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17 
 
A.3. A ESCOLHA ÓPTIMA DO CONSUMIDOR 
A.3.1. Para cada um dos consumidores 
i. deduza as funções procura de ambos os bens; 
ii. determine a escolha óptima; 
iii. calcule o nível de satisfação; e 
iv. avalie a taxa marginal de substituição no ponto óptimo. 
a) Consumidor A: 5,05,0 yx5U = ; 2Px = ; 10Py = ; 100m = 
FUNÇÕES PROCURA 
( )yPxPmy5x
myPxP.a.s
yx5Umax
yx
5,00,5
yx
5,05,0
y,x −−λ+=Γ→
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
=
 
⇔
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=+
λ=
λ=
⇔
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=−−
=λ−×
=λ−×
⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=λ∂Γ∂
=∂Γ∂
=∂Γ∂
−
−
−
−
myPxP
Pyx5,2
Pyx5,2
0yPxPm
0Pyx5,05
0Pyx5,05
0
0y
0x
yx
y
5,05,0
x
5,05,0
yx
y
5,05,0
x
5,05,0
 
⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
=⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
=⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
λ
λ=−
−
myPxP
x
P
P
y
myPxP
P
P
x
y
myPxP
P
P
yx5,2
yx5,2
yx
y
x
yx
y
x
yx
y
x
5,05,0
5,05,0
 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
=
⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
=⇔
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=+
=
x
y
xx
y
x
y
x
yx
y
x
P
m5,0
x
P
m5,0
y
mxPxP
x
P
P
y
mx
P
P
PxP
x
P
P
y
 
ESCOLHA ÓPTIMA 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=×=
=×=
⇒
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=
=
25
2
1005,0
x
5
10
1005,0
y
100m
10P
2P
y
x
 
NÍVEL DE SATISFAÇÃO 
9,555255U 5,05,0 ≈××= 
TAXA MARGINAL DE SUBSTITUIÇÃO NO PONTO ÓPTIMO 
( ) ( )
2,0
25
5
yUmg
xUmg
TMS
5;25
5;25x,y
=== 
b) Consumidor B: 6,04,0 yx2U = ; 1Px = ; 6Py = ; 50m = 
FUNÇÕES PROCURA 
( )yPxPmy2x
myPxP.a.s
yx2Umax
yx
6,00,4
yx
6,04,0
y,x −−λ+=Γ→
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
=
 
 18 
 
⇔
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=+
λ=
λ=
⇔
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=−−
=λ−×
=λ−×
⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=λ∂Γ∂
=∂Γ∂
=∂Γ∂
−
−
−
−
myPxP
Pyx2,1
Pyx8,0
0yPxPm
0Pyx6,02
0Pyx4,02
0
0y
0x
yx
y
4,04,0
x
6,06,0
yx
y
4,04,0
x
6,06,0
 
⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
=⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
=⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
λ
λ=−
−
myPxP
x
P
P
5,1y
myPxP
P
P
x3
y2
myPxP
P
P
yx2,1
yx8,0
yx
y
x
yx
y
x
yx
y
x
4,04,0
6,06,0
 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
=
⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
=⇔
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=+
=
x
y
xx
y
x
y
x
yx
y
x
P
m4,0
x
P
m6,0
y
mxP5,1xP
x
P
P
5,1y
mx
P
P
5,1PxP
x
P
P
5,1y
 
ESCOLHA ÓPTIMA 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=×=
=×=
⇒
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=
=
20
1
504,0
x
5
6
506,0
y
50m
6P
1P
y
x
 
NÍVEL DE SATISFAÇÃO 
4,175202U 6,04,0 ≈××= 
TAXA MARGINAL DE SUBSTITUIÇÃO NO PONTO ÓPTIMO 
( ) ( ) 6
1
203
52
yUmg
xUmg
TMS
5;20
5;20x,y
=×
×== 
c) Consumidor C: 23yxU = ; 5,1Px = ; 4Py = ; 45m = 
FUNÇÕES PROCURA 
( )yPxPmyx
myPxP.a.s
yxUmax
yx
23
yx
23
y,x −−λ+=Γ→
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
=
 
