Dinânica de Sistema de Vibração cap 2

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Dinâmica e Sistemas de Vibrações 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Unidade: 
 
 
Métodos de Energia 
 
 
 
 
Responsável pelo Conteúdo: 
Prof. Dr. Sergio Turano de Souza 
 
Revisão Textual: 
Profa. Dr. Patricia Silvestre Leite Di Iorio 
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zzzzzzzzzzzzzzz 
 
 
 
 
ORIENTAÇÃO DE EST UDOS 
 
 
Olá caros alunos, 
 
Para o estudo do movimento harmônico simples utilizando a equação da 
Conservação da Energia, vamos utilizar os conceitos de Energia Cinética e Energia 
Potencial e, para isso, vamos rever o momento de inércia de sólidos homogêneos e 
ainda o teorema dos eixos paralelos. 
Além de exemplos, exercícios com resposta e os testes, esta unidade conta 
com a primeira Atividade de aprofundamento, que consta em um exercício 
individual para vocês entregarem. 
 
 
 
 
 
 
A T E NÇ Ã O: Para um bom aproveitamento do curso, leia o 
material teórico atentamente antes de realizar as atividades. É 
importante também respeitar os prazos estabelecidos no 
cronograma. 
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2 
 
 Unidade: Métodos de Energia 
(foto de uma 
suspensão de um 
trem, onde apareça a 
mola. Estas duas 
estavam no ano 
passado e estão boas) 
 
 
 
CONTEXTUALIZAÇÃO 
 
 
O estudo do movimento harmônico simples de um corpo utilizando forças 
conservativas e a equação da conservação da energia pode ser útil no estudo, por 
exemplo, da suspensão de um vagão de trem, que consiste em um conjunto de 
molas montadas entre a estrutura do vagão e as rodas. O vagão apresenta uma 
frequência natural de vibração que pode ser determinada por este método. 
 
 
 
 
 
 
 
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3 
 
 Unidade: Métodos de Energia 
 
Métodos de Energia 
 
O movimento harmônico simples de um corpo, como foi visto na unidade I, 
se deve a forças restauradoras, gravitacionais e elásticas atuando no corpo. Essas 
forças são conservativas, e, portanto podemos utilizar a equação da conservação 
da energia para estudar o movimento e obter sua frequência ou período. 
Consideraremos o mesmo sistema massa-mola da seção anterior. Quando o 
bloco está deslocado à distância 
x
 de sua posição de equilíbrio, podemos escrever 
sua Energia Cinética 
Ec
 sendo: 
22
2
1
2
1
xmmvEc 
 
E a Energia Potencial 
Ep
 
2
2
1
kxEp 
 
 
Pela lei da conservação de energia, temos: 
Ec + Ep = constante 
 22
2
1
2
1
kxxm
 constante 
 
Alguns livros utilizam outras denominações para a Energia Cinética (K) e 
Energia Potencial (U). Derivando esta equação em relação ao tempo, obtemos a 
constante igual à zero, e, assim: 
  0
0


kxxmx
xkxxxm

 
 
Isolando o segundo termo 
0
0


x
m
k
x
kxxm

 
 
Que pode ser escrito como 
0
2
 xx n
, onde 
mkn 
 
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4 
 
 Unidade: Métodos de Energia 
O princípio da conservação de energia nos traz um caminho conveniente 
para a determinação do período de vibração de um corpo rígido ou de um sistema 
de corpos rígidos com um grau de liberdade cujo movimento seja o harmônico 
simples, ou seja, aproximado ao exemplo que estamos estudando. 
Consideramos duas posições particulares do sistema: 
1) Quando o deslocamento do sistema é máximo: A energia cinética é nula, 
01 Ec
. A energia potencial 
1Ep
 é expressa em termos da amplitude 
mx
 ou 
m
. 
2) Quando o sistema passa por sua posição de equilíbrio: Temos a energia 
potencial nula, 
02 Ep
, e a energia cinética 
2Ec
 é expressa em função da 
velocidade máxima 
mx
 ou 
m

. 
 
Em seguida consideramos que a energia total do sistema se conserva, ou 
seja, Ec1 + Ep1 = Ec2 + Ep2. Veja o Exemplo.1 onde aplicamos este método. 
Exemplo.1 Determine a equação diferencial de movimento do bloco de 3 kg que 
é ligeiramente deslocado e solto. Considere a superfície lisa e as molas de 
k
 = 500 
N/m estão inicialmente não deformadas. 
 
