmico iniciou um processo de 
controle para melhorar resultados com o objetivode reduzir a proporção de tijolos de 8 furos que 
apresentam defeitos. Na fase de observação do processo identificou-se que ocorrências de trincas eram 
provocadas pelo rompimento de bolhas de vapor no interior de tijolos e então passou a desconfiar que 
algumas das secadoras da indústria poderiam estar provocando o problema por não extrair dos tijolos a 
umidade necessária. No processo de análise foi então planejado um experimento com o objetivo de 
verificar se as secadoras eram similares no que diz respeito à umidade retirada de tijolos ou existiam 
diferenças entre elas. Para a realização do experimento foram utilizados 28 tijolos fabricados com 
matéria prima extraída de uma jazida e submetidos às mesmas condições de preparação e conformação 
(etapa anterior a secagem). O experimento consistiu em submeter 7 tijolos, escolhidos aleatoriamente, 
a cada uma das quatro secadoras e, após a secagem, medir a quantidade de umidade que foi retirada de 
cada tijolo. Os resultados obtidos no experimento estão apresentados na tabela abaixo. 
 
 
 
 
Tabela – Umidade (%) extraída dos tijolos durante a secagem 
Tijolo 
Secadora 
A B C D 
1 22,7 19,5 20,5 22,5 
2 24,2 20,2 22,5 21,9 
3 21,5 20,5 21,9 23,3 
4 23,3 19,4 23,3 23,5 
5 22,8 21,2 21,1 21,5 
6 21,8 20,0 21,7 22,1 
7 22,5 18,5 21,4 22,9 
Total 158,8 139,3 152,4 157,7 
Média 22,7 19,9 21,8 22,5 
 
a) Identificação do experimento e Modelo 
• Variável de Interesse: % de Umidade extraída dos tijolos durante a secagem; 
• Unidade Experimental: Os tijolos; 
• Fator em estudo: Secadoras; 
• Níveis do Fator: 4 (Secadora A, Secadora B, Secadora C, Secadora D) 
Quando temos um experimento completamente ao acaso, temos interesse em verificar a 
influência dos k níveis desse fator na variável resposta Y em estudo. Assim um modelo estatístico 
associado a este tipo de experimento é da forma: 
𝑌𝑖𝑗 = 𝜇 + 𝑇𝑖 + 𝜀𝑖𝑗 
b) Estimativas dos parâmetros 
Estimadores de : a % de umidade média extraída da amostra de tijolos (n = 28) nas 4 
secadoras foi: �̂�  =  𝑌. . =  
(22,7+19,9+21,8+22,5)
4
 =  21,7%. 
A média por tratamento 𝑌𝑖 . (cada secadora), pode ser vista na Tabela 1 e é apresentada abaixo: 
 
Secadora A: �̂�𝐴  =  𝑌𝐴.  =  22,7 % 
Secadora B: �̂�𝐵  =  𝑌𝐵 . =  19,9 % 
Secadora C: �̂�𝐶  =  𝑌𝐶 .  =  21,8 % e 
Secadora D: �̂�𝐷  =  𝑌𝐷. =  22,5 % 
 
Estimadores dos Tratamentos i : �̂�𝒊  =  𝒀𝒊.  − 𝒀.. : 
Secadora A: �̂�𝐴  =  𝑌𝐴. − 𝑌. . =  22,7  −  21,7  =  1,0% 
Secadora B: �̂�2  =  𝑌𝐵 . − 𝑌. . =  19,9  −  21,7  =   −1,8% 
Secadora C: �̂�𝐶  =  𝑌𝐶 . − 𝑌. . =  21,8  −  21,7  =   0,1% 
Secadora D: �̂�𝐷  =  𝑌𝐷 . − 𝑌. . =  22,5  −  21,7  =   0,8% 
 
Análise: Analisando-se o desempenho de cada secadora em relação à média geral das % de umidades 
médias extraídas das amostras de tijolos, verifica-se que a Secadora A retira em média 1,0% de 
umidade dos seus tijolos; a Secadora B deixa de retirar umidade dos tijolos na faixa de 1,8%; já as 
Secadoras C e D retiram em média 0,1% e 0,8%, respectivamente. 
 
 
 
c) Tabela de Análise de Variância para um fator (ANOVA) 
Para fazer a análise de variância de um experimento inteiramente casualizado é preciso calcular 
as seguintes quantidades: 
i) graus de liberdade: 
* de tratamentos: k -1 => 4 - 1=3 
* do total: n -1 => 28 - 1=27 
* do resíduo: (n -1) - (k -1) = (n - k) => 27 - 3=24 
ii) correção C: 
𝐶 =
(∑𝑇𝑖)
2
𝑛
 → 𝐶 =
(158,8+139,3+152,4+157,7)2
28
=
(608,2)2
28
⇒ 𝐶 = 13211 
iii) soma de quadrados total: 
𝑺𝑸𝑻𝒐𝒕 = (∑𝒀𝒊𝒋
𝟐 ) − 𝑪 
𝑺𝑸𝑻𝒐𝒕 = (𝟐𝟐, 𝟕𝟐 + 𝟐𝟒, 𝟐𝟐 + 𝟐𝟏, 𝟓𝟐+. . . . +𝟐𝟐, 𝟏𝟐 + 𝟐𝟐, 𝟗𝟐) − 𝟏𝟑211 
𝑺𝑸𝑻𝒐𝒕 = (𝟏3263,12) − 𝟏𝟑211 ⇒    𝑺𝑸𝑻𝒐𝒕 = 52,12 
iv) soma de quadrados de tratamentos: 
𝑺𝑸𝑻𝒓 =
∑𝜯𝒊
𝟐
𝒓
− 𝑪 
𝑺𝑸𝑻𝒓 = (
𝟏𝟓𝟖,𝟖𝟐+𝟏𝟑𝟗,𝟑𝟐+𝟏𝟓𝟐,𝟒𝟐+𝟏𝟓𝟕,𝟕𝟐+
𝟕
) − 𝟏𝟑211 = (
𝟗2716,98
𝟕
) − 𝟏3211=> 𝑺𝑸𝑻𝒓 = 34,28 
v) soma de quadrados de resíduos: 
𝑺𝑸𝑹 = 𝑺𝑸𝑻𝒐𝒕 − 𝑺𝑸𝑻𝒓 => 𝑺𝑸𝑹 = 52,12 − 34,28 ⇒ 𝑺𝑸𝑹 = 𝟏𝟕, 84 
vi) quadrado médio de tratamentos: 
𝑸𝑴𝑻𝒓 =
𝑺𝑸𝑻𝒓
𝒌−𝟏
 => 𝑸𝑴𝑻𝒓 =
34,28
𝟑
⇒ 𝑸𝑴𝑻𝒓 = 11,43 
vii) quadrado médio de resíduos: 
𝑸𝑴𝑹 =
𝑺𝑸𝑹
𝒏−𝒌
 => 𝑸𝑴𝑹 =
𝟏𝟕,84
𝟐𝟒
⇒    𝑸𝑴𝑹 = 𝟎, 𝟕4 
viii) valor de F: 
𝑭𝟎 =
𝑸𝑴𝑻𝒓
𝑸𝑴𝑹
 => 𝑭𝟎 =
11,43
𝟎,𝟕4
⇒ 𝑭𝟎 = 15,44 
 
Tabela de análise de variância (ANOVA): 
FV GL SQ QM F 
Tratamentos 3 34,28 11,43 15,44 
Resíduo 24 17,84 0,74 - 
TOTAL 27 52,12 - - 
 
d) Hipóteses de interesse 
H0: A=B=C=D= 0 (hipótese de nulidade) 
versus 
H1: pelo menos um i é diferente de zero (hipótese alternativa) 
 
e) Regra de Decisão 
Na tabela de Fisher-Snedecor procuramos o F(k-1;n-k;%). Nesta tabela, para 5% de 
significância, encontramos no eixo horizontal os graus de liberdade dos tratamentos (k-1), ao passo 
que no eixo vertical os graus de liberdade dos resíduos (n – k). Desta forma encontramos o valor de 
F(3;24;0,05) = 3,009. 
 
 
➢ Como F0 = 15,44 > F(3;24;0,05) = 3,009, rejeita-se a hipótese de nulidade H0, ao nível de 5% de 
significância, ou seja, pelo menos um tratamento i é diferente de zero. 
Com isto, verifica-se que realmente pelo menos um tratamento (secadora A, B, C ou D) 
possui estatisticamente média diferente. Porém, falta ainda descobrirmos quais médias são 
estatisticamente iguais e quais diferem entre si, e isto se consegue fazendo-se uso dos testes de 
comparações múltiplas. 
 
f) Comparações múltiplas entre as quantidades de umidade extraídas dos tijolos pelas diferentes 
secadoras. Utilizando o teste Tukey, quais são suas conclusões ao nível de 5% de significância? 
➢ As estimativas de A B, C e D são 𝑌𝐴. = 22,7, 𝑌𝐵 . = 19,9, 𝑌𝐶 . = 21,8 e 𝑌𝐷 . = 22,5, 
respectivamente. 
 
