Cap 3 (Resultantes de um Sistema de Forças)

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Departamento de Engenharia Civil
Cap. 3Cap. 3 RESULTANTES DE UM RESULTANTES DE UM 
Prof. André Luis ChristoforoProf. André Luis Christoforo
Cap. 3Cap. 3 RESULTANTES DE UM RESULTANTES DE UM 
SISTEMA DE FORÇASSISTEMA DE FORÇAS
Material didático adaptado/modificado das obras de:
- Rodrigues, L. E. M. J. Notas de Aula.
- Hibbeler, R. C. Mecânica Estática. 10 ed. São Paulo: Pearson Education 
do Brasil, 2005, 540p.
- Beer, F. P.; Johnston Jr., E. R. Mecânica Vetorial para Engenheiros: 
Estática. 5.ed. São Paulo: Makron Books, 1991. 980p.
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- O momento de uma força em relação a um ponto ou a um eixo
fornece uma medida da tendência dessa força provocar a rotação de
um corpo em torno do ponto ou do eixo.
Momento de uma força:
- Para problemas em duas dimensões é mais conveniente se utilizar
uma formulação escalar e para problemas em três dimensões a
formulação vetorial é mais conveniente.
(Momento em torno 
do eixo Z)
(Momento em torno 
do eixo X)
(Não gera momento -
concorre ao polo)
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Formulação escalar para o momento:
- Momento é uma grandeza vetorial, possui intensidade direção e sentido.
- Convenção de sinais: segue a regra da mão direita, horário é positivo e
anti-horário é negativo.
(sentido do giro)(sentido do giro)
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Momento resultante de um sistema de forças coplanares:
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Exercícios:
1) Determine o momento da força em relação ao ponto O em cada uma das 
barras mostradas.
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2) Determine os momentos da força de 800N em relação aos pontos A, B, C
e D.
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Momento de uma força – análise vetorial:
- O momento de uma força em relação a um ponto pode ser determinado
através da aplicação das regras de produto vetorial.
- A regra do produto vetorial para o cálculo de momentos geralmente é
aplicada para sistemas em três dimensões.
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Princípio dos momentos:
- Teorema de Varignon: Estabelece que o momento de uma força em
relação a um ponto é igual a soma dos momentos dos componentes das
forças em relação ao mesmo ponto.
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Regras do Produto Vetorial:
- O produto vetorial de dois vetores A e B produz o vetor C e matematicamente 
a operação é escrita do seguinte modo:
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Formulação vetorial cartesiana:
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Exercícios:
3) Determine o momento da força F em relação ao ponto O. Expresse o
resultado como um vetor cartesiano.
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4) O poste abaixo está sujeito a uma força de 60N na direção de C para B.
Determine a intensidade do momento criado por essa força em relação ao
suporte no ponto A.
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C
C
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Momento em relação a um eixo: formulação vetorial:
Aplicação do produto
misto: Projeção e um
vetor momento sobre um
eixo ou vetor de interesse.
(calcular determinante)M0
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Exercício:
5) A força F atua no ponto A mostrado na figura. Determine os
momentos dessa força em relação ao eixo x.
C
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Momento de um binário:
- Um binário é definido como duas forças paralelas de mesma intensidade, 
sentidos opostos e separadas por um distância d.
C C
- Dois binários são ditos equivalentes se produzem o mesmo momento.
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Sistemas equivalentes de cargas concentradas:
- Representa um sistema no qual a força e o momento resultantes produzam
na estrutura o mesmo efeito que o carregamento original aplicado.
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Exercícios:
6) Substitua as cargas atuantes na viga por uma única força resultante e 
um momento atuante no ponto A.
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FRx
FRy FR
θ
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(sistema equivalente)(sistema equivalente)
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7) A estrutura mostrada na figura está submetida a um momento M e as
forças F1 e F2. Substitua esse sistema por uma única força e um
momento equivalente atuante no ponto O.
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Sistemas equivalentes de cargas distribuídas:
- A intensidade da força resultante é equivalente a soma de todas as forças
atuantes no sistema e em muitos casos deve ser calculada por integração,
uma vez que existem infinitas forças atuando sobre o sistema.
A = FR
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0
0 ( )
L
Y eqF F p x dx= ⇒ =∑ ∫
0A eq eqM M F x= ⇒ = ⋅∑ 0 ( )
L
A dM M p x xdx= ⇒ =∑ ∫
- Para o equilíbrio entre momentos (Md e MFeq) devemos ter que a sua soma
deve ser igual a zero.
A eq eq∑
0
∑ ∫
eq dM M= ⇒
0 0 0
( ) ( ) ( )
L L L
eqF x p x xdx p x dx x p x xdx⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒∫ ∫ ∫
0
0
( )
( )
L
L
p x xdx
x
p x dx
⋅
=
∫
∫
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Exercícios:
8) Determine a intensidade e a localização da força resultante equivalente
que atua no eixo mostrado na figura.
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9) Um carregamento distribuído com p(x) = 800.x (Pa) atua no topo de
uma superfície de uma viga como mostra a figura. Determine a
intensidade e a localização da força resultante equivalente.
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10) A placa da figura abaixo está sujeita a quatro forças paralelas.
Determine a intensidade e a direção de uma força resultante equivalente
ao sistema de forças dado e situe seu ponto de aplicação na placa.
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Uma força resultante FR = 1400N situada no ponto P(3,0 m; 2,50m) é
equivalente ao sistema de forças paralelas que é aplicado na placa.