Aulas de 1 à 10 de Cálculo Numérico.docx

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Cálculo Numérico | Douglas Villy da Silva dos Santos
Cálculo Numérico | Douglas Villy da Silva dos Santos
Aula 1: Introdução ao Programa de Computação Numérica (PCN)
Objetivo desta aula
Nesta aula, você irá:
Identificar e executar as operações aritméticas (Escalares, Vetores e Matrizes);
Identificar os tipos de funções e seus respectivos gráficos;
Introdução
Diversas são as aplicações que envolvem operações aritméticas (Escalares, Vetores e Matrizes), funções e seus gráficos. As funções e seus gráficos descrevem fenômenos físicos, químicos, econômicos, problemas na engenharia e em diversas áreas. Nesta aula, resolveremos alguns exemplos clássicos encontrados na literatura.
Adição
Dados dois vetores u e v, define-se o vetor soma . Para determinar a soma u + v, no caso em que u e v não são paralelos, basta “fechar o triângulo”, com o cuidado de escolher a origem do representante de v coincidindo com a extremidade do representante de u.
Também se pode usar a regra do paralelogramo.
Exemplo: e então 
Subtração
Veja a figura abaixo:
Exemplo: e então 
Observe que graficamente a subtração de vetores está utilizando novamente a regra do paralelogramo.
Multiplicação por escalar
Dado um vetor u e um escalar , define-se o vetor , que possui a mesma direção de u e sentido coincidente para e sentido oposto para λ < 0. O módulo do vetor será igual a .
Exemplo: então 
Observe que graficamente o vetor 2u é o dobro do vetor u.
Proposição: Sejam u, v e w vetores quaisquer. Valem as propriedades:
Associativa: 
Comunicativa: 
Elemento Neutro: Existe um único vetor que somado a u dá como resultado o próprio u; trata-se do vetor nulo: u + 0 = 0 + u
Elemento Oposto: Para cada u, existe um único vetor que somado a u dá como resultado o vetor nulo; é o vetor oposto de u: 
Matrizes
Operações com Matrizes
Suponha que temos a seguinte situação: dois alunos X e Y obtiveram as seguintes notas nos meses de março e abril:
	MARÇO
	Português
	Matemática
	Física
	Aluno X
	7
	6
	6
	Aluno Y
	6
	4
	5
	ABRIL
	Português
	Matemática
	Física
	Aluno X
	6
	3
	4
	Aluno Y
	5
	5
	6
Temos assim as matrizes representativas das notas de cada aluno nos dois meses:
Podemos determinar a matriz que representa a média de cada aluno em cada uma das matérias, ou seja:
Dessa forma, observamos que, por vezes, surge a necessidade de efetuamos determinadas operações entre matrizes.
Propriedades da adição de matrizes – Dadas as matrizes A, B e C de mesma ordem m x n, temos:
A + B = B + A (comutatividade)
(A + B) + C = A + (B + C) (associatividade)
A + 0 (m x n) = A
A + (-A) = 0
ATENÇÃO
Lembre-se: 0 (m x n) é uma matriz de m linhas e n colunas composta apenas por zeros.
Propriedades da multiplicação por escalar – Se A e B são matrizes de ordem m x n e c, c1 e c2 são escalares, então:
(c1 + c2) A = c1 A + c2 A
c (A + B) = cA + cB
c1(c2 A) = (c1 c2) A
0 ∙ A = 0 (m x n)
Propriedades da multiplicação de matrizes – Desde que sejam possíveis as operações.
Em geral AB ≠ BA
AI = IA = A, onde I é a matriz identidade
A (B + C) = AB + AC (distributividade a esquerda da multiplicação, em relação a soma)
(B + C) A = BA + CA (distributividade a direita da multiplicação, em relação a soma)
A (BC) = (AB) C (associativa)
(AB) ´ = B ´A ´ ou (AB)t = Bt At
0 ∙ A = 0 e A ∙ 0 = 0
Funções e seus Gráficos
Definição:
Uma relação f de A em B é uma função se:
Todo elemento pertencente a tem um correspondente pertencente a definido pela relação, chamada de imagem de x.
A cada pertencente a não podem corresponder dois ou mais elementos de por meio de .
Função Real de uma variável Real, Domínio e Imagem
Se f é uma função com domínio em A e contradomínio em B, dizemos que f é uma função definida em A com valores em B. Se tanto A como B forem subconjunto dos reais dizemos que f é uma função real de variável real.
	Exemplo: Seja , sendo o domínio A = {1,2,3, ...} e         
B = R; portanto, , , isto é, a imagem será Im = {2,4,6,...} e  A e B são subconjuntos de R.
Suponha que o conjunto A fosse limitado, isto é, A = {1;2;3}; então, o diagrama de flecha ficaria:
Logo a imagem ficaria B = {2;4;6}
Raízes de uma função:
Denominamos raiz (es) de uma função quando a (s) função (ões) interceptar (tocar, cortar) o eixo das abscissas, neste ponto a função possui as coordenadas , ou seja, .
Lembre-se .
Função Polinomial
, onde , define o grau do polinômio e são os coeficientes do polinômio, estes são números reais quaisquer.
Veja, a seguir, casos particulares de funções polinomiais e observe que o grau da função polinomial define o maior número de raízes que o polinômio pode assumir com ou sem repetição.
Função Constante
Não é uma função do 1º grau.
Exemplo: 
Como construir o gráfico: Gráfico paralelo ao eixo x passando no ponto y = 5, pois para qualquer valor de x, o y permanecerá no valor 5.
Função Linear afim
Exemplo: 
Função Linear
Exemplo: 
Como construir o gráfico: Gráfico é uma reta passando pela origem, pois, quando x assumir o valor zero, a função será igual a zero, podendo ser crescente ou decrescente, dependendo do valor de a. Podemos observar nas figuras ao lado.
Função Quadrática
Para se definir o gráfico de uma função quadrática, precisamos conhecer a(s) raiz(es) onde o gráfico irá interceptar o eixo x e o coeficiente a, pois esse definirá a concavidade da parábola.
SÍNTESE DA AULA
Nesta aula, você:
Viu as operações aritméticas (Escalares, Vetores e Matrizes);
Identificou os tipos de funções e seus respectivos gráficos.
PRÓXIMA AULA
Na próxima aula:
Faremos a introdução ao Programa de Computação Numérica (PCN) e Teoria dos Erros.
Aula 2: Introdução ao Programa de Computação Numérica (PCN) e Teoria dos Erros
Nesta aula, você irá:
Identificar os conceitos básicos de programação estruturada;
Identificar os tipos de erros que ocorrem no processamento de algoritmos numéricos com auxílio de computador.
Introdução
Nesta aula, vamos identificar a necessidade do Cálculo Numérico para a resolução de problemas em Engenharia, como implementar e definir o erro cometido neste processo computacional. Resolveremos também alguns exemplos clássicos encontrados na literatura.
Primeira Parte: Introdução ao Programa de Computação Numérica (PCN)
Programação Estruturada:
Programação estruturada é uma forma de programação de computadores básica que tem como objetivo facilitar o entendimento dos procedimentos a serem executados.
Como se desenvolve:
Esta técnica se desenvolve com a decomposição do problema em etapas ou estruturas hierárquicas. Esta decomposição tem como objetivo simplificar o problema para facilitar o entendimento de todos os procedimentos. Com isto, melhorar a confiabilidade e simplificar a manutenção do programa.
Existem três tipos de estruturas básicas:
Estruturas Sequenciais
Cada ação segue a outra ação sequencialmente. A saída de uma ação é a entrada de outra.
Exemplo: 
Um segmento “Faça primeiro a Tarefa a e depois realize a Tarefa b” seria representado por uma sequência de dois retângulos, figura 1. A mesma construção em pseudocódigo seria denotada pela expressão das duas tarefas, uma após a outra, figura 2.
Estruturas seletivas: Ver em Estruturas seletivas.pdf na pasta Numérico no Dropbox
Estruturas repetitivas: Ver em Estruturas Repetitivas_1.pdf e Estruturas Repetitivas_2.pdf na pasta Numérico no Dropbox
Segunda Parte: Teoria dos Erros
Teoria dos Erros
Um método numérico é um método não analítico, que tem como objetivo determinar um ou mais valores numéricos, que são soluções de certo problema. Os métodos analíticos conduzem a soluções exatas para os problemas; os métodos numéricos produzem, em geral, apenas soluções aproximadas. Por este fato, antes da utilização de qualquer método numérico é necessário decidir qual a precisão dos cálculos com que se pretende obter a solução numérica desejada. A precisão dos cálculos numéricos é também um importante critério para a seleção de um algoritmo particularna resolução de um dado problema.
Definimos como Erro a diferença entre o valor obtido (aproximado) e o valor exato.
Origem do erro
Erros no modelo
Um modelo matemático raramente oferece uma representação exata dos fenômenos reais, pois procuramos generalizar, com isto, aceitamos certas condições que simplificam o problema de forma a torná-lo tratável, porém este procedimento nos leva a cometer certo erro na solução final. Este erro é considerado inicial do problema, exteriores ao processo de cálculo.
Erros nos dados
Os dados podem ser medidos experimentalmente, e, portanto, aproximados, pois os meios de medição também não são precisos. As aproximações nos dados podem ter grande repercussão no resultado final. Este erro é considerado inicial do problema, exteriores ao processo de cálculo.
Erro Absoluto e Erro Relativo
Definimos erro absoluto como sendo a diferença entre o valor exato de um número e de seu valor aproximado:
 
