201539 195311 Limites imp4

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Func¸o˜es Reais de uma Varia´vel Real
Limites
Luis Antonio Rodrigues
Campinas, fevereiro de 2014
Luis Antonio Rodrigues Limites Campinas, fevereiro de 2014 1 / 34
Outline
1 Limites
Motivac¸a˜o
Definic¸a˜o
Limites Laterais
Limites Infinitos
Ass´ıntotas Verticais
Propriedades
Continuidade
Indeterminac¸a˜o
Teorema do Confronto
2 Limites no Infinito
Definic¸a˜o
Ass´ıntotas Horizontais
Limites Infinitos no Infinito
3 Refereˆncias Bibliogra´ficas
Luis Antonio Rodrigues Limites Campinas, fevereiro de 2014 2 / 34
Limites Motivac¸a˜o
Limites
Motivac¸a˜o: O Problema da Tangente
Ache a equac¸a˜o da reta tangente a` para´bola y = x2 no ponto P(1, 1).
Se soubermos como encontrar a inclinac¸a˜o m seremos capazes de achar
uma equac¸a˜o da reta tangente t. A dificuldade esta´ em termos somente
um ponto P , sobre t, ao passo que para calcular a inclinac¸a˜o sa˜o
necessa´rios dois pontos. Observe, pore´m, que podemos calcular uma
aproximac¸a˜o de m escolhendo um ponto pro´ximo Q(x , x2) sobre a
para´bola e computando a inclinac¸a˜o mPQ da reta secante PQ.
mPQ = (x
2 − 1)/(x − 1)
A tabela abaixo mostra os valores de mPQ para va´rios x pro´ximos a 1.
Luis Antonio Rodrigues Limites Campinas, fevereiro de 2014 3 / 34
Limites Motivac¸a˜o
Limites
Motivac¸a˜o: O Problema da Tangente (Continuac¸a˜o)
Quanto mais pro´ximo Q estiver de P , mais pro´ximo x estara´ de 1, e
fica evidente que mPQ estara´ mais pro´ximo de 2. Isso sugere que a
inclinac¸a˜o da reta tangente t deva ser m = 2. Dizemos que a
inclinac¸a˜o da reta tangente e´ o limite das inclinac¸o˜es das retas
secantes, e expressamos isso simbolicamente escrevendo que
lim
Q→P
mPQ = m e lim
x→1
x2 − 1
x − 1 = 2
Supondo que a inclinac¸a˜o da reta tangente seja realmente 2, podemos
usar a forma ponto-inlinac¸a˜o da equac¸a˜o de uma reta
y − y0 = m(x − x0), P(x0, y0)
para escrever a equac¸a˜o da reta tangente no ponto P(1, 1) como
y − 1 = 2(x − 1) ou y = 2x − 1
Luis Antonio Rodrigues Limites Campinas, fevereiro de 2014 4 / 34
Limites Definic¸a˜o
Limites
Definic¸a˜o
Definic¸a˜o:
O limite de uma func¸a˜o f , quando x tende a a, e´ igual a L, denotado por
lim
x→a
f (x) = L,
se podermos tornar os valores de f (x) arbitrariamente pro´ximos de L (ta˜o
pro´ximos de L quanto quisermos), tornando x suficientemente pro´ximo de
a (por ambos os lados de a, mas na˜o igual a a).
Significado: os valores de f (x) ficam cada vez mais pro´ximos do
nu´mero L a` medida que x se aproxima do nu´mero a.
Notac¸a˜o alternativa: f (x)→ L quando x → a. Leˆ-se: f (x) tende a L
quando x tende a a.
Preste atenc¸a˜o na frase ”mas x 6= a”. Ao procurar o limite de f (x)
quando x tende a a nunca consideramos x = a.
Luis Antonio Rodrigues Limites Campinas, fevereiro de 2014 5 / 34
Limites Definic¸a˜o
Limites
Exemplo: o nu´mero a pertence ao dom´ınio de f
Considere a func¸a˜o f (x) = x2 − x + 2 cujo gra´fico e´ mostrado abaixo.
