lista 4 (gaal) subespaço e Transformacao Linear

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UNIFACS – Universidade Salvador
Disciplina: Álgebra Linear
Curso: Engenharias
4a Lista de Exercícios – Espaços Vetoriais ( subespaços; combinação linear e espaço gerado)
Transformações Lineares
1).Verifique quais dos seguintes subconjuntos W são subespaços do R3 . Justifique.
 a)
 b) 
 
 c)
 d) 
 e) 
 
2) Verifique quais dos seguintes subconjuntos W são subespaços do M2(R). Justifique
a) 
b)
3) Verifique quais dos seguintes vetores são combinações lineares de u = ( 0, (2, 2 ) e v = (1, 3, (1 )
a) ( 2, 2, 2 ); b) ( 0, 4, 5 ); c) ( 2, 0, 4 ); d) ( 2, 0, 1 )
4) Determine a dimensão dos seguintes subconjuntos e escreva-os com o menor número de vetores possível. Em seguida,verifique se eles geram o R2 e se formam uma base do R2.
a) W = [(1,2), (2,4),(3,6)]
b) W = [(1,3), (3,5), (-2,-6)]
c) W = [(2,5), (4,8)]
d) W = [(1,-2), (2,-3), (5,-9)]
e) W= [(1,-5), (-2,10)]
5) Determine a dimensão dos seguintes subconjuntos e escreva-os com o menor número de vetores possível. Em seguida,verifique se eles geram o R3 e se formam uma base do R3.
a) W = [(1,1,-3),(2,0,1)]
b) W = [(1,1,-3),(-2,-2,6)]
c) W = [(1,1,-3),(2,3,-2),(8,11,-12)]
d) W = [(1,1,-2),(2,-3,0),(0,2,1)]
e) W= [(2,-1,4),(1,0,3),(-1,2,1), (4,-2,8)]
f) W= [(3,-1,1),(2,1,2),(2,-4,-2), (1,0,3)]
g) W= [(2,1,0),(3,0,1),(-3,-3,1), (0,-6,4), (2,-5,4)]
6) Determine um conjunto de geradores para os seguintes subespaços:
a) 
b) 
c) 
 
d)
e)
 
 
7) Determine as equações que caracterizam os seguintes subespaços , se 
 possível. Verifique se 
 é um subespaço próprio de 
 .
 a)
 b)
 c)
 d)
 e)
 
PARTE II – Transformações lineares
Verifique quais das transformações abaixo são lineares. Justifique.
a) T(x, y) = (2x , y) b) T(x, y) = (x2 , y) c) T(x,y) = (2x+1, -y) 
d) F(x, y, z) = (x+y, xy, z) e) S(x, y, z) = (x+2y, 0, sen(x))
Determine as expressões das funções abaixo, sabendo que:
T: R2 ( R3 e T(1,0) = (-3,1,0) e T(0,1) = (1,2,4)
T: R2 ( R3 e T(1,0) = (2,0,1) e T(0,1) = (1,2,-3)
T: R2 ( R3 e T(1,1) = (2,0,1) e T(0,1) = (1,0,-1)
T: R3 ( R3 e T(1,0,0) = (2,1,0) e T(0,1,0) = (1,0,2) e T(0,0,1) = (-2,3,4)
e) T: R3 ( R3 e T(1,0,0) = (1,0,1) e T(1,1,0) = (-2,3,4) e T(0,1,1) = (0,1,-3)
f) T: R3 ( R3 e T(0,0,1) = (1,-1,-3) e T(2,1,2) = (3,4,-4) e T(-1,0,3) = (2,-4,-9)
 10) Dado T: R2 ( R2 linear, T(1,0) = (2,3) e T(0,1) = (-3,5), determine:
a) T(1,2) b) T(2,-4) c) T(x,y)
11) Verifique que S: R2 ( R2 , S(x,y) = (x+y, 2x-y) é um isomorfismo.
12) Verifique se T: R3 ( R3 dada por T(x, y, z) = (x+y, 2x-z, x-y) é um isomorfismo. Justifique sua resposta.
13) a) Calcule N(T) e a dimensão de T(X), onde T: R3( R3 , T(X) = AX, onde 
A = 
 e X = 
. T é um isomorfismo?
 b) Usando a expressão T(x,y,z) = (x+y, 2x-z, x-y), determine Im(T).
14) Determine em cada caso a seguir se o núcleo de A é uma reta que passa pela origem, um plano passando pela origem, ou somente a origem.
a) A = 
 b) A = 
 c) A = 
 
