2015210 212419 Funcoes Polinomiais imp4 (1)

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Func¸o˜es Reais de uma Varia´vel Real
Func¸o˜es Polinomiais
Luis Antonio Rodrigues
Jaguariu´na, fevereiro de 2015
Luis Antonio Rodrigues Func¸o˜es Polinomiais Jaguariu´na, fevereiro de 2015 1 / 22
Outline
1 Func¸o˜es
Motivac¸a˜o
Definic¸a˜o
Representac¸o˜es
Gra´fico de uma Func¸a˜o
2 Func¸o˜es Afins
Definic¸a˜o
Equac¸a˜o de uma Reta
Gra´fico de uma Reta
3 Func¸o˜es Quadra´ticas
Definic¸a˜o
Elementos de uma Para´bola
Gra´fico de uma Para´bola
4 Func¸o˜es Polinomiais
Definic¸a˜o
Propriedades de um Polinoˆmio
Gra´fico de uma Func¸a˜o Polinomial
5 Refereˆncias Bibliogra´ficas
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Func¸o˜es Motivac¸a˜o
Motivac¸a˜o
Arroz:
Se um quilo de arroz custar R$ 0,80, 2 quilos custara˜o (0,80 × 2=) R$
1,60, 6 quilos custara˜o (0,80 × 6 =) 4,80 e 400 gramas custara˜o (0,80 ×
0,4 =) R$ 0,32. De um modo geral, para calcular o custo de uma
quantidade de arroz, basta multiplicar esta quantidade (em quilos) por
0,80. Assim, o custo de 5 quilos de arroz sera´ 0,80 × 5 reais, o de 43
quilos sera´ 0,80 × 43 reais e o de x reais sera´ 0,8x reais.
Neste caso, diz-se que o custo do arroz varia, em func¸a˜o da quantidade x
de quilos, pela regra 0, 8x . E´ usual denotar a regra por uma letra, por
exemplo f , e o seu valor em x e´ denotado por f (x). No caso do custo do
arroz, a regra f e´
f (x) = 0, 8x .
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Func¸o˜es Motivac¸a˜o
Motivac¸a˜o
Taxi e Imposto de Renda:
Se a corrida de ta´xi custa R$ 2,40 de bandeirada mais R$ 1,85 por
quiloˆmetro, uma corrida de 4 Km custara´ 1,85 × 4 + 2,40 = 9,80
reais. Assim, o prec¸o g da corrida em func¸a˜o da quilometragem x e´
g(x) = 1, 85x + 2, 40.
Em abril de 2002 um jornal informava que o imposto de renda na
fonte (IRF) era cobrado de acordo com a seguinte tabela: Ganhos ate´
R$ 1.058,00 eram isentos. Ganhos acima de R$ 1.058,00, ate´ R$
2.115,00 pagavam 15%, dos quais era deduzido um desconto de R$
158,70. Ganhos acima de R$ 2.115,00 pagavam 27,5%, dos quais era
deduzido um desconto de R$ 423,08. Assim, a cobranc¸a do IRF, para
um ganho de x reais, por ser descrita pela func¸a˜o h, dada por
h(x) =


0 se 0 ≤ x ≤ 1.058
0, 15x − 158, 70 se 1.058 ≤ x ≤ 2.115
0, 275x − 423, 08 se x ≥ 2.115
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Func¸o˜es Definic¸a˜o
Func¸o˜es
Definic¸a˜o:
Uma func¸a˜o f e´ uma lei que faz corresponder cada elemento x em um
conjunto A com exatamente um elemento f (x) em um conjunto B .
f (x) : A→ B
x → f (x)
Nomenclatura:
O conjunto A e´ chamado de dom´ınio;
O conjunto B e´ chamado de contra-dom´ınio;
A varia´vel x ∈ A e´ chamada varia´vel independente;
A varia´vel f (x) ∈ B e´ chamada varia´vel dependente;
O s´ımbolo f (x) denota o valor da func¸a˜o f no ponto x ;
O conjunto de todos valores de f (x) e´ chamado de imagem de f .
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Func¸o˜es Representac¸o˜es
Func¸o˜es
Representac¸o˜es de uma Func¸a˜o
1. Algebricamente (fo´rmulas).
A a´rea A de um c´ırculo depende de seu raio r . A lei que conecta r e A e´
A = pir2.
Note que a cada valor positivo de r esta´ associado um u´nico valor de A.
2. Numericamente (tabelas).
A populac¸a˜o brasileira P depende do tempo t. A cada valor de t esta
associado um nu´mero valor de P , como apresentado na tabela abaixo.
Ano Populac¸a˜o (milho˜es)
1980 80
1990 130
2000 150
2010 190
Por exemplo,
P(2000) = 150.
Portanto, P e´ uma func¸a˜o de t.
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Func¸o˜es Representac¸o˜es
Func¸o˜es
Representac¸o˜es de uma Func¸a˜o
3. Visualmente (diagrama de flexas).
A lei da func¸a˜o f e´ dada por
f (x) = x + 3
Note tambe´m que Im(f ) = B .
4. Visualmente (gra´ficos).
O gra´fico de func¸a˜o f e´ definido
como o conjunto de pares ordenados
G (f ) := {(x , y) | x ∈ A, y = f (x)}
O gra´fico da func¸a˜o do Exemplo 3 e´ �
�
�
� � � � � � �
�
�
�
�
�
�
�
�
	