Geralmente só o valor de é conhecido, portanto torna-se impossível conhecemos o valor exato do erro absoluto. Logo devemos trabalhar com uma limitante superior ou uma estimativa para o módulo do erro absoluto.
	, portanto tomemos um valor dentro deste intervalo.
Logo Podemos dizer que a precisão é de (grau de precisão).
Definimos erro relativo como sendo o quociente entre o erro absoluto e o valor aproximado:
	Seja e então 
O erro relativo será de 
Observe que o erro relativo nos fornece mais informações sobre a qualidade do erro que estamos cometendo em um determinado cálculo.
Ordem de grandeza
Será o Erro relativo multiplicado por 100, este valor será dado em porcentagem.
Considere o valor exato e o valor aproximado 
Então, e o . Sendo a ordem de grandeza de 
Erro de Arredondamento e Erro de Truncamento
A representação de número depende fundamentalmente da máquina utilizada. Se o número não tem representação finita ou a máquina não o comporta, uma aproximação será obtida por arredondamento ou por truncamento.
Regras de arredondamento:
O dígito de ordem é acrescido de uma unidade, se o de ordem for maior que a metade da base. Caso contrário, o número é representado com os dígitos iniciais.
	Exemplo
	O número é maior ou igual a 5:
Somar 1 ao dígito anterior 
Se o dígito de ordem (k+1) é exatamente a metade da base e o de ordem k é par, então o número é representado com k dígitos e, se o dígito de ordem k é ímpar, então o de ordem k é acrescido de uma unidade.
	Exemplo
	O número é menor que 5:
Manter o número. 
O arredondamento por corte considera que, para obter um número com k dígitos, simplesmente trunca-se na posição k.
Observe que o dígito onde o arredondamento deve parar fica a critério de quem está fazendo o cálculo.
Erros de Truncatura
A substituição de um processo infinito por um processo finito resulta num certo tipo de erro designado erro de truncatura, ou seja, algumas equações podem ser construídas no sentido que um processo infinito possa ser descrito como limite da solução em questão. Por definição, um processo infinito não pode ser completado, por isso tem que ser truncado após certo número finito de operações. Este erro ocorre no processo de cálculo de uma solução numérica.
	Exemplo
	Simplesmente ignorar os restantes dígitos a partir de um determinado ponto. 
Propagação do Erro
Na maioria das vezes, o erro cometido em uma operação isolada pode não ser muito significativo para a solução do problema, mas ao tratarmos muitas operações, estes erros se propagam. Caso o erro se acumule a uma taxa crescente, dizemos que o erro é ilimitado e a sequência de operações é considerada instável. Caso contrário, o erro é limitado e, portanto, a sequência de operações é considerada estável.
	Exemplo
	Portanto, sejam x e y tais que e 
Vamos supor que o erro final é arredondado.
O erro absoluto na soma, será a soma dos erros absolutos das parcelas. Analogamente para a subtração, pois
 