Solução: Pela conservação da energia temos: 
 EpEc
 constante. 
A energia cinética é: 
  222 3
2
1
2
1
2
1
xkgxmmvEc  
 
 
A energia potencial, como são duas molas com a mesma constante 
k
, é: 
  2222 500
2
1
2
1
xmNkxkxkxEp 
 
 
E a soma das energias é: 
22 5005,1 xxEpEc  
 
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5 
 
 Unidade: Métodos de Energia 
 
Calculando a derivada temporal 
 
 
010003
010003
010003
0100025,1




xx
xxx
xxxx
xxxx




 
0333  xx
 
 
obs: Se desejássemos a frequência angular natural, esta seria 
sradn 333
. 
 
 Em geral, a energia cinética deve levar em conta os movimentos de 
translação e rotação do corpo, assim, escrevemos 
22
2
1
2
1
nGG ImvEc 
, onde 
G
 
indica o centro de massa relativamente a um ponto e 
GI
 é o momento de inércia 
do corpo em relação a um eixo que é perpendicular ao plano do movimento e 
passa pelo centro de massa. A energia potencial é a soma das energias potencias 
gravitacional e elástica do corpo, 
eg EpEpEp 
. 
Para resolver problemas deste tipo, necessitamos relembrar um ponto 
importante, que é o Momento de Inércia do Sólido. Este momento pode ser 
calculado ou dado por uma Tabela, que será útil em outros exercícios. Para a 
tabela completa de Centro de Massa/Gravidade e Momento de Inércia de Sólidos 
Homogêneos, veja o quadro: 
 
Clique aqui para acessar o Quadro! 
 
 
 
Outro ponto muito importante é o fato de o objeto rodar, girar ou transladar 
em um ponto que não seja o seu Centro de Massa, assim o Momento de Inércia 
no ponto deslocado do centro deve ser determinado pelo Teorema dos Eixos 
Paralelos. Para saber mais sobre o teorema dos eixos paralelos, veja o quadro: 
 
 
 
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6 
 
 Unidade: Métodos de Energia 
 
TEOREMA DOS EIXOS PARALELOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
       
mm mmm
dmddmxddmyxdmyxddmrI 2222
22 `2````
 
 
 
 
Se soubermos o momento de inércia de 
um corpo em relação ao eixo que passa 
pelo seu centro de massa, então podemos 
determinar o momento de inércia em 
relação a qualquer outro eixo paralelo 
utilizando o teorema dos eixos paralelos. 
Considere um sistema de coordenadas 
`x
, 
`y
, 
`z
 que passa pelo centro de massa 
G de um corpo qualquer como da Figura.Agora imagine um eixo 
z
, paralelo a 
`z
 à 
uma distância 
d
 do primeiro. Escolhendo 
um elemento diferencial de massa 
dm
, 
localizado no ponto 
`x
, 
`y
, temos a 
distância 
r
 sendo 
  222 `` yxdr 
 e o 
momento de inércia em relação ao eixo 
z
 é 
 
Como 
222 ``` yxr 
, a primeira integral 
representa 
GI
. A segunda integral é nula, 
pois o eixo 
`z
 passa pelo centro de 
massa, ou seja 
0`x
. A terceira integral 
representa a massa total do corpo. 
Assim o momento de inércia de um corpo 
homogêneo, com o eixo de rotação 
deslocado em relação ao eixo 
z
 pode ser 
escrito como: 
 
 
onde 
GI
 = momento de inércia em relação ao 
eixo 
`z
 que passa pelo centro de massa G; 
m
 = massa do corpo; 
d
 = distância entre os eixos paralelos. 
 
 
2mdII G 
 
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7 
 
 Unidade: Métodos de Energia 
Exemplo.2 Uma barra delgada de massa 
m
 = 2,4 kg e comprimento 
l
 = 0,4 m, 
mostrada na figura, tem movimento de rotação em torno do ponto O. Determine o 
período natural de oscilação para pequenas amplitudes. 
 
Resolução: O primeiro passo é determinar o Centro de Massa da barra, neste 
caso é simples e está no meio da barra, em 
2lyCM 
. 
Agora precisamos do Momento de Inércia da barra. Para isso utilizaremos a Tabela 
de Centro de Massa/Gravidade e Momento de Inércia de Sólidos Homogêneos. 
 
