Cinematica Mecanismos

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Cinemática dos 
Mecanismos
Áreas da Mecânica
MECÂNICA
Fluidos
Sólidos
Corpos Deformáveis
Corpos 
Rígidos
Estática
Dinâmica
Cinética
Cinemática
 Resistência dos Materiais
Teoria da Elasticidade
Teoria da Plasticidade
Pontos Materiais
Corpos Rígidos
Mecanismos
A Mecânica Newtoniana
Cinemática dos Mecanismos
Cinemática:
 Estudo do movimento do sistema independentemente das forças que 
o originam. 
Dinâmica:
 Estudo das forças e movimentos agindo no sistema. 
Cinemática dos
Mecanismos
Análise (Determinação do movimento do 
mecanismo a partir de sua geometria e de 
quantidades cinemáticas de alguns elementos do 
mecanismo)
Síntese (É a forma pela qual se chega à geometria de 
um mecanismo a partir das quantidades cinemáticas 
previamente estabelecidas) 
Máquinas e Mecanismos
Máquina:
É uma unidade usada de forma a produzir força e transmitir 
potência em um padrão pré-determinado.
Mecanismo:
É um conjunto de peças ligadas de forma a produzir ou transmitir 
um movimento específico. Pode ser uma parte da máquina usada 
para transferir movimento.
Plataforma Elevatória 
Pantográfica
Exemplos de Mecanismos
Revisão de Vetores
Soma de Vetores  
Para somar graficamente dois vetores a e b conforme Figura abaixo, 
move-se a origem de um até coincidir com a extremidade do outro.
A origem e a extremidade restantes definem o vetor representativo da 
soma vetorial (resultante). Este é o método da triangulação.
A adição vetorial é comutativa, ou seja: a + b = b + a
Método do Paralelogramo
O vetor resultante da soma é a maior 
diagonal do paralelogramo 
constituído com os dois vetores 
colocados com a mesma origem.
Subtração de Vetores  
( )
c a b
c a b
= −
= + −
rr r
rr r
A subtração resultante é a outra diagonal do paralelogramo 
formado com os dois vetores colocados com a mesma origem.
A
r
B
r C
r
Seguindo o procedimento, tem-se que a soma vetorial dos vetores A, 
B e C é igual à resultante R como mostrado abaixo:
Dados os vetores A, B e C, deseja-se determinar a 
resultante da soma entre eles
A
r
B
r
C
r
R
r
0
A B C R
A B C R
+ + =
+ + − =
r rr r
r r rr r
Equação Vetorial:
Revisão de Vetores
Notação Retangular
Notação Vetorial em Coordenadas Cartesianas
ˆ ˆ
x yR R i R j= +
r
2 2
x yR R R= +
r
cosxR R θ=
r
sinyR R θ=
r
1tan y
x
R
R
θ −=
Exemplo: Determinar a soma entre os vetores A e B, mostrados 
abaixo, utilizando notação retangular.
15o 
30o
|A|=10
|B|=8
Solução: A = 10cos30o i + 10sen30o j = 8,66 i + 5,00 j
B = 8cos(-15º) i + 8sen(-15º) j = 7,73 i – 2,07 j
C = A + B = (8,66+ 7,73) i + (5,00 – 2,07) j
C = 16,39 i + 2,93 j
Revisão de Vetores
a) Produto Escalar Entre Dois Vetores:
(Produto interno, produto interior)
. | || | cosa b a b m= θ =
r rr r
( . ) ( ). .( )m a b ma b a mb= =
r r rr r r
( . ) . .c a b a c b c= +
r rr r r r r
. .a b b a=
r rr r
. 0a b =
rr
0
0
cos 0 / 2 rad
a
b
=
=
θ = ⇒ θ = pi
r
r
ângulo entre e a bθ →
rr
a.1) Propriedades:
1) Propriedade comutativa se aplica
2) , sendo m um escalar
3) Propriedade distributiva se aplica
1) Se 
escalar
; ou
; ou
Revisão de Vetores
* Lembrete: Vetores unitários (módulo unitário)
ˆ
| |
rr
r
=
r
r
iˆˆˆ ˆ, , i j k
ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ5) . 0 ; . 0; . 0
ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ6) . . . 1
i j i k j k
i i j j k k
= = =
= = =
Vetores unitários fundamentais do 
sistema de eixos cartesianos: 
jˆ
kˆ
Revisão de Vetores
Revisão de Vetores
a.2) Representação Analítica do Produto Escalar Entre Dois vetores:
ˆˆ ˆ
ˆˆ ˆ
. ?
ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ. ( ) ( )
. número escalar
a a a
b b b
a a a b b b
a b a b a b
a X i Y j Z k
b X i Y j Z k
a b
a b X i Y j Z k X i Y j Z k
a b X X Y Y Z Z
= + +
= + +
=
= + + + +
= + + =
r
r
rr
rr
rr
Revisão de Vetores
b) Produto Vetorial (ou Cruzado) de Dois Vetores:
ˆ | || | sen a b n a b× = θ
r rr r
O vetor n é um vetor unitário com direção normal ao 
plano formado por a e b e no sentido da regra da mão 
direita
Enquanto o produto interno de dois vetores produz um escalar, o 
produto vetorial produz um vetor, tendo, portanto, direção e 
sentido.
O módulo do produto vetorial é equivalente a área 
formada pelos dois vetores A e B.
Revisão de Vetores
b.1) Propriedades:
( )c a b c a c b× + = × + ×
r rr r r r r
( )a b b a× = − ×
r rr r
0a b× =
rr
0
0
sen 0 0 ou rad
a
b
=
=
θ = ⇒ θ = pi
r
r
1) Propriedade comutativa não se aplica
2) Propriedade distributiva se aplica
1) Se 
; ou
; ou
ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ4) 0
ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ5) ; ; 
ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ; ; 
i i j j k k
i j k k i j j k i
j i k i k j k j i
× = × = × =
× = × = × =
× = − × = − × = −
iˆ
jˆ
kˆ
ˆˆ ˆ
ˆˆ ˆ
?
ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( )
De acordo com as propriedades (4) e (5):
ˆˆ ˆ( ) ( ) ( )
O que se pode também escrever s
a a a
b b b
a a a b b b
a b a b a b a b a b a b
a X i Y j Z k
b X i Y j Z k
a b
a b X i Y j Z k X i Y j Z k
a b Y Z Z Y i Z X X Z j X Y Y X k
= + +
= + +
× =
× = + + × + +
× = − + − + −
r
r
rr
rr
rr
ob a forma de determinante:
ˆˆ ˆ
a a a
b b b
i j k
a b X Y Z
X Y Z
× =
rr
b.2) Representação Analítica do Produto Vetorial
Revisão de Vetores
No entanto notando que a componente i do produto vetorial de 
A e B não envolve a componente i de nenhum dos vetores, 
temos uma maneira mais fácil de memorizar o cálculo do 
produto vetorial que é utilizando a notação matricial, como é 
mostrado a seguir.
Notação Vetorial Complexa
cos sinje jα α α± = ±
jR R e θ=
r r
Notação Polar Complexa
Fórmula de Euler
x yR R jR= +
r
cosxR R θ=
r
sinyR R θ=
r
Notação Retangular Complexa
( ) ( ) [ ]( )cos sin cos sinR R j R R jθ θ θ θ= + = +r r r r
2 2
x yR R R= +
r
1tan y
x
R
R
θ −=
Notação Vetorial Complexa
2 2| | 2 3 13 r z= = + =r2 3 jz j re θ= + =r
03arctan 56,3 
2
zθ  = ∠ = =  
r
056,32 3 13 jz j e= + =r
Exercício: Escreva na forma polar complexa o seguinte vetor escrito 
nas forma retangular complexa: z = 2 + j 3
Solução:
OBS: Deve-se atentar em qual quadrante estamos trabalhando para 
não calcular o ângulo de fase errado.
Notação Vetorial Complexa
*Obs: Quando o número complexo está no 1o ou 4o quadrante não há problemas ao 
se usar a máquina calculadora, mas caso o número esteja no 2o ou 3o quadrante, 
deve-se ter cuidado.
Se o número estiver no 2o quadrante, deve-se adicionar 180o ao ângulo do número 
complexo obtido na calculadora. Se o número estiver no 3o quadrante, deve-se 
subtrair 180o do ângulo obtido na calculadora. 
Exemplo: Escreva na forma polar o seguinte número complexo: z = -2+j
Exemplo: Escreva na forma polar o seguinte número complexo: z = -2-j3
 Portanto, é sempre desejável que se faça um esboço do número complexo no 
plano complexo para saber em que quadrante o mesmo se encontra.
 Verificar a função cart2pol(a,b) no Matlab, que converte um número complexo 
a+jb em sua forma polar. 
Resposta: r = √13 , θ = -123,7o
Resposta: r = √5 , θ = 153,44o
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