calulo 3 para estacio

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A C D E I M N O P Q R S U V 
A 
1) A ordem de uma equação diferencial é a ordem da derivada de maior ordem que 
aparece na equação. Com relação às equações diferenciais de primeira ordem é 
SOMENTE correto afirmar que 
(I) A forma geral das equações diferenciais de 1a ordem é F(x,y,y´)=0 . 
(II) São equações de 1a ordem e 1o grau as equações da forma: dydx=F(x,y). 
(III) São equações de 1a ordem e 1o grau as equações da forma M dx+ N dy=0 onde 
M=M(x,y) e N=N(x,y) são continuas no intervalo considerado. 
 
(I), (II) E (III) ) 
 
2) "As equações diferenciais começaram com o estudo de cálculo por Isaac Newton (1642-1727) e 
Gottfried Wilheim Leibnitz (1646-1716), no século XVII."Boyce e Di Prima. 
Com relação às equações diferenciais é SOMENTE correto afirmar que 
(I) Chama-se equação diferencial toda equação em que figura pelo menos uma derivada ou diferencial 
da função incógnita. 
(II) Chama-se ordem de uma equação diferencial a ordem da derivada de mais alta ordem da função 
incógnita que figura na equação. 
(III) Chama-se grau de uma equação diferencial o maior expoente da derivada de mais alta ordem da 
função incógnita que figura na equação. 
 
 
 
 
 
 (I), (II) e (III) 
 
 
 
 
3) A equação diferencial y2dx+(xy+1)dy=0 não é exata. Marque a alternativa que indica o fator 
integrante que torna a equação exata. 
 
 
 λ= - 1y 
 
 
 
 
6) Assinale a única resposta correta para f(t) se F(s)=2s-3+3s-2. 
 
 2e3t+3e2t 
 
 
 
7) Aplicando a transformada de Laplace na função y = 4sen4t, obtemos: 
 
 16s²+16 
 
 
 
8) Aplicando o Teorema do Deslocamento(ou Translação), calcule a Transformada de 
Laplace de te4t e indique qual a resposta correta. 
 
 
 1(s-4)2 
 
 
 
9) Aplicando o Teorema do Deslocamento(ou Translação), calcule a Transformada de 
Laplace de `te^(4t)` e indique qual a resposta correta. 
 
 
 
 
 `(1)/((s - 4)^2) 
 
 
 
 
10) Assinale a única resposta correta para a transformada inversa de F(s)=5s-3(s+1)(s-3). 
 
 2e-t+3e3t 
 
 
 
 
 
11) Aplicando a transformada inversa de Laplace na função L(s)=72s5, obtemos a função: 
 
 f(t) = 3t4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
C 
1) Com relação às equações diferenciais de primeira ordem e seus tipos de soluções é SOMENTE 
correto afirmar que 
(I) Solução Geral é a solução que contém tantas constantes arbitrárias quantas são as unidades 
da ordem da equação. 
(II) Solução Particular é toda solução obtida da solução geral atribuindo-se valores particulares às 
constantes. 
(III) Solução Singular é toda solução que não pode ser obtida a partir da solução geral atribuindo-
se às constantes valores particulares. 
 
 (I) , (II) E (III) 
 
 
2) Considere a função F(s)=28s2+6s+25. Calcular a tranformada inversa de Laplace da 
função F(s). 
 
 7⋅ e - 3 ⋅ t ⋅ sen(4t) 
 
 
 
3) Considere a função F(s)=4s5+2s-5. Calcular a tranformada inversa de Laplace da 
função F(s). 
 
 t46+2⋅e5t 
 
 
4) Calcule a Transformada Inversa de Laplace da função: F(s)=s2+3s+4(s-1)(s+2)(s+3), 
com o uso adequado da Tabela, indicando a única resposta correta: 
L(senat) =as2+a2, 
L(cosat)= ss2+a2, 
L(eat)=1s-a 
 
 23)et-(23)e-((2t)+e-(3t) 
 
 
 
5) Considere a função F(x) = (Pi)^2 - x^(2), onde x varia no intervalo [-Pi,Pi]. 
Calcular a série de fourier associada a função F(x). O símbolo Pi representa a 
constante matemática de valor 3,1415926535... 
 