Da tabela e do gra´fico de f vemos que, quando x se aproxima de 2,
f (x) se aproxima de 4. Portanto: lim
x→2
f (x) = lim
x→2
(x2 − x + 2) = 4.
Note ainda que neste exemplo temos que lim
x→2
f (x) = f (2).
Luis Antonio Rodrigues Limites Campinas, fevereiro de 2014 6 / 34
Limites Definic¸a˜o
Limites
Exemplo: o nu´mero a NA˜O pertence ao dom´ınio de f
Encontre o valor do limite: lim
x→1
f (x), com f (x) = (x − 1)/(x2 − 1).
O gra´fico de f e uma tabela de valores esta˜o ilustrados abaixo.
Da tabela e do gra´fico de f vemos que, quando x se aproxima de 1,
f (x) se aproxima de 0, 5. Portanto: lim
x→1
(x − 1)/(x2 − 1) = 0,5.
Note que a func¸a˜o f na˜o esta´ definida quando x = 1 (isto e´, @ f (1)).
Luis Antonio Rodrigues Limites Campinas, fevereiro de 2014 7 / 34
Limites Limites Laterais
Limites Laterais
Definic¸a˜o
Definic¸a˜o:
O limite esquerdo de uma func¸a˜o f , quando x tende a a, (ou o limite de
f (x) quando x tende a a pela esquerda) e´ igual a L, denotado por
lim
x→a−
f (x) = L,
se podemos tornar os valores de f (x) arbitrariamente pro´ximos de L,
tomando x suficientemente pro´ximo de a, mas menor que a.
Definic¸a˜o:
O limite direito de uma func¸a˜o f , quando x tende a a, (ou o limite de
f (x) quando x tende a a pela direita) e´ igual a L, denotado por
lim
x→a+
f (x) = L,
se podemos tornar os valores de f (x) arbitrariamente pro´ximos de L,
tomando x suficientemente pro´ximo de a, mas maior que a.
Luis Antonio Rodrigues Limites Campinas, fevereiro de 2014 8 / 34
Limites Limites Laterais
Limites Laterais
Exemplo
Considere a func¸a˜o Heaviside: H(x) =
1 + sgn(x)
2
=


0 x < 0
1
2 x = 0
1 x > 0
Os limites laterais de H quando x tende a zero sa˜o:
lim
x→0−
H(x) = 0 e lim
x→0+
H(x) = 1 ⇒ @ lim
x→0
H(x)
Luis Antonio Rodrigues Limites Campinas, fevereiro de 2014 9 / 34
Limites Limites Laterais
Limites Laterais
Teorema: condic¸a˜o de existeˆncia do limite
Teorema:
lim
x→a
f (x) = L se e somente se lim
x→a−
f (x) = L e lim
x→a+
f (x) = L.
Exemplo: Considere a func¸a˜o g cujo gra´fico e´ apresentado abaixo.
Determine, se existir, os limites de g quando x tende a 2 e 5.
lim
x→2−
g(x) = 3 e lim
x→2+
g(x) = 1 ⇒ @ lim
x→2
g(x)
lim
x→5−
g(x) = 2 e lim
x→5+
g(x) = 2 ⇔ lim
x→5
g(x) = 2
Luis Antonio Rodrigues Limites Campinas, fevereiro de 2014 10 / 34
Limites Limites Infinitos
Limites Infinitos
Definic¸a˜o
Definic¸a˜o:
O limite de uma func¸a˜o f , quando x tende a a, e´ igual a infinito,
denotado por
lim
x→a
f (x) =∞,
se podemos tornar os valores de f (x) arbitrariamente grandes (ta˜o grandes
quanto quizermos), tomando x suficientemente pro´ximo de a (por ambos
os lados de a, mas na˜o igual a a).