Para a operação de multiplicação:
 
Podemos desprezar , pois é muito pequeno 
SÍNTESE DA AULA
Nesta aula, você:
Viu os conceitos básicos de programação estruturada;
Identificou os tipos de erros que ocorrem no processamento de algoritmos numéricos com auxílio de computador;
Viu como tal conhecimento é muito importante para implementação dos modelos que estudaremos ao longo deste curso.
PRÓXIMA AULA
Na próxima aula:
Veremos Solução de Equações Transcendentes e Polinomiais - Raízes de equações, ou seja, veremos os primeiros métodos numéricos.
Aula 3: Solução de equações Transcendentes e Polinomiais - Raízes de Equações
Objetivo desta Aula
Nesta aula, você irá:
Identificar os primeiros métodos numéricos;
Comparar e aplicar os métodos para solução de equações transcendentais e polinomiais.
Introdução
Nesta aula, vamos aplicar os Métodos Numéricos para a resolução de problemas em Engenharia e veremos como implementá-los. Resolveremos também alguns exemplos clássicos encontrados na literatura.
Nesta aula apresentaremos métodos numéricos para resolução de equações da forma f(x) = 0, onde f(x) é uma função de uma variável real. Resolver a equação f(x) = 0 consiste em determinar a solução  (ou soluções) real ou complexa c tal que f( c ) = 0 [achar o zero da equação ou achar a(s) raíz(es) da equação].
Métodos iterativos são desenvolvidos para determinar aproximadamente essa solução real c. Existem métodos iterativos específicos para determinar a solução c quando este é um número complexo.
Os métodos que serão descritos nos permitem obter, por um processo iterativo, uma solução de uma equação onde fornecendo uma aproximação inicial . Obtém-se uma sucessão de pontos , , , tal que quando e .
Definição: Diz-se que p é uma raiz da equação f (x) = 0 se f (p) = 0. Esta solução x0 pode ser obtida através de recursos gráficos, ou seja, definimos o intervalo onde se encontra a solução c.
Método da Bissecção
Baseia-se no teorema no valor intermediário estudado na disciplina de cálculo 1, este afirma que se uma função contínua no intervalo [a, b] satisfaz a condição , onde f(a) e f(b) possuem sinais opostos, então existe tal que , isto é, existe pelo menos uma raiz no intervalo [a, b].
Ideia Geral:
Este método encontra por inspeção dois pontos a e b tais que f(a) e f(b) tenham sinais contrários. A partir de um intervalo [a, b] localizado inicialmente onde encontra-se a raiz c, definidos anteriormente, determinar uma sequência de intervalos de forma que estaremos sempre o dividindo na metade para verificar se a raiz ainda se encontra em uma das metades deste intervalo.
Com este procedimento estaremos diminuindo o intervalo e nos aproximando cada vez mais do valor da raiz da equação. Observe que se f (a) = 0 ou f (b) = 0 encontramos a raiz procurada. Caso contrário, existe pelo menos uma raiz de f (x) = 0 entre a e b. Para parar esse procedimento utilizaremos uma tolerância ε pré-definida.
Método da Falsa Posição
Seja f (x) contínua no intervalo [a, b] e tal que f (a) × f (b) < 0, ou seja, o teorema do valor intermediário continuará sendo utilizado. Suponha que o intervalo contém uma única raiz da equação f (x) = 0.
Temos como objetivo encontrar uma raiz aproximada usando as informações sobre os valores de f (x) a cada iteração.
Em vez de tomamos média aritmética como no método da bissecção para dividir o intervalo em busca da raiz aproximada ou mesmo a exata, no método da Falsa Posição toma a média aritmética ponderada entre a e b com pesos |f(b)| e |f(a)| respectivamente. Então:
Visto que f (a) e f (b) tem sinais opostos. Este valor de x é o ponto de interseção entre o eixo ox e a reta r (x) que passa por (a, f(a)) e (b, f(b)). Para provar esta conclusão basta usar a semelhança de triângulos.
SÍNTESE DA AULA
Nesta aula, você:
Identificou, comparou e aplicou os Métodos Numéricos para solução de equações transcendentais e polinomiais;
Aplicou os Métodos Numéricos para a resolução de problemas em Engenharia, e viu como implementá-los e entendê-los graficamente;
Resolveu alguns exemplosclássicos encontrados na literatura.
PRÓXIMA AULA
Na próxima aula, você vai estudar:
Continuaremos a apresentar outros métodos para Solução de Equações Transcendentes e Polinomiais - Raízes de equações.
Aula 4: Solução de equações Transcendentes e Polinomiais - Raízes de Equações (Continuação)
Nesta aula, você irá:
Continuar apresentando alguns métodos numéricos;
Comparar e aplicar para solução de equações transcendentais e polinomiais.
Introdução
Nesta aula, temos o objetivo de aplicar os métodos numéricos para a resolução de problemas em Engenharia e como implementá-los. Resolveremos também alguns exemplos clássicos encontrados na literatura.
Método de Aproximação
Quando desejamos encontrar a convergência de uma função, analisamos uma sucessão de termos. Estes convergem para um valor exato; porém, devemos entender que este método também é um resultado aproximado e que é calculado com um número finito de operações elementares. O objetivo é encontrar sucessões que se aproximem do (s) valor (es) exato (s) com um número mínimo de operações elementares.
Abaixo apresentamos dois métodos que trabalham com a ideia de aproximação:
Ponto Fixo
Newton-Raphoson
Método do Ponto Fixo (MPF) ou Método Interativo Linear (MIL)
Para utilizamos o MPF devemos trabalhar com uma função f (x) contínua em um intervalo [a, b] que contenha uma raiz de f (x), isto f (x) = 0. O Método inicia-se reescrevendo a função original como para que possamos encontrar a raiz (ou as raízes), a partir de uma aproximação inicial , e, com isto, gerar a sequência de aproximações para ε (raiz) pela relação , pois a função será de tal forma que se e somente se . A função que satisfaz a esta condição é chamada função de iteração para .
Para temos várias funções de iteração possíveis, tais como:
Pode-se observar que existem infinitas funções . De acordo com a escolha de função, podemos não convergir para a raiz procurada. A forma geral desta função será , com a condição que em ε, ponto fixo de , se tenha .
Teorema: Seja ε uma raiz da equação f (x) = 0, isolada num intervalo I e centrado em ε. Seja uma função de iteração para f (x) = 0 Se as condições abaixo são satisfeitas, então, a sequência de encontrada no processo iterativo converge para ε.
 e são contínuas em 
 para todo 
No caso da função , sabemos calcular sua raiz, ou seja, ε = - 3 e ε = 2. Se testamos as condições do teorema para , veremos que o mesmo não satisfaz a condição do item b, isto é, se e somente se . Então, não existe intervalo centrado em ε = 2.
Utilizando com ponto inicial para encontrar a raiz ε = -3. Esta função satisfaz todas as condições do teorema. Podemos definir o intervalo e com isto a função convergirá.
Temos:
Observe que neste caso conhecemos as raízes, portanto escolher o intervalo que levará a convergência para a raiz (ou raízes). Quando não conhecemos o intervalo, devemos defini-lo aproximadamente como nos métodos anteriores. Para se definir a outra raiz, devemos utilizar a função com 
Método de Newton-Raphoson ou Método de Newton
A avaliação de uma função pode ser complicada dependendo do tipo de função. Neste método, queremos estimar a raiz (ou as raízes) de uma função e, dependendo do tipo de função, tal tarefa pode ser um processo complicado.
O método de Newton procura obter a convergência de uma forma mais rápida do que os métodos anteriores, para isto trabalharemos com a derivada da função, isto é, φ’ (ε) = 0. Este método é também conhecido como método das tangentes em função da sua interpretação gráfica.
Dada a equação f(x) = 0 e partindo de uma φ(x), queremos obter a função A(x) tal que φ’(ε) = 0.
Como φ(x) = X + A(x) × f(x) derivando esta função e aplicando o ponto ε, encontramos que , então a função 
Escolhendo x0, encontraremos a sequência xk utilizando:
 