x
y
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Func¸o˜es Gra´fico de uma Func¸a˜o
Gra´fico de uma Func¸a˜o
Elementos de um gra´fico
Considere a func¸a˜o f
f (x) : A→ B
x → f (x)
O gra´fico de uma func¸a˜o traz as informac¸o˜es de cada elemento.
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Func¸o˜es Afins Definic¸a˜o
Func¸o˜es Afins
Definic¸a˜o:
Uma func¸a˜o f e´ denominada afim se e´ da forma
f (x) = ax + b,
onde a e´ uma constante na˜o nula (a 6= 0) e x e´ a varia´vel.
Exemplo 1:
Considere a func¸a˜o f descrita por
f (x) = x + 3
com x pertencente ao conjunto R.
O gra´fico de f e´ ilustrado a seguir.
�
� 
 � � � � �
�
�
�
�
�
�
�
�
x
y
Luis Antonio Rodrigues Func¸o˜es Polinomiais Jaguariu´na, fevereiro de 2015 9 / 22
Func¸o˜es Afins Definic¸a˜o
Func¸o˜es Afins
Exemplos
Exemplo 2:
Um pequeno fabricante descobre que custa R$ 9.000,00 para produzir
1.000 torradeiras ele´tricas em uma semana e R$ 12.000,00 para produzir
1.500 torradeiras em uma semana. Usando a notac¸a˜o
x : nu´mero de torradeiras produzidas.
C (x): custo de produc¸a˜o de x torradeiras.
responda:
(A) Expresse o custo em func¸a˜o do nu´mero de torradeiras produzidas,
supondo que ele e´ uma func¸a˜o afim.
(B) Esboce o gra´fico do custo em func¸a˜o do nu´mero de torradeiras.
(C) Determine o intercepto com o eixo y e explique o que ele representa.
(D) Determine a inclinac¸a˜o do gra´fico e explique o que ela representa.
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Func¸o˜es Afins Definic¸a˜o
Func¸o˜es Afins
Exemplos
Resoluc¸a˜o do Exemplo 2:
(A) Se C e´ uma func¸a˜o afim de x , enta˜o C (x) = ax + b.{
C (x = 1000) = 9000
C (x = 1500) = 12000
⇒
{
1000a + b = 9000
1500a + b = 12000
⇒
{
a = 6
b = 3000
(B) O gra´fico da func¸a˜o custo
C (x) = 6x + 3000
para x ≥ 0 esta apresentado
representado na figura.
� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �
�
� � � �
� � � � �
� � � � �
x
y
(C) O intercepto b = 3000 representa o custo inicial da fa´brica.
(D) O coeficiente angular a = 6 representa o custo de produc¸a˜o unita´rio.
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Func¸o˜es Afins Equac¸a˜o de uma Reta
Equac¸a˜o de uma Reta
Definic¸a˜o:
A inclinac¸a˜o de uma reta na˜o vertical que passa pelos pontos P1(x1, y1) e
P2(x2, y2) e´
m =
∆y
∆x
=
y2 − y1
x2 − x1
Equac¸a˜o de uma Reta na Forma Ponto-Inclinac¸a˜o:
Uma equac¸a˜o da reta passando pelo ponto P1(x1, y1) com inclinac¸a˜o m e´
y − y1 = m(x − x1)
Equac¸a˜o de uma Reta na Forma Inclinac¸a˜o-Intercepto:
Uma equac¸a˜o da reta com inclinac¸a˜o m e intercepto y igual a b e´
y = mx + b
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Func¸o˜es Afins Gra´fico de uma Reta
Gra´fico de uma Reta
ff
fi
ff
fl
ff
ffi
ff
�
ff
 ! � ffi fl fi
ff
fi
ff
fl
ff
ffi
ff
�
ff
 
!
 