⇔
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=+
λ=
λ=
⇔
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=−−
=λ−
=λ−
⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=λ∂Γ∂
=∂Γ∂
=∂Γ∂
myPxP
Pyx2
Pyx3
0yPxPm
0Pyx2
0Pyx3
0
0y
0x
yx
y
3
x
22
yx
y
3
x
22
 
⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
=⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
=⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
λ
λ=
myPxP
x
P3
P2
y
myPxP
P
P
x2
y3
myPxP
P
P
yx2
yx3
yx
y
x
yx
y
x
yx
y
x
3
22
 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
=
⇔
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=+
=
⇔
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=+
=
x
y
xx
y
x
y
x
yx
y
x
P
m6,0
x
P
m4,0
y
mxp
3
2
xP
x
P3
P2
y
mx
P3
P2
pxP
x
P3
P2
y
 
ESCOLHA ÓPTIMA 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=×=
=×=
⇒
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=
=
18
5,1
456,0
x
5,4
4
454,0
y
45m
4P
5,1P
y
x
 
NÍVEL DE SATISFAÇÃO 
1180985,418U 23 =×= 
TAXA MARGINAL DE SUBSTITUIÇÃO NO PONTO ÓPTIMO 
 19 
 
( ) ( )
375,0
182
5,43
yUmg
xUmg
TMS
5,4;18
5,4;18x,y
=×
×== 
d) Consumidor E: y3x2U += ; 1Px = ; 4Py = ; 60m = 
FUNÇÕES PROCURA 
⎪⎪
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎪
⎨
⎧
<
=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
>
=
⎪⎪
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎪
⎨
⎧
<
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
>
=→
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
+=
y
x
y
y
x
y
y
x
y
x
y
x
x
y
x
x
yx
y,x
P
P
3
2
P
m
P
P
3
2
P
m
;0
P
P
3
2
0
y
P
P
3
2
0
P
P
3
2
P
m
;0
P
P
3
2
P
m
x
myPxP.a.s
y3x2Umax
ESCOLHA ÓPTIMA 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
==⇒=⇒
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=
=
0y
60
1
60
x
25,0
P
P
60m
4P
1P
y
x
y
x
 
NÍVEL DE SATISFAÇÃO 
12003602U =×+×= 
TAXA MARGINAL DE SUBSTITUIÇÃO NO PONTO ÓPTIMO 
( ) ( ) 3
2
yUmg
xUmg
TMS
0;60
0;60x,y
== 
e) Consumidor F: y2x5U += ; 3Px = ; 1Py = ; 12m = 
FUNÇÕES PROCURA 
⎪⎪
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎪
⎨
⎧
<
=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
>
=
⎪⎪
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎪
⎨
⎧
<
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
>
=→
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
+=
y
x
y
y
x
y
y
x
y
x
y
x
x
y
x
x
yx
y,x
P
P
2
5
P
m
P
P
2
5
P
m
;0
P
P
2
5
0
y
P
P
2
5
0
P
P
2
5
P
m
;0
P
P
2
5
P
m
x
myPxP.a.s
y2x5Umax
ESCOLHA ÓPTIMA 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
==
=
⇒=⇒
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=
=
12
1
12
y
0x
3
P
P
12m
1P
3P
y
x
y
x
 
NÍVEL DE SATISFAÇÃO 
2412205U =×+×= 
TAXA MARGINAL DE SUBSTITUIÇÃO NO PONTO ÓPTIMO 
( ) ( ) 2
5
yUmg
xUmg
TMS
12;0
12;0x,y
== 
f) Consumidor G: y4x3U += ; 6Px = ; 8Py = ; 150m = 
FUNÇÕES PROCURA 
 20 
 
