Lista 2 de Cálculo II - prof. Marcelo José Dias Nascimento

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089206 - E - Ca´lculo 2
Segunda lista de exerc´ıcios
Prof. Marcelo Jose´ Dias Nascimento 8 de novembro de 2016
1. Mostre as propriedades da derivada de func¸o˜es vetoriais vistas em sala de aula.
2. Calcule o comprimento da curva dada em cada um dos itens abaixo:
(a) γ(t) = (t cos t, t sen t), t ∈ [0, 2pi]
(b) r(t) = (2t− 1, t+ 1), t ∈ [1, 2]
(c) γ(t) = (cos t, sen t, e−t), t ∈ [0, pi]
(d) γ(t) = (e−t cos t, e−t sen t, e−t), t ∈ [0, 1]
(e) γ : [0, pi]→ R2 dada por x(t) = 1− cos t e y(t) = t− sen t.
3. Encontre o maior subconjunto de I ⊂ R para os quais as curvas parametrizadas γ : I ⊂ R→ Rn abaixo
sejam diferencia´veis. Determine o vetor tangente a` curva nos instantes t ∈ I.
(a) γ(t) = (cos t, t)
(b) γ(t) = (cos(t2 − 1), et3+2t−1, sen (t3 − t2 + 1))
(c) γ(t) = (t2, t3)
(d) γ(t) = (cos(t3 + t2), 3t3 − 4t+ 15, sen (t3 + t2 + t+ 1))
(e) γ(t) = ( sen t, cos t)
4. Encontre o maior subconjunto de R para os quais as curvas parametrizadas do exerc´ıcio anterior sa˜o
regulares.
5. Determine o comprimento da curva regular γ, em cada um dos itens abaixo.
(a) γ :

x = 5t
y = 4t2, 0 6 t 6 2
z = 3t2
(b) γ :

x = t2
y = t sen t, 0 6 t 6 1
z = t cos t
(c) γ :

x = 2t
y = 4 sen (3t), 0 6 t 6 2
z = 4 cos(3t)
(d) γ :

x = 1− t2
y = 4t, 0 6 t 6 2
z = 3 + 2t2.
(e) γ(t) = et i + t sen t j + t cos tk, 0 6 t 6 1 (f) γ(t) = 3t2 i + t3 j + 6tk, 0 6 t 6 1
6. Encontre as equac¸o˜es parame´tricas da reta tangente a` curva C no ponto P ∈ C , nos seguintes casos:
(a) C :

x = 2t3 − 1
y = −5t2 + 3, P = (1,−2, 10)
z = 8t+ 2,
(b) C :

x = et
y = tet, P = (1, 0, 4)
z = t2 + 4
(c) C : γ(t) = et i + t sen t j + t cos tk, P = (1, 0, 0) (f) C : γ(t) = 3t2 i + t3 j + 6tk, P = (3, 1, 6).
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7. Um ponto move-se sobre uma curva regular γ : I ⊂ R→ R3 de modo que o vetor posic¸a˜o γ(t) e o vetor
tangente γ′(t) sejam ortogonais. Mostre que o trac¸o de γ esta´ sobre uma esfera de centro na origem.
(Sugesta˜o: mostre que ‖γ(t)‖2 e´ constante, para todo t, calculando sua derivada em relac¸a˜o a t.)
8. Definic¸a˜o: Se uma curva parametrizada regular γ : I ⊂ R → Rn tem vetor tangente ~u = γ′(t0) em
um ponto P = γ(t0), enta˜o o plano normal a γ em P e´ o plano que passa pelo ponto P e e´ normal ao
vetor ~u.
Encontre a equac¸a˜o do plano normal a´ curva parametrizada regular γ : I ⊂ R→ Rn no ponto P nos se-
guintes casos: (a) γ :

x = et
y = tet, P = (1, 0, 4)
z = t2 + 4
(b) γ :

x = t sen t
y = t cos t, P = (−pi/2, 0, pi/2).
z = t
9. Deˆ exemplos de curvas γ e δ tais que Imγ = Imδ, mas que seus comprimentos de curvas sejam diferentes.
10. Definic¸a˜o: Dizemos que uma curva δ : [α, β] → Rn, com derivada cont´ınua, esta´ parametrizada pelo
comprimento de arco se ‖δ′(s)‖ = 1, para todo s ∈ [α, β].
Verifique que cada uma das curvas abaixo esta´ parametrizada pelo comprimento de arco.
(a) δ(s) = (cos s, sen s), s > 0.
(b) δ(s) =
(
R cos
( s
R
)
, R sen
( s
R
))
, s > 0, onde R > 0 e´ um real fixo.
(c) δ(s) =
(
s√
5
,
2s√
5
)
, s > 0.
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