Significado: os valores de f (x) ficam cada vez maiores a` medida que
x se aproxima do nu´mero a.
Notac¸a˜o alternativa: f (x)→∞ quando x → a. Leˆ-se: f (x) cresce
sem limitac¸a˜o (torna-se infinita) quando x tende a a.
Preste atenc¸a˜o na frase ”mas x 6= a”. Ao procurar o limite de f (x)
quando x tende a a nunca consideramos x = a.
Luis Antonio Rodrigues Limites Campinas, fevereiro de 2014 11 / 34
Limites Limites Infinitos
Limites Infinitos
Exemplo
Considere a func¸a˜o f (x) = 1/x2. Encontre, se existir, o lim
x→0
f (x).
A` medida que x se aproxima de 0, x2 tambe´m se aproxima de 0, e
1/x2 fica arbitrariamente grande. Assim, os valores de f (x) na˜o
tendem a um nu´mero, e, consequentemente, na˜o existe limx→0 1/x
2.
Pore´m, expressamos o crescimento sem limitac¸a˜o de f (x) por
lim
x→0
1
x2
=∞
Luis Antonio Rodrigues Limites Campinas, fevereiro de 2014 12 / 34
Limites Limites Infinitos
Limites Infinitos
Definic¸a˜o
Definic¸a˜o:
O limite de uma func¸a˜o f , quando x tende a a, e´ igual a menos infinito,
denotado por
lim
x→a
f (x) = −∞,
se podemos tornar os valores de f (x) arbitrariamente grandes, pore´m
negativos, tomando x suficientemente pro´ximo de a, mas diferente de a.
Exemplo: Encontre lim
x→3+
2x/(x − 1) e lim
x→3−
2x/(x − 1).
limx→3+
2x
x−1 =∞
limx→3−
2x
x−1 = −∞

⇒ @ limx→3
2x
x − 1
Luis Antonio Rodrigues Limites Campinas, fevereiro de 2014 13 / 34
Limites Ass´ıntotas Verticais
Ass´ıntotas Verticais
Definic¸a˜o
Definic¸a˜o:
A reta x = a e´ chamada de ass´ıntota vertical da curva y = f (x) se pelo
menos uma das seguintes condic¸o˜es for satisfeita:
limx→a− f (x) =∞ limx→a− f (x) = −∞
limx→a+ f (x) =∞ limx→a+ f (x) = −∞
limx→a f (x) =∞ limx→a f (x) = −∞
Exemplo: Encontre, se existir, as ass´ıntotas verticais de f (x) = 2x
x−1 .
lim
x→3+
2x
x − 1 =∞ e limx→3−
2x
x − 1 = −∞
∴ x = 3 e´ uma ass´ıntota vertical de f
Luis Antonio Rodrigues Limites Campinas, fevereiro de 2014 14 / 34
Limites Ass´ıntotas Verticais
Ass´ıntotas VerticaisExemplo
(i) lim
x→a
f (x) =∞ (j) lim
x→a
f (x) = −∞
(k) lim
x→a−
f (x) =∞ (l) lim
x→a+
f (x) = −∞
Luis Antonio Rodrigues Limites Campinas, fevereiro de 2014 15 / 34
Limites Propriedades
Propriedades
Seja c uma constante e suponha que os limites de f e g existam. Enta˜o:
1 lim
x→a
[f (x) + g(x)] =
lim
x→a
f (x) + lim
x→a
g(x)
2 lim
x→a
[f (x)− g(x)] =
lim
x→a
f (x)− lim
x→a
g(x)
3 lim
x→a
[cf (x)] = c lim
x→a
f (x)
4 lim
x→a
[f (x)g(x)] =
lim
x→a
f (x) · lim
x→a
g(x)
5 lim
x→a
f (x)
g(x)
=
limx→a f (x)
limx→a g(x)(6= 0)
6 lim
x→a
[f (x)]n =
[
lim
x→a
f (x)
]n
7 lim
x→a
c = c
8 lim
x→a
x = a
9 lim
x→a
xn = an
10 lim
x→a
n
√
x = n
√
a
11 lim
x→a
n
√
f (x) = n
√
lim
x→a
f (x)
Luis Antonio Rodrigues Limites Campinas, fevereiro de 2014 16 / 34
Limites Propriedades
Propriedades
Exemplo
1 Calcule o valor de lim
x→5
(2x2 − 3x + 4) justificando cada passagem.