⎪⎪
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎪
⎨
⎧
<
=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
>
=
⎪⎪
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎪
⎨
⎧
<
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
>
=→
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
+=
y
x
y
y
x
y
y
x
y
x
y
x
x
y
x
x
yx
y,x
P
P
4
3
P
m
P
P
4
3
P
m
;0
P
P
4
3
0
y
P
P
4
3
0
P
P
4
3
P
m
;0
P
P
4
3
P
m
x
myPxP.a.s
y4x3Umax
ESCOLHA ÓPTIMA 
[ ]
[ ]⎩⎨
⎧
∈
∈⇒=⇒
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=
=
75,18;0y
25;0x
4
3
P
P
150m
8P
6P
y
x
y
x
 
NÍVEL DE SATISFAÇÃO 
75253U =×= 
TAXA MARGINAL DE SUBSTITUIÇÃO NO PONTO ÓPTIMO 
4
3
yUmg
xUmg
TMS x,y == 
g) Consumidor H: { }y5,x2minU = ; 2Px = ; 10Py = ; 72m = 
FUNÇÕES PROCURA { }
⇔
⎩⎨
⎧
=+
=⇔
⎩⎨
⎧
=+
=→
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
=
myPxP
y5,2x
myPxP
y5x2
myPxP.a.s
y5,x2minUmax
yxyxyx
y,x 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
+=
+=⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+=
=
⇔
⎩⎨
⎧
=+
=
xy
yx
xy
yx
P5,2p
m
y
P4,0P
m
x
P5,2p
m
y
y5,2x
myPyP5,2
y5,2x
 
ESCOLHA ÓPTIMA 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=×+=
=×+=⇒
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=
=
8,4
25,210
72
y
12
104,02
72
x
72m
10P
2P
y
x
 
NÍVEL DE SATISFAÇÃO { } 248,45;122minU =××= 
TAXA MARGINAL DE SUBSTITUIÇÃO NO PONTO ÓPTIMO 
Não faz sentido 
h) Consumidor I: { }y,x3minU = ; 6Px = ; 2Py = ; 48m = 
FUNÇÕES PROCURA { }
⇔
⎩⎨
⎧
=+
=⇔
⎩⎨
⎧
=+
=→
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
=
mxP3xP
x3y
myPxP
yx3
myPxP.a.s
y,x3minUmax
yxyxyx
y,x 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
+=
+=⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+=
=
yx
yx
yx P3p
m
x
P3P
m3
y
P3p
m
x
x3y
 
ESCOLHA ÓPTIMA 
 21 
 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=×+=
=×+
×=
⇒
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=
=
4
236
48
x
12
236
483
y
48m
2P
6P
y
x
 
NÍVEL DE SATISFAÇÃO { } 1212;43minU =×= 
TAXA MARGINAL DE SUBSTITUIÇÃO NO PONTO ÓPTIMO 
Não faz sentido 
i) Consumidor H: { }y,x2minU = ; 4Px = ; 2Py = ; 100m = 
FUNÇÕES PROCURA { }
⇔
⎩⎨
⎧
=+
=⇔
⎩⎨
⎧
=+
=→
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
=
mxP2xP
x2y
myPxP
yx2
myPxP.a.s
y,x2minUmax
yxyxyx
y,x 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
+=
+=⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+=
=yx
xy
yx P2p
m
x
P5,0P
m
y
P2p
m
x
x2y
 
ESCOLHA ÓPTIMA 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=×+=
=×+=⇒
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=
=
5,12
224
100
x
25
45,02
100
y
100m
2P
4P
y
x
 
NÍVEL DE SATISFAÇÃO { } 2525;5,122minU =×= 
TAXA MARGINAL DE SUBSTITUIÇÃO NO PONTO ÓPTIMO 
Não faz sentido 
j) Consumidor K: ylnx4U += ; 10Px = ; 1Py = ; 5,62m = 
FUNÇÕES PROCURA 
( )yPxPmyln4x
myPxP.a.s
ylnx4Umax
yx
yx
y,x −−λ++=Γ→
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
+=
 
⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
λ=
λ=
⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=−−
=λ−
=λ−
⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=λ∂Γ∂
=∂Γ∂
=∂Γ∂
−−
myPxP
Py
P4
0yPxPm
0Py
0P4
0
0y
0x
yx
y
1
x
yx
y
1
x
 
⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
=⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
=⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
λ
λ=−
myPxP
P4
P
y
myPxP
P
P
y4
myPxP
P
P
y
4
yx
y
x
yx
y
x
yx
y
x
1 
⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
−
=
=
⇔
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=+
=
⇔
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=+
=
x
x
y
x
x
x
y
x
y
x
yx
y
x
P
4
P
m
x
P4
P
y
m
4
P
xP
P4
P
y
m
P4
P
pxP
P4
P
y
 
ESCOLHA ÓPTIMA 
 22 
 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
−
=
=×=
⇒
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=
=
6
10
4
10
5,62
x
5,2
14
10
y
5,62m
1P
10P
y
x
 
NÍVEL DE SATISFAÇÃO 
9,245,2ln64U ≈+×= 
TAXA MARGINAL DE SUBSTITUIÇÃO NO PONTO ÓPTIMO 
( ) ( )
10
5,2
4
yUmg
xUmg
TMS
1
5,2;6
5,2;6x,y
=== − 
k) Consumidor L: 2x5,0yU += ; 6Px = ; 2Py = ; 28m = 
FUNÇÕES PROCURA 
( ) ( )0yPmxPmy0x:cantodesolução
myPxP.a.s
x5,0yUmax
xy
yx
2
y,x =∧=∨=∧=→
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
+=
y
1
y P
m
u
Pmy
0x =⇒
⎩⎨
⎧
=
=
 
2
x
2
2
x
P
m5,0
u
0y
Pmx =⇒
⎩⎨
⎧
=
=
 
m5,0
P
P
P
m5,0
P
m
uu
y
2
x
2
x
2
y
21 >⇔>⇔> 
⎩⎨
⎧=
0
Pm
x x 
se
se
 
m5,0PP
m5,0PP
y
2
x
y
2
x
≥
≤
 
⎩⎨
⎧=
xPm
0
y 
se
se
 
m5,0PP
m5,0PP
y
2
x
y
2
x
≥
≤
 
ESCOLHA ÓPTIMA 
⎩⎨
⎧
=
=⇒=>=⇒
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=
=
14y
0x
14m5,018
P
P
28m
2P
6P
y
2
x
y
x
 
NÍVEL DE SATISFAÇÃO 
1405,014U 2 =×+= 
TAXA MARGINAL DE SUBSTITUIÇÃO NO PONTO ÓPTIMO 
( ) ( )
0
1
0
yUmg
xUmg
TMS
14;0
14;0x,y
=== 
l) Consumidor M: 5,0y12x3U += ; 2Px = ; 5,0Py = ; 100m = 
FUNÇÕES PROCURA 
( )yPxPmy123x
myPxP.a.s
y12x3Umax
yx
0,5
yx
5,0
y,x −−λ++=Γ→
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
+=
 
⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
λ=
λ=
⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=−−
=λ−
=λ−
⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=λ∂Γ∂
=∂Γ∂
=∂Γ∂
−−
myPxP
Py6
P3
0yPxPm
0Py6
0P3
0
0y
0x
yx
y
5,0
x
yx
y
5,0
x
 
⇔
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=+
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛=⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
=⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
λ
λ= −−
myPxP
P
P
4y
myPxP
P
P
y5,0
myPxP
P
P
y6
3
yx
2
y
x
yx
y
x5,0
yx
y
x
5,0 
 23 
 
⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
−
=
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛=
⇔
⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
=+
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛=
⇔
⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛+
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛=
x
y
2
x
2
y
x
y
2
x
x
2
y
x
2
y
x
yx
2
y
x
P
P
P
4m
x
P
P
4y
m
P
P
4xP
P
P
4y
m
P
P
P4xP
P
P
4y
 
ESCOLHA ÓPTIMA 
⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
=
−
=
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
⇒
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=
=
34
2
5,0
2
4100
x
64
5,0
2
4y
100m
5,0P
2P
2
2
y
x
 
NÍVEL DE SATISFAÇÃO 
1986412343U 5,0 =×+×= 
TAXA MARGINAL DE SUBSTITUIÇÃO NO PONTO ÓPTIMO 
( ) ( )
4
646
3
yUmg
xUmg
TMS
5,0
64;34
64;34x,y
=×== − 
 