n representa a n-esima iteração do algoritmo e f’(xn) e a derivada da função f em xn.
Lembre-se: Tangente é a derivada da função, tal conhecimento foi abordado em cálculo 1.
Observe graficamente o método:
Partimos de ponto inicial x0. O ponto x1 é obtido de tal forma que x1 é a abcissa do ponto de interseção entre o eixo ox e a reta tangente à curva f(x) no intervalo (x0, f(x0)). No ponto (x0, f(x0)), traçamos a reta tangente a f(x), onde teremos tg (α) = f ’(x0).
Observação: Este método nem sempre converge. Se a derivada no ponto xk se aproxima de zero, o método pode divergir, ou seja, não se aproximar da raiz exata. Note que requer que f’ (xk) seja diferente de zero para todo k.
Porém, se trabalhamos com e diferente de zero, o método de Newton está bem definido, embora a convergência seja mais lenta. Além disso, temos como desvantagem o cálculo da derivada da função.
Método da Secante
O método de Newton, como vimos, utiliza a derivada da função f(x), o que pode transformar este método em algo nem sempre apropriado para a função estudada e, consequentemente, ser uma desvantagem.
Uma forma de melhorar é substituir a derivada pelo quociente das diferenças, ou seja, utilizar a definição formal de derivada:
Onde xk e xk-1 são duas aproximações para a raiz.
Neste caso, a função de iteração ficará:
Podemos melhorar esta função utilizando operações básicas da matemática. Esta ficará, então, da forma:
Interpretação Geométrica
A partir de duas aproximações xk e xk-1, o ponto xk-1 é obtido como sendo a abcissa do ponto de intersecção do eixo ox e da reta secante que passa por (xk-1 , f(xk-1)) e (xk ,f(xk)).
SÍNTESE DA AULA
Nesta aula, você:
Viu mais alguns métodos numéricos para solução de equações transcendentais e polinomiais;
Aplicou os métodos numéricos para a resolução de problemas em Engenharia e viu como implementá-los e entendê-los graficamente;
Resolveu alguns exemplos clássicos encontrados na literatura.
PRÓXIMA AULA
Na próxima aula, você vai estudar:
Aplicação de diferentes métodos para solução de sistemas de equações lineares. Tais métodos são um importante passo para resolvermos alguns métodos numéricos que veremos no decorrer do curso.
Aula 5: Sistemas de Equações Lineares
Objetivo desta Aula
Nesta aula, você irá:
Identificar, comparar e aplicar diferentes métodos para solução de sistemas de equações lineares. Tais métodos são importantes passos para resolvermos alguns métodos numéricos.
Introdução
Temos por objetivo aprender métodos para achar a solução de Sistema de Equações Lineares, os quais aplicaremos no desenvolvimento de outros Métodos Numéricos que ainda vamos aprender no decorrer deste curso. Tais métodos estão presentes na resolução de problemas em Engenharia e veremos como implementa-los.
Sistemas de Equações Lineares
Nesta aula, veremos a resolução de Sistemas de Equações Lineares, utilizando métodos diretos e métodos iterativos. Tais métodos são importantes para resoluções de alguns métodos numéricos que veremos na próxima aula.
São aqueles que fornecem a solução exata do sistema linear, se ela existir, a menos de erro de arredondamento.
Dentre eles, estudaremos:
Método de Gauss-Jordan
Método da Decomposição LU
Método de Gauss-Jordan
O Método de Gauss-Jordan consiste em um processo de transformação de um sistema linear qualquer em um sistema linear escalonado equivalente.
Para isso, utilizaremos os conhecimentos adquiridos na disciplina de Álgebra Linear.
Clique aqui em ../docs/metodo_gauss_jordan.pdf e saiba mais sobre o método de Gauss-Jordan.
	