 2 * (Pi)^2 / 3 + Somatório de n = 1 até Infinito ( ( -4 * (-1)^(n) ) / 
n^(2) ) 
 
 
 
 
6) Calcule a Transformada Inversa de Laplace, f(t), da função: F(s)=2s2+9, com o uso 
adequado da Tabela: 
L(senat) =as2+a2, 
L(cosat)= ss2+a2 
 
 f(t)=23sen(3t) 
 
 
 
 
 
 
7) Considere a equação diferencial y´´+y´-2y=0 e o conjunto de soluções desta equação y1=ex 
e y2=e-2x. 
Com relação a esta equação e soluções, é somente correto afirmar que 
I) O Wronskiano é não nulo. 
(II) As soluções y1 e y2 são linearmente independentes. 
(III) A solução geral tem a forma y(x)=c1ex+c2e-2x. 
I, II E III 
 
 
 
 
8) Considere a equação x2y+xy'=x3. Podemos afirmar que sua ordem e seu grau são 
respectivamente: 
 
 1 e 1 
 
 
9) Considere a equação : Ld2Qdt2+RdQdt+Q=2-t3 
Podemos afirmar que sua ordem e o seu grau são, respectivamente: 
 2 e 1 
 
 
10) Considere a equação d3ydx3+y2=x. Podemos afirmar que sua ordem e o seu grau são 
respectivamente 
3 e 1 
 
 
 
D 
1) Diversos são os sistemas cujo comportamento é descrito por equações diferenciais 
ordinárias. Desta forma, é importante que se estude a resolução destas equações. 
Com relação à resolução de equações diferenciais é SOMENTE correto afirmar que 
 
(I) Resolver uma equação diferencial significa determinar todas as funções que verificam a 
equação, isto é, que a transformem numa identidade. 
(II) Chama-se solução da equação diferencial F(x,y´,y´´,y´´,...,yn)=0 toda função , definida em um 
intervalo aberto (a,b), juntamente com suas derivadas sucessivas até a ordem n inclusive, tal que 
ao fazermos a substituição de y por na equação diferencial F(x,y´,y´´,y´´,...,yn)=0 , esta se converte 
em uma identidade com respeito a x no intervalo (a,b). 
(III) Integrar uma equação diferencial significa determinar todas as funções que verificam a 
equação, isto é, que a transformem numa identidade. 
 
 (I), (II) e (III) 
 
 
2) Dada a ED xdydx=x2+3y; x>0, indique qual é o único fator de integração correto: 
 
 1x2 
 x3 
 1x3 
 
 
 
 
 
 
3) Dado um conjunto de funções {f1,f2,...,fn} , considere o determinante de ordem n: 
W(f1,f2,...,fn) = [f1f2...fnf´1f´2...f´nf´´1f´´2...f´´n............f1n-1f2n-1...fnn-1] 
Calcule o Wronskiano formado pelas funções na primeira linha,pelas primeiras derivadas dessas 
funções na segunda linha, e assim por diante, até a (n-1)-ésima derivadas das funções na n-ésima 
linha. Sejam as funções: f(x)= e2⋅x ; 
 g(x)=senx e 
 h(x)= x2+3⋅x+1 
Determine o Wronskiano W(f,g,h) em x= 0. 
 
 -2 
 
 
4) Determine o valor do Wronskiano do par de funções y1 = e
 2t e y 2 = e
3t/2. 
 
 72et2 
 
5) Dada a ED xdydx=x2+3y; x>0, indique qual é o único fator de integração correto: 
 
 
 
 1x3 
 
6) Das alternativas a seguir identifique qual é a solução para o problema de valor 
inicial y´´+16y=0, y(0)=0 e y´(0)=1. 
 