 
A.3.2. A Joana tem a seguinte função de utilidade: 5,05,0 yx10U = e aufere 100 euros por 
semana que gasta no consumo dos bens X e Y, cujos preços são, respectivamente, 
2Px = e 1Py = , ambos denominados em euros. 
a) Suponha que a Joana detém hoje 12,5 unidades do bem X e 75 unidades do 
bem Y. Qual a X,YTMS nesse cabaz de dotações iniciais? Como se compara com 
os preços relativos? Se a Joana puder realizar trocas no mercado, que trocas 
tenderá ela a fazer? Explique a lógica do seu raciocínio. 
( ) ( ) ( )
2
P
P
6
x
y
yUmg
xUmg
TMS
Y
X
75;5,1275;5,12
75;5,12x,y
=>=== 
A Joana dispõe-se a trocar 6 unidades de Y por 1 de X. No mercado, para ter 1 
unidade adicional de X, exigem 2 unidades de Y. Logo, a Joana trocará Y por X. 
b) Qual o cabaz semanal óptimo da Joana? 
( )yx2100y10x
100yx2.a.s
yx10Umax
5,00,5
5,05,0
y,x −−λ+=Γ→
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
=
 
⇔
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=+
λ=
λ=
⇔
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=−−
=λ−
=λ−
⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=λ∂Γ∂
=∂Γ∂
=∂Γ∂
−
−
−
−
100yx2
yx5
2yx5
0yx2100
0yx5
02yx5
0
0y
0x
5,05,0
5,05,0
5,05,0
5,05,0
 
⇔
⎩⎨
⎧
=+
=⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
=⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
λ
λ=−
−
100yx2
x2y
100yx2
2
x
y
100yx2
2
yx5
yx5
5,05,0
5,05,0
 
⎩⎨
⎧
=
=⇔
⎩⎨
⎧
=
=⇔
⎩⎨
⎧
=+
=
25x
50y
25x
x2y
100x2x2
x2y
 
 24 
 
c) Qual a utilidade marginal do rendimento da Joana? 
m
U
54,3250255
50y
25x
2yx5
5,05,0
5,05,0
∂
∂=≈λ⇔λ=××⇒
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=
λ=
−
−
 
 
 
A.3.3. Suponha que, para um determinado consumidor, a taxa marginal de substituição 
avaliada na combinação de consumo x0 é ( ) 5,0xTMS 02,1 = . Sabendo que 
1p/p 21 = , diga se este cabaz será escolhido pelo consumidor. Em caso de 
resposta negativa, indique que tipo de trocas estará ele disposto a efectuar. 
Se para este consumidor os bens 1 e 2 forem substitutos perfeitos, então x0 pode ser a 
escolha do consumidor desde que corresponda a um cabaz em que todo o rendimento 
é gasto no bem 1. Caso contrário, x0 não será o cabaz óptimo e este consumidor 
dispõe-se a trocar o bem 2 pelo bem 1. 
 
 
A.3.4. Um consumidor tem preferências descritas pela função utilidade y25,0xU += , 
adquire os bens aos preços 1Px = e 2Py = e dispõe de 100 unidades monetárias 
de rendimento. 
a) Indique, sem efectuar cálculos, a escolha óptima de consumo. 
Para este consumidor, os bens x e y são substitutos. O bem x tem maior utilidade 
marginal e tem menor custo, logo o cabaz óptimo será afectar todo o rendimento 
ao consumo do bem x: ( ) ( )0,100y,x = . 
b) Suponha que uma guerra obriga a um esquema de racionamento do bem X, de 
acordo com o qual cada consumidor só pode adquirir 50 unidades desse bem. 
Qual é a escolha óptima do consumidor? 
O consumidor continua a escolher o máximo que puder de x, portanto o cabaz 
óptimo será ( ) ( )25,50y,x = . 
c) Responda de novo à questão anterior admitindo que, em vez do esquema de 
racionamento, o preço do bem X sobe para 3 unidades monetárias. 
5,1
2
3
P
P
4
25,0
1
TMS
y
x
x,y ==>== 
A solução óptima continua a ser gastar todo o rendimento em 1: ( ) ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛= 0,
3
100
y,x 
A.3.5. Seja o José Pedro com a seguinte função de utilidade yx2U = . 
a) Determine os consumos óptimos de X e Y, sujeitos à restrição orçamental 
100y4x5 ≤+ . 
 25 
 