➢ Os contrastes (C) do estimador, entre as porcentagens médias de umidade extraídas dos tijolos 
para as diferentes secadoras são: 
Secadora A e Secadora B  CAB = 𝑌𝐴. -𝑌𝐵 . = 22,7–19,9 = 2,8 
Secadora A e Secadora C  CAC = 𝑌𝐴. -𝑌𝐶 . = 22,7–21,8 = 0,9 
Secadora A e Secadora D  CAD = 𝑌𝐴 . -𝑌𝐷. = 22,7–22,5 = 0,2 
Secadora B e Secadora C  CBC = 𝑌𝐵. -𝑌𝐶 . = 19,9–21,8 = -1,9 
Secadora B e Secadora D  CBD = 𝑌𝐵. -𝑌𝐷. = 19,9–22,5 = -2,6 
Secadora C e Secadora D  CCD = 𝑌𝐶 . -𝑌𝐷. = 21,8–22,5 = -0,7 
 
➢ Hipóteses de Interesse 
H0: CAB=0; CAC=0; CAD=0; CBC=0; CBD=0; CCD=0 
versus 
H1: O Contraste Cij é diferente de zero 
 
O Teste Tukey 
➢ Hipótese de interesse 
H0: i = j 
versus 
H1: i  j para i j 
➢ A estatística de Tukey é a diferença mínima significativa (dms): 
𝑑𝑚𝑠 = 𝑞(𝑘; 𝑛−𝑘) ∗ √
𝑄𝑀𝑅
𝑟
 
O valor de q(k; n-k) com k graus de liberdade para o tratamento e n - k graus de liberdade para o 
resíduo é encontrado Tabela 2, ao nível de 5% de significância (anexo). 
Assim, q(k; n-k) = q(4; 24)=3,90. 
Pela tabela da ANOVA, temos que QMR=0,74 e o número de repetições é r =7. 
 
Assim, o valor da dms será: 𝑑.𝑚. 𝑠. = 3,90 ∗ √
0,74
7
 => dms = 1,27. 
Para este teste, duas médias são estatisticamente diferentes quando o valor absoluto da 
diferença entre elas for maior ou igual a dms. Por exemplo, como o contraste CAB = |2,8| > dms =1,27 
as médias são estatisticamente diferentes, ou seja rejeito H0. 
 
 
 
Tabela: Resultado das comparações múltiplas, segundo o teste Tukey: 
Contrastes Valor dms Decisão com  = 5% 
CAB |2,8| 1,27 Rejeito H0 
CAC |0,9| 1,27 Aceito H0 
CAD |0,2| 1,27 Aceito H0 
CBC |-1,9| 1,27 Rejeito H0 
CBD |-2,6| 1,27 Rejeito H0 
CCD |-0,7| 1,27 Aceito H0 
 
Abaixo é apresentada uma tabela resumida, onde colocam-se as médias dos tratamentos em 
ordem decrescente e atribuem-se letras iguais aos tratamentos iguais e letras diferentes aos tratamentos 
diferentes, a 5% de significância. 
Secadora Resultado (Tukey) 
A a 
D a 
C a 
B b 
 
Conclusões: Ao nível de 5% de significância, pode-se dizer que as Secadoras A, C e D têm o mesmo 
desempenhoentre si (letras iguais na tabela), ou seja, a porcentagem média de umidade extraída dos 
tijolos não difere entre elas. Porém, a Secadora B, em média, extrai menos umidade do que as demais. 
 
Exercício: Uma indústria metalúrgica recentemente passou a produzir um tipo especial de peças de 
aço para atender um novo cliente. Estas peças são produzidas com um aço de baixa liga e após serem 
usinadas são submetidas ao processo de têmpera em água. Para satisfazer às especificações do novo 
cliente, o item de controle de dureza, medida no centro das peças temperadas, deve estar na faixa de 32 
a 38 Rockwell (HR). O grupo considerou que se fosse utilizado óleo em lugar de água, talvez o 
processo se tornasse capaz de atender às especificações, já que o óleo é um meio de têmpera mais 
brando. Com o objetivo de avaliar a veracidade desta hipótese, o grupo decidiu realizar um 
experimento para comparar a eficácia da água e de dois tipos de óleo mineral como banhos de têmpera 
para as peças especiais de aço produzidas pela indústria. O experimento consistiu em submeter 9 
peças de aço a cada tipo de banho de têmpera (água, óleo A e óleo B), e medir a dureza no centro das 
peças temperadas e comparar as durezas médias obtidas, com o objetivo de identificar o meio de 
têmpera mais adequado. 
 
Tabela Valores da dureza, medida no centro da peça, após a realização da têmpera 
Observação 
Banho de têmpera 
Água Óleo A Óleo B 
1 36,7 36,0 35,3 
2 38,9 36,4 35,0 
3 38,7 35,3 34,3 
4 38,8 36,8 35,7 
5 37,6 36,9 35,2 
6 37,2 37,5 34,2 
7 38,8 35,3 36,5 
8 38,0 36,0 35,6 
9 37,2 35,7 35,5 
Realize uma análise de variância e, se necessário, as comparações múltiplas, de forma a responder: há 
diferença entre os banhos de têmpera? Se há, quais são diferentes? Qual banho de têmpera é mais indicado? 
 
 
 
2.3.2 Delineamento em Blocos Casualizados (DBC) 
 
Para VIEIRA & HOFFMANN (1989), um pesquisador só deve optar por experimentos 
inteiramente ao acaso (DIC) quando dispõe de número suficientemente grande de unidades 
experimentais similares. Como isso dificilmente acontece na prática, é preciso um delineamento que 
permita comparar adequadamente os tratamentos, mesmo que as unidades apresentem certa 
heterogeneidade. 
Este tipo de delineamento considera os princípios de repetição, aleatorização e controle local. 
É o mais empregado de todos os delineamentos. De acordo com BANZATTO & KRONKA (1992), as 
principais características deste delineamento são: 
i) as parcelas são distribuídas em grupos ou blocos (princípio do controle local), de tal forma que 
elas sejam o mais uniformes possível dentro de cada bloco, mas os blocos poderão diferir 
bastante uns dos outros; 
ii) o número de parcelas por bloco deve ser um múltiplo do número de tratamentos (geralmente, 
esse número é igual ao número de tratamentos); 
iii) os tratamentos são designados às parcelas de forma casual, sendo essa casualização feita 
dentro de cada bloco. 
 
Exemplo: Considere um esquema que pode ser utilizado, onde tem-se um delineamento em blocos 
casualizados com 5 níveis (tratamentos A, B, C, D e E) e 4 blocos, resultando num total de 20 parcelas 
experimentais. 
Bloco 1 B A D C E 
Bloco 2 E D A B C 
Bloco 3 A C D E B 
Bloco 4 B D C A E 
 
 
 
Análise de Variância – ANOVA 
 
Para analisar este tipo de experimento, vamos considerar que há um único fator de interesse 
com k níveis e que o experimento para avaliar o efeito deste fator será em “b” blocos. Aqui será 
demonstrado o estudo de apenas uma observação para cada nível do fator, em cada bloco. 
Bloco 
Tratamento (fator) 
Total 
T1 T2 T3 ... Tk 
B1 Y11 Y21 Y31 ... Yk1  B1 
B2 Y12 Y22 Y32 ... Yk2  B2 
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 
Bb Y1b Y2b Y3b ... Ykb  Bb 
Total T1 T2 T3 … Tk T=B 
Nº de repetições r1 r2 r3 ... rk n=kb 
Média 
.1Y .2Y .3Y … .kY ..Y 
 
 
a) Modelo Estatístico (efeito fixo) 
Considerando que os efeitos têm um comportamento aditivo o modelo estatístico para este 
experimento será: 
ijjiij BTY  +++= para i=1,2,...,k e j=1,2,...,b, 
sujeito a: 
==
==
b
j
j
k
i
i BT
11
0 , 
em que: 
Yij = variável resposta coletada sob o i-ésimo nível do fator no bloco j; 
 = média global comum a todas as observações 
=
=
k
i
iir
N 1
1
 ou para experimento balanceado 

=
=
k
i
i
k 1
1
 ; 
Ti = efeito do i-ésimo nível do fator, ou seja, efeito tratamento; 
Bj = efeito do j-ésimo bloco, ou seja, efeito do bloco; 
ij = componente do erro aleatório associado à observação Yij. 
As suposições associadas a este modelo são: 
i) Os erros ij são independentes (aleatorização); 
ii) Os erros ij possuem variância constante (2 = cte); 
iii) Os erros ij são variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas, tendo distribuição 
normal com média zero e variância constante, isto é ij  N(0,2). 
 