 
 14sen4x 
 
7) Dada a ED xdydx=x2+3y; x>0, indique qual é o único fator de integração correto: 
 
 
 
 1x3 
 
8) Determine a Transformada de Laplace de f(t)=6e-(3t)-t2+2t-8 e indique a 
única resposta correta. 
6s+3 -2s3+2s2-8s 
 
9) Determine a Transformada de Laplace de f(t)=5-e2t+6t2 indique a única 
resposta correta. 
5s-1s-2+12s3 
 
 
10) Determine o Wronskiano W(x,xex) 
x2ex 
 
 
11) Determine a Transformada de Laplace de f(t)=5 - e2t+6t2 indique a única 
resposta correta. 
 
5s - 1s - 2+12s3 
 
 
 
12) Determine a solução da equação diferencial x2 y'' + xy ' + 9y = 0, x > 0 
 
y = c1 cos (3 ln x) + c2 sen (3ln x) 
 
 
13) Dinâmica populacional - Sabendo que o modelo de crescimento 
populacional supõe que a taxa de crescimento de uma população dy/dt é 
proporcional a população presente naquele instante y (t) ..... 
 
O Problema terá a solução y (t) = 3 ekt. Como em 10 dias a população é de 
240 individuos teremos 3.80 t/10 
 
 
E 
 
1) Encontre L{F(t)}=f(s)=L{(cosh(2t))/(cos2t)}ou seja a transformada de Laplace da 
função F(t)=cosh(2t)cos(2t) onde a função cosseno hiperbólicode t cosht é assim 
definida cosht=et+e-t2. 
 
 s2-8s4+64 
 s3s3+64 
 s3s4+64 
 
2) Encontre a função y(t), que é a solução da equação diferencial a seguir: 
d2ydt2+5dydt+4y(t)=0 , com y(0)=1 e y'(0)=0 
 
 y(t)=43e-t - 13e-(4t) 
 
 
3) Encontre a função y(t), que é a solução da equação diferencial a seguir: 
`(d^2y)/dt^2 + 5(dy)/dt + 4y(t) = 0` , com `y(0) = 1` e `y'(0) = 0` 
 
 
 
 `y(t) = (4)/3e^ -t - (1)/3 e^-(4t)` 
 
 
 
 
 
I 
1) Indique a solução da equação diferencial: dydx = 5x4+3x2+1. 
 
 
 y=x5+x3+x+C 
 
 
 
2) Indique a solução da equação diferencial: dydx = 6x²+15x²+10. 
 
 y=-6x+5x³+10x+C 
 
 
 
 
3) Identifique o valor de t entre os pontos do intervalo [-π,π], onde as funções { t,sent, 
cost} são linearmente dependentes. 
 
 
 
 T= 0 
 π 
 
 
4) Indique a única resposta correta como solução da equação diferencial homogênea 
de segunda ordem: 3y ''+2y=0. 
 
 C1cos(23x)+C2sen(23x) 
 
 
 
 
 
 
5) Indique a única resposta correta de α que tornam linearmente dependentes(LD) as 
soluções f1(x)=eαx e f2(x)=e-(αx) de uma ED, onde α é uma constante. 
 
 
 α = 0 
 
 
 
 
6) Indique qual a resposta correta para a solução geral de uma EDL não 
homogênea a saber: dydx+y =senx 
 
 C1e-x + 12(senx-cosx) 
 
 
 
7) Identifique no intervalo[ - π,π] onde as funções {t,t2, t3} são lineramente 
dependentes. 
 
 t=0 
 
 
 
8) Indique a única resposta correta da Transformada de Laplace da função degrau 
unitário: 
f(t)={1se t≥00se t<0 
 
 1s,s>0 
 
 
9) Indique qual é a solução geral correta para a solução da equação 
diferencial: xdx+ydy=0 
 
 
 
 x²+y²=C 
 
 
 
10) Indique qual é a solução da equação diferencial: xdx+y
y=xy(xdy-ydx) 
 
 1+y²=C(1-x²) 
 
 
 
9. 
 
 
Indique a solução correta da equação diferencial: dydx=7x³. 
 
