OSC1 Pêndulo Simples

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Toginho Filho, D. O., Zapparoli, F. V. D., Pantoja, J. C. S., Catálogo de Experimentos do Laboratório Integrado de Física Geral 
Departamento de Física  Universidade Estadual de Londrina, Fevereiro de 2012. 
 
OSC 1 - Pêndulo Simples 
 
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01 - Conceitos relacionados 
 
Pêndulo simples, período, frequência, amplitude, 
oscilação harmônica. 
 
2 - Objetivos 
 
Verificar a dependência do período de oscilação do 
pêndulo simples com a massa oscilante, com o 
comprimento do fio e com o deslocamento angular 
máximo. Obter o valor da aceleração da gravidade 
local. 
 
3 - Método utilizado 
 
Mede-se a duração do período de oscilação de um 
corpo de massa m suspenso por um fio inextensível, 
que é deslocado de sua posição de equilíbrio e posto 
para oscilar sujeito à aceleração da gravidade. 
 
4 - Equipamentos 
 
1 base em Y para suporte universal 
1 haste metálica de 70 cm 
1 haste metálica de 20 cm (com furo) 
1 mufa 
1 conjunto de massas aferidas 
1 trena 
1 cronômetro digital 
3 metros de fio de polipropileno 
1 transferidor 
 
5 - Fundamentos Teóricos 
 
Um pêndulo simples é um sistema composto por 
partícula de massa m, ligada a um fio de comprimento 
L que se move em uma trajetória dentro em um arco de 
circunferência com raio R (R=L), conforme o diagrama 
apresentado na 
Figura 1. As forças que agem sobre a partícula são 
a forças peso P = mg e a tensão T do fio. Adotando um 
referencial de coordenadas polar, a componente 
tangencial da força resultante é descrita pela expressão: 
 
senmgFT . (1) 
 
Sendo FT a força tangencial e θ o ângulo formado entre 
o fio do pêndulo e a direção vertical. A equação para o 
movimento ao longo do perímetro do arco, também 
chamado de movimento tangencial é: 
 
TT amF . (2) 
 
Sendo atg a aceleração aplicada à partícula na 
direção do movimento, também chamada aceleração 
tangencial. 
 
 
 
Figura 1 - Diagrama da decomposição de forças em um 
pêndulo simples, com fio de comprimento L e partícula de 
massa m. 
 
A variação da posição angular (θ) da partícula ao 
longo de uma trajetória circular, por unidade de tempo 
é chamada velocidade angular ω. Assim podemos 
definir a velocidade angular ω como: 
 
 
dt
d  (3) 
 
A velocidade escalar da partícula, também 
chamada velocidade tangencial está relacionada à 
velocidade angular através da seguinte expressão: 
 
Ltg v (4) 
 Sendo L o raio da circunferência descrita pela partícula 
durante o movimento. Aplicando a expressão (3) na 
expressão (4), temos: 
 
 
 
 
Toginho Filho, D. O., Zapparoli, F. V. D., Pantoja, J. C. S., Catálogo de Experimentos do Laboratório Integrado de Física Geral 
Departamento de Física  Universidade Estadual de Londrina, Fevereiro de 2012. 
 
OSC 1 - Pêndulo Simples 
 
2 
dt
dLtg v (5) 
Sabendo que a aceleração é a variação da velocidade 
em função do tempo, a aceleração tangencial é descrita 
como: 
dt
d
a tgtg
v (6) 
 
Substituindo a expressão (5) na expressão (6), temos: 
 
2
2
dt
dLatg  (7) 
 
A expressão (7) descreve a aceleração tangencial 
em função do comprimento do fio e do ângulo θ. A 
equação do movimento tangencial é obtida com a 
substituição das expressões (1) e (7) na expressão (2): 
 
2
2
.
dt
dLmmgsen  
 
 
Simplificando e organizando os termos da equação 
anterior temos: 
 
0.2
2   senL
g
dt
d (7) 
 
Considerando a validade da equação acima apenas 
para ângulos muito pequenos, fazendo a aproximação 
em que senθ  θ, a equação anterior é reescrita como: 
 
0.2
2   L
g
dt
d (8) 
 
A equação (8) é a equação diferencial que 
descreve o movimento harmônico simples, cuja solução 
é: 
( / )msen g Lt  (9) 
 
onde θm é o ângulo máximo da oscilação (amplitude 
angular. 
 