lim
x→5
(2x2 − 3x + 4) = lim
x→5
(2x2)− lim
x→5
(3x) + lim
x→5
4
= 2 lim
x→5
x2 − 3 lim
x→5
x + lim
x→5
4
= 2(52)− 3(5) + 4 = 39
2 Calcule lim
x→5
(x3 + 2x2 − 1)/(5 − 3x) justificando cada passagem.
lim
x→−2
x3 + 2x2 − 1
5− 3x =
limx→−2(x
3 + 2x2 − 1)
limx→−2(5− 3x)
=
limx→−2 x
3 + 2 limx→−2 x
2 − limx→−2 1
limx→−2 5− 3 limx→−2 x
=
(−2)3 + 2(−2)2 − 1
5− 3(−2) = −
1
11
Luis Antonio Rodrigues Limites Campinas, fevereiro de 2014 17 / 34
Limites Continuidade
Continuidade
Definic¸a˜o
Definic¸a˜o:
Uma func¸a˜o f e´ denominada cont´ınua em a se e somente se
lim
x→a
f (x) = f (a).
1 Uma func¸a˜o f e´ denominada cont´ınua em um dom´ınio D se e
somente se e´ cont´ınua em todos os pontos de D.
2 Func¸o˜es polinomiais, racionais, ra´ızes, trigonome´tricas, exponenciais e
logar´ıtmicas sa˜o cont´ınuas em seu dom´ınio.
Propriedade de Substituic¸a˜o Direta:
Se f for uma func¸a˜o definida em (2) e a estiver no dom´ınio de f , enta˜o
lim
x→a
f (x) = f (a).
Luis Antonio Rodrigues Limites Campinas, fevereiro de 2014 18 / 34
Limites Continuidade
Continuidade
Exemplo: propriedade da substituic¸a˜o direta
1 Calcule o valor de lim
x→2
f (x), com f (x) = x2 − x + 2.
lim
x→2
(x2 − x + 2) = f (2) = (2)2 − (2) + 2 = 4
2 Calcule o valor de lim
x→5
g(x), com g(x) = 2x2 − 3x + 4.
lim
x→5
(2x2 − 3x + 4) = g(5) = 2(5)2 − 3(5) + 4 = 39
3 Calcule lim
x→5
h(x), com h(x) = (x3 + 2x2 − 1)/(5 − 3x).
lim
x→−2
x3 + 2x2 − 1
5− 3x = h(−2) =
(−2)3 + 2(−2)2 − 1
5− 3(−2) = −
1
11
Luis Antonio Rodrigues Limites Campinas, fevereiro de 2014 19 / 34
Limites Indeterminac¸a˜o
Indeterminac¸a˜o
Nem todos os limites podem ser calculados pela substituic¸a˜o direta.
Exemplo: calcule o valor do limite: lim
x→1
(x − 1)/(x2 − 1).
