Dinânica de Sistema de Vibração

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Dinâmica de Sistemas e Vibrações 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Unidade: 
 
 
Vibração Forçada sem Amortecimento 
 
 
 
 
Responsável pelo Conteúdo: 
Prof. Dr. Sergio Turano de Souza 
 
Revisão Textual: 
Profa. Dr. Patricia Silvestre Leite Di Iorio 
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zzzzzzzzzzzzzzz 
 
 
 
 
 
 
ORIENTAÇÃO DE EST UDOS 
 
 
Olá caros alunos, 
 
Caros alunos, para o estudo do movimento harmônico simples utilizando a 
equação da conservação da energia, vamos utilizar os conceitos de energia cinética 
e energia potencial e, para isso, vamos rever o momento de inércia de sólidos 
homogêneos e, ainda, o teorema do eixos paralelos. 
Além de exemplos, exercícios com resposta e os testes, esta unidade conta 
com a primeira Atividade de aprofundamento, que se compõe de um exercício 
individual para vocês entregarem. 
 
 
 
 
 
 
A T E NÇ Ã O: Para um bom aproveitamento do curso, leia o 
material teórico atentamente antes de realizar as atividades. É 
importante também respeitar os prazos estabelecidos no 
cronograma. 
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 Unidade: Vibração Forçada sem Amortecimento 
 
 
CONTEXTUALIZAÇÃO 
 
 
Olá alunos, antes de iniciar esta Unidade selecionei este video, que é 
um exemplo claro e simples de ressonância em um pêndulo simples: 
http://www.youtube.com/watch?v=00dNfpQksco 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 Unidade: Vibração Forçada sem Amortecimento 
 
 
1 - CONTEÚDO 
 
 
 A vibração forçada não amortecida é considerada um dos tipos mais 
importantes de movimento vibratório na engenharia. Essas vibrações ocorrem 
quando o sistema é submetido a uma força periódica ou quando está ligado a um 
suporte elástico que tem seu movimento alterado. 
 
 
1.1 - Força periódica 
 
 
 Para estudar as características vibratórias de um sistema submetido a uma 
força, vamos voltar ao caso de um bloco e uma mola, mas agora com uma força 
periódica atuando no bloco, como mostra a figura abaixo. 
F = F sen t
0
 
Figura 1 - Força periódica atuando no sistema bloco mola. 
 
A força periódica 
tFF sin0
 tem amplitude 
0F
 e frequência angular 

 
(obs: não confunda com a frequência angular natural 
n
). Considere que o bloco 
foi deslocado de uma distância 
x
. A equação de movimento é dada pela 
somatória das forças na direção 
x
 (força periódica menos a força restauradora da 
mola) sendo igual à massa vezes a aceleração, assim 
 
xmkxtF
maF xx


sin0
 
 
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4 
 
 Unidade: Vibração Forçada sem Amortecimento 
 
Que pode ser escrita como 
 
t
m
F
x
m
k
x sin0
 (1) 
 
Esta equação é uma equação diferencial de segunda ordem não 
homogênea. A solução deste tipo de equação consiste em uma solução 
particular, que vamos chamar de 
px
, mais uma solução complementar que 
vamos chamar de 
cx
. 
 A solução complementar é a solução geral da equação homogênea, isto é, é 
a equação obtida ao se fazer o segundo membro da equação igual a zero, ou seja, 
0 x
m
k
x
 
 
E obtemos a solução igual à vista na Unidade I, assim 
tBtAx nnc  sinsin 
 
 
onde 
n
 é a frequência angular natural, 
mkn 
 (obs: cuidado para não 
confundir com a frequência angular 

 da força aplicada ). 
 