 
 
 
 
y=275x52+C 
 
 
 
 
11) Indique a única resposta correta para a Transformada de Laplace Inversa de: 
F(s)=s-2(s-1)(s+1)(s-3) 
14et-38e-t+18e3t 
 
 
 
 
 
 
 
 
M 
 
 
1) Marque dentre as opções abaixo a solução da equação diferencial dydx=(1+y2).ex 
para x pertencente a o inervalo [-π2,π2] 
 
 y=tg(ex+C) 
 
 
 
 
 
 
2) Marque a alternativa que indica a solução do problema de Valor inicial 
dydx=x3+x+1 , y(0) = 2. 
 y=x44+x22+x+2 
 
 
 
 
 
3) Marque a alternativa que indica a solução do problema de valor inicial dydx =cosx , y(0) = 2. 
 
 y = senx + 2 
 
 
 
 
 
4) Marque a alternativa que indica a solução geral da equação y'' +2y'+8y=0. 
 
 y=e – t [C1sen(7t)+C2cos(7t)] 
 
 
 
 
 
 
5) 5) Marque a alternativa que indica a solução da equação y" + 2y' + y = 0. 
 
 y = C1e
-t + C2e
-t 
 
6) Marque a alternativa que indica a solução da equação y" + 4y = 0. 
 
 y = C1cos2t + C2sen2t 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
N 
 
 
1) Nas ciências e na engenharia, modelo matemáticos são desenvolvidos para auxiliar na 
compreensão de fenômenos físicos. Estes modelos frequentemente geram uma equação 
que contém algumas derivadas de uma função desconhecida. Tal equação é chamada 
de equação diferencial. Para iniciar o estudo de tal equação, se faz necessário alguma 
terminologia comum. Assim sendo, antes de estudar métodos para resolver uma equação 
diferencial se faz necessário classificar esta equações. 
Três classificações primordiais são: 
1. Segundo a natureza (Equação diferencial ordinária ou parcial) 
2. Segundo a ordem desta equação. 
3. Segundo a linearidade. 
Classifique as seguintes equações: 
a) dxdt=5(4-x)(1-x) 
b) 5d2ydx2+4dydx+9y=2cos3x 
c) ∂4u∂x4+∂2u∂t2=0 
d) d2ydx2+x2(dydx)3-15y=0 
Admitindo os seguintes índices para a classificação: 
A=1: para E.D.O. 
A=2: para E.D.P. 
n: A ordem da Equação 
B=5: para equação linear 
B=6: para equação não linear 
A soma (A+n+B)para cada equação resultará respectivamente em: 
R: 8; 8; 11; 9 
 
 
 
 
 
 
 
 
O 
 
1) O Wronskiano de 3ª ordem é o resultado do determinante de uma matriz 3x3, 
cuja primeira linha é formada por funções, a segunda linha pelas primeiras 
derivadas dessas funções e a terceira linha pelas segundas derivadas 
daquelas funções. 
 O Wronskiano é utilizado para calcular se um conjunto de funções deriváveis são 
linearmente dependentes ou independentes. Caso o Wronskiano seja igual a zero em 
algum ponto do intervalo dado, as funções são ditas linearmente dependentes nesse 
ponto. 
 Identifique, entre os pontos do intervalo [-π,π] apresentados , onde as 
funções { t,sent, cost} são linearmente dependentes. 
 
 t= 0 
 
 
 
 
 
P 
 
1) Para representar uma função em série de Fourier usa-se a fórmula: 
f(x)= a02 +∑(ancosnx+bnsennx) 
 
 A expansão em série de Fourier da função f(x)=2x+1 com -π≤x≤π é 
 
 
 1-4∑(-1)nnsen(nx) 
 
 
 
 
 
Q 
 
 
1) Qual a única resposta correta como solução da ED : dydx=yx+1 ? 
 
 lny=ln|1-x | 
 lny=ln|x -1| 
 lny=ln|x+1| 
 lny=ln|x| 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
R 
1) Resolva e indique a resposta correta: rsecθdr-2a²senθdθ=0 
 
 r² - 2a²sen²θ = c 
 
 
 