Seja f (x) = (x − 1)/(x2 − 1). Na˜o podemos encontrar o limite
substituindo x = 1, pois f (1) na˜o esta´ definida, nem aplicar a Propriedade
do Quociente porque o limite do denominador e´ 0. Fatorando, temos:
x − 1
x2 − 1 =
x − 1
(x − 1)(x + 1)
O numerador e denominador teˆm um fator comum, x − 1. Ao tomarmos o
limite quando x tende a 1, temos x 6= 1 e, assim, x − 1 6= 0. Portanto,
podemos cancelar o fator comum e calcular o limite, como segue:
lim
x→1
x − 1
x2 − 1 = limx→1
x − 1
(x − 1)(x + 1) = limx→1
1
x + 1
=
1
1 + 1
=
1
2
Luis Antonio Rodrigues Limites Campinas, fevereiro de 2014 20 / 34
Limites Indeterminac¸a˜o
Indeterminac¸a˜o
No exemplo anterior conseguimos calcular o limite substituindo a func¸a˜o
dada f (x) = (x − 1)/(x2 − 1) por outra mais simples, g(x) = 1/(x + 1),
que tem o mesmo limite. Isso e´ va´lido porque f (x) = g(x), exceto quando
x = 1, e no ca´lculo do limite quando x tende a 1, na˜o consideramos o que
acontece quando x e´ exatamente igual a 1.
Teorema:
Se f (x) = g(x) quando x 6= a, enta˜o lim
x→a
f (x) = lim
x→a
g(x), se existirem.
Exemplo: Encontre o lim
x→1
f (x), com f (x) =
{
x + 1 se x 6= 1
pi se x = 1
.
Note que f (1) = pi, mas o valor do limite na˜o depende do valor da
func¸a˜o em 1. Assim, uma vez que f (x) = x + 1 para x 6= 1, temos:
lim
x→1
f (x) = lim
x→1
(x + 1) = 1 + 1 = 2
Luis Antonio Rodrigues Limites Campinas, fevereiro de 2014 21 / 34
Limites Indeterminac¸a˜o
Indeterminac¸a˜o
Exemplo: Quociente de Polinoˆmios
Encontre o valor do lim
x→2
(x2 − 8x + 12)/(4x2 + 4x − 24).
lim
x→2
x2 − 8x + 12
4x2 + 4x − 24 = limx→2
(x − 6)(x − 2)
4(x + 3)(x − 2)
= lim
x→2
x − 6
4(x + 3)
=
2− 6
4(2 + 3)
=
−4
20
= −1
5
Forma Fatorada de um Polinoˆmio:
Todo polinoˆmio de grau n, f (x), pode ser escrito na forma
f (x) := anx
n + an−1x
n−1 + · · ·+ a1x + a0 = an(x − r1)(x − r2) · · · (x − rn)
onde r1, r2, . . . , rn sa˜o as ra´ızes do polinoˆmio. Note que an 6= 0.
Luis Antonio Rodrigues Limites Campinas, fevereiro de 2014 22 / 34
Limites Indeterminac¸a˜o
Indeterminac¸a˜o
Exemplo: Quociente de Ra´ızes
Encontre o valor do lim
t→0
(
√
t2 + 9− 3)/t2.
lim
t→0
√
t2 + 9− 3
t2
= lim
t→0
√
t2 + 9− 3
t2
.
√
t2 + 9 + 3√
t2 + 9 + 3
= lim
t→0
(
√
t2 + 9)2 − 32
t2(
√
t2 + 9 + 3)
= lim
t→0
t2
t2(
√
t2 + 9 + 3)
= lim
t→0
1√
t2 + 9 + 3
=
1√
02 + 9 + 3
=
1
6
Produto da Soma pela Diferenc¸a de Dois Termos
O produto da soma pela diferenc¸a de dois termos e´ igual ao quadrado do
primeiro termo menos o quadrado do segundo, ou seja,
(a + b)(a − b) = a2 − b2
Luis Antonio Rodrigues Limites Campinas, fevereiro de 2014 23 / 34
Limites Teorema do Confronto
Teorema do Confronto
Teorema:
Se f (x) ≤ g(x) quando x esta´ pro´ximo de a (exceto possivelmente em a)
e os limites de f e g existem quando x tende a a, enta˜o
lim
x→a
f (x) ≤ lim
x→a
g(x)
Teorema do Confronto:
Se f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) quando x esta´ pro´ximo de a (exceto possivelmente
em a) e
lim
x→a
f (x) = lim
x→a
h(x) = L
enta˜o
lim
x→a
g(x) = L
Luis Antonio Rodrigues Limites Campinas, fevereiro de 2014 24 / 34
Limites Teorema do Confronto
Teorema do Confronto
Exemplo
Ilustrac¸a˜o do Teorema do Confronto:
Quando x esta´ pro´ximo de a:
f (x) ≤ g(x) ≤ h(x)
limx→a f (x) = limx→a h(x) = L
⇓
limx→a g(x) = L
Exemplo: Encontre o valor do limx→0 x
2 sin 1/x .
