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MA2311 CÁLCULO NUMÉRICO 1º Semestre de 2011 Prova P2 A Nº de ordem: __________ Nome: __________________________________ Ass.: ________________________________ Nº: ��������-� Tempo de Prova: 80 minutos Não é permitido usar calculadora Fazer a prova legível e em ordem NOTA: ____________ QUESTÃO 1: Um jogador de basquete de 2m de altura arremessa a bola para a ces- ta que está a 10m de distância. A 6m de distância do arremesso a bola atinge a altura de 4m. Sabendo-se que a cesta está a 3m do solo, determinar a altura que a bola alcan- ça a 7m de distância do arremesso? Usar 1 casa decimal. Solução: Devemos usar o polinômio interpolador de Lagrange com a seguinte tabela: x distância 0 6 7 10 f(x) altura 2 4 ? 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3.610.010 6x.0x4. 106.06 10x.0x2. 100.60 10x.6x)x(P2 −− −− + −− −− + −− −− = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3.4.10 67.074. 4.6 107.072. 10.6 107.67)7(P2 −− + − −− + −− −− = m95,3 40 158 40 21 2 7 10 1 ==++ − = QUESTÃO 2: Usar a tabela e o polinômio interpolador de Newton de grau 2, para calcu- lar A sabendo-se que o erro é desprezível e f(0,4)=2,56. Usar 2 casas decimais. x 0 1 2 3 4 5 f(x) A 2A 4A 8A 16A 32A Solução: Construindo a tabela de diferenças temos x f(x) ∆∆∆∆f(x) ∆∆∆∆2f(x) 0 A A A 1 2A 2A 2A 2 4A 4A 4A 3 8A 8A 16A 4 16A 16A 5 32A .A !2 x x.AA(x)P )2( 2 ++= ⇒ .A 2 )6,0)(4,0( .A)4,0(A56,2)4,0(P2 − ++== ⇒ 2AA28,156,2 =⇒= A QUESTÃO 3: Para calcular ∫ 4 2 .dxe x pode-se usar a Tabela 1 só com a fórmula de Simpson ou a Tabela 2 só com a fórmula do trapézio. Qual das tabelas fornece o melhor resultado? Justifique. x 2,0 3,0 4,0 x 2,0 2,1 2,2 2,3 ........ 3,8 3,9 4,0 T a b e l a 1 ex ........................... T a b e l a 2 ex ............................................................. Solução: O erro pela fórmula de Simpson com a Tabela 1 é { K0111111,0e. 90 1)e(máxD. 90 1E K 0,4x4 5 Simpsontr === O erro pela fórmula do trapézio com a Tabela 2 é { K0016666,0e. 3 )001,0.(5)e(máxD. 12 1,0 .20E K 0,4x2 3 Trapéziotr === O erro pela fórmula do trapezio é menor que o erro pela fórmula de Simpson. Portanto, a tabela 2 formece o melhor resultado. QUESTÃO 4: Usando a fórmula de Euler-modificado, dada abaixo, com a equação diferencial y’=x+y, complete as lacunas com ? para a seguinte tabela: K1=F(x,y) ++= 12 K.2 hy, 2 h xFK y(x+h)=y(x)+h.K2 x y(x) K1 K2 x0=?0 ? 1,0 ? 1,0 1,2 x1=0,2 ? 1,24 x2=0,4 Solução: Pela tabela, o passo é h=0,2 e x1− x0=0,2 então x0=0 A fórmula de Euler-modificado adaptada para a questão é dada por K1=f(x,y)=x+y K2= 11 K1,0)x(y1,0xK.2 hy, 2 h xf +++= ++ =1,1x+1,1y(x)+0,1 y(x+h)=y(x)+h.K2 ⇒ y(x+0,2)=y(x)+0,2(1,1x+1,1y(x)+0,1) y(x+0,2)=0,22x+1,22y(x)+0,02 Para x0=0 =⇒= += ++== += ⇒ 1)0(y)0(y.1,11,1 1,0)0(y.1,12,1 1,0)0(y.1,1)0.