O movimento do pêndulo é periódico, pois 
qualquer posição θ volta a se repetir após o mesmo 
intervalo de tempo. 
O tempo de duração de um ciclo completo é 
chamado período do movimento, T, e pode ser obtido 
pela equação (9), se considerarmos que o deslocamento 
angular de θm corresponde a T/4, ou seja, um quarto do 
ciclo completo, percorrido no tempo T. Assim, para um 
deslocamento angular θ=θm , o tempo decorrido t = T/4, 
que substituído em (9), resulta em: 
 
2 LT g (10) 
Expressão válida apenas para oscilações de 
pequenas amplitudes (θm< 8o), quando então o período 
de oscilação de um pêndulo depende apenas do 
comprimento L do fio, já que a aceleração da gravidade 
g se mantém constante em um determinado ponto da 
Terra. 
Se a amplitude de oscilação não for pequena, a 
equação geral do período apresenta dependência com o 
ângulo máximo, θm, na forma: 
 


  )2(4
3
2
1)2(2
11 42
2
2
2
20
mm sensenTT 
(11) 
 
onde 
g
LT .20  e θm é o deslocamento angular 
máximo. 
A precisão do período de oscilação dependerá 
do número de termos da série acima. 
 
6 - Montagem e procedimento experimental 
 
Prática 1 - Dependência com a massa 
 
1. Montar o pêndulo no suporte utilizando uma massa 
50 gramas e um fio de polipropileno ligado ao 
suporte que passa por um gancho superior; 
2. Ajustar o comprimento do fio em 100 cm; 
3. Ajustar a posição do suporte universal sobre a 
bancada para delimitar a amplitude de oscilação; 
 
 
 
Toginho Filho, D. O., Zapparoli, F. V. D., Pantoja, J. C. S., Catálogo de Experimentos do Laboratório Integrado de Física Geral 
Departamento de Física  Universidade Estadual de Londrina, Fevereiro de 2012. 
 
OSC 1 - Pêndulo Simples 
 
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4. Colocar o pêndulo para oscilar deslocando a massa 
de um ângulo pequeno (5 cm de amplitude, em 
relação a direção vertical do equilíbrio da massa); 
5. Medir o tempo de duração de uma série com 10 
períodos de oscilação, para depois se obter a 
duração de um único ciclo (período T). Repetir as 
medições de cada série no mínimo 3 vezes, ou seja, 
realizar 3 conjuntos de medidas, cada um deles 
com 10 medições. Não se esquecer de ajustar o 
comprimento do fio para 100 cm, a cada nova 
massa; 
6. Repetir o procedimento anterior para corpos com 
massas de 100 g, 150 g, 200 g e 250 g; 
7. Organizar os valores obtidos em uma tabela 
(Tabela I) estruturada de forma que descreva de 
claramente as medidas realizadas, anotando para 
cada valor da massa o seu erro; 
 
Prática 2 - Dependência com o comprimento do fio 
 
1. Montar o pêndulo no suporte utilizando uma massa 
100 g e um fio de polipropileno ligado ao suporte 
que passa por um gancho superior; 
2. Ajustar o comprimento do fio em 200 cm; 
3. Ajustar a posição do suporte universal sobre a 
bancada para delimitar a amplitude de oscilação; 
4. Colocar o pêndulo para oscilar deslocando a massa 
de um ângulo pequeno (10,0 cm de amplitude em 
relação a direção vertical do equilíbrio da massa); 
5. Medir o tempo de duração de uma série com 10 
períodos de oscilação, repetindo a série no mínimo 
3 vezes (3 conjuntos de 10 séries de medições), 
para depois ser calculado a duração de um único 
ciclo; 
6. Repetir os procedimentos 2 até 5 para o fio para o 
comprimento de 170 cm e amplitude de 8,5 cm, de 
140 cm de comprimento e amplitude de 7,0 cm, de 
110 cm de comprimento e amplitude de 5,5 cm e 
80 cm de comprimento e amplitude de 4,0 cm, 
mantendo a massa constante em 100 g. Use o 
transferidor para medir o ângulo máximo de 
oscilação (θm). Note que ele será mantido constante 
nos diferentes comprimentos do fio. 
7. Organizar os valores obtidos em uma tabela 
(Tabela II) estruturada de forma que descreva de 
claramente as medidas realizadas. 
 