b) Hipóteses de interesse: considerando o caso em que o fator é fixo. 
b1) Há o efeito do bloco? Se “não há o efeito do bloco”, a análise de variância deve ser refeita sem 
considerar os blocos. 
H0: B1 = B2 =...= Bb = 0 (não há o efeito do bloco) 
 vs. 
H1: Bj  0, para pelo menos um j (há o efeito de pelo menos um bloco) 
 
b2) Há o efeito do tratamento? 
H0:T1 = T2 =...= Tk = 0 (não há o efeito do tratamento) 
 vs. 
H1: Ti  0, para pelo menos um i (há o efeito de pelo menos tratamento) 
 
c) Tabela de Análise de Variância para um fator fixo (ANOVA) 
Para fazer a análise de variância de um experimento em blocos casualizados é preciso calcular 
as seguintes medidas: 
i) os graus de liberdade: 
* de tratamentos: k -1 
* de blocos: b -1 
* do total: kb -1 
* do resíduo: (kb-1)-(k-1)-(b-1)= (k-1)·(b-1) 
 
ii) o valor de C é dado pelo total geral elevado ao quadrado e dividido pelo número de dados. O 
valor de C é chamado de “correção”: 
𝐶 =
(∑𝑌𝑖𝑗)
2
𝑘𝑏
 ou 𝐶 =
(∑𝑇𝑖)
2
𝑘𝑏
 
iii) a soma de quadrados total: mede a variabilidade total das observações em relação a média geral; 
𝑺𝑸𝑻𝒐𝒕 =∑𝒀𝒊𝒋
𝟐 − 𝑪 
 
 
iv) a soma de quadrados de tratamentos: mede a variabilidade entre as médias dos tratamentos em 
relação a média geral; 
𝑺𝑸𝑻𝒓 =
∑𝜯𝒊
𝟐
𝒃
− 𝑪
 
v) a soma de quadrados de blocos: mede a variabilidade entre as médias dos blocos em relação a 
média geral; 
𝑺𝑸𝑩 =
∑𝑩𝒋
𝟐
𝒌
− 𝑪 
vi) a soma de quadrados de resíduos (é uma medida de homogeneidade interna dos tratamentos): 
𝑺𝑸𝑹 = 𝑺𝑸𝑻𝒐𝒕 − 𝑺𝑸𝑻𝒓 − 𝑺𝑸𝑩 
vii) o quadrado médio de tratamentos (este será um estimador não viciado da variância populacional 
2, se a hipótese de nulidade for verdadeira): 
𝑸𝑴𝑻𝒓 =
𝑺𝑸𝑻𝒓
𝒌 − 𝟏
 
viii) o quadrado médio de blocos: 𝑸𝑴𝑩 =
𝑺𝑸𝑩
𝒃−𝟏
 
ix) o quadrado médio de resíduos: este é um estimador não viciado para 2; 
𝑸𝑴𝑹 =
𝑺𝑸𝑹
(𝒌 − 𝟏)(𝒃 − 𝟏)
 
x) valores de F: o valor de F0 é utilizado para testar a hipótese de efeito dos tratamentos, já F1 é 
utilizado para testar se era realmente necessário considerar os blocos. 
𝑭𝟎 =
𝑸𝑴𝑻𝒓
𝑸𝑴𝑹
 
𝑭𝟏 =
𝑸𝑴𝑩
𝑸𝑴𝑹
 
A Tabela de Análise de Variância – ANOVA fica então da seguinte forma: 
Fonte de 
Variação 
Graus de 
Liberdade 
Soma 
Quadrado 
Quadrado 
Médio 
F 
Tratamento k–1 SQTr QMTr Fo 
Bloco b–1 SQB QMB F1 
Resíduo (k-1)(b-1) SQR QMR 
TOTAL n–1 SQTot 
d) Regra de Decisão 
Para avaliarmos as hipóteses fazemos uso da tabela de Fisher-Snedecor (Tabela 1) procurando 
o valor de F[b-1; (k-1)(b-1);%] (para bloco) e F[k-1; (k-1)(b-1);%] (para tratamento), em que (b-1) e (k-1) são 
graus de liberdade do numerador e (k-1)(b-1) são graus de liberdade para o resíduo (denominador). 
i) Efeito do Bloco (F1): Se F1  F[b-1; (k-1)(b-1);%], rejeita-se a hipótese H0 ao nível de % de 
significância, ou seja, há o efeito do Bloco. 
ii) Efeito do Tratamento (F0): Se F0  F[k-1; (k-1)(b-1);%], rejeita-se a hipótese de nulidade H0 ao nível 
de % de significância, consequentemente, pelo menos um Tratamento Ti é diferente de zero.f) Comparações múltiplas 
Se o fator em um experimento aleatório em blocos completos é fixo e a ANOVA indica que 
existe uma diferença significativa entre as médias dos níveis do fator (tratamentos), então deve-se 
realizar as comparações múltiplas para detectar e localizar as diferenças detectadas no teste F. Os 
testes T, Tukey e Dunnett podem ser utilizados, considerando r = b (uma repetição) e os graus de 
liberdade do resíduo (k-1)(b-1). 
 
 
 
Exemplo: Um pesquisador deseja comparar o tempo de secagem de quatro diferentes composições de 
um polímero (A, B, C e D), os quais foram deixados em cinco ambientes distintos (I, II, III, IV e V). 
Foi medido o tempo de secagem (horas) de placas de 1 m2 e os dados são apresentados abaixo. 
Ambiente 
(Bloco) 
Composição (Tratamento) 
Total 
A B C D 
I 34 26 37 23 120 
II 26 37 45 28 136 
III 33 42 39 30 144 
IV 36 34 41 37 148 
V 31 36 53 32 152 
Total 160 175 215 150 700 
Média 32 35 43 30 35 
Quais são as conclusões, a 5% de significância? 
a) Identificação do experimento e Modelo; 
* Variável de interesse: Tempo de secagem (horas); 
* Unidade Experimental: Placa de 1 m2; 
* Fator em estudo: Composição do polímero; 
* Níveis do Fator: 4 (Composições A, B, C, D); 
* Blocos: 5 (Ambientes I, II, III, IV, V). 
Quando temos um experimento em Blocos completamente ao acaso (balanceado), com um 
fator fixo, temos interesse em verificar a influência dos k níveis desse fator (tratamento) nos diferentes 
Blocos, para a variável resposta Y em estudo. Assim um modelo estatístico associado a este tipo de 
experimento é dado pela forma: 
 
ijjiij BTY  +++= 
b) Hipóteses de Interesse 
b1) Há o efeito do bloco? 
b2) Há o efeito do tratamento? 
 
c) Tabela de Análise de variância (ANOVA) 
Para fazer a análise de variância de um experimento em blocos casualizados é preciso calcular 
as seguintes quantidades: 
i) os graus de liberdade: 
* de tratamentos: k-1 => 4-1=3 
* de blocos: b-1 => 5-1=4 
* do total: kb-1 => 4*5-1=20-1=19 
* do resíduo: (kb-1)-(k-1)-(b-1) = (k-1)*(b-1) => (4-1)*(5-1)=12 
ii) o valor de C é dado pelo total geral elevado ao quadrado e dividido pelo número de dados. O 
valor de C é chamado de “correção”: 
( )
kb
Y
C
ij
2

= ou 
( )
kb
T
C
i
2

= 
iii) a soma de quadrados total: 
CYSQTot 2ij −= 
( ) 950SQTot450023237...332634SQTot 22222 =−+++++= 
 
 
iv) a soma de quadrados de tratamentos: 
CSQTr
2
−

=

b
i 
490SQTr 24500
5
150215175160
SQTr
2222
=−




 +++
= 
v) a soma de quadrados de blocos : 
CSQB
2
−=

k
B j 
160SQB45002
4
152148144136120
SQB
22222
=−




 ++++
= 
vi) a soma de quadrados de resíduos : 
SQB-SQTr-SQTotSQR = 
300SQR160490509SQR =−−= 
vii) o quadrado médio de tratamentos: 
1k
SQTr
QMTr
−
= → 33,163QMTr
14
490
QMTr =
−
= 
viii) o quadrado médio de blocos: 
1b
SQB
QMB
−
= → 40QMB
15
160
QMB =
−
= 
ix) o quadrado médio de resíduos: 
1)-1)(b-(k
SQR
QMR = → 25QMR
4*3
300
1)-(5*1)-(4
300
QMR === 
 
x) valores de F: 53,6F
25
163,33
QMR
QMTr
F 00 === 601
0025
0040
11 ,F
,
,
QMR
QMB
F === 
 
 
A Tabela de Análise de variância – ANOVA – fica então da seguinte forma: 
FV GL SQ QM F 
Tratamento 3 490 163,33 6,53 
Bloco 4 160 40,00 1,60 
Resíduo 12 300 25,00 - 
TOTAL 19 950 - - 
 
d) Regra de Decisão 
Efeito do bloco (F1): Na tabela de Fisher-Snedecor encontramos no eixo horizontal os graus de 
liberdade do bloco (b-1), ao passo que no eixo vertical os graus de liberdade do resíduo (k-1)·(b-1). 
Desta forma encontramos o valor de F(4;12;0,05) = 3,259. Como F1=1,60 < F(4;12;0,05) = 3,259, conclui-se 
por não rejeitar a hipótese nula (não existe o efeito do bloco). Neste caso, devemos refazer a tabela da 
ANOVA, desconsiderando os blocos, ou seja, o delineamento passa a ser um DIC. 
 