 
1) Resolva a equação diferencial de primeira ordem e informe qual a resposta correta: 
2rcosΘdr-tgΘdΘ=0 
 
 r²-secΘ = c 
 
 
2) Resolva separando as variáveis e indique a resposta correta: ey.(dydx+1)=1. 
 
 ln(ey-1)=c-x 
 
 
 
3) Resolva a equação diferencial de primeira ordem e informe qual a resposta correta: 
(1+x² )dy + (1+y2)dx = 0 
 
 x+y =c(1-xy) 
 
 
 
4) Resolva a equação diferencial exdydx=2x por separação de variáveis. 
 
 y=-2e-x(x+1)+C 
 
 
5) Resolva a equação diferencial dada abaixo por separação de variáveis. 
xy´=4y 
 
 y=cx4 
 
 
 
6) Resolva a equação diferencial abaixo por separação de variáveis. 
dx+e3xdy=0 
 
 y=tg[x-ln|x+1|+C] 
 
 
 
 
 y=13e-3x+C 
 
 
 
 
7) Resolva a equação diferencial indicando a resposta correta: y'tgx - 2y = a. 
 sen² x = c(2y + a) 
 
 
 
 
 
8) Resolva e indique a resposta correta: rsecθdr-2a²senθdθ=0 
 
 r² - 2a²sen²θ = c 
 
 
9) Resolva a equação diferencial indicando a resposta correta: xy' + y = y² 
 
 xy = c(1 - y) 
 
 
10) Resolva a equação diferencial de primeira ordem e informe qual a resposta correta: 
(1+x² )dy + (1+y2)dx = 0 
 
 arctgx+arctgy =c 
 
 
11) Resolva a equação diferencial 2xydx+(x2-1)dy=0 
 
 x2y +y=C 
 x2y-y=C 
 
 
 
12) Resolva a equação diferencial exata (2x-y+1)dx-(x+3y-2)dx=0. 
 
 -2xy-3y2+4y+2x2+2x=C 
 
 
13) Resolva a equação diferencial dx-x2dy=0 por separação de variáveis. 
 
 y= - 1x+c 
 
 
 
14) Resolva a equação diferencial de primeira ordem e informe qual a resposta correta: 
ydx+(x+xy)dy = 0 
 
 
 
 lnxy+y=C 
 
 
 
 
 
15) Resolva a equação diferencial:drdt=4ti+(2t-1)j+3(t2)k 
 Condição inicial : r(1)=3i+j+k 
 
 
 r(t)=(2t2+1)i+(t2-t+1)j+t3k 
 
 
 
 
 
 
 
 
S 
1) Seja f(t)=t2e-2t 
Podemos afirmar que F(s) Transformada de Laplace de f(t) é: 
 
 F(s)=2(s+2)3 
 
2) Sejam f: ℝ->ℝ e g: ℝ->ℝ funções reais de variáveis reais. Então o produto de duas 
funções pares ou ímpares é par e o produto de uma função par e uma função ímpar 
é ímpar. 
Dadas as funções , identifique as funções pares e as funções ímpares : 
 
a) h(x)=(senx).(cosx) 
b) h(x)=(sen2x).(cosx) 
c) h(x)=(sen2x).(cosx) 
d)h(x)=(x).(sen2x).(cos3x) 
e) h(x)=(x).(senx) 
 
 
 (a),(b)são funções ímpares 
(c), (d),(e)são funções pares. 
 