	
Método de Decomposição LU ou Fatoração LU
Novamente, trabalharemos com a matriz escrita na forma Ax = B.
O processo de decomposição LU consiste em decompor a matriz A (matriz dos coeficientes) em um produto de dois ou mais fatores, e, em seguida, resolver uma sequência de sistemas lineares que levará a solução do sistema original.
Então, teremos A = LU; onde L é uma matriz triangular inferior de ordem m x n com diagonal principal contendo apenas 1’s, e U é uma matriz de ordem m x n que é da forma escalonada reduzida de A.
Saiba mais no PDF sobre o assunto.
Métodos Iterativos
O método iterativo consiste em generalizaro procedimento na busca de raiz (es) de uma equação, sendo denominado iterativo quando fornece uma sequência de soluções aproximadas, onde cada solução é obtida utilizando a solução encontrada na sequência anterior pela aplicação de um mesmo procedimento. Para isso, utilizaremos a decomposição AX = B e os procedimentos anteriormente estudados.
Gauss-Jacobi
O método de Gauss-Jacobi transforma o sistema linear AX = B em 
Definimos a matriz C com ordem n x n e G um vetor de ordem n x 1.
Observe que a função φ(x) é uma função de iteração dada na forma matricial, ou seja, os métodos que trabalhamos anteriormente podem ser resolvidos na forma matricial quando envolvem uma sistema de equações e não mais apenas uma equação φ(x), como na aula anterior.
Saiba mais no PDF sobre o assunto.
Teorema: Critério das linhas
O método de Gauss-Seidel é semelhante ao método de Jacobi, ou seja, transforma o sistema linear AX= B em X=CX+G por separação da diagonal.
Saiba mais no PDF sobre o assunto.
Critério de Sassenfeld
Observação: O critério das linhas utilizado no método de Gauss-Jacobi pode ser utilizado para garantir a convergência do método de Gauss-Seidel. Porém, pode acontecer que o critério das linhas não seja satisfeito e o de Sassenfeld seja satisfeito; então, o sistema converge.
Comparando os Métodos Numéricos
Os métodos diretos são processos finitos. Portanto, na teoria, a solução de qualquer sistema não singular de equações será obtida. O método iterativo só obterá a solução se suas condições de convergência forem garantidas;
Os problemas práticos produzem matrizes grandes e muitas vezes matrizes esparsas (que possuem muitos elementos zeros). No caso de a matriz ser esparsa, os métodos diretos não aconselháveis, pois, durante o processo de triangulação de A, a esparsidade pode ser destruída. Os métodos iterativos conservam a esparsidade;
Os métodos iterativos têm menos erros de arredondamento, pois, garantindo a convergência pelo teorema, serão independentes do ponto inicial x0. Os métodos diretos apresentam erros de arredondamento, mas o pivoteamento ameniza este problema.
SÍNTESE DA AULA
Nesta aula, você:
Identificou, comparou e aplicou diferentes métodos para solução de Sistemas de Equações Lineares.
PRÓXIMA AULA
Na próxima aula, você vai estudar:
Identificação e aplicação de técnicas de aproximação de funções, ou seja, interpolação polinomial e ajuste de funções;
Implementação dos algoritmos. Para isso, utilizará o conhecimento aprendido nas aulas anteriores.
Aula 6: Aproximação de Funções
Objetivo desta Aula
Nesta aula, você irá:
Identificar e aplicar técnicas de aproximação de funções, ou seja, interpolação polinomial e ajuste de funções.
Introdução
Nesta aula aplicaremos os Métodos Numéricos para a resolução de problemas em Engenharia e aprenderemos como implementá-los. Resolveremos também alguns exemplos clássicos encontrados na literatura que envolvem interpolação polinomial e ajuste de funções.
Apresentaremos a aproximação de uma função de uma variável real por outras funções mais simples, de modo a facilitar procedimentos matemáticos como em equações diferenciais, sistemas não lineares etc.
Interpolação Polinomial
A interpolação polinomial consiste em substituir a função original f(x) por outra função g(x), com o objetivo de realizar ou facilitar certas operações matemáticas.
Tal procedimento é realizado, por exemplo, quando são conhecidos somente os valores numéricos da função para um conjunto de pontos e é necessário calcular o valor da função em um ponto não tabelado, mesmo quando as operações matemáticas exigidas são complicadas ou impossíveis de serem realizadas.
Saiba mais no PDF sobre o assunto.
Métodos de Lagrange
Saiba mais no PDF sobre o assunto.
Método de Newton
Confira o 1º e 2º passo do método de Newton a seguir.
E também saiba mais no PDF sobre o assunto.
1º Passo:
Encontrar P0 (x) que interpola f (x) em x = x0
 