 
Tabela de Análise de Variância (ANOVA), sem blocos: 
Fonte de 
Variação 
Graus de 
Liberdade 
Soma 
Quadrado 
Quadrado Médio 
F 
Tratamento 3 490 163,33 5,68 
Resíduo 16 460 28,75 
TOTAL 19 950 
 
Grau de liberdade do resíduo: n-k = 20 – 4 = 16 460490-950SQTr-SQTotSQR === 
75,28
16
460
k-n
SQR
QMR === 68,5F
28,75
163,33
QMR
QMTr
F 00 === 
 
Efeito do Tratamento (F0): Na tabela de Fisher-Snedecor encontramos no eixo horizontal os graus de 
liberdade do bloco (k-1) e no eixo vertical os graus de liberdade do resíduo (n - k). Desta forma 
encontramos o valor de F(3;16;0,05) = 3,239. Como F0=5,68 > F(3;16;0,05) = 3,239, rejeita-se a hipótese de 
nulidade H0 ao nível de 5% de significância, ou seja, pelo menos um tratamento i é diferente de zero. 
Com isto, verifica-se que realmente pelo menos um tratamento (A, B, C ou D) possui, 
estatisticamente, média diferente dos demais. Basta agora descobrirmos quais médias são 
estatisticamente iguais e quais diferem entre si. Isto se consegue fazendo uso dos testes de 
comparações múltiplas. 
 
e) Estimativas dos parâmetros 
Média geral: ( ) 354/30433532..ˆ =+++==Y horas. 
A média por tratamento .iY é: 
Tratamento A  32.ˆ 11 ==Y horas 
Tratamento B  35.ˆ 22 ==Y horas 
Tratamento C  43.ˆ 33 ==Y horas 
Tratamento D  30.ˆ 44 ==Y horas 
 
Os estimadores dos Tratamentos i serão ...ˆ YYT ii −= : 
Tratamento A  33532...ˆ 11 −=−=−= YYT horas 
Tratamento B  03535...ˆ 22 =−=−= YYT hora 
Tratamento C  83543...ˆ 33 =−=−= YYT horas 
Tratamento D  53530...ˆ 44 −=−=−= YYT horas 
Analisando-se o desempenho das diferentes composições do polímero (tratamentos), percebe-
se que as composições A e B apresentaram um tempo médio inferior à média geral dos dados. A 
composição C apresentou um acréscimo no tempo na ordem de 8 horas e a composição B com tempo 
médio igual ao geral. 
 
 
 
f) Faremos a comparação múltipla entre os tratamentos, utilizando o teste de Tukey. Quais são 
suas conclusões ao nível de 5% de significância? 
As estimativas de 1 2 3 e 4 são respectivamente, 
.1Y = 32 (A) .2Y = 35 (B) 
.3Y = 43 (C) .4Y = 30 (D) 
Os contrastes(C) do estimador entre os tratamentos são: 
A e B  CAB = .1Y - .2Y = 32-35 = -3 
A e C  CAC = .1Y - .3Y = 32-43 = -11 
A e D  CAD = .1Y - .4Y = 32-30 = 2 
B e C  CBC = .2Y - .3Y = 35-43 = -8 
B e D  CBD = .2Y - .4Y = 35-30 = 5 
C e D  CCD = .3Y - .4Y = 43-30 = 13 
 
Hipóteses de Interesse 
H0: CAB=0; CAC=0; CAD=0; CBC=0; CBD=0; CCD=0 (médias iguais) 
Versus 
H1: O Contraste(C) é diferente de zero (médias diferentes) 
 
O Teste de Tukey: 
Hipótese de interesse 
H0: i = j 
Versus 
H1: i  j para ij 
O valor de q[k;(n-k);%] com k graus de liberdade para o tratamento e (n-k) graus de liberdade 
para o resíduo é encontrado na Tabela 2, ao nível de 5% de significância. Caso existisse o efeito do 
bloco no experimento, deveríamos considerar (k-1)(b-1) como grau de liberdade do resíduo. Neste 
exemplo, temos: 
q[k;(n-k);%] = q[4;(20-4);5%]= q[4;16;5%]=4,05; QMR=28,75 (ANOVA) e r=b=5 
Assim, o valor da d.m.s será: 7,9d.m.s.
5
28,75
05,4d.m.s. == . 
Assim, para o teste de Tukey, duas médias serão estatisticamente diferentes quando o valor 
absoluto da diferença entre elas for maior ou igual a d.m.s. 
Por exemplo, como para o contraste CAB=|-3,0|  d.m.s=9,7 as médias são estatisticamente 
iguais, ou seja, aceito H0. Já para o contraste CAc=11,0  d.m.s=9,7 as médias são estatisticamente 
diferentes, ou seja, rejeito H0. 
Resumo do teste Tukey 
Contrastes Valor absoluto(C) d.m.s Decisão com  = 5% 
CAB |-3| Aceito H0 (iguais) 
CAC |-11| Rejeito H0(diferente) 
CAD |2| 9,7 Aceito H0 (iguais) 
CBC |-8| Aceito H0 (iguais) 
CBD |5| Aceito H0 (iguais) 
CCD |13| Rejeito H0 (diferente) 
 
 
Tabela de comparações de médias, com  = 5% 
Médias Tukey 
C 43 a 
B 35 a 
A 32 ab 
D 30 b 
 Nota: Letras iguais correspondem a médias iguais ao nível de 5% de significância pelo teste de Tukey. 
 
Exercício: Um experimento foi feito para determinaro efeito de quatro produtos químicos diferentes 
sobre a resistência de um tecido. Foram utilizados quatro tipos diferentes de tecidos e devido a esta 
diferença, o tipo de tecido foi considerado como bloco. Os dados estão a seguir. 
 
Produto 
químico 
Bloco 
Total 
1 2 3 4 
A 1,3 1,6 0,5 1,2 
B 2,2 2,4 0,4 2,0 
C 1,8 1,7 0,6 1,5 
D 3,9 4,4 2,0 4,1 
Total 
Considerando 5% de significância, proceda a análise de variância e, se necessário, as 
comparações múltiplas. Tire conclusões. 
 
2.3.3 Delineamento em blocos casualizados com repetições (DBCr) 
 
Este tipo de delineamento é utilizado quando temos mais de uma repetição de cada tratamento 
dentro de cada bloco e, portanto, permite o estudo de interação entre tratamentos e blocos. Caso haja 
interação entre tratamentos e blocos, o pesquisador deverá tomar alguns cuidados para não chegar a 
conclusões equivocadas. 
Quando existe interação, os tratamentos não têm o mesmo efeito em todos os blocos, ou seja, 
existe diferença entre médias de tratamentos, mas a magnitude da diferença depende do bloco. 
Vamos considerar um exemplo: Um psicólogo quer comparar o “grau de aceitação” de dois 
tipos de “terapia ocupacional” A e B, entre adultos e crianças. Definiu então que as terapias 
ocupacionais (A e B) seriam os tratamentos ao passo que a faixa de idade (adultos e crianças) os 
blocos. 
 