( )y4x5100y2x
100y4x5.a.s
yx2Umax
y,x −−λ+=Γ→
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
=
 
⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
λ
λ=⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
λ=
λ=
⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=−−
=λ−
=λ−
⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=λ∂Γ∂
=∂Γ∂
=∂Γ∂
100y4x5
4
5
x2
y2
100y4x5
4x2
5y2
0y4x5100
04x2
05y2
0
0y
0x
⎩⎨
⎧
=
=⇔
⎩⎨
⎧
=
=⇔
⎩⎨
⎧
=×+
=⇔
⎩⎨
⎧
=+
=
10x
5,12y
10x
x25,1y
100x25,14x5
x25,1y
100y4x5
x25,1y
 
b) Suponha, agora, que o José Pedro está sujeito a um sistema de racionamento. 
Os preços das senhas de X e Y são 3 e6, respectivamente, existindo um 
racionamento total de 80 senhas. Determine os novos consumos óptimos. 
Poderá resolver-se a questão pelo método dos multiplicadores de Lagrange? 
Porquê? Serão ambas as restrições activas no cabaz óptimo? 
( ) ( )yx80y6x3100y2x
80yx
100y6x3
.a.s
yx2Umax
y,x
−−μ+−−λ+=Γ→
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
⎩⎨
⎧
≤+
≤+
=
 
As restrições sobre as variáveis não se podem exprimir com equações. Assim, não 
se pode recorrer ao método dos multiplicadores de Lagrange. Tem de se fazer uso 
das condições de Kuhn-Tucker: 
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )⎪⎪
⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
≥μ
≥λ
=−−μ
=−−λ
≤+
≤+
=μ−λ−
=μ−λ−
0:8
0:7
0yx80:6
0y6x3100:5
80yx:4
100y6x3:3
06x2:2
03y2:1
 
ƒ Se 0=λ 
( )
( ) ⎩⎨
⎧
μ=
μ=⇔
⎩⎨
⎧
μ=
μ=⇔
⎩⎨
⎧
=μ−
=μ−
5,0x
5,0y
x2
y2
0x2:2
0y2:1
 
Substituindo em (6) vem: 
( ) 80005,05,080 =μ∨=μ⇔=μ−μ−μ 
→==⇒=μ 0yx0 não é solução 
→=×+×⇒==⇒=μ 36040640340yx80 viola (3), não é solução. 
ƒ Se 0=μ 
( )
( ) ⎩⎨
⎧
λ=
λ=⇔
⎩⎨
⎧
λ=
λ=⇔
⎩⎨
⎧
=λ−
=λ−
3x
5,1y
6x2
3y2
06x2:2
03y2:1
 
Substituindo em (5) vem: 
( ) 181000099100 =λ∨=λ⇔=λ−λ−λ 
→=λ=μ 0 não é solução, já se viu anteriormente 
 26 
 
→=+⇒
⎩⎨
⎧
=
=⇒=λ 25
3
25
3
50
325y
350x
18
100
 não viola (4) 
ƒ 0, >μλ 
( ) ( )
( ) ( ) ⎩⎨
⎧
−=
=⇔
⎩⎨
⎧
=−−
=−−⇔
⎩⎨
⎧
=−−μ
=−−λ
3140y
3380x
0yx80
0y6x3100
0yx80:6
0y6x3100:5
 
Também não é solução. 
Portanto, ( ) ( )325,350y,x = e 0=μ , ou seja, a restrição do racionamento total 
de 80 senhas não é activa. 
c) Faça a representação gráfica dos dois equilíbrios. 
X0
X1
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
65
70
75
80
85
0 20 40 60 80 100
x
y
RO a)
RO b)
RO b)
U=250
U=277,78
 
