Determinantes e Matrizes

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Orientador: Profº João Gusmão 
Monitor: Magno Lapenda 
 
 MONITORIA – ÁLGEBRA LINEAR 
 
 DETERMINANTES 
Determinante é uma função matricial que associa a cada matriz quadrada um escalar; ela transforma 
essa matriz em um número real. Esta função permite saber se a matriz tem ou não inversa, pois as que não têm 
são precisamente aquelas cujo determinante é igual a 0. Também nos permite dizer se um sistema possui 
infinitas, uma única ou nenhuma solução. 
OBS: Podemos tirar determinantes apenas de matrizes quadráticas. 
DETERMINANTE DE UMA MATRIZ QUADRADA DE 2ª ORDEM 
Dada a matriz de ordem 2: M = [
𝑎11 𝑎12
𝑎21 𝑎22
] 
Denomina-se determinante associado à matriz M o número obtido pela diferença entre os produtos dos 
elementos da diagonal principal e da diagonal secundária. 
 
DETERMINANTE DE UMA MATRIZ QUADRADA DE 3ª ORDEM 
 Regra de SARRUS 
Dada a matriz de ordem 3: A = [
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎21 𝑎22 𝑎23
𝑎31 𝑎32 𝑎33
] 
Para tirar seu determinante basta anotar a matriz e repetir, à direita, a 1ª e 2ª coluna. Em seguida, multiplica-
se os elementos das diagonais, trocando os sinais dos produtos resultantes à esquerda, e conservando os sinais 
das diagonais na direita, conforme o esquema abaixo: 
Det (A) 
OBS: Esta regra é aplicada apenas a matrizes de ordem 3. 
OBS2: Para obter o determinante de uma matriz de ordem superior a 3, podemos utilizar o método de 
escalonamento, visando transformá-la em uma matriz triangular superior, onde seu determinante será o 
produto dos elementos da diagonal principal com o sinal trocado. Outro caminho é utilizar o método de 
LAPLACE. 
MENOR COMPLEMENTAR 
Chama-se menor complementar Dij relativo a um elemento aij da matriz A o determinante associado à 
uma matriz quadrada, obtida em A, e que se obtém eliminando, em A, a linha e a coluna em que se encontra 
o elemento considerado. É possível calcular o menor complementar, se a matriz for quadrada e de ordem maior 
ou igual a 2. 
 
COFATOR 
Chama-se cofator Aij de aij o número real que se obtém multiplicando (-1)i + j pelo menor complementar 
de aij. Aij = (-1)i + j. Dij 
 
MATRIZ DE COFATORES 
Denomina-se matriz de cofatores C’ij de uma matriz quadrada M, de ordem n, a matriz que se obtém 
de M, substituindo-se cada elemento aij de M pelo seu cofator Aij. 
MATRIZ ADJUNTA 
M =[
𝑎11 𝑎12 ⋯ 𝑎1𝑛
⋮ ⋱ ⋮
𝑎𝑛1 𝑎𝑛2 ⋯ 𝑎𝑛𝑛
] M’ = C’ij = [
𝐴11 𝐴11 ⋯ 𝐴1𝑛
⋮ ⋱ ⋮
𝐴𝑛1 𝐴𝑛2 ⋯ 𝐴𝑛𝑛
] 
Denomina-se matriz adjunta adj(A) de uma matriz quadrada A, a transposta da matriz de cofatores. 
adj(A) = (C’ij)t 
TEOREMA DE LAPLACE 
Bastante utilizado para matrizes quadráticas de ordem superior a 3, o método visa calcular o 
determinante através do conceito de cofatores. O teorema de Laplace consiste em escolher uma das filas (linha 
ou coluna) da matriz e somar os produtos dos elementos dessa fila pelos seus respectivos cofatores. 
 
Para facilitar os cálculos, o indicado é escolher a linha ou coluna onde há mais zeros (elementos nulos). 
Ex: Calcule o determinante da matriz B, utilizando o teorema de Laplace. B = [
1 0 5 0
2 − 1 0 3
3 0 2 0
7 0 6 5
] 
 Note que a segunda coluna é a fila que possui maior quantidade de zeros, portanto utilizaremos 
esta fila para calcular o determinante da matriz através do teorema de Laplace. 
 
 
 Então, para determinar o determinante da matriz B, basta encontrar o cofator A22. 
 
 
 Por fim, achamos o determinante da matriz B. 
detB = (- 1) . (- 65) = 65 
OBTENÇÃO DA MATRIZ INVERSA 
Definição: A*B = B*A = I (I = matriz identidade) 
Uma matriz quadrada A de ordem n possui inversa quando determinante é diferente de 0. 
Dizemos que B é a matriz inversa de A e representamos por A-1. Para o cálculo da matriz inversa 
podemos utilizar 3 procedimentos: Aplicando a definição (esse método é trabalho para matrizes de 
ordem superior a 2), pelo método de Gauss-Jordan e por meio de sua adjunta. 
MATRIZ INVERSA ATRAVÉS DA ADJUNTA 
Se A é uma matriz quadrada de ordem m e det A ≠ 0, então a inversa de A é dada por: 
A-1 = 
1
det (𝐴)
*adj(A) 
MATRIZ INVERSA PELO MÉTODO DE GAUSS-JORDAN 
O objetivo é somar ou subtrair linhas multiplicadas por escalares de forma a obter a matriz 
unitária no lado esquerdo.