1) Haverá interação tratamentos versus blocos se: 
i) O tratamento A for mais bem aceito por adultos e o tratamento B mais bem aceito por crianças, 
conforme figura abaixo (esquerda): 
ii) O tratamento A for mais bem aceito por adultos, mas A e B forem igualmente bem aceitos por 
crianças, conforme figura abaixo (direita): 
 
 
3
4
5
6
7
8
A B
N
o
ta
s
Tratamentos
crianças
adultos
3
4
5
6
7
8
9
A B
N
o
ta
s
Tratamentos
crianças
adultos
 
 
Não haverá interação tratamentos versus blocos se: os tratamentos tiverem o mesmo efeito em 
todos os blocos, conforme abaixo: 
 
 
 
 
Análise de Variância – ANOVA 
 
Para analisar este tipo de experimento, vamos considerar que há um único fator de interesse 
com “k” níveis e que o experimento para avaliar o efeito deste fator será em “b” blocos. Aqui será 
apresentado o estudo de r repetições para cada nível do fator, em cada bloco. 
Blocos 
Tratamentos (fator) 
Total 
T1 T2 T3 ... Tk 
B1 
Y111 Y211 Y311 ... Yk11 
B1 Y112 Y212 Y312 ... Yk12 
⋮ ⋮ ⋮ ... ⋮ 
B2 
Y121 Y221 Y321 ... Yk21 
B2 Y122 Y222 Y322 ... Yk22 
⋮ ⋮ ⋮ ... ⋮ 
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 
Bb 
Y1b1 Y2b1 Y3b1 ... Ykb1 
Bb Y1b2 Y2b2 Y3b2 ... Ykb2 
⋮ ⋮ ⋮ ... ⋮ 
Total T1 T2 T3 … Tk T=B 
Nº de 
repetições 
b*r1 b*r2 b*r3 ... b*rk n=k*b*r 
Média 
.1Y .2Y .3Y … .kY ..Y 
 
a) Modelo Estatístico (efeito fixo) 
Considerando que haja interação tratamento versus blocos, o modelo estatístico para este 
experimento será: 
ijlijjiijl TBBTY  ++++= , para i=1,..., k, j=1,..., b e l=1,..., r, 
sujeito a: 
==
==
b
j
j
k
i
i
BT
11
0, 
em que: Yijl : variável resposta coletada sob o i-ésimo nível do fator no bloco j; 
 : média global comum a todas as observações; 
Ti : efeito do i-ésimo nível do fator, ou seja, efeito tratamento; 
Bj : efeito do j-ésimo bloco, ou seja, efeito do bloco; 
TBij : efeito da interação entre tratamentos e blocos; 
ijl : componente do erro aleatório associado à observação Yijl. 
3
4
5
6
7
8
9
10
A B
N
o
ta
s
Tratamentos
crianças
adultos
 
 
As suposições associadas a este modelo são: 
i) Os erros ijl são independentes (aleatorização); 
ii) Os erros ijl possuem variância constante (2 = cte); 
iii) Os erros ijl são variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas, tendo distribuição 
normal com média zero e variância constante, isto é ijl  N (0,2). 
Se não há interação tratamentos versus blocos, o modelo é aditivo, conforme o discutido 
anteriormente. 
 
b) Hipóteses de Interesse 
b1) Há o efeito da interação? Se “não há o efeito da interação”, a análise de variância se resume a de 
um delineamento simples. 
H0: TB11 = TB12 =...= TBkb = 0 (não há o efeito da interação) 
 vs. 
H1: TBij  0, para pelo menos um ij (há o efeito de pelo menos uma interação) 
b2) Há o efeito do bloco? Se “não há o efeito do bloco”, a análise de variância deve ser refeita sem 
considerar os blocos. 
H0: B1 = B2 =...= Bb = 0 (não há o efeito do bloco) 
 vs. 
H1: Bj  0, para pelo menos um j (há o efeito de pelo menos um bloco) 
 
b3) Há o efeito do tratamento? 
H0:T1 = T2 =...= Tk = 0 (não há o efeito do tratamento) 
 vs. 
H1: Ti  0, para pelo menos um i (há o efeito de pelo menos tratamento) 
 
c) Tabela de Análise de Variância para um fator fixo (ANOVA) 
Para fazer a análise de variância de um experimento em blocos casualizados com repetições 
é preciso calcular as seguintes informações: 
i) os graus de liberdade: 
* de tratamentos: k-1; 
* de blocos: b-1; 
* da interação: (k-1)*(b-1); 
* do resíduo: k*b*(r-1); 
* do total: n-1. 
 
ii) o valor da “correção” C: 
( )
n
Y
C
2
ijl
= ou 
( )
n
T
C
2
i
= 
iii) a soma de quadrados total : 
CYSQTot 2ijl −= 
 
iv) a soma de quadrados de tratamentos: 
C
*
SQTr
2
−

=

rb
i 
 
 
v) a soma de quadrados de blocos: 
C
*
SQB
2
−=

rk
B j 
vi) a soma de quadrados da interação (tratamento versus blocos): 
SQB-SQTr-C-SQI
2
r
I
= 
vii) a soma de quadrados de resíduos: 
SQI-SQB-SQTr-SQTotSQR = 
viii) o quadrado médio de tratamentos: 
1k
SQTr
QMTr
−
= 
ix) o quadrado médio de blocos: 
1b
SQB
QMB
−
= 
 
x) o quadrado médio da interação: 
1)-(b*1)-(k
SQI
QMI = 
 
xi) o quadrado médio de resíduos: 
1)-(r*b*k
SQR
QMR = 
xii) os valores de F: 
QMR
QMTr
F0 =
 QMR
QMB
F1 =
 QMR
QMI
F2 =
 
 
A Tabela de Análise de Variância – ANOVA fica então da seguinte forma: 
 
Fonte de 
Variação 
(FV) 
Graus de 
Liberdade 
(GL) 
Soma de 
Quadrado 
(SQ) 
Quadrado Médio 
(QM) F 
Tratamentos k–1 SQTr QMTr F0 
Bloco b-1 SQB QMB F1 
Interação (TxB) (k-1)(b-1) SQI QMI F2 
Resíduos k*b*(r-1) SQR QMR - 
TOTAL n–1 SQTot - - 
 
d) Regra de Decisão 
Para avaliarmos as hipóteses fazemos uso da tabela de Fisher-Snedecor (Tabelas 1 e 2, 
respectivamente para níveis de significância de 5 e 1%) procurando os valores tabelados de 
Ftab utilizando-se os GL da ANOVA de cada fonte de variação na coluna da tabela e os GL do resíduo 
na linha da tabela. Inicialmente precisamos verificar se a interação é ou não significativa, vejamos: 
➢ Se F2  F{[(k-1)(b-1)];[k*b*(r-1)];%}, rejeita-se a hipótese de nulidade H0 a nível de % de 
significância, consequentemente, a interação entre tratamentos e blocos é significativa, portanto, o 
comportamento dos tratamentos depende do bloco. Caso contrário, a interação não é significativa e, 
portanto, os resultados dos tratamentos não dependem dos blocos e os valores de Fo e F1 podem ser 
interpretados normalmente. 
 
 
➢ Se F1  F{b-1;[k*b*(r-1)];%}, rejeita-se a hipótese de nulidade H0 a nível de % de 
significância, consequentemente, houve diferença significativa entre os blocos, caso contrário, os 
blocos não diferem entre si. 
➢ Se Fo  F{k-1;[k*b*(r-1)];%}, rejeita-se a hipótese de nulidade H0 a nível de % de 
significância, consequentemente, pelo menos um Tratamento Ti é diferente de zero. Caso contrário, os 
tratamentos não diferem entre si. 
 
e) Comparações múltiplas 
Se, em um experimento aleatório de efeito fixo, em blocos ao acaso e com repetições, a 
ANOVA indicar que a interação é significativa, as médias dos tratamentos devem ser comparadas 
dentro de cada bloco. Caso contrário, procede-se à comparação de médias da forma tradicional, ou 
seja, verifica-se se existe diferença significativa entre as médias dos níveis do fator (tratamentos), 
através dos testes de comparações múltiplas T, Tukey e Dunnett, por exemplo. 
É importante ressaltar que se a interação não for significativa, ou seja F2 < Ftab, a ANOVA 
apresentadaacima, deverá ser organizada de tal forma que os resultados dos graus de liberdade e da 
soma quadrada da interação deverão ser somados aos graus de liberdade do resíduo e soma quadrada 
do resíduo, mudando assim, os valores de F0 e F1, que deverão novamente ser determinados. Assim 
sendo, caso haja diferença significativa entre os tratamentos (F0  Ftab), procede-se as comparações 
múltiplas da forma tradicional, ou seja, faz-se a comparação das médias gerais de cada tratamento, 
independente do bloco. 
 