Temos que para todo 
 
Podemos reescrever na forma: 
Ou ainda: 
Seja 
Onde 
Definimos E0 como o erro cometido ao se aproximar f(x) por p0(x)
2º Passo:
Encontrar Pk (x) que interpola f (x) em x = x0, x1, x2, ..., xk
Teremos a forma de Newton para o polinômio de grau menor e igual a n que interpola f (x) em x = x0, x1, ..., xn:
O erro cometido será dado por:
Ajuste de Funções
A interpolação não é aconselhável quando precisamos obter um valor aproximado da função em algum ponto fora do intervalo tabelado (xn, f(xn)). Portanto, surge a necessidade de se ajustar a função tabelada – função que seja uma boa aproximação para os valores tabelados e que nos permita extrapolar, usando para valores fora da tabela com uma certa margem de segurança.
Tal ajuste pode ser utilizando:
Caso Discreto
Seja os pares ordenados (xn, f(xn)), n = 1,...,m e xn ∈ [a,b], definidas n funções g1(x), ..., gn(x) contínua em [a,b], obtemos n constantes α tais que a função φ(x) = α1g1(x) + ...+ αn gn(x). gi podem ser funções não lineares de x e α1 são os coeficientes e aparecem linearmente.
O objetivo é que φ(x) tenha uma aproximação máxima de f(x).
A escolha da função pode se dar pela observação dos dados (pontos (x, y) tabelados) graficamente (diagrama de dispersão) ou em fundamentos teóricos do experimento.
Exemplo 1
Seja a tabela abaixo resultado de um experimento, montaremos o diagrama de dispersão e definiremos a função que mais se aproxima da curva:
	x
	-1
	-0,75
	-0,6
	-0,5
	-0,3
	0
	0,2
	0,4
	0,5
	f(x)
	2,05
	1,15
	0,45
	0,4
	0,5
	0
	0,2
	0,6
	0,51
Este diagrama de dispersão sugere aproximarmos a curva por uma parábola, passando pela origem.
Portanto, g (x) = x2 e procuramos por φ(x) = α1 x2
Para determinar α1 e, consequentemente, (x) = α1g1(x), podemos impor que o desvio f(xi) - φ(xi) seja mínimo para i = 1,..., m.
Veremos a seguir um modo de impor que tal desvio seja mínimo usando o método dos quadrados mínimos. Este método escolhe αi de tal forma que a soma dos quadrados dos desvios seja mínima.
Exemplo 2
Vamos aplicar no exemplo anterior
	x
	-1
	-0,75
	-0,6
	-0,5
	-0,3
	0
	0,2
	0,4
	0,5
	f(x)
	2,05
	1,15
	0,45
	0,4
	0,5
	0
	0,2
	0,6
	0,51
Procuramos por f(x) ≈ φ(x) = α1 x2 e g(x) = x2
Usando a definição de ponto mínimo aprendido em cálculo diferencial, encontramos os pontos críticos, ou seja, f `(x) = 0 (derivada de primeira ordem).
Calculando as derivadas parciais para cada i e impondo a condição da derivada ser igual a zero, desmembramos tais equações em um sistema linear com n equações (equações normais) e n incógnitas
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	Soma
	x
	-1
	-0,75
	-0,6
	-0,5
	-0,3
	0
	0,2
	0,4
	0,5
	