 
 
A.3.6. Comente as seguintes afirmações: 
a) A escolha óptima do consumidor caracteriza-se pela igualdade entre a taxa 
marginal de substituição e o rácio dos preços. 
A frase é falsa. Embora seja verdadeira para preferências bem comportadas, não 
se aplica, por exemplo, a bens substitutos perfeitos. 
b) Dois indivíduos com cabazes de consumo idênticos têm certamente 
preferências idênticas. 
Considerem-se dois consumidores cujas preferências são dadas por y2xU += e 
y3xU += e que dispõem ambos de 100 u.m. Os preços são 2Px = e 1Py = . Para 
ambos os consumidores a escolha óptima será 0x = e 0y = . Ou seja, eles 
escolhem o mesmo cabaz. No entanto, não apresentam a mesma TMS pelo que as 
suas preferências não são idênticas. Portanto, este exemplo demonstra que a 
frase é falsa. 
c) Se a função utilidade de um consumidor é do tipo ( ) βα= yxy,xU , a 
percentagem de rendimento gasta no consumo do bem Y é sempre igual a β . 
 27 
 
A frase é falsa, pois com uma função utilidade do tipo ( ) βα= yxy,xU a 
percentagem de rendimento gasta no consumo do bem Y será sempre igual a 
β+α
β
. Passando a demonstrar: 
( )yPxPmyx
myPxP.a.s
yxUmax
yx
yx
y,x −−λ+=Γ→
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
= βα
βα
 
⇔
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=+
λ=β
λ=α
⇔
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=−−
=λ−β
=λ−α
⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=λ∂Γ∂
=∂Γ∂
=∂Γ∂
−βα
β−α
βα
β−α
myPxP
Pyx
Pyx
0yPxPm
0Pyx
0Pyx
0
0y
0x
yx
y
1
x
1
yx
y
x
1
 
⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
α
β=⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
=β
α
⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
λ
λ=β
α
−βα
β−α
myPxP
x
P
P
y
myPxP
P
P
x
y
myPxP
P
P
yx
yx
yx
y
x
yx
y
x
yx
y
x
1
1
 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
α
β+
α
β=
⇔
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=α
β+
α
β=
⇔
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=α
β+
α
β=
mxP1
x
P
P
y
mxpxP
x
P
P
y
mx
P
P
pxP
x
P
P
y
x
y
x
xx
y
x
y
x
yx
y
x
 
⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
β+α
α
=
β+α
β
=
⇔
⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
β+α
α
=
α
β=
⇔
⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
α
β+α=
α
β=
⇔
⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
α
β+
=
α
β=
x
y
x
y
x
x
y
x
x
y
x
P
m
x
P
m
y
P
m
x
x
P
P
y
P
m
x
x
P
P
y
P1
m
x
x
P
P
y
 
d) Se dois bens são complementares perfeitos, o consumidor vai sempre escolher 
comprar igual quantidade de ambos. 
Se dois bens são complementares perfeitos serão consumidos sempre na mesma 
proporção o que não significa que se consuma igual quantidade de ambos. Como 
exemplo tomem-se as alíneas g)-i) do exercício A.3.1. A frase é, então, falsa. 
e) Quando as preferências são quasi-lineares, a escolha do consumidor é sempre 
uma solução de canto. 
Uma solução de canto é aquela em que o rendimento é gasto em apenas um dos 
bens. A frase é, obviamente, falsa: basta ver o exemplo das alíneas j)-l) do 
exercício A.3.1. 
f) Se dois bens são substitutos perfeitos e yxy,x PPTMS > , o consumo de X é 
nulo. 
A frase é verdadeira. Se a y,xTMS é maior que o preço relativo de x, então x,yTMS 
é menor que o preço relativo de x. Como x,yTMS é o rácio da utilidade marginal 
de x e de y, dizer que aquela é menor que o rácio dos preços de x e de y significa 
que x tem um custo relativo superior à satisfação relativa que proporciona. E, 
como tal, não compensa comprá-lo.