Noções de Derivada

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Noções de Função
Definição: se uma variável y depende de outra variável x, de tal
forma que cada valor de x determina exatamente um valor de y,
então dizemos que y éééé umaumaumauma funçãofunçãofunçãofunção dededede x.
Exemplo : 2xy =Exemplo : 2xy =
Entrada x Saída yfunção
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x y 
0 0
1 12xy =
Atribuindo Valores
4 16
-1 1
-2 4
xy =
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xxyouxy cos)(cos ==
2
2
1
ou
attvxx oo ++=
Exemplos de Funções
24
1
0
)(
r
q
rE ε=
2
2
1)(
ou
attvxtx oo ++=
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Seja a posição x de um móvel em MRUV em função do tempo
t dada pela equação
22105)( tttx −+=
Então, a posição do móvel no instante t = 1,0 s é 
2
−+=
Função Horária: Posição de um Móvel
mx
x
x
13)0,1(
0,20,105)0,1(
)0,1(2)0,1(105)0,1( 2
=
−+=
−+=
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Função Linear:
y
(x1,y1)
y1
Calculando a Inclinação da Reta
- O coeficiente angular a da reta é determinado pela tanθ .
- O coeficiente angular a representa a inclinação da reta.
- O coeficiente linear b representa o ponto que reta toca o eixo y.
b
xx0
y0
(x0,y0)
x1
x1-x0
y1-y0
θ
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01
01tan
xx
yy
a
−
−
==θ
y
baxy +=
Função do Primeiro Grau
b
x
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a é coeficiente angular.
b é o coeficiente linear.
baxy += baxy +=
baxy +=
Noções de Função e Derivada
- Uma vez encontrado o coeficiente angular a , a equação da reta
pode ser determinado utilizando qualquer ponto conhecido.
- A equação da reta (representada pela função linear) é dado por:
Utilizando um ponto conhecido da reta:
baxy += 00 baxy += 11
ou⇓
00 axyb −= 11 axyb −=
⇓
Exercício 1:
Dado o gráfico abaixo,(a) encontre a função que descreve a reta. função. Em que ponto a 
função toca o eixo y? Calcule o valor de f(5).
1
3
y
4
x
2
OOOO ““““PROBLEMAPROBLEMAPROBLEMAPROBLEMA DOSDOSDOSDOS MATEMÁTICOS”MATEMÁTICOS”MATEMÁTICOS”MATEMÁTICOS”
Como traçar a reta tangente a uma curva dada num
determinado ponto das curva?
tangente
Circunferência raio
P
Definição: Reta Tangente a uma Curva Definição: Reta Tangente a uma Curva Definição: Reta Tangente a uma Curva Definição: Reta Tangente a uma Curva 
Circunferência raio
1 – A tangente em P é uma reta que passa por P,
perpendicularmente ao raio por esse mesmo ponto.
2 – A tangente em P é a reta que só toca a circunferência neste
ponto
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P
Qual o raio?
P
Tangente?
Outras Curvas: Problemas!
Qual o raio?
P
Tangente. Mas toca duas vezes a reta?
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y
y = f(x)
Noções de Derivada
secante
Definindo a tangente em P:
Q
f(x+∆x)
x∆x
f(x+ ∆x)-f(x)
Logo, a secante asec é dada por : x
xfxxf
a
∆
−∆+
=
)()(
sec
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P
x
f(x)
x+∆x
y = f(x)
Definindo a tangente em P:
Q
f(x+∆x) Q1
secante
y
Definindo a tangente em P
y = f(x)
x
P
x
f(x)
x+∆x∆x
f(x+ ∆x)-f(x)
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y y = f(x)
Definindo a tangente em P:
Q
Q1
secante
Noções de Derivada
x
P
x
f(x)
x+∆x
f(x+∆x)
∆x
f(x+ ∆x) - f(x)
Q2
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A tangente atan é definida por
x
xfxxf
a
x ∆
−∆+
=
→∆
)()(lim
0tan
Q
f(x+∆x)
secante
Noções de Derivada
P
x
f(x)
tangente em P
x+∆x
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“PROBLEMA“PROBLEMA“PROBLEMA“PROBLEMA DOSDOSDOSDOS FÍSICOS”FÍSICOS”FÍSICOS”FÍSICOS”::::
ComoComoComoComo calcularcalcularcalcularcalcular aaaa velocidadevelocidadevelocidadevelocidade instantânea?instantânea?instantânea?instantânea?