 A solução particular vem do movimento periódico da equação homogênea 
e pode ser determinada propondo-se uma solução da forma 
tCx p sin
 (2) 
onde 
C
 é uma constante. 
Para obtermos a solução específica calculamos a derivada temporal de 
segunda ordem e substituímos o resultado na equação homogênea. 
tCx
tCx
tCx
p
p
p



sin
cos
sin
2



 
Substituindo na equação 1 
  t
m
F
tC
m
k
tC  sinsinsin 02 
 
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 Unidade: Vibração Forçada sem Amortecimento 
 
Como o termo 
tsin
 aparece em todos os termos da equação, podemos 
isolar a constante 
C
, obtendo 
  2
0
02
02













mk
mF
C
m
F
m
k
C
m
F
C
m
k
C
 
Substituindo 
mkn 
 
22
0
 

n
mF
C
 
ou ainda 
      2
0
22
0
22
0
11 nnnn
kF
m
F
m
F
C  
 
 
que substituindo na equação (2), obtemos a solução específica: 
 
 
t
kF
x
n
p 
sin
1
2
0


 (3) 
 
Como solução geral temos, portanto 
 
t
kF
tBtAxxx
n
nnpc  sin1cossin 2
0


 (4) 
 
 Vamos analisar o que esta solução descreve: são dois tipos de movimento 
vibratório do bloco. A solução complementar 
cx
 define a vibração livre, que 
depende da frequência angular natural 
mkn 
 e das constantes A e B. O 
gráfico é mostrado na Figura 02. 
 
 
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 Unidade: Vibração Forçada sem Amortecimento 
 
 
Figura 2 - Solução complementar. 
 
 Os valores de A e B podem ser determinados calculando-se a derivada 
temporal da equação (4), ou seja, a equação para a velocidade, para um certo 
instante de tempo (normalmente escolhe-se o instante inicial). 
 A solução particular 
px
 descreve a vibração forçada do bloco causada pela 
força aplicada 
tFF sin0
 e é mostrada da Figura 3. 
 
Figura 3 - Solução particular. 
 
A vibração resultante, a soma das duas soluções é mostrada na Figura 4. 
 
 
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 Unidade: Vibração Forçada sem Amortecimento 
 
 
Figura 4 - Solução resultante. 
 
 Como veremos nas próximas unidades desta disciplina, todos os sistemas 
vibrantes estão sujeitos a atrito, assim a vibração livre, 
cx
, se atenua com o passar 
do tempo e tende a desaparecer. Por esta razão, a vibração livre é denominada 
transitória. Por sua vez, a vibração forçada se mantém indefinidamente e é 
chamada de vibração em regime estacionário ou permanente. 
 
 
1.2 - FATOR DE AMPLIFICAÇÃO E RESSONÂNCIA 
 
 Observando novamente a equação 
 2
0
1 n
kF
C


, temos que a amplitude 
C
 da vibração forçada depende da razão de frequências 
n
. Vamos definir 
como fator de amplificação (FA) a razão entre aamplitude de vibração no 
regime permanente, 
 maxpx
, e a deflexão estática que seria produzida pela 
amplitude 
0F
 da força periódica, 
kF0
, ou seja, 
     2
0
max2
0
1
sin
1 n
p
n
p
kF
xt
kF
x  
 
 20
(max)
1
1
n
p
kF
x
FA


 
 
Esta equação é representada graficamente na Figura 5. 
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 Unidade: Vibração Forçada sem Amortecimento 
 
 
Figura 5 - Fator de Amplificação (FA) versus a relação entre a frequência angular e a frequência 
angular natural. 
 
 Para entender melhor este gráfico, vamos imaginar uma motor girando 
apoiado em cima de uma mesa que tem molas em seus pés. As molas são 
geradoras da frequência angular natural 
n
 e o motor pela frequência angular ω. 
Primeiro imaginamos o motor desligado, ou seja, 

 = 0, isto implica em FA = 1. 
Se a frequência do motor é próxima à frequência das molas, ou seja, 
1n
 a amplitude da vibração do bloco se torna extremamente grande. Isso 
ocorre porque a força aplicada pelo motor acompanha o movimento da mola. 
Nesse caso ocorre a ressonância. Na prática, vibrações podem causar tensões 
enormes e a rápida quebra de peças. 
 O motor gira em altas frequências (
n 
) o valor de FA se torna negativo, 
à medida que o motor força para um lado a mola para outro. Para frequências 
extremamente altas (
n 
), o bloco permanece praticamente parado e 
portanto, FA é aproximadamente zero. 
 