−1 ≤ sin 1/x ≤ 1⇒ −x2 ≤ x2 sin 1/x ≤ x2
limx→0 x
2 = 0 e limx→0(−x2) = 0
⇓
limx→0 x
2 sin 1/x = 0
Note: lim
x→0
x2 sin 1/x 6= lim
x→0
x2. lim
x→0
sin 1/x .
Luis Antonio Rodrigues Limites Campinas, fevereiro de 2014 25 / 34
Limites no Infinito Definic¸a˜o
Limites no Infinito
Definic¸a˜o
Definic¸a˜o:
O limite de uma func¸a˜o f , quando x tende a infinito, e´ igual a L,
denotado por
lim
x→∞
f (x) = L,
se podemos tornar os valores de f (x) arbitrariamente pro´ximos de L,
tomando x suficientemente grande.
Significado: os valores de f (x) ficam cada vez mais pro´ximos do
nu´mero L a` medida que x cresce.
Notac¸a˜o alternativa: f (x)→ L quando x →∞. Leˆ-se: f (x) tende a
L quando x cresce sem limitac¸a˜o (tende a infinito).
Luis Antonio Rodrigues Limites Campinas, fevereiro de 2014 26 / 34
Limites no Infinito Definic¸a˜o
Limites no Infinito
Exemplo
Considere f (x) = (x2 − 1)/(x2 + 1). Encontre, se existir, o lim
x→∞
f (x).
A` medida que x cresce, mais pro´ximos de 1 ficam os valores de f (x).
De fato, temos a impressa˜o de que podemos tornar os valores de f (x)
ta˜o pro´ximos de 1 quanto quisermos tomando-se x suficientemente
grande. Isto e´,
lim
x→∞
x2 − 1
x2 + 1
= 1
Luis Antonio Rodrigues Limites Campinas, fevereiro de 2014 27 / 34
Limites no Infinito Definic¸a˜o
Limites no Infinito
Definic¸a˜o
Definic¸a˜o:O limite de uma func¸a˜o f , quando x tende a menos infinito, e´ igual a L,
denotado por
lim
x→−∞
f (x) = L,
se podemos tornar os valores de f (x) arbitrariamente pro´ximos de L,
tomando x suficientemente grande em valor absoluto, mas negativo.
Em geral, para calcular limites no infinito usamos o pro´ximo teorema.
Teorema:
Seja r > 0 um nu´mero racional. Enta˜o :
lim
x→∞
1
x r
= 0.
lim
x→−∞
1
x r
= 0, sempre que x r esta´ definido para todo x .
Luis Antonio Rodrigues Limites Campinas, fevereiro de 2014 28 / 34
Limites no Infinito Definic¸a˜o
Limites no Infinito
Exemplo: Quociente de Polinoˆmios
Encontre o valor do limx→∞(3x
2 − x − 2)/(5x2 + 4x + 1).
Como x cresce indefinidamente, ambos, o numerador e o denominador,
tambe´m crescem indefinidamente, logo na˜o e´ nada o´bvio o que ocorre com
a raza˜o entre eles. Para eliminar essa indeterminac¸a˜o, precisamos
preliminarmente manipular algebricamente a expressa˜o. Para calcular o
limite no infinito de uma func¸a˜o racional, primeiro dividimos o numerador
e o denominador pela maior poteˆncia de x que ocorre no denominador.