Exemplo: Um professor conduziu um experimento para comparar a eficiência de quatro fontes de 
informação: jornais (JO), televisão (TV), revistas (RE) e rádio (RA). Participaram desse experimento 
24 alunos. Como os alunos eram de idades diferentes, o professor separou os alunos em dois blocos, de 
acordo com a faixa de idade (jovens e adultos). Depois sorteou, dentro de cada bloco, uma fonte de 
informação para cada aluno. Os alunos então se submeteram ao experimento, isto é, tomaram 
conhecimento sobre determinado assunto apenas pela fonte de informação que lhes havia sido 
sorteada. Depois, todos fizeram o mesmo teste de conhecimento, obtendo-se as notas abaixo: 
 
Desempenho, em notas, dos alunos para cada fonte de informação e faixa de idade 
Blocos 
Tratamentos 
TOTAL 
JO TV RE RA 
 65 56 58 38 
I 69 49 65 30 648 
 73 54 57 34 
 72 73 76 71 
II 79 77 69 65 864 
 80 69 71 62 
TOTAL 438 378 396 300 1512 
 
a) Identificação do experimento e Modelo; 
* Variável de Interesse: Eficiência das fontes de informação; 
* Unidade Experimental: Alunos; 
* Fator em estudo: Fontes de informação; 
* Níveis do Fator: 4 (jornal (JO), televisão (TV), revista (RE), rádio (RA)); 
* Blocos: 2 blocos: I: jovens; II: adultos. 
 
 
Quando temos um experimento em blocos casualizados com repetições (balanceado), com um 
fator fixo, temos interesse em verificar a influência dos k níveis desse fator (tratamento) nos diferentes 
blocos para a variável resposta Y em estudo. Assim, os seguintes modelos estatísticos associados a este 
tipo de experimento podem ocorrer, respectivamente, caso haja interação ou não haja interação: 
 
ijlijjiijl TBBTY  ++++= ou ijljiijl
BTY  +++=
. 
 
Para termos uma indicação sobre a existência ou não de interação, abaixo apresentam-se a 
tabela e o gráfico das médias dos tratamentos dentro de cada bloco. 
 
Médias dos tratamentos dentro de cada bloco 
Blocos 
Tratamentos 
JO TV RE RA 
I 69 53 60 34 
II 77 73 72 66 
 
Gráfico das médias dos tratamentos dentro dos blocos. 
 
Como não houve paralelismo entre os comportamentos dos tratamentos considerando os dois 
blocos, há indícios de que haja interação entre tratamentos e blocos. 
 
b) Hipóteses de Interesse 
b1) Há o efeito da interação? 
b2) Há o efeito do bloco? 
b3) Há o efeito do tratamento? 
 
c) Tabela de Análise de Variância para um fator fixo (ANOVA) 
Para fazer a análise de variância de um experimento em blocos casualizado é preciso calcular 
as seguintes informações: 
i) os graus de liberdade: 
* de tratamentos: k-1 = 4-1=3 
* de blocos: b-1= 2-1=1 
* da interação: (k-1)*(b-1) = (4-1)*(2-
1)=3*1=3 
* do resíduo: k*b*(r-1) = 4*2*(3-1)=16 
* do total: n-1 = 24-1=23 
30
35
40
45
50
55
60
65
70
75
80
JO TE RE RA
N
o
ta
s
Tratamentos
I
II
ii) o valor da “correção”C: 
( ) ( )
95256
24
1512
n
T
C
22
i
===

C
 
 
iii) a soma de quadrados total: 
CYSQTot 2ijl −= 
( ) 525696265...6965SQTot 2222 −++++=
 
 4382SQTot5256999638SQTot =−=
 
 
iv) a soma de quadrados de tratamentos: C
*
SQTr
2
−

=

rb
i
 
52569
3*2
300396378438
SQTr
2222
−




 ++++
= => 1668SQTr5256996924SQTr =−= 
v) a soma de quadrados de blocos: 
C
*
SQB
2
−=

rk
B j
 
1944SQB52569
3*4
864648
SQB
22
=−




 +
=
 
vi) a soma de quadrados da interação (tratamento versus blocos): 
SQB-SQTr-C-SQI
2
r
I
= 
1944-1668-95256-
3
198102216180219159231207
SQI
22222222 +++++++
= 
50498868-99372 ==SQI 
vii) a soma de quadrados de resíduos: 
SQI-SQB-SQTr-SQTotSQR =
 
266SQR504-1944-1668-3824SQR == 
viii) o quadrado médio de tratamentos: 
1k
SQTr
QMTr
−
=
 => 
556
14
1668
QMTr =
−
= 
 
ix) o quadrado médio de blocos: 
1b
SQB
QMB
−
=
 
=> 1944
12
1944
QMB =
−
= 
x) o quadrado médio da interação: 
1)-1)(b-(k
SQI
QMI =
 
=> 
( )( )
168
1214
504
QMI =
−−
= 
 
xi) o quadrado médio de resíduos: 
1)-(r*b*k
SQR
QMR =
 
=> 
( )
625,16
13*2*4
266
QMR =
−
= 
 
 
xii) os valores de F: 
44,33
625,16
556
QMR
QMTr
F0 ===
 
93,116
625,16
1944
QMR
QMB
F1 ===
 
11,10
625,16
168
QMR
QMI
F2 === 
 
A tabela de Análise de Variância – ANOVA fica então da seguinte forma: 
 
Fonte de 
Variação (FV) 
Graus de 
Liberdade(GL) 
Soma 
Quadrado SQ) 
Quadrado 
Médio (QM) 
F 
Tratamentos 3 1668 556,000 33,44 
Bloco 1 1944 1944,000 116,93 
Interação (TxB) 3 504 168,000 10,11 
Resíduos 16 266 16,625 – 
TOTAL 23 4382 – – 
d) Regra de Decisão 
➢ Como F2=10,11 > F[3;16;5%] = 3,24, rejeita-se a hipótese de nulidade H0 ao nível de 5% de 
significância, ou seja, há interação entre tratamentos (fontes de informação) e os blocos (faixa de 
idade), portanto, o comportamento dos tratamentos depende do bloco. 
➢ Como F1=116,93 > F[1;16;5%]=4,49, rejeita-se a hipótese de nulidade H0 ao nível de 5% de 
significância, ou seja, houve diferença significativa entre os blocos (faixa de idade), portanto, o 
professor tinha razão quando suspeitou da diferença de resultados em função da faixa de idade dos 
alunos. 
➢ Como Fo=33,44 > F[3;16;5%]=3,24, rejeita-se a hipótese de nulidade H0 ao nível de 5% de 
significância, ou seja, pelo menos um tratamento (fonte de informação) apresenta resultado 
estatisticamente diferente dos demais. Entretanto, como a interação foi significativa, devemos realizar 
o desdobramento das médias, ou seja, estudar o comportamento de cada tratamento (fontes de 
informação) dentro de cada bloco (faixa de idade). 
Para o caso em estudo, verificou-se que houve interação entre tratamentos e blocos, assim, 
as comparações de médias (contrastes) serão realizadas entre os tratamentos dentro de cada bloco. 
 
Médias dos tratamentos dentro de cada bloco 
Blocos 
Tratamentos 
JO TV RE RA 
I (jovens) 69 53 60 34 
II (velhos) 77 73 72 66 
Quais são suas conclusões ao nível de 5% de significância? 
Usando o teste de Tukey: 
r
QMR
qsmd k *... %]1),-(r*b*k,[ = 
O valor na tabela de Tukey é 05,4%],516,4[ =q . O QMR=16,625 (ANOVA) e r=3 (quando se 
trata de experimentos em blocos com repetições e há interação, utiliza-se o número de repetições de 
cada tratamento dentro de cada bloco, caso contrário o número total de repetições de cada tratamento, 
independente do bloco). 
Assim, o valor da d.m.s será: 53,9...
3
625,16
*05,4... == smdsmd . 
 
 
 
Assim, para o teste de Tukey, duas médias serão estatisticamente diferentes quando o valor 
absoluto da diferença entre elas (|C|) for maior ou igual a d.m.s. 
 
➢ Os contrastes(C) entre os tratamentos são apresentados na tabela abaixo: 
Contrastes(C) Bloco I Bloco II 
CJO-TV |69-53|=16 () |77-73|=4 (=) 
CJO-RE |69-60|=9 (=) |77-72|=5 (=) 
CJO-RA |69-34|=35 () |77-66|=11 () 
CTV-RE |53-60|=7 (=) |73-72|=1 (=) 
CTV-RA |53-34|=19 () |73-66|=7 (=) 
CRE-RA |60-34|=26 () |72-66|=6 (=) 
Por exemplo, como dentro do Bloco I o contraste CJO-TV=16 > d.m.s=9,53, diz-se que as 
médias são estatisticamente diferentes entre si. 
Quadro de comparações de médias segundo os tratamentos e blocos 
Médias Bloco I (jovens) Bloco II (adultos) 
jornal 69 a 77 a 
televisão 53 b 73 a b 
revista 60 a b 72 a b 
rádio 34 c 66 b 
Nota: Letras iguais correspondem à médias iguais ao nível de 5% de significância por t de Student. 
 