 
 
 
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 Unidade: Vibração Forçada sem Amortecimento 
 
 
1.3 - DESLOCAMENTO PERIÓDICO DO SUPORTE 
 
 
 As vibrações forçadas também podem aparecer se o suporte (o chão, por 
exemplo) estiver em vibração periódica. O deslocamento do suporte pode ser 
escrito como 
t sin0
, onde a força é dada por 
00 kF 
 e as equações para a 
solução ficam idênticas às da vibração forçada sem amortecimento. 
 
 
II.2 EXEMPLOS 
 
 
Exemplo.1 O instrumento da figura está preso rigidamente à plataforma, que é 
suportada por quatro molas, cada uma com rigidez 
k
 = 800 N/m. A massa total 
do instrumento e da plataforma é de 20 kg. A plataforma está inicialmente em 
repouso. Em um dado instante, o piso passa a sofrer um deslocamento periódico 
de 
 t8sin10
 milímetros, onde 
t
 é dado em segundos. O instrumento é forçado 
a se mover apenas na vertical. Determine o deslocamento vertical 
y
 da plataforma 
como uma função do tempo. Considere 
y
 medido a partir da posição de 
equilíbrio. 
 
Figura 6 - Exemplo 1 – Unidade III. 
 
 
 
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 Unidade: Vibração Forçada sem Amortecimento 
 
Solução: A vibração é provocada pelo deslocamento dos suportes, então 
00 kF 
 
e 
   
ttBtAt
kF
tBtAy
n
nn
n
nn  sin1cossinsin1cossin 2020 
 
Temos que 
 tt 8sin10sin0  
 mm então, 
mmm 010,0100 
 e 
srad8
. 
E a frequência angular natural (lembre-se que são 4 molas) é 
 
srad
kg
mN
m
k
n 6,12
20
8004

 
Para o deslocamento máximo temos 
     
m
srad
srad
mkF
y
nn
p 0167,0
6,12
8
1
010,0
11
22
0
2
0
max 











 


 
 
obs: Para deslocamentos máximso podemos considerar o módulo da fórmila 
acima, assim: 
   2
0
max
1 n
p
kF
x


. 
 
Substituindo na equação geral 
 
     ttBtAttBtAy
n
nn 8sin7,166,12cos6,12sinsin
1
cossin
2
0 

 
 
Calculamos agora a derivada temporal 
         ttBtAy 8cos3,1336,12sin6,126,12cos6,12 
 
Para obter os valores de A e B temos que a plataforma está inicialmente parada e y 
é medido inicialmente na sua posiçãio inicial, ou seja, nas condições iniciais 
t
 = 0, 
y
 = 0 e 
y
 = 0. Portanto, substituindo na equação de y, temos 
 
 
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 Unidade: Vibração Forçada sem Amortecimento 
 
     
     
0
0100
0sin7,160cos0sin0
08sin7,1606,12cos06,12sin0
8sin7,166,12cos6,12sin





B
B
BA
BA
ttBtAy
 
 
Substituindo agora na equação de 
y
 
         
         
   
 
5,10
3,1336,120
13,13306,1216,120
08cos3,13306,12sin6,1206,12cos6,120
8cos3,1336,12sin6,126,12cos6,12





A
A
BA
BA
ttBtAy
 
 
Com os valores de A e B podemos escrever o movimento vibratório pela equação 
 
   tty 8sin7,166,12sin5,10 
 
 
Exemplo.2 Um motor de massa 178 kg está apoiado em quatro molas, cada uma 
tendo constante de 150 kN/m. O rotor do motor é desbalanceado e a força 
centrífuga devido à esse deslocamento é 72 N. O motor move-se apenas na 
vertical. Determine (a) a frequência em rpm que ocorrerá a ressonância e (b) a 
amplitude da vibração do motor na frequência de 1200 rpm. 
 