De fato, por meio do gra´fico da func¸a˜o f (x) =
(3x2−x−2)/(5x2+4x+1), observamos que os
valores de f (x) se aproximam de 0,6 a medida
que x cresce indefinidamente. Veja a seguir
como obter essa resultado algebricamente.
Luis Antonio Rodrigues Limites Campinas, fevereiro de 2014 29 / 34
Limites no Infinito Definic¸a˜o
Limites no Infinito
Exemplo: Quociente de Polinoˆmios (Continuac¸a˜o)
Encontre o valor do limx→∞(3x
2 − x − 2)/(5x2 + 4x + 1).
lim
x→∞
3x2 − x − 2
5x2 + 4x + 1
= lim
x→∞
3x2−x−2
x2
5x2+4x+1
x2
(
neste caso a maior poteˆncia
de x do denominador e´ x2
)
= lim
x→∞
3− 1
x
− 2
x2
5 + 4
x
+ 1
x2
=
limx→∞
(
3− 1
x
− 2
x2
)
limx→∞
(
5 + 4
x
+ 1
x2
)
=
limx→∞ 3− limx→∞ 1x − limx→∞ 2x2
limx→∞ 5 + limx→∞
4
x
+ limx→∞
1
x2
=
3− 0− 0
5 + 0 + 0
=
3
5
Luis Antonio Rodrigues Limites Campinas, fevereiro de 2014 30 / 34
Limites no Infinito Ass´ıntotas Horizontais
Ass´ıntotas Horizontais
Definic¸a˜o
Definic¸a˜o:
A reta y = L e´ chamada de ass´ıntota horizontal da curva y = f (x) se:
lim
x→∞
f (x) = L ou lim
x→−∞
f (x) = L.
Exemplo: Ache, se existir, as a. horizontais de f (x) =
3x2 − x − 2
5x2 + 4x + 1
.
lim
x→∞
f (x) = 0, 6 e lim
x→−∞
f (x) = 0, 6
∴ y = 0, 6 e´ uma ass´ıntota horizontal de f
Luis Antonio Rodrigues Limites Campinas, fevereiro de 2014 31 / 34
Limites no Infinito Ass´ıntotas Horizontais
Ass´ıntotas Horizontais
Exemplo
(o) limx→∞ f (x) = L (p) limx→∞ f (x) = L
(q) limx→−∞ f (x) = L (r) limx→−∞ f (x) = L
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Limites no Infinito Limites Infinitos no Infinito
Limites Infinitos no Infinito
Definic¸a˜o
Definic¸a˜o:
O limite de uma func¸a˜o f , quando x tende a infinito, e´ igual a infinito,
denotado por
lim
x→∞
f (x) =∞,
se podemos tornar os valores de f (x) arbitrariamente grandes, tomando x
suficientemente grande (os valores de f(x) tornam-se ta˜o grandes quanto x).
Significados ana´logos sa˜o fornecidos aos seguintes limites:
lim
x→−∞
f (x) =∞ lim
x→∞
f (x) = −∞ lim
x→−∞
f (x) = −∞
Exemplo: Encontre, se existir, o valor do limx→∞ x
3.
103 = 1.000 1003 = 1.000.000 1.0003 = 1.000.000.000
⇓
limx→∞ x
3 =∞
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Refereˆncias Bibliogra´ficas
Refereˆncias Bibliogra´ficas
STEWART, James. Ca´lculo, Volume I. 6a ed. Sa˜o Paulo: Pioneira
Thompson Learning, 2013.
VALLADARES, Renato J. C. Ca´lculo e Aplicac¸o˜es I - Func¸o˜es
Reais. Rio de Janeiro: Editora Cieˆncia Moderna Ltda., 2008.
FLEMMING, Diva M., GONC¸ALVES, Mı´rian B. Ca´lculo A: func¸o˜es,
limite, derivac¸a˜o, integrac¸a˜o. 5a ed. Sa˜o Paulo: Makron, 1992.
Luis Antonio Rodrigues Limites Campinas, fevereiro de 2014 34 / 34