Com base nisto, verifica-se que: 
a) Para os Jovens (bloco I): 
i) a Televisão e a Revista deramresultados estatisticamente iguais; 
ii) o Jornal foi estatisticamente melhor que as outras 3 fontes de informação; 
iii) o Rádio foi o que apresentou resultados estatisticamente piores quando comparados com as outras 
3 fontes de informação; 
 
b) Para os Adultos (bloco II): 
i) as fontes de informação Jornal, Televisão e Revistas apresentaram entre si resultados 
estatisticamente iguais; 
ii) as fontes de informação Televisão, Revistas e Rádio também apresentaram entre si resultados 
estatisticamente iguais; 
iii) observou-se que somente o Jornal apresentou resultado estatisticamente diferente e melhor que o 
Rádio. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TABELA 1 Limites unilaterais de F ao nível de 5% de significância 
n1: número de graus de liberdade do numerador 
n2: número de graus de liberdade do denominador 
n2/n1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 20 40 60 120 240 
1 161.4 199.5 215.7 224.6 230.2 234.0 236.8 238.9 240.5 241.9 243.0 243.9 244.7 245.4 245.9 248.0 251.1 252.2 253.3 253.8 
2 18.51 19.00 19.16 19.25 19.29 19.329 19.35 19.37 19.38 19.39 19.40 19.41 19.42 19.42 19.43 19.44 19.47 19.48 19.49 19.49 
3 10.128 9.552 9.277 9.117 9.013 8.941 8.887 8.845 8.812 8.785 8.763 8.745 8.729 8.715 8.703 8.660 8.594 8.572 8.549 8.538 
4 7.709 6.944 6.591 6.388 6.256 6.163 6.094 6.041 5.999 5.964 5.936 5.912 5.891 5.873 5.858 5.803 5.717 5.688 5.658 5.643 
5 6.608 5.786 5.409 5.192 5.050 4.950 4.876 4.818 4.772 4.735 4.704 4.678 4.655 4.636 4.619 4.558 4.464 4.431 4.398 4.382 
6 5.987 5.143 4.757 4.534 4.387 4.284 4.207 4.147 4.099 4.060 4.027 4.000 3.976 3.956 3.938 3.874 3.774 3.740 3.705 3.687 
7 5.591 4.737 4.347 4.120 3.972 3.866 3.787 3.726 3.677 3.637 3.603 3.575 3.550 3.529 3.511 3.445 3.340 3.304 3.267 3.249 
8 5.318 4.459 4.066 3.838 3.688 3.581 3.500 3.438 3.388 3.347 3.313 3.284 3.259 3.237 3.218 3.150 3.043 3.005 2.967 2.947 
9 5.117 4.256 3.863 3.633 3.482 3.374 3.293 3.230 3.179 3.137 3.102 3.073 3.048 3.025 3.006 2.936 2.826 2.787 2.748 2.727 
10 4.965 4.103 3.708 3.478 3.326 3.217 3.135 3.072 3.020 2.978 2.943 2.913 2.887 2.865 2.845 2.774 2.661 2.621 2.580 2.559 
11 4.844 3.982 3.587 3.357 3.204 3.095 3.012 2.948 2.896 2.854 2.818 2.788 2.761 2.739 2.719 2.646 2.531 2.490 2.448 2.426 
12 4.747 3.885 3.490 3.259 3.106 2.996 2.913 2.849 2.796 2.753 2.717 2.687 2.660 2.637 2.617 2.544 2.426 2.384 2.341 2.319 
13 4.667 3.806 3.411 3.179 3.025 2.915 2.832 2.767 2.714 2.671 2.635 2.604 2.577 2.554 2.533 2.459 2.339 2.297 2.252 2.230 
14 4.600 3.739 3.344 3.112 2.958 2.848 2.764 2.699 2.646 2.602 2.565 2.534 2.507 2.484 2.463 2.388 2.266 2.223 2.178 2.155 
15 4.543 3.682 3.287 3.056 2.901 2.790 2.707 2.641 2.588 2.544 2.507 2.475 2.448 2.424 2.403 2.328 2.204 2.160 2.114 2.090 
16 4.494 3.634 3.239 3.007 2.852 2.741 2.657 2.591 2.538 2.494 2.456 2.425 2.397 2.373 2.352 2.276 2.151 2.106 2.059 2.035 
17 4.451 3.592 3.197 2.965 2.810 2.699 2.614 2.548 2.494 2.450 2.413 2.381 2.353 2.329 2.308 2.230 2.104 2.058 2.011 1.986 
18 4.414 3.555 3.160 2.928 2.773 2.661 2.577 2.510 2.456 2.412 2.374 2.342 2.314 2.290 2.269 2.191 2.063 2.017 1.968 1.943 
19 4.381 3.522 3.127 2.895 2.740 2.628 2.544 2.477 2.423 2.378 2.340 2.308 2.280 2.256 2.234 2.155 2.026 1.980 1.930 1.905 
20 4.351 3.493 3.098 2.866 2.711 2.599 2.514 2.447 2.393 2.348 2.310 2.278 2.250 2.225 2.203 2.124 1.994 1.946 1.896 1.870 
21 4.325 3.467 3.072 2.840 2.685 2.573 2.488 2.420 2.366 2.321 2.283 2.250 2.222 2.197 2.176 2.096 1.965 1.916 1.866 1.839 
22 4.301 3.443 3.049 2.817 2.661 2.549 2.464 2.397 2.342 2.297 2.259 2.226 2.198 2.173 2.151 2.071 1.938 1.889 1.838 1.811 
23 4.279 3.422 3.028 2.796 2.640 2.528 2.442 2.375 2.320 2.275 2.236 2.204 2.175 2.150 2.128 2.048 1.914 1.865 1.813 1.785 
24 4.260 3.403 3.009 2.776 2.621 2.508 2.423 2.355 2.300 2.255 2.216 2.183 2.155 2.130 2.108 2.027 1.892 1.842 1.790 1.762 
25 4.242 3.385 2.991 2.759 2.603 2.490 2.405 2.337 2.282 2.236 2.198 2.165 2.136 2.111 2.089 2.007 1.872 1.822 1.768 1.740 
26 4.225 3.369 2.975 2.743 2.587 2.474 2.388 2.321 2.265 2.220 2.181 2.148 2.119 2.094 2.072 1.990 1.853 1.803 1.749 1.720 
27 4.210 3.354 2.960 2.728 2.572 2.459 2.373 2.305 2.250 2.204 2.166 2.132 2.103 2.078 2.056 1.974 1.836 1.785 1.731 1.702 
28 4.196 3.340 2.947 2.714 2.558 2.445 2.359 2.291 2.236 2.190 2.151 2.118 2.089 2.064 2.041 1.959 1.820 1.769 1.714 1.685 
29 4.183 3.328 2.934 2.701 2.545 2.432 2.346 2.278 2.223 2.177 2.138 2.104 2.075 2.050 2.027 1.945 1.806 1.754 1.698 1.669 
30 4.171 3.316 2.922 2.690 2.534 2.421 2.334 2.266 2.211 2.165 2.126 2.092 2.063 2.037 2.015 1.932 1.792 1.740 1.683 1.654 
40 4.085 3.232 2.839 2.606 2.449 2.336 2.249 2.180 2.124 2.077 2.038 2.003 1.974 1.948 1.924 1.839 1.693 1.637 1.577 1.544 
50 4.034 3.183 2.790 2.557 2.400 2.286 2.199 2.130 2.073 2.026 1.986 1.952 1.921 1.895 1.871 1.784 1.634 1.576 1.511 1.476 
60 4.001 3.150 2.758 2.525 2.368 2.254 2.167 2.097 2.040 1.993 1.952 1.917 1.887 1.860 1.836 1.748 1.594 1.534 1.467 1.430 
80 3.960 3.111 2.719 2.486 2.329 2.214 2.126 2.056 1.999 1.951 1.910 1.875 1.845 1.817 1.793 1.703 1.545 1.482 1.411 1.370 