 
Neste exemplo podemos utilizar diretamente o Momento de Inércia no eixo 
''xx
, 
  2`` 31 mlI xx 
. Mas também poderíamos utilizar o Momento de Inércia no 
centro de massa do objeto mais o Teorema dos eixos paralelos, que é o caso mais 
comum. Assim, o Momento de Inércia da barra delgada, no eixo 
xxI
 é 
  2121 mlI xx 
, mas como o eixo está deslocado da distância 
2ld 
, pelo 
Teorema dos Eixos Paralelos, temos: 
2mdII G 
, assim: 
22
2
22
0
3
1
4
1
12
1
212
1
mlml
l
mmlmdII G 












 
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8 
 
 Unidade: Métodos de Energia 
 
Substituindo os valores do problema: 
   2220 .128,04,04,2
3
1
3
1
mkgmkgmlI 
 
A Energia Cinética, que é escrita sendo 
22
2
1
2
1
nGG ImvEc 
, pode ser 
reescrita no ponto de deslocamento máximo, com a velocidade zero e a frequência 
angular natural é escrita como a derivada temporal do ângulo, ou seja: 
222
0
22
3
1
2
1
2
1
0
2
1
2
1   





 mlIImvEc nGG
 
Com os valores do problema: 
2064,0 Ec
 
Para a Energia Potencial, analisamos o desenho da barra deslocada de um 
pequeno ângulo θ. 
 
A Energia Potencial Gravitacional, então é escrita como: 
 cos1....  CMygmhgmEp
 
 
Substituindo os valores do problema: 
       cos12,7cos1.3,0.10.4,2 2  msmkgEp 
 
Somamos as duas equações de energia e igualamos a zero: 
  0cos12,7064,0
0
2 


EpEc 
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9 
 
 Unidade: Métodos de Energia 
Calculamos a derivada temporal: 
0sin2,7128,0
0.sin2,7128,0





 
 
Para pequenos ângulos, aproximamos 
 sin
. 
025,56
02,7128,0





 
 
Obtemos a frequência angular natural: 
sradn /5,725,56 
 
 
E finalmente o período é calculado como: 
sT
n
84,0
5,7
22



 
 
Exemplo.3 O anel delgado de massa 
m
 e raio 
r
, mostrado na figura, apoia-se 
em um pino no ponto 
O
. Determine o período natural de oscilação para pequenas 
amplitudes. 
O
r
 
Solução: Na resolução deste exercício precisamos do Momento de Inércia do 
Sólido e do Teorema dos Eixos Paralelos. Para escrever a equação da 
energia, primeiro desenhamos o anel deslocado para indicarmos as forças 
interagindo. 
O
r
P=m.g
r
 
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10 
 
 Unidade: Métodos de Energia 
A Figura mostra o anel deslocado de um valor 

 em relação à posição de 
equilíbrio. Agora utilizaremos a Tabela de Centro de Massa/Gravidade e Momento 
de Inércia de Sólidos Homogêneos para a obtenção momento de inércia de um 
anel fino. 
 
Anel fino de raio r 
2
2
1
mrII yyxx 
 
2mrI zz 
 
 
Como anel não translada, apenas roda, a equação 
22
2
1
2
1
nGG ImvEc 
, é 
simplificada para 
2
2
1
nGIEc 
, onde a frequência angular é dada por 

 e o 
momento de inércia no ponto deslocado do centro deve que ser determinado pelo 
teorema dos eixos paralelos. 
  222222
2
1
2
1   mrmrmrIEc n 
 
 
Com o movimento do anel, o seu centro de gravidade em 
0
 se move 
para cima 
 cos1r
, e a energia potencial é escrita como: 
 cos1 mgrmghEp 
Para pequenos ângulos, o 
cos
 pode ser substituído pelos primeiros termos 
da expansão em série 
...21cos 2  
, assim: 
22
11
22 
mgrmgrEp 












 
E a energia total resulta em 
2
2
22  mgrmrEpEc  
 
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11 
 
 Unidade: Métodos de Energia 
Agora devemos calcular a derivada temporal desta equação e igualá-la à zero. 
  02
022




grmr
mgrmr

 
Como 

 nem sempre é igual à zero, o termo entre parênteses se anula: 
 
0
2
02




r
g
gr


 
Logo, obtemos 
n
, a raiz do termo multiplicador de 

. 
r
g
n
2

 
E o período 
g
r
T
n
2
2
2




 
 
Exercícios Propostos 
EXERCÍCIO.1 Determine o período natural de vibração vertical de uma máquina 
com massa m e suportada uniformemente por quatro molas, cada um com rigidez 
k. 
 