Seja x(t) a posição de uma partícula em função do tempo t.
x(t)
x(t)
Noções de Derivada
t
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x(t) x(t)
Velocidade Média
P
Q
x(t0+∆t)
t
txttx
t
x
vm ∆
−∆+
=
∆
∆
=
)()(∆∆∆∆x
t
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P
t0
x(t0)
x(t0) = posição da partícula no instante t0
t0+∆t
x(t0+∆t) = posição da partícula no instante t0
∆∆∆∆t
Qual a velocidade (instantânea) v(t) no instante t?Qual a velocidade (instantânea) v(t) no instante t?Qual a velocidade (instantânea) v(t) no instante t?Qual a velocidade (instantânea) v(t) no instante t?
x(t)
Velocidade Instantânea
t
txttx
tv
t ∆
−∆+
=
→∆
)()(lim)(
0
t
P
t
x(t)
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AAAA derivadaderivadaderivadaderivada dededede umaumaumauma funçãofunçãofunçãofunção ffff éééé aaaa funçãofunçãofunçãofunção ffff´´´´ taltaltaltal quequequeque oooo seuseuseuseu valorvalorvalorvalor emememem qualquerqualquerqualquerqualquer
númeronúmeronúmeronúmero xxxx dodododo domíniodomíniodomíniodomínio dededede ffff sejasejasejaseja dadodadodadodado porporporpor
txttxdff −∆+== )()(lim´
Definição de Derivada
t
txttx
dx
dff
t ∆
−∆+
==
→∆
)()(lim
0
´
sesesese esteesteesteeste limitelimitelimitelimite existirexistirexistirexistir
Uma função derivável em um ponto pode ser não-derivável em outro!!!!
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1111---- AAAA derivadaderivadaderivadaderivada ffff´´´´ dededede umaumaumauma funçãofunçãofunçãofunção éééé umaumaumauma funçãofunçãofunçãofunção cujocujocujocujo valorvalorvalorvalor emememem xxxx éééé aaaa
inclinaçãoinclinaçãoinclinaçãoinclinação dadadada retaretaretareta tangentetangentetangentetangente aoaoaoao gráficográficográficográfico dededede yyyy ==== f(x)f(x)f(x)f(x) emememem xxxx....
2222 –––– AAAA derivadaderivadaderivadaderivada ffff´´´´ éééé umaumaumauma funçãofunçãofunçãofunção cujocujocujocujo valorvalorvalorvalor emememem xxxx éééé aaaa taxataxataxataxa instantâneainstantâneainstantâneainstantânea dadadada variaçãovariaçãovariaçãovariação
dededede yyyy comcomcomcom relaçãorelaçãorelaçãorelação aaaa xxxx nononono pontopontopontoponto xxxx....
Duas Interpretações
ExemplosExemplosExemplosExemplos::::
dt
dx
tv =)(
dt
dQ
tI =)(
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x(t)
)]([)( tx
dt
d
tv =
v(t0)> 0
v(t1)
v(t1)= 0
Noções de Função e Derivada
t
t0
v(t0)
t1 t2
v(t2)
v(t2)< 0
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ExemploExemploExemploExemplo usandousandousandousando aaaa definiçãodefiniçãodefiniçãodefinição:::: calculecalculecalculecalcule aaaa derivadaderivadaderivadaderivada dadadada funçãofunçãofunçãofunção
f(x) = 3+x2
x
xfxxff
x ∆
−∆+
=
→∆
)()(lim´
0
x
xxxx
x
xx
xxf
∆
∆+∆++
=
∆
∆++
=∆+ 23)(3)(
222
Noções de Função e Derivada
xx
xxf
∆
=
∆
=∆+ )(
xxx
x
xxxf
xx
2]2[lim]2[lim´
0
2
0
=+∆=
∆
∆+∆
=
→∆→∆
xxdx
d
xf
dx
d
dx
dff 2]3[)]([´ 2 =+===
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Regra da Constante: para qualquer constante c
0)( =c
dx
d
x
y
c
y = c
Inclinação = 0
Alguma Regras de Derivação
x
RegraRegraRegraRegra dadadada PotênciaPotênciaPotênciaPotência:::: para qualquer número real n
1)( −= nn nxx
dx
d
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RegraRegraRegraRegra dadadada MultiplicaçãoMultiplicaçãoMultiplicaçãoMultiplicação porporporpor umaumaumauma ConstanteConstanteConstanteConstante::::se c é uma constante
e f(x) é uma função derivável no ponto x, cf(x) também é uma
função derivável e
)()]([ xcfxcf
dx
d
=
Algumas Propriedades da Derivada
dx
Exemplo: seja
2)( cxxf =
cxcx
dx
d 2)( 2 =
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RegraRegraRegraRegra dadadada SomaSomaSomaSoma:::: se f(x) e g(x) são duas funções deriváveis no
ponto x, a soma s(x) = f(x) + g(x) também é derivável.
)]([)]([)]()([ xg
dx
d
xf
dx
d
xgxf
dx
d
+=+
Exemplo: seja a função 25410)( tttx −+=
Algumas Propriedades da Derivada
Exemplo: seja a função 25410)( tttx −+=
f(x) = 10 g(x) = 4t h(x) = -5t 2
tttt
dx
d 1041040)5410( 2 −=−+=−+
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