100 3.936 3.087 2.696 2.463 2.305 2.191 2.103 2.032 1.975 1.927 1.886 1.850 1.819 1.792 1.768 1.676 1.515 1.450 1.376 1.333 
120 3.920 3.072 2.680 2.447 2.290 2.175 2.087 2.016 1.959 1.910 1.869 1.834 1.803 1.775 1.750 1.659 1.495 1.429 1.352 1.307 
240 3.881 3.033 2.642 2.409 2.252 2.136 2.048 1.977 1.919 1.870 1.829 1.793 1.761 1.733 1.708 1.614 1.445 1.375 1.290 1.237 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TABELA 2 Valores da amplitude total estudentizada (q), para uso no teste de Tukey, ao nível de 5% de probabilidade 
K: número de tratamentos 
n': graus de liberdade do resíduo 
n' \ k 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 
1 17,97 26,98 32,82 37,08 40,41 43,12 45,40 47,36 49,07 50,59 51,96 53,19 54,32 55,36 56,32 57,21 58,04 58,82 59,56 
2 6,09 8,33 9,80 10,88 11,73 12,44 13,03 13,54 13,99 14,39 14,75 15,08 15,38 15,65 15,91 16,14 16,37 16,57 16,77 
3 4,50 5,91 6,83 7,50 8,04 8,48 8,85 9,18 9,46 9,72 9,95 10,16 10,35 10,52 10,69 10,84 10,98 11,11 11,24 
4 3,93 5,04 5,76 6,29 6,71 7,05 7,35 7,60 7,83 8,03 8,21 8,37 8,52 8,66 8,79 8,91 9,03 9,13 9,23 
5 3,64 4,60 5,22 5,67 6,03 6,33 6,58 6,80 7,00 7,17 7,32 7,47 7,60 7,72 7,83 7,93 8,03 8,12 8,21 
6 3,46 4,34 4,90 5,31 5,63 5,90 6,12 6,32 6,49 6,65 6,79 6,92 7,03 7,14 7,24 7,34 7,43 7,51 7,59 
7 3,34 4,17 4,68 5,06 5,36 5,61 5,82 6,00 6,16 6,30 6,43 6,55 6,66 6,76 6,85 6,94 7,02 7,10 7,17 
8 3,26 4,04 4,53 4,89 5,17 5,40 5,60 5,77 5,92 6,05 6,18 6,29 6,39 6,48 6,57 6,65 6,73 6,80 6,87 
9 3,20 3,95 4,42 4,76 5,02 5,24 5,43 5,60 5,74 5,87 5,98 6,09 6,19 6,28 6,36 6,44 6,51 6,58 6,64 
10 3,15 3,88 4,33 4,65 4,91 5,12 5,30 5,46 5,60 5,72 5,83 5,94 6,03 6,11 6,19 6,27 6,34 6,41 6,47 
11 3,11 3,82 4,26 4,57 4,82 5,03 5,20 5,35 5,49 5,61 5,71 5,81 5,90 5,98 6,06 6,13 6,20 6,27 6,33 
12 3,08 3,77 4,20 4,51 4,75 4,95 5,12 5,27 5,40 5,51 5,62 5,71 5,80 5,88 5,95 6,02 6,09 6,15 6,21 
13 3,06 3,73 4,15 4,45 4,69 4,88 5,05 5,19 5,32 5,43 5,53 5,63 5,71 5,79 5,86 5,93 6,00 6,06 6,11 
14 3,03 3,70 4,11 4,41 4,64 4,83 4,99 5,13 5,25 5,36 5,46 5,55 5,64 5,71 5,79 5,85 5,92 5,97 6,03 
15 3,01 3,67 4,08 4,37 4,60 4,78 4,94 5,08 5,20 5,31 5,40 5,49 5,57 5,65 5,72 5,79 5,85 5,90 5,96 
16 3,00 3,65 4,05 4,33 4,56 4,74 4,90 5,03 5,15 5,26 5,35 5,44 5,52 5,59 5,66 5,73 5,79 5,84 5,90 
17 2,98 3,63 4,02 4,30 4,52 4,71 4,86 4,99 5,11 5,21 5,31 5,39 5,47 5,54 5,61 5,68 5,73 5,79 5,84 
18 2,97 3,61 4,00 4,28 4,49 4,67 4,82 4,96 5,07 5,17 5,27 5,35 5,43 5,50 5,57 5,63 5,69 5,74 5,79 
19 2,96 3,59 3,98 4,25 4,47 4,65 4,79 4,92 5,04 5,14 5,23 5,31 5,39 5,46 5,53 5,59 5,65 5,70 5,75 
20 2,95 3,58 3,96 4,23 4,45 4,62 4,77 4,90 5,01 5,11 5,20 5,28 5,36 5,43 5,49 5,55 5,61 5,66 5,71 
21 2,94 3,57 3,94 4,21 4,42 4,60 4,74 4,87 4,98 5,08 5,17 5,25 5,33 5,40 5,46 5,52 5,58 5,63 5,68 
22 2,93 3,55 3,93 4,20 4,41 4,58 4,72 4,85 4,96 5,06 5,14 5,23 5,30 5,37 5,43 5,49 5,555,60 5,65 
23 2,93 3,54 3,91 4,18 4,39 4,56 4,70 4,83 4,94 5,03 5,12 5,20 5,27 5,34 5,41 5,46 5,52 5,57 5,62 
24 2,92 3,53 3,90 4,17 4,37 4,54 4,68 4,81 4,92 5,01 5,10 5,18 5,25 5,32 5,38 5,44 5,49 5,55 5,59 
25 2,91 3,52 3,89 4,15 4,36 4,53 4,67 4,79 4,90 4,99 5,08 5,16 5,23 5,30 5,36 5,42 5,47 5,52 5,57 
26 2,91 3,51 3,88 4,14 4,35 4,51 4,65 4,77 4,88 4,98 5,06 5,14 5,21 5,28 5,34 5,40 5,45 5,50 5,55 
27 2,90 3,51 3,87 4,13 4,33 4,50 4,64 4,76 4,86 4,96 5,04 5,12 5,19 5,26 5,32 5,38 5,43 5,48 5,53 
28 2,90 3,50 3,86 4,12 4,32 4,49 4,63 4,75 4,85 4,94 5,03 5,11 5,18 5,24 5,30 5,36 5,41 5,46 5,51 
29 2,89 3,49 3,85 4,11 4,31 4,48 4,61 4,73 4,84 4,93 5,01 5,09 5,16 5,23 5,29 5,34 5,40 5,45 5,49 
30 2,89 3,49 3,85 4,10 4,30 4,46 4,60 4,72 4,82 4,92 5,00 5,08 5,15 5,21 5,27 5,33 5,38 5,43 5,48 
31 2,88 3,48 3,84 4,09 4,29 4,45 4,59 4,71 4,81 4,91 4,99 5,06 5,13 5,20 5,26 5,31 5,37 5,41 5,46 
32 2,88 3,48 3,83 4,09 4,28 4,45 4,58 4,70 4,80 4,89 4,98 5,05 5,12 5,19 5,24 5,30 5,35 5,40 5,45 
33 2,88 3,47 3,83 4,08 4,28 4,44 4,57 4,69 4,79 4,88 4,97 5,04 5,11 5,17 5,23 5,29 5,34 5,39 5,43 
34 2,87 3,47 3,82 4,07 4,27 4,43 4,56 4,68 4,78 4,87 4,96 5,03 5,10 5,16 5,22 5,28 5,33 5,37 5,42 
35 2,87 3,46 3,81 4,07 4,26 4,42 4,56 4,67 4,77 4,86 4,95 5,02 5,09 5,15 5,21 5,26 5,32 5,36 5,41 
36 2,87 3,46 3,81 4,06 4,26 4,41 4,55 4,66 4,76 4,86 4,94 5,01 5,08 5,14 5,20 5,25 5,30 5,35 5,40 
37 2,87 3,45 3,80 4,05 4,25 4,41 4,54 4,66 4,76 4,85 4,93 5,00 5,07 5,13 5,19 5,24 5,29 5,34 5,39 
38 2,86 3,45 3,80 4,05 4,24 4,40 4,53 4,65 4,75 4,84 4,92 4,99 5,06 5,12 5,18 5,23 5,28 5,33 5,38 
39 2,86 3,45 3,80 4,04 4,24 4,39 4,53 4,64 4,74 4,83 4,91 4,99 5,05 5,11 5,17 5,23 5,28 5,32 5,37 
40 2,86 3,44 3,79 4,04 4,23 4,39 4,52 4,63 4,74 4,82 4,90 4,98 5,04 5,11 5,16 5,22 5,27 5,31 5,36 
48 2,84 3,42 3,76 4,01 4,20 4,35 4,48 4,59 4,69 4,78 4,86 4,93 4,99 5,05 5,11 5,16 5,21 5,26 5,30 
60 2,83 3,40 3,74 3,98 4,16 4,31 4,44 4,55 4,65 4,73 4,81 4,88 4,94 5,00 5,06 5,11 5,15 5,20 5,24 
80 2,81 3,38 3,71 3,95 4,13 4,28 4,40 4,51 4,60 4,69 4,76 4,83 4,89 4,95 5,00 5,05 5,10 5,14 5,18 
120 2,80 3,36 3,69 3,92 4,10 4,24 4,36 4,47 4,56 4,64 4,71 4,78 4,84 4,90 4,95 5,00 5,04 5,09 5,13 
240 2,79 3,34 3,66 3,89 4,06 4,21 4,32 4,43 4,52 4,60 4,67 4,73 4,79 4,85 4,90 4,94 4,99 5,03 5,07 
Inf 2,77 3,31 3,63 3,86 4,03 4,17 4,29 4,39 4,47 4,55 4,62 4,69 4,74 4,80 4,85 4,89 4,93 4,97 5,01