(1,12,1k )0(y0k 2 1 y(x1)=y(0+0,2)=0,22(0)+1,22(1)+0,02=1,24 A MA2311 CÁLCULO NUMÉRICO 1º Semestre de 2011 Prova P2 B Nº de ordem: __________ Nome: __________________________________ Ass.: ________________________________ Nº: ��������-� Tempo de Prova: 80 minutos Não é permitido usar calculadora Fazer a prova legível e em ordem NOTA: - ____________ QUESTÃO 1: Um jogador de basquete de 2m de altura arremessa a bola para a ces- ta que está a 10m de distância. A 5m de distância do arremesso a bola atinge a altura de 4m. Sabendo-se que a cesta está a 3m do solo, determinar a altura que a bola alcan- ça a 7m de distância do arremesso? Usar 1 casa decimal. Solução: Devemos usar o polinômio interpolador de Lagrange com a seguinte tabela: x distância 0 5 7 10 f(x) altura 2 4 ? 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3.510.010 5x.0x4. 105.05 10x.0x2. 100.50 10x.5x)x(P2 −− −− + −− −− + −− −− = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3.5.10 57.074. 5.5 107.072. 10.5 107.57)7(P2 −− + − −− + −− −− = m96,3 50 198 25 21 25 84 50 12 ==++ − = QUESTÃO 2: Usar a tabela e o polinômio interpolador de Newton de grau 2 para calcu- lar B sabendo-se que o erro é desprezível e f(0,6)=2,96. Usar 2 casas decimais. x 0 1 2 3 4 5 f(x) B 2B 4B 8B 16B 32B Solução: Construindo a tabela de diferenças temos x f(x) ∆∆∆∆f(x) ∆∆∆∆2f(x) 0 B B B 1 2B 2B 2B 2 4B 4B 4B 3 8B 8B 16B 4 16B 16B 5 32B .B !2 x x.BB(x)P )2( 2 ++= ⇒ .B 2 )4,0)(6,0( .B)6,0(B96,2)6,0(P2 − ++== ⇒ 2BB48,196,2 =⇒= B QUESTÃO 3: Para calcular ∫ 4 2 .dxe x pode-se usar a Tabela 1 só com a fórmula de Simpson ou a Tabela 2 só com a fórmula do trapézio. Qual das tabelas fornece o melhor resultado? Justifique. x 2,0 3,0 4,0 x 2,0 2,2 2,4 2,6 ...... 3,6 3,8 4,0 T a b e l a 1 ex ......................... T a b e l a 2 ex ......................................................... Solução: O erro pela fórmula de Simpson com a Tabela 1 é { K0111111,0e. 90 1)e(máxD. 90 1E K 0,4x4 5 Simpsontr === O erro pela fórmula do trapézio com a Tabela 2 é { K0066666,0e. 6 )008,0.(5)e(máxD. 12 2,0 .10E K 0,4x2 3 Trapéziotr === O erro pela fórmula do trapezio é menor que o erro pela fórmula de Simpson. Portanto, a tabela 2 formece o melhor resultado. QUESTÃO 4: Usando a fórmula de Euler-modificado, dada abaixo, com a e- quação diferencial y’=x−y, complete as lacunas com ? para a seguinte tabela: K1=F(x,y) ++= 12 K.2 hy, 2 h xFK y(x+h)=y(x)+h.K2 x y(x) K1 K2 x0=? 0 ? 1,0 ? −1,0 −0,8 x1=0,2 ? 0,84 x2=0,4 Solução: Pela tabela, o passo é h=0,2 e x1− x0=0,2 então x0=0 A fórmula de Euler-modificado adaptada para a questão é dada por: K1=f(x,y)=x−y K2= 11 K1,0)x(y1,0xK.2 hy, 2 h xf −−+= ++ =0,9x−0,9y(x)+0,1 y(x+h)=y(x)+h.K2 ⇒ y(x+0,2)=y(x)+0,2.(0,9x−0,9y(x)+0,1) y(x+0,2)=0,18x+0,82.y(x)+0,02 Para x0=0 =⇒−=− +−=−= −= ⇒ 1)0(y)0(y9,09,0 1,0)0(y.9,0)0.(9,08,0k )0(y0k 2 1 y(x1)=y(0+0,2)=0,18.(0)+0,82.(1)+0,02=0,84 B
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