 
 
 
3) Seja f(t)=et+7 indique qual é a resposta correta de sua Transformada de Laplace. 
 
 
 e7s-1 
 
 
 
 
 
 
 
4) Seja a equação diferencial 2dydx+3y=e-x. Qual dentre as opções abaixo não é uma 
solução da equação diferencial proposta, sabendo que y=f(x) ? 
 
 y=ex 
 
 
5) Seja a equação diferencial [ (d2y) dividido por (dx2) ] - 3 (dy dividido por 
dx) + 02.y = 0 ,x > 0 com as condições iniciais y(0) = -1 e 9 dy dividido 
por dx ( 0) =0. Determine a solução geral da eq. 
 
y = e2x - 2 ex 
 
 
6) S eja a equação diferencial [ (d2y) dividido por (dx2) ] - 3 (dy dividido por 
dx) +2y = 0 , x > 0 com as condições iniciais y(0) = -1 e (dy dividido por 
dx) (0) = 0. Determine a equação característica associada a equação 
diferencial. 
 
 
m2 - 3m+ 2 = 0 
 
 
7) Seja a equação diferencial 2dydx+3y=e-x. Qual dentre as opções abaixo não é uma 
solução da equação diferencial proposta, sabendo que y=f(x) ? 
 
 y=ex 
 
8) Seja a transformada de Laplace de F(t), denotada aqui por L{F(t)} e definida por 
L{F(t)}=f(s)=∫0∞e-(st)F(t)dt. 
Sabe-se que se L{F(t)}=f(s) então L{eatF(t)}= f(s-a) 
Portanto a transformada de Laplace da função F(t)=etcost , ou seja, L{etcost} é igual a ... 
 
 s-1s2-2s+1 
 s-1s2+1 
 s-1s2-2s+2 
 
9) Seja y = C1e
-2t + C2e
-3t a solução geral da EDO y" + 5y´ + 6y = 
0. Marque a alternativa que indica a solução do problema de valor inicial 
(PVI) considerando y(0) = 2 e y(0)=3. 
 y = 9e-2t - 7e-3t 
 
10) Seja f(t) = 1, t > 0. Qual das respostas abaixo representa a 
Transformada de Laplace da função 
f(t)? 
R: s-¹ , s>0 
 
 
 
U 
 
 
1) Uma função f(x,y) é dita homogênea com grau de homogeneidade k quando 
f(tx,ty)=tkf(x,y) 
Verifique se a função f(x,y)=x2+y2 é homogênea e, se for, qual é o grau e indique a única 
resposta correta. 
 
 Homogênea de grau 2. 
 
 
 
 
2) Uma equação diferencial Mdx+Ndy=0 é chamada de exata se: 
 
 δM / δy= δN/ δx 
 
 
 
 
 
 
 
3) Um dos métodos de solução de uma EDLH é chamado de Método de Redução de 
Ordem, no qual é dada uma solução, por exemplo y1 e calcula-se a outra solução 
y2, pela fórmula abaixo: 
 y2=y1∫e-∫(Pdx)y12dx 
Assim, dada a solução y1 =cos(4x), indique a única solução correta de y2 para a equação 
y''-4y=0 de acordo com as respostas abaixo: 
 
 cos-1(4x) 
 sen-1(4x) 
 sec(4x) 
 tg(4x) 
 sen(4x) 
 
 
 
 
4) Uma solução para uma equação diferencial é uma função que satisfaz 
identicamente à equação. Com relação às equações diferenciais de primeira ordem 
e seus tipos de soluções é SOMENTE correto afirmar que 
 
(I) Solução Geral é a solução que contém tantas constantes arbitrárias quantas são as 
unidades da ordem da equação. 
(II) Solução Particular é toda solução obtida da solução geral atribuindo-se valores 
particulares às constantes. 
(III) Solução Singular é toda solução que não pode ser obtida a partir da solução geral 
atribuindo-se às constantes valores particulares. 
 
 (I), (II) e (III) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
V 
 
1) Verifique se a equação diferencial (2x-y+1)dx-(x+3y-2)dx=0 é exata. 
 
 
 (δMδy)=(δNδx)=-1 
 
 
2) Verifique se a equação (2x-1) dx + (3y+7) dy = 0 é exata. 
 
 É exata, pois (δMδy)=(δNδx)=0 
 
3) Verifique se as soluções y1(t)=e-(2t) e y2(t)=te-(2t) são LI(Linearmente 
Independente) ou LD(Linearmente Dependente) e indique a única resposta correta. 
 
 w(y1,y2)=e-(4t) são LI.