Figura 7 - Exemplo 2 - Unidade III 
 
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 Unidade: Vibração Forçada sem Amortecimento 
 
 
Solução: (a) A frequência de ressonância é 
igual a frequência angular da vibração livre 
do motor 
 
srad
kg
mN
m
k
n 0,58
178
101504 3



 
Escrevendo o resultado em rpm: 
rpmn 554
 
 
(b) A velocidade angular ou a frequência angular do motor é 
sradrpm 7,1251200  
 
A força centrífuga devida ao deslocamento do rotor é 72 N. Substituindo para o 
valor máximo da amplitude: 
 
t
kF
x
n
p 
sin
1
2
0


 
   
 
 2
3
2
0
max
587,1251
10150472
1 




mNNkF
x
n
p 
 
Amplitude = 
  mx p
5
max 102,3

 
 
EXERCÍCIO .1 O bloco de massa 0,62 kg está preso a uma mola de rigidez igual 
a 20 N/m. Aplica-se ao bloco uma força 
 tF 2cos6
 N, onde 
t
 é dado em 
segundos. Determine a velocidade máxima do bloco em regime permanente. 
F 
 
Figura 8 - Exercício 1 - Unidade III. 
 
Resposta: 
smv 686,0max 
 
 
As frequências angulares também podem ser descritas 
em rotações por minuto (rpm). Para converter de rpm 
para rad/s: 
1 rpm = 
min2 rad
 = 
s
rad
60
2
 = 0,105 rad/s 
1 rad/s = 9,549 rpm 
 
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 Unidade: Vibração Forçada sem Amortecimento 
 
EXERCÍCIO.2 Uma barra elástica de 0,75 m de comprimento suporta uma esfera 
de 4 kg, despreze a massa da barra. Se aplicarmos uma forçavertical de 18 N na 
esfera, a barra sobre uma deflexão de 14 mm. A parede oscila com uma frequência 
de 2 Hz e tem uma amplitude de 15 mm, determine a amplitude de vibração da 
esfera. 
 
Figura 9 - Exercício 2 - Unidade III. 
 
Resposta: 
  mxp 0295,0max 
 
Dica: 
  sradHz 57,12222   
 
 
RESUMO DA UNIDADE 
 
Vibração forçada sem amortecimento. Para um corpo em vibração, submetido 
a uma força excitadora periódica ou com seu suporte em movimento periódico, a 
solução da equação de movimento é dada pela soma de uma solução particular 
com uma solução complementar. A solução complementar corresponde à vibração 
livre, A solução particular é determinada pela força externa. Ocorre ressonância 
quando a frequência do excitador é igual a frequência natural de vibração do 
sistema. A ressonância deve ser evitada para que a amplitude do movimento não 
se torne ilimitada. 
 
 
 
 
 
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14 
 
 Unidade: Vibração Forçada sem Amortecimento 
 
 
MATERIAL COMPLEMENTAR 
 
Olá alunos, como exemplos práticos de casos de vibração forçada, selecionei 
dois casos: 
1. Mesas vibratórias que produzem vibrações forçadas utilizadas na fabricação 
de blocos de concreto. 
 
http://www.youtube.com/watch?v=jjgpdocfIUE&feature=related. 
 
2. O compactador de solo opera por meio de vibração forçada gerada por um 
motor interno. É importante que a frequência da força aplicada não seja 
próxima da frequência natural de vibração da mola (com o motor 
desligado), se isso acontecer ocorrerá a ressonância e a máquina se tornará 
incontrolável. 
 
http://www.youtube.com/watch?v=ikdik1goOVU&feature=related 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Depois de ler o material e informar-se 
sobre o assunto, vamos pôr em prática 
esses conhecimentos nas atividades! 
 
Bom trabalho! 
 
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15 
 
 Unidade: Vibração Forçada sem Amortecimento 
 
 ANOTAÇÕES 
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_________________________________________________________________________________ 
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 Unidade: Vibração Forçada sem Amortecimento 
 
REFERÊNCIAS 
 
 
Hibbeler, R.C. Dinâmica : mecânica para engenharia, vol. 2 / 
R.C. Hibbeler; tradutor técnico Mário Alberto Tenan. – São Paulo : 
Prentice Hall, 2005. 
 
Beer, Ferdinand Pierre. Mecânica vetorial para engenheiros / 
Ferdinand P. Beer, E. Russel l Johston, Jr; tradução Mário Alberto 
Tenan ; revisão técnica Giorgio E. O. Giacaglia. – 5. ed. – São Paulo 
: Makron, McGraw-Hill , 1991. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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