	(x2)(x2)
	1
	0,316
	0,13
	0,06
	0,008
	0
	0,002
	0,026
	0,06
	1,606
	f(x)(x2)
	2,05
	0,649
	0,16
	0,1
	0,045
	0
	0,008
	0,096
	0,13
	3,238
Portanto, 1,606 α = 3.238
Podemos, assim, concluir que α = 2,016. Então φ(x) = 2,016 x2
Caso Contínuo
Geometricamente, este caso significa que a área entre as curvas f(x) e a função φ(x) é mínima.
Exemplo 1
Exemplo 2
Caso não linear
Neste caso, devemos linearizar a função através de alguma transformação para depois aplicar o método dos quadrados mínimos visto anteriormente.
Exemplo 1
Exemplo 2
SÍNTESE DA AULA
Nesta aula, você:
Identificou e aplicou técnicas de aproximação de funções, ou seja, interpolação polinomial e ajuste de funções;
Utilizou o conhecimento aprendido nas unidades anteriores;
Aplicou os Métodos Numéricos para a resolução de problemas em Engenharia;
Implementou e compreendeu graficamente os Métodos Numéricos;
Resolveu alguns exemplos clássicos encontrados na literatura.
PRÓXIMA AULA
Na próxima aula, você vai estudar:
Identificação e aplicação de diferentes métodos para integração numérica, ou seja, métodos de interpolação.
Aula 7: Integração Numérica
Objetivo desta Aula
Nesta aula, você irá:
Identificar e aplicar diferentes métodos para integração numérica, ou seja, métodos deaproximações; para isso, utilizaremos o conhecimento aprendido nas unidades anteriores.
Introdução
Temos por objetivo calcular o valor aproximado de uma integral definida para sua primitiva. Para isso, temos como princípio substituir tal função por um polinômio que a aproxime razoavelmente, e faremos isso através da interpolação. Esses métodos estão presentes na resolução de problemas em Engenharia.
Integração Numérica
A integração numérica é uma técnica empregada na determinação de uma integral definida, cuja função não é disponível ou não possui uma solução analítica.
Para isso, aplicaremos a aproximação de uma integral definida por uma somatório, ou seja, usando a substituição da função f(x) por um polinômio que se aproxime razoavelmente no intervalo [a, b] (integral definida) e, assim, a integral seria trivial (integração de polinômio).
Lembre-se, integral definida tem com notação
Portanto, a aproximação será definida como:
Métodos de Interpolação
Newton-Cotes
Nas formulas de Newton-Cotes, a ideia de polinômio que aproxime f(x) razoavelmente e que esse polinômio interpole em pontos do intervalo [a,b] igualmente espaçados.
Seja o intervalo [a,b] subdividido em subintervalos de comprimento h, onde: 
Regra dos retângulos
Seja o intervalo [a, b] no eixo x que é particionado em n subintervalos igualmente espaçados [xi, xi+1], com x0 = a e xn = b e hi = xi+1 – xi.
Seja f uma função contínua ou simplesmente Riemann integrável, cuja integral não é conhecida
Nosso objetivo é calcular a integral, pelo método da área dos retângulos, raciocínio utilizado no teorema de Riemann, ou seja, subdividimos os intervalos [a, b] igualmente no eixo x e construímos retângulos.
As áreas desses retângulos, quando somados, será uma aproximação para a integral definida no intervalo [a, b] da função f(x) (área abaixo do gráfico no intervalo [a, b], limitada pelo eixo x).
A área do retângulo
Onde 
Podemos definir R(hn) também como:
Observe que hi é uma constante, portanto, pela propriedade de somatório hi, pode sair do somatório, simplificando assim a expressão.
Exemplo cujos cálculos poderão ser feitos utilizando a planilha do Excel (ou equivalente).
Regra dos Trapézios
A regra dos trapézios é uma extensão natural da regra dos retângulos, onde em cada subintervalo considera-se um polinômio interpolador de grau 1, ou seja, uma reta.
Usando a fórmula de Lagrange, para expressar o polinômio p1(x) que interpola f(x) no intervalo [x0, x1] temos:
Onde:
Podemos, então, escrever a integral como:
I é a área do trapézio de altura h e bases f(x0) e f(x1)
Observe a figura ao lado. Podemos ver que a área delimitada por f(x) no intervalo [x0, x1] (correspondente a área da integral definida) e a área do trapézio possuem uma pequena diferença. Chamaremos esta diferença entre as áreas de erro e o definiremos como:
Da interpolação temos que:
Integrando essa expressão definimos o erro como:
A expressão do erro pode ser melhorada usando o Teorema do valor médio (visto em cálculo), ficando a expressão da regra do trapézio da seguinte forma:
Então
Podemos usar a regra do trapézio repetidas vezes, ficando assim: 
[a,b], xi tais que xi+1 – xi = h, i=0, 1,...,m-1 e o erro cometido como:
Regra de Simpson
Novamente podemos usar a fórmula de Lagrange para chegarmos a fórmula de integração que representará a aproximação de f(x) por um polinômio de grau 2.
Portanto, seja p2(x) o polinômio que interpola f(x) nos pontos x0 = a, x1 = x0 + h e x2 = x0 + 2h = b.
De acordo com a fórmula de Lagrange, temos:
Passando a integral, teremos:
Para resolver as integrais podemos fazer uma mudança de variável para facilitar: x – x0 = zh
Portanto, dx será: dx = hdz
Com esta mudança de variável a integral definida ficará:
Exemplo
SÍNTESE DA AULA
Nesta aula, você:
Identificou, comparou e aplicou métodos que envolvem integração numérica para solução de problemas que necessitam de aproximação.
O QUE VEM NA PRÓXIMA AULA
Na próxima aula, você vai estudar:
Identificação e aplicação dos diferentes métodos para integração numérica, ou seja, métodos de extrapolação; para isso, utilizaremos o conhecimento aprendido nas unidades anteriores.
Aula 8: Integração Numérica
Objetivos desta Aula
Nesta aula, você irá:
Identificar e aplicar diferentes métodos para integração numérica, ou seja, métodos de extrapolação.
Introdução
Temos por objetivo calcular o valor aproximado, com maior precisão, de uma integral definida para sua primitiva. Para isso, recorreremos ao método de extrapolação, presente na resolução de problemas em Engenharia.
Realizaremos também a comparação entre os métodos aprendidos e o método de extrapolação.
Método de Romberg
O método de romberg permite que se calcule com grande precisão a integral definida
Tal método é mais preciso do que se o método dos trapézios e exige um esforço computacional menor. O Método de Romberg utiliza a Regra do Trapézio repetida para obter aproximações preliminares. Em seguida aplica um processo de extrapolação de Richardson para melhorar a aproximação, ou seja, aplica-se sucessivamente a extrapolação de Richardson, onde duas aproximações são usadas para se definir uma terceira.
1º Passo do Método de Romberg
Para k = 2, temos:
Para k qualquer, temos:
2º Passo do Método de Romberg
Utilizaremos a extrapolação de Richardson para acelerar a convergência.
Podemos visualizar mais facilmente os resultados através da tabela n x n de Romberg abaixo:
	R1,1
	
	
	
	
	
	R2,1
	R2,2
	
	
	
	
	R3,1
	R3,2
	R3,3
	
	
	
	R4,1
	R4,2
	...
	R4,4
	
	
	...
	...
	...
	...
	...
	
	Rn,1
	...
	...
	...
	...
	Rn,n
Política de segurança operacional
Exemplo
Calcule a aproximação da integral definida 
Calculando os Rn,n, preenchemos a tabela abaixo:
	0
	
	
	
	
	
	1,57079633
	2,09439511
	
	
	
	
	1,89611890
	2,00155976
	1,99857073
	
	
	