15) Seja T: R3 ( R3 linear dada pela matriz associada 
 .
Determine o núcleo N(T), uma base para ele, e sua dimensão. T é um operador inversível?
16)Determine as matrizes associadas das funções lineares abaixo:
T: R2 ( R2 tal que T(x,y) = (x-3y, -3x+4y)
T: R2 ( R3 tal que T(x,y) = (x-3y, -3x+4y, x+2y)
T: R3 ( R3 tal que T(x,y,z) = (x-y+z, x+4y-z, 2y-3z)
T: R4 ( R3 tal que T(x,y,z,w) = (x-3y+w, 2x-y+z, x+2y-3w)
T: R4 ( R4 tal que T(x,y,z,w) = (2x-3y+z-w, 2x-3y+z, 2y+z-3w,z-w)
Respostas:
1) São subespaços c) e e) ; 2) b) é subespaço
3) a) (2, 2, 2 ) = 2u + 2v; b) Não é combinação; c) ( 2, 0 , 4 ) = 3u + 2v; d) Não é combinação
4) a) dim (w) = 1, W = [(1,2)] . Não gera o R2 e não forma base do R2.
 b) dim (w) = 2, W = [(1,3), (3,5)] . Gera o R2 e não forma uma base do R2.
 c) dim (w) = 2, W = [(2,5), (4,8)] . Gera o R2 e forma uma base do R2.
 d) dim (w) = 2, W = [(1,-2), (2,-3)] . Gera o R2 e não forma uma base do R2.
 e) dim (w) = 1, W = [(1,-5)] . Não gera o R2 e não forma base do R2.
5) a) dim (w) = 2, W = [(1,1,-3), (2,0,1)] . Não gera o R3 e não forma base do R3.
 b) dim (w) = 1, W = [(1,1,-3)] . Não gera o R3 e não forma base do R3.
 c) dim (w) = 2, W = [(1,1,-3), (2,3,-2)] . Não gera o R3 e não forma base do R3.
 d) dim (w) = 3, W = [(1,1,-2), (2,-3,0), (0,2,1)] . Gera o R3 e forma uma base do R3.
 e) dim (w) = 2, W = [(2,-1,4), (1,0,3)] . Não gera o R3 e não forma base do R3.
 f) dim(w) = 3, W = [(3,-1,1), (2,1,2), (1,0,3)] . Gera o R3 e não forma uma base do R3.
 g) dim (w) = 2, W = [(2,1,0), (3,0,1)] . Não gera o R3 e não forma base do R3.
6) a) W = [ ( 1, 1, 1) ] ; b) W = [ ( 0, 1, 0), ( 0, 0, 1 )]; c) W = [ ( 2, 1, (2) ]
d) W = [ ( 2, 1, 0 ) , ( (3, 0, 1 ) ]; e) 
 
7) a) W = { (x, y ) ( R2; x + y = 0 }; b ) W = { (x, y, z ) ( R3; x = z } c) W = R3 ; 
d) 
; e) W = M2(R)
8) Somente a função do item (a) é linear. Dê contra-exemplos numéricos nos outros casos.
9) a) T(x, y) = (-3x+y, x+2y, 4y) b) T(x, y) = (2x+y, 2y, x-3y) 
 c) T(x, y) = (x+y, 0, 2x-y) d) T(x, y, z) = (2x+y-2z, x+3z, 2y+4z) 
 e) T(x, y, z) = (x-3y+3z, 3y-2z, x+3y-6z)
 f) T(x, y, z) = (x-y+z, x+4y-z, 2y-3z) 
10) a) (-4,13) b) (16,-14) c) (2x-3y, 3x+5y)
11) Sim, é um isomorfismo, pois N(T) = {(0,0,0)}
12) a) N(T) = [(-1,-1,1)] é uma reta do espaço, dim N(T) = 1. T não é isomorfismo.
 b) Im(T) = [(1,2,1), (1,0,-1), (0,-1,0)] 
13) a) Reta de equação 
 b) plano de equação : x-3y+z = 0 c) A origem
14) N(T) = [(1,2,1/3)] , Base: β = {(1,2,1/3)} Dimensão: dim N(T) = 1 
T não é um operador inversível.
15) a) 
 b) 
 c) 
 d) 
 e) 
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