AV Números Complexos (Questões Discursivas)

Prévia do material em texto

Números Complexos
Dado um número complexo z=rcis(+θ), mostre que o produto dele pelo seu conjugado   
zz¯=(rcis(θ))(rcis(-θ)=
=r.rcis0o=r2(cos0⊕isen0o)=
=r2(1+0)=r2
Determine o valor de k na equação x2 -kx+36=0, de modo que uma das raízes seja o quádruplo da outra.  
O módulo de um número complexo é 32 e seu argumento principal é 450.Se multiplicarmos esse complexo pelo complexo w = i , encontraremos um complexo cujo módulo será:
32
Calcular k para que o resto da divisão de P(x)=6x3-5x2+kx+1 por Q(x)=2x2+x-3 independa de x.
Dividindo 6x3-5x2+kx+1 por 2x2+x-3 obtemos para resto(k+113)x-111. para que o resto independa de x devemos ter: k+13=0 , ou ainda,  k=-13.
Determine todos os números complexos z que satisfazem as condições abaixo:
|z + 3| - 2`bar z` = 3 + 6i
|z | < 4
Seja z = a + bi. Substituindo em |z + 3| - 2`bar z` = 3 + 6i.  (1) `sqrt ((a + 2)^2 + b^2)` - 2a = 3  e  (2) b = 3.
Fazendo (2) em (1) encontraremos a = -3 ou a = 1. Se a = -3 e b = 3 temos z = - 3 + 3i  e | z | = 3`sqrt 2` > 4. Logo  esse caso não pode ser aceito. Agora se a = 1 e b = 3 temos z = 1 + 3i  e | z | = `sqrt 10` <  4.  Portanto z = 1 + 3i é o único complexo que satisfaz as duas condições simultaneamente.
Escreva uma equação algébrica de grau mínimo tal que 2 seja raiz dupla e – 1, raiz simples.
Equação algébrica mínima=> f(x)= a(x-x1).(x-x2).(x-x3) Como esta equação deve ter raízes: 2,2 e -1 Temos: f(x)= a(x-2).(x-2).(x+1), onde a é um número diferente de 0-----grau minimo 3!
Considerando: z1 = 4(cos `60^o` + isen `60^o`) e z2 = 3(cos `240^o` + isen `240^o`) Obtenha o produto `z_(1)`.`z_(2)`.
`z_(1)`.`z_(2)` = 4.3 [cos(`60^o` + `240^o`) + isen(`60^o` + `240^o`)] = 12(cos`300^o` + isen`300^o`).
Seja z = 3 - 4i. Determine: 
a) o inverso de z; 
b) o conjugado do inverso de `z^2`; 
c) o inverso de zi.
a) `1/z` = `1/(3 - 4i)`. Multiplicando o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador 3 + 4i encontramos `(3 + 4i)/25`. 
b) Inicialmente devemos calcular `(3 - 4i)^2`. Utilizando os produtos notáveis encontramos - 7 - 24i. O inverso de `z^2` será `1/z` = `1/(-7 - 24i)`. Multiplicando o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador -7 + 24i encontramos `(-7 + 24i)/625`. Agora basta determinar o conjugado do valor encontrado. Nesse caso será `(-7 - 24i)/625`. 
c) zi = (3 - 4i).i = 3i - `4i^2` = 4 + 3i. Agora basta calcular `1/z` = `1/(4 + 3i)`. Multiplicando o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador 4 - 3i encontramos `(3 + 4i)/25`.
Determine o resto da divisão de  x50-17x+6 por x-1
x - 1= 0 -> x = 1 Substituindo o x por 1 na expressão, encontramos: 1 - 17 + 6 -16 + 6 - 10 Resp.: Resto = - 10
Solução:
x50-17x+6x-1=r(x)
Pelo teorema do resto r(a)= p(a)
Logo o resto da divisão será p(1)=150-17(1)+6=1-17+6=-10
Determine o módulo de i+31+i
(i+3)(1-i)(1+i)(1-i)=i-i2+3-i31-i2=1-3i2 +3+12
Modulo = 1-3i2 +3+12=1-23+3+3+23+14
2
Determine o resto da divisão de P(x)=x4-3x3+5x2-10x+1 por x-2.
Temos:
x-2=0 ⇒x=2
Daí:
R=P(2)=24-3.23+5.22-10.2+1=-7
Dado o complexo z = a + bi encontre o seu inverso.
Dado z = a + bi  `hArr 1/z=1/(a+bi)=1/(a+bi).(a-bi)/(a-bi)=(a-bi)/(a^2+b^2)=a/(a^2+b^2)-b/(a^2+b^2)i`
Considere em R o polinômio `P(x) = x^2 - 10x + 9`. Determine o valor real k de modo que `P(k+1) = P(k)`.
`P(k+1) = (k+1)^2 - 10(k+1) + 9 = k^2 - 8k 
`P(k) = k^2 - 10k + 9` 
Daí: 
`P(k+1) = P(k)` 
`k^2 - 8k = k ^2 - 10k + 9 `
`k=9/2`
Calcule o resto da divisão do polinômio 3x3+x2 -6x+7 por 2x + 1.
R = P(x) → R = P(- 1/2) 
R=3⋅(-12)3+(-12)2 -6⋅(-12)+7
R=3⋅(-18)+14+3+7 
R = -3/8 + 1/4 + 10 (mmc) 
R = -3/8 + 2/8 + 80/8 
R = 79/8
Simplificar (1+i1-i-1-i1+i)2
(1+i1-i)2-2(1+i1-i)(1-i1+i)+(1-i1+i)2=
=(1+i)2(1-i)2+(1-i)2(1+i)2-2=
=1+2i+i2-2i+1-2i+i22i-2=
=-1-2i-i2+1-2i+i22i-2=
-4i2i=-4