	1,97423160
	2,00026917
	1,99998313
	2,00000555
	
	
	1,99357034
	2,00001659
	1,99999975
	2,00000001
	1,99999999
	
	1,99839336
	2,00000013
	2,0000000
	2,0000000
	2,0000000
	2,0000000
Conclusão
Portanto, podemos concluir que a convergência da integral será 2,0000000.
Observe que a escolha do n define o tamanho da tabela. Porém, observe que atingimos a convergência antes mesmo de terminar de preencher a tabelas neste exemplo.
Para evitar trabalho desnecessário, podemos definir um critério de parada para o cálculo como sendo uma tolerância de erro, ou seja, quando a diferença entre vizinhos for menor do que o erro, paramos o procedimento.
SÍNTESE DA AULA
Nesta aula, você:
Identificou, comparou e aplicaremos métodos que envolvem integração numérica para solução de problemas que necessitam de aproximação usando um método mais preciso.
O QUE VEM NA PRÓXIMA AULA
Na próxima aula, você vai estudar:
Resolução de Equações Diferenciais Ordinárias de 1a ordem, usando modelos dinâmicos e método de Euler;
Identificação e aplicação de métodos de resolução de equações diferenciais ordinárias (EDO) de 1a ordem para problemas de valor inicial (PVI);
Implementação do algoritmo.
Aula 9: Resolução de Equações Diferenciais Ordinárias de 1ª Ordem
Objetivos desta Aula
Nesta aula, você irá:
Identificar e aplicar métodos de resolução de equações diferenciais ordinárias (EDO) de 1a ordem para problemas de valor inicial (PVI);
Reconhecer que tais problemas possuem um estado inicial conhecido;
Avaliar que, em geral, a caracterização de um estado do sistema diferente do inicial é dada por uma equação diferencial que descreve a evolução do sistema a partir deste estado inicial;
Verificar que estes problemas podem descrever diversos fenômenos na engenharia, física etc.
Introdução
Nesta aula, identificaremos e aplicaremos métodos de resolução de equações diferenciais ordinárias (EDO) de 1ª ordem para problemas de valor inicial (PVI). Vamos verificar também que estes problemas podem descrever diversos fenômenos na engenharia,física etc.
Resolução de Equações Diferenciais Ordinárias de 1ª Ordem
Para começamos a trabalhar com as Equações diferenciais ordinárias devemos primeiro entender alguns conceitos.
Equação diferencial
Equação diferencial é toda equação em que figura, pelo menos, uma derivada ou diferencial da função incógnita.
Resolver ou integrar
Resolver ou integrar uma equação diferencial significa determinar todas as funções que verificam a equação, isto é, que a transformam em uma identidade.
Linear
Uma equação diferencial é dita linear se a função e suas derivadas são lineares.
Ordem
Ordem da derivada de mais alta ordem da função incógnita que figura na equação como a ordem da equação diferencial.
Solução
Seja uma equação diferencial de ordem n: F(x,y’,y’’,y’’’,...’yn)=0 (1). Chama-se solução desta equação diferencial toda função y= φ (x), definida em um intervalo aberto (a,b), juntamente com suas derivadas sucessivas até a ordem n inclusive; tal que ao fazermos a substituição de y por y= φ (x) na equação (1), esta se converte em uma identidade com respeito a x no intervalo (a,b).
Grau
O grau de uma equação diferencial será definido como o maior expoente da derivada de mais alta ordem da função incógnita que figura na equação.
Equações diferenciais ordinárias
Se uma equação diferencial tem apenas uma variável independente, elas são chamadas equações diferenciais ordinárias.
Modelos dinâmicos
Na engenharia, a utilização de equações diferenciais tem como objetivo descrever o comportamento dinâmico de sistemas físicos. Como, por exemplo, uma equação diferencial que descreve o comportamento dinâmico de um circuito. 
Todavia, a aplicação de equações diferenciais não se limita à engenharia, tendo vasta aplicação em outras áreas como biologia, economia etc.
Métodos de Euler ou Passo Simples
Um dos métodos que podemos aplicar em um Problema de Valor Inicial é o método de Euler.
Pela definição da reta temos:
Lembrando que
Logo
Para definirmos a reta no ponto (x1, y1), repetimos o mesmo raciocínio, encontrando:
Podemos, então, generalizar a equação da reta como:
SÍNTESE DA AULA
Nesta aula, você:
Identificou e aplicou métodos de resolução de equações diferenciais ordinárias (EDO) de 1ª ordem para problemas de valor inicial (PVI).
O QUE VEM NA PRÓXIMA AULA
Na próxima aula, você vai estudar:
Identificação e aplicação dos métodos de resolução de equações diferenciais ordinárias (EDO) de 1a ordem para problemas de valor de contorno (PVC);
Implementação do algoritmo, utilizando o conhecimento aprendido nas aulas anteriores.
Aula 10: Resolução de Equações Diferenciais Ordinárias de 1ª Ordem
Objetivos desta Aula
Nesta aula, você irá:
Identificar e aplicar métodos de resolução de equações diferenciais ordinárias (EDO) de 1a ordem para problemas de valor de contorno (PVC);
Verificar que o PVC tem como característica a definição de valores para condições suplementares e que esta especificação existirá em mais de um ponto.
Introdução
Nesta aula, vamos identificar e aplicar métodos de resolução de equações diferenciais ordinárias (EDO) de 1a ordem para problemas de valor de contorno (PVC), utilizando o conhecimento aprendido nas aulas anteriores.
Resolução de Equações Diferenciais Ordinárias de 1ª Ordem
Nesta aula, utilizaremos o conhecimento adquirido na aula anterior para identificar e aplicar métodos de resolução de equações diferenciais ordinárias (EDO) de 1a ordem para problemas de valor de contorno (PVC). 
O PVC tem como característica a definição de valores para condições suplementares, porém esta especificação existirá em mais de um ponto. 
Para entendermos o método de Runge–Kutta, precisamos relembrar, ou mesmo aprender, a série de Taylor.
Definimos a série de Taylor de y(x) em torno de x = xn como:
Métodos de Runge-Kutta
Vimos que o método de Euler trabalha com a equação da reta e seu coeficiente angular definido como:
Ambos os métodos (de Euler e de Runge-Kutta) satisfazem as seguintes condições:
É de passo um;
Concorda com a série de Taylor até os termos de ordem h1;
Não exige o cálculo de qualquer derivada de f(x,y);
Calcula f(x,y) em vários pontos.
Concluímos, então, que o método de Euler é um método de série de Taylor de 1ª ordem e também é um método de Runge-Kutta de 1ª ordem.
Portanto, o resolveremos da mesma forma que o método de Euler.
Métodos de Runge-Kutta de 2ª ordem
O método de Runge-Kutta de 2ª ordem pode ser definido a partir do método de Euler aperfeiçoado:
Para o método de Euler aperfeiçoado: a1 = 0.5 , a2 = 0.5 , b1 = 1 e b2 = 1
Modelos Dinâmicos
SÍNTESE DA AULA
Nesta aula, você:
Identificou e aplicou métodos de resolução de equações diferenciais ordinárias (EDO) de 1a ordem para problemas de valor de contorno (PVC).