�
ffi
fl
fi
"
#
(a) a > 0
ff
fi
ff
fl
ff
ffi
ff
�
ff
 ! � ffi fl fi
ff
fi
ff
fl
ff
ffi
ff
�
ff
 
!
 
�
ffi
fl
fi
"
#
(b) a < 0
ff
fi
ff
fl
ff
ffi
ff
�
ff
 ! � ffi fl fi
ff
fi
ff
fl
ff
ffi
ff
�
ff
 
!
 
�
ffi
fl
fi
"
#
(c) a = 0
ff
fi
ff
fl
ff
ffi
ff
�
ff
 ! � ffi fl fi
ff
fi
ff
fl
ff
ffi
ff
�
ff
 
!
 
�
ffi
fl
fi
"#
(d) x = a
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Func¸o˜es Quadra´ticas Definic¸a˜o
Func¸o˜es Quadra´ticas
Definic¸a˜o:
Uma func¸a˜o f e´ denominada quadra´tica se e´ da forma
f (x) = ax2 + bx + c ,
onde a e´ uma constante na˜o nula (a 6= 0) e x e´ a varia´vel.
Exemplo 1:
Considere a func¸a˜o f descrita por
f (x) = x2 − x − 2
com x pertencente ao conjunto R.
O gra´fico de f e´ ilustrado a seguir.
$
%
$
&
$
'
$
( ) ( ' & % *
$
'
)
'
%
+
,
( )
( '
x
y
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Func¸o˜es Quadra´ticas Definic¸a˜o
Func¸o˜es Quadra´ticas
Exemplos
Exemplo 2:
O lucro, ou preju´ızo, semanal, em reais, de uma loja que vende x unidade
de determinado produto por semana e´ dado por L(x) = −x2 + 200x .
Nessa situac¸a˜o:
(A) Determine o nu´mero de unidades cujo lucro da loja e´ nulo.
(B) Esboce o gra´fico do lucro em func¸a˜o o nu´mero de unidades.
(C) Determine o nu´mero m´ınimo de unidades cujo lucro e´ R$ 7.500,00.
(D) Determine o nu´mero de unidades que maximiza o lucro da loja.
(E) Determine o lucro ma´ximo semanal que pode ser obtido pela loja.
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Func¸o˜es Quadra´ticas Definic¸a˜o
Func¸o˜es Quadra´ticas
Exemplos
Resoluc¸a˜o do Exemplo 2:
(A) L(x) = 0⇔ −x2 + 200x = 0⇔ x = 0 ou x = 200.
(B) O gra´fico da func¸a˜o lucro
L(x) = −x2 + 200x
para x ≥ 0 esta apresentado
representado na figura. -
. / / . / 0 / / 0 . / 1 / / 1 . /
-
0
2
.
-
0
-
/
2
.
/
/
2
.
0
0
2
.
3
0 /
4
x
y
(C) L(x) = 7500 ⇔ −x2 + 200x = 7500 ⇔ x = 50 ou x = 150.
(D) O lucro ma´ximo ocorre no ve´rtice V (xv , yv ): xv = (0 + 200)/2 = 100.
(E) O lucro ma´ximo e´ dado por Lmax = yv = L(xv ) = 10000.
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Func¸o˜es Quadra´ticas Elementos de uma Para´bola
Elementos de uma Para´bola
Ra´ızes:
As ra´ızes de uma func¸a˜o f (x) sa˜o os valores da varia´vel x tal que f (x) = 0.
Ca´lculo das Ra´ızes de uma Para´bola:
As ra´ızes x1 e x2 de uma func¸a˜o quadra´tica sa˜o dadas por
x1,2 =
−b ±
√
∆
2a
, ∆ = b2 − 4ac
Ve´rtice:
As coordenadas do ve´rtice V (xv , yv ) de uma para´bola sa˜o dadas por
xv =
−b
2a
=
x1 + x2
2
, yv = f (xv )
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Func¸o˜es Quadra´ticas Gra´fico de uma Para´bola
Gra´fico de uma Para´bola
a > 0
5
6
5
7
5
8
5
9
5
: ; : 9 8 7 6
5
: ;
5
<
5
=
5
7
5
9
;
9
7
=
<
: ;
>
?
(e) ∆ > 0
5
6
5
7
5
8
5
9
5
: ; : 9 8 7 6
5
: ;
5
<
5
=
5
7
5
9
;
9
7
=
<
: ;
>
?
(f) ∆ = 0
5
6
5
7
5
8
5
9
5
: ; : 9 8 7 6
5
: ;
5
<
5
=
5