Resposta: 
k
m
T
n




2
 
Dica: Na resolução, utilize 
  24
2
1
yskmgyEp 
, onde 
s
 é o deslocamento 
na vertical, dado pela equação: 
kxF 
 no formato 
  skmg  4
 e y é o 
deslocamento causado pelo peso da máquina. 
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12 
 
 Unidade: Métodos de Energia 
 
EXERCÍCIO.2 Determine o período natural de vibração ωn do pêndulo da figura. 
Considere as duas barras delgadas e cada uma com massa 
m
 = 2,4 kg e 
comprimento 
l
 = 0,4 m. 
 
Resposta: T = 1,23 s 
 
Dicas: O Centro de Massa do sistema fica na altura YCM = 0,3 m, medido a partir 
do ponto O. O momento da barra vertical é dado por: 
2
_
3
1
mlI verticalbarra
 e o 
momento da barra horizontal é 






 22_
12
1
mlmlI horizontalbarra
, onde o segundo 
termo dentro do parêntesis representa o eixo deslocado. 
 
EXERCÍCIO.3 Considere um corpo de forma arbitrária de massa m, centro de 
massa em G e raio de giração em kG, em relação a G. O corpo é deslocado 
ligeiramente e solto, determine o período natural de vibração. 
0
G
 
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13 
 
 Unidade: Métodos de Energia 
OBS: Raio de Giração – Alguns manuais fornecem o momento de inércia de um 
corpo em relação a um eixo chamado de raio de giração, com unidade de 
comprimento e indicado por k. O momento de inércia é determinado por 
2mkI 
 
ou 
m
I
k 
. 
Resposta: 
gd
dk
T G
n
22
2
2 
 

 
Dicas para a resolução: 
2
2
1
IEc 
, onde 
22 mdmkI G 
. E 
mghEp 
, onde 
 cos1 dh
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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14 
 
 Unidade: Métodos de Energia 
 
 
MATERIAL COMPLEMENTAR 
 
Como material complementar desta unidade sugiro um exemplo extra e o 
estudo de um capítulo do livro texto: 
Exemplo. Complementar Determine o período de pequenas oscilações de um 
cilindro de raio 
r
 que rola (sem escorregar) no interior de uma superfície curva da 
raio 
R
. 
R
r
 
Solução: Como o cilindro rola sem escorregar, podemos aplicar o princípio da 
conservação da energia. Chamaremos de θ o ângulo entre a reta O e a vertical. Na 
posição 1, temos θ = θm (ângulo máximo) e na posição 2, temos θ = 0. A distância 
entre o centro de curvatura O e o centro do cilindro é R – r. Analisaremos uma 
posição de cada vez. 
Posição 1
Posição 2
 
 
 
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15 
 
 Unidade: Métodos de Energia 
Posição 1 
Energia Cinética - Como a velocidade do cilindro no deslocamento 
máximo é nula, Ec1 = 0. 
Energia Potencial - 
mghEp 
, onde 
    cosrRrRh  , ou 
seja 
  mrRmgEp cos1
 
Para pequenas oscilações, substituímos 
    22sin2cos1 22   
 
2
2
mrRmgEp


 
Posição 2 
A velocidade angular quando o cilindro passa pela posição 2 é 
m

, podemos 
escrever 
  mm rRv 
 
m
m
r
rR
r
v
 
 
v
w
Posição 2
 
Energia Cinética - Pela tabela de Momento de inércia do cilindro 
2
2
1
mrI zz 
, 
    222
2
22222
2
4
3
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
mmmnm rRm
r
rR
mrrRmImvEc   




 







 
Energia Potencial - 
0Ep
 
Conservação da energia 
Ec1 + Ep1 = Ec2 + Ep2 
 
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16 
 
 Unidade: Métodos de Energia 
    0
4
3
2
0 2
2
2
 m
m rRmrRmg  
 
Como 
 nm 
, temos 
     22
2
4
3
2
mn
m rRmrRmg  
 e 
rR
g
n


3
22
 
n
T

2

 
r
rR
T


2
3
2
 
 
Texto. Extra 
Sugiro uma atenção ao capítulo 22, item 22.2, do livro: 
Hibbeler, R.C. Dinâmica : mecânica para 
engenharia, vol. 2 / R.C. Hibbeler; tradutor técnico 
Mário Alberto Tenan. – São Paulo : Prentice Hall, 2005. 
 
 
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17 
 
 Unidade: Métodos de Energia 
 
 ANOTAÇÕES 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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