08 - Teste Hipóteses Uma Amostra - parte 1

Prévia do material em texto

Universidade Federal de Santa Catarina 
Centro de Engenharia da Mobilidade – CEM 
Campus Joinville 
 
 
 
Prof. James S. Eger 
 
EMB 5010 
Estatística e probabilidade para engenharia 
Testes de Hipóteses para Uma 
Amostra 
 
 
Centro de Engenharia da Mobilidade EMB 5010 – Estatística 
Distribuições Amostrais e Estimação de Parâmetros 
Introdução 
 Inferência Estatística: 
 Métodos para tomar decisões ou tirar conclusões 
 Exemplos: 
 Utilizar outro processo de montagem eixo-mancal? 
 Alterar a composição de uma liga metálica? 
 Mudar de fornecedor de matéria-prima? 
 A temperatura influencia significativamente no rendimento do 
processo? 
 Et cetera... 
 
 
Centro de Engenharia da Mobilidade EMB 5010 – Estatística 
Distribuições Amostrais e Estimação de Parâmetros 
Introdução 
 Inferência Estatística: 
 
Centro de Engenharia da Mobilidade EMB 5010 – Estatística 
Distribuições Amostrais e Estimação de Parâmetros 
Introdução 
 Inferência Estatística: 
 Dividida em duas grandes áreas: 
 Estimação de Parâmetros 
 Testes de Hipóteses 
 
 Teste de Hipóteses - Exemplo: 
 Um engenheiro está analisando o rendimento (ρ) de um processo químico 
quando realizado sob duas temperaturas diferentes: T1 e T2 
 Conjectura: T1 resulta em rendimentos significativamente maiores? 
 Hipótese: ρ médio sob T1 > ρ médio sob T2 
 Não há ênfase na estimação dos rendimentos: 
 Foco nas conclusões sobre a hipótese estabelecida 
 
 
Centro de Engenharia da Mobilidade EMB 5010 – Estatística 
Distribuições Amostrais e Estimação de Parâmetros 
Testes de Hipóteses 
 Teste de Hipóteses 
 Hipótese estatística: afirmação sobre os parâmetros de uma ou mais 
populações 
 Ou: afirmação acerca da distribuição de probabilidades de uma 
variável aleatória 
 A hipótese é sempre uma afirmação sobre a população, e não sobre 
a amostra 
 
 Exemplo: Propelente utilizado para fornecer energia aos sistemas de 
escapamento de aeronaves: 
 Hipótese: a taxa média de queima do propelente é igual a 50 cm/s 
 H0: µ = 50 cm/s → hipótese nula 
 H1: µ ≠ 50 cm/s → hipótese alternativa 
Centro de Engenharia da Mobilidade EMB 5010 – Estatística 
Distribuições Amostrais e Estimação de Parâmetros 
Testes de Hipóteses 
 Hipóteses bilaterais e unilaterais: 
 H0: µ = 50 cm/s → hipótese nula 
 Hipótese alternativa bilateral: 
 H1: µ ≠ 50 cm/s 
 Hipótese alternativa unilateral: 
 H1: µ < 50 cm/s 
 H1: µ > 50 cm/s 
 
 Testar uma hipótese envolve: 
 Considerar uma amostra aleatória 
 Computar a estatística de teste a partir dos dados amostrais 
 Tomar uma decisão a respeito da hipótese nula 
 
Centro de Engenharia da Mobilidade EMB 5010 – Estatística 
Distribuições Amostrais e Estimação de Parâmetros 
Testes de Hipóteses 
 Testes de Hipóteses Estatísticas 
 Suponha que queiramos testar: 
 H0: µ = 50 cm/s → hipótese nula 
 H1: µ ≠ 50 cm/s → hipótese alternativa 
 Amostra: 
 n = 10 
 𝑥 = ... → significativamente próximo ou distante de 50 cm/s ? 
 A média amostral pode assumir muitos valores 
 Vamos definir os limites para aceitação de H0: 
 Se 48,5 ≤ 𝑥 ≤ 51,5 não rejeitaremos H0. 
Rejeita Rejeita 
Falha em 
rejeitar 
Centro de Engenharia da Mobilidade EMB 5010 – Estatística 
Distribuições Amostrais e Estimação de Parâmetros 
Testes de Hipóteses 
 Decisões no Teste: 
Rejeita Rejeita 
Falha em 
rejeitar 
 Supor que µverdadeira = 50 e 𝑥 caísse na região de rejeição → erro tipo I 
 Supor que µverdadeira ≠ 50 e 𝑥 caísse na região de aceitação → erro tipo II 
Decisão H0 é verdadeira H0 é falsa 
Aceitar H0 Acerto Erro tipo II (β) 
Rejeitar H0 Erro tipo I (α) Acerto 
Centro de Engenharia da Mobilidade EMB 5010 – Estatística 
Distribuições Amostrais e Estimação de Parâmetros 
Testes de Hipóteses 
 Como a decisão é baseada em variáveis aleatórias, é possível calcular a 
probabilidade de incorrer em cada erro 
 
 Supondo a distribuição real da população: µ = 50 cm/s e σ = 2,5 cm/s 
 P (erro tipo I) = α = ? (quadro) 
 Formas de reduzir α: 
 Alargar a região de aceitação 
 Aumentar o tamanho da amostra (p.ex. n = 16) 
 
 P (erro tipo II) = β → calculada para um valor específico de µ (p.ex. µverdadeira = 52) 
Decisão H0 é verdadeira H0 é falsa 
Aceitar H0 Acerto Erro tipo II (β) 
Rejeitar H0 Erro tipo I (α) Acerto 
Centro de Engenharia da Mobilidade EMB 5010 – Estatística 
Distribuições Amostrais e Estimação de Parâmetros 
Testes de Hipóteses 
 Exemplo 1) quadro 
 Procedimento: 
1. Considerar a amostra aleatória 
2. Formular as hipóteses 
3. Definir regiões de aceitação e rejeição 
4. Calcular a estatística de teste 
 Variância da população é conhecida (ou n > 40) → Zt (dist. normal) 
 Variância da população é desconhecida → Tt (dist. t-Student) 
5. Tomar a decisão acerca de H0 
 
 Relação entre Testes de Hipóteses e Intervalos de Confiança: quadro 
Centro de Engenharia da Mobilidade EMB 5010 – Estatística 
Distribuições Amostrais e Estimação de Parâmetros 
Testes de Hipóteses 
 Continua... 
Centro de Engenharia da Mobilidade EMB 5010 – Estatística 
MONTGOMERY, D.C., RUNGER, G.C. Estatística aplicada e 
probabilidade para engenheiros. 4ª ed., Editora LTC, Rio de Janeiro, 2009. 
 
BARBETTA, P. A., REIS, M. M. & BORNIA, A. C. Estatística para Cursos 
de Engenharia e Informática. 2ª ed., Editora Atlas, São Paulo, 2009. 
12 
Referências