7
5
9
;
9
7
=
<
: ;
>
?
(g) ∆ < 0
a < 0
5
6
5
7
5
8
5
9
5
: ; : 9 8 7 6
5
: ;
5
<
5
=
5
7
5
9
;
9
7
=
<
: ;
>
?
(h) ∆ > 0
5
6
5
7
5
8
5
9
5
: ; : 9 8 7 6
5
: ;
5
<
5
=
5
7
5
9
;
9
7
=
<
: ;
>
?
(i) ∆ = 0
5
6
5
7
5
8
5
9
5
: ; : 9 8 7 6
5
: ;
5
<
5
=
5
7
5
9
;
9
7
=
<
: ;
>
?
(j) ∆ < 0
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Func¸o˜es Polinomiais Definic¸a˜o
Func¸o˜es Polinomiais
Definic¸a˜o:
Uma func¸a˜o f e´ denominada polinomial se e´ da forma
f (x) = anx
n + an−1x
n−1 + · · ·+ a1x + a0 =
n∑
i=0
aix
i ,
onde n e´ um nu´mero natural, a0, a1, . . . , an sa˜o constantes, an 6= 0,
chamadas de coeficientes do polinoˆmio, e x e´ a varia´vel da polinoˆmio.
Grau de uma func¸a˜o polinomial:
O grau de uma func¸a˜o polinomial corresponde ao valor do maior expoente
da varia´vel do polinoˆmio, ou seja, igual ao valor de n.
Exemplo 1:
Considere a func¸a˜o f descrita por f (x) = 2x17 + 263x8 + 0.5x2 − x − 4,
com x ∈ R. A func¸a˜o f e´ uma func¸a˜o polinomial de grau n = 17.
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Func¸o˜es Polinomiais Propriedades de um Polinoˆmio
Propriedades de um Polinoˆmio
Teorema Fundamental da A´lgebra:
Toda func¸a˜o polinomial de grau n possui n ra´ızes. As ra´ızes do polinoˆmio
podem ser reais, complexas ou mu´ltiplas (repetidas).
Forma Fatorada de um Polinoˆmio:
Toda func¸a˜o polinomial f de grau n pode ser escrita na forma
f (x) = an(x − r1)(x − r2) · · · (x − rn),
onde r1, r2, . . . , rn sa˜o as ra´ızes do polinoˆmio.
Exemplo 2:
O polinoˆmio f (x) = x3 − 2x2 + x pode ser fatorado na forma
f (x) = (x − 0)(x − 1)(x − 1) = x(x − 1)2,
onde 0 e 1 sa˜o suas ra´ızes. Note que a raiz 1 tem multiplicidade 2.
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Func¸o˜es Polinomiais Gra´fico de uma Func¸a˜o Polinomial
Gra´fico de uma Func¸a˜o Polinomial
Func¸a˜o poteˆncia
Func¸a˜o Poteˆncia:
Uma func¸a˜o polinomial f e´ denominada poteˆncia se e´ da forma
f (x) = xn,
onde n e´ um nu´mero natural e x e´ a varia´vel do polinoˆmio.
Gra´fico: y = xn
@
A
@
B
@
C
@
D
@
E F E D C B A
@
A
@
B
@
C
@
D
@
E
F
E
D
C
B
A
G
H
(k) n = 1
5
6
5
7
5
8
5
9
5
: ; : 9 8 7 6
5
: ;
5
<
5
=
5
7
5
9
;
9
7
=
<
: ;
>
?
(l) n ≥ 2, n par
5
6
5
7
5
8
5
9
5
: ; : 9 8 7 6
5
: ;
5
<
5
=
5
7
5
9
;
9
7
=
<
: ;
>
?
(m) n ≥ 2, n ı´mpar
Luis Antonio Rodrigues Func¸o˜es Polinomiais Jaguariu´na, fevereiro de 2015 21 / 22
Refereˆncias Bibliogra´ficas
Refereˆncias Bibliogra´ficas
STEWART, James. Ca´lculo, volume I. 6a ed. Sa˜o Paulo: Pioneira
Thompson Learning, 2013.
Valladares, Renato J. C. Ca´lculo e Aplicac¸o˜es I - Func¸o˜es Reais.
Rio de Janeiro: Editora Cieˆncia Moderna Ltda., 2008.
FLEMMING, Diva M., GONC¸ALVES, Mı´rian B. Ca´lculo A: func¸o˜es,
limite, derivac¸a˜o, integrac¸a˜o. 5a ed. Sa˜o Paulo: Makron, 1992.
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