Prática 3 - Dependência com o ângulo deoscilação 
 
1. Montar o pêndulo no suporte, utilizando uma massa 
de 100 g e um fio de polipropileno com 
comprimento ajustado em 100 cm; 
2. Ajustar a posição do suporte universal sobre a 
bancada para delimitar a amplitude de oscilação; 
3. Colocar o pêndulo para oscilar deslocando a massa 
de um ângulo pequeno (10 cm de amplitude em 
relação a direção vertical do equilíbrio da massa); 
4. Medir o tempo de duração de 10 ciclos de 
oscilação; 
5. Repetir os procedimentos de 3 a 4, mantendo o 
valor da massa e o comprimento do fio, mas 
variando o ângulo máximo (amplitude angular) de 
oscilação, θm, alterando a amplitude linear entre 10 
cm a 100 cm, em intervalos de 10 cm; 
8. Organizar os valores obtidos em uma tabela 
(Tabela III) estruturada de forma que descreva de 
claramente as medidas realizadas. 
 
7 - Análises 
 
1. Com os dados da Tabela I construir um gráfico da 
grandeza 10.T em função da massa (Gráfico1). 
Note que para cada valor de massa serão 3 valores 
(no mínimo) de 10.T; 
2. Verificar se há alguma tendência da variação de T 
com a massa (aumento, diminuição, espalhamento 
dos valores). Interpretar e explicar os resultados; 
3. Acrescentar na Tabela II uma coluna, calculando o 
valor médio do período T de duração de um único 
ciclo de oscilação, para cada comprimento do fio; 
4. Construir um gráfico do período T (valor médio) 
em função do comprimento L do fio (Gráfico 2); 
5. Fazer o ajuste dos pontos experimentais utilizando 
uma função apropriada; 
6. Avaliar os parâmetros de ajuste, correlacioná-los 
com a equação (10), e fazer os comentários 
pertinentes; 
7. Utilizar a equação (10) para calcular o valor da 
aceleração da gravidade local, g; 
8. Acrescentar na Tabela III três novas colunas: uma 
para o valor do período T, outra para o cálculo da 
amplitude angular máxima de oscilação, θm, em 
graus e outra para o sen(θm/2) 
 
 
 
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OSC 1 - Pêndulo Simples 
 
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9. Construir no aplicativo de tratamento de dados, um 
gráfico de T em função de θm (Gráfico 3); 
10. Ajustar os pontos experimentais do Gráfico 3 com 
uma função apropriada; 
11. Construir no aplicativo de tratamento de dados, um 
gráfico de T em função de sen2(θm/2) (Gráfico 4); 
12. Ajustar os pontos experimentais do Gráfico 4 com 
uma função apropriada; 
13. Avaliar o resultado do ajuste de linearidade com a 
equação (11) considerando apenas os termos até 
sen2(θm/2), e fazer os comentários pertinentes; 
14. O pêndulo devidamente calibrado poderia ser usado 
para medir o tempo? Como seria os ajustes deste 
pêndulo para se medir um intervalo de tempo 
arbitrário? 
 
Referências Bibliográficas 
 
1. Halliday, D., Resnick, R., Walker, J. – 
“Fundamentos de Física 2” - São Paulo: Livros 
Técnicos e Científicos Editora, 4a Edição, 1996. 
2. Mathematical pendulum, disponível em: 
http://www.fizika.org/skripte/of-
prakt/of-praktikum.html, acessado em 
02/03/2009.