Aula_06 (1)

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FUNDAMENTOS DE GEOMETRIA I
Aula 6- Semelhança
PROF. KLÉBER ALBANÊZ RANGEL
SEMELHANÇA – AULA 6
FUNDAMENTOS DE GEOMETRIA I
Conteúdo Programático desta aula:
. Semelhança: Figuras Congruentes.
. Figuras Semelhantes.
. Figuras Equivalentes.
. Polígonos Semelhantes.
. Triângulos Semelhantes.
. Teorema.
. Casos de Semelhança de Triângulos.
. Exercícios.
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SEMELHANÇA
FIGURAS CONGRUENTES – são figuras que possuem a mesma forma e o mesmo tamanho.Podem coincidir por superposição.
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R1
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FIGURAS SEMELHANTES – são figuras que têm a mesma forma mas não têm o mesmo tamanho.
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Observe que figuras congruentes são semelhantes, porém figuras semelhantes não são necessariamente congruentes
Fig. 1
Fig. 2
Fig. 3
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Temos ainda as FIGURAS EQUIVALENTES que são aquelas que têm a mesma área.
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POLÍGONOS SEMELHANTES Possuem ângulos homólogos (correspondentes) congruentes e lados homólogos proporcionais.
 k = razão de semelhança ou escala
S1
S2
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Sendo S1 e S2 as áreas dos polígonos ABCDE e PQRST , temos: 
 k = razão de semelhança ou escala 
e
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TRIÂNGULOS SEMELHANTES Possuem: - os três ângulos ordenadamente congruentes - lados homólogos proporcionais
 Temos então: ΔABC ~ ΔA’B’C’
b
a
a’
c’
 b’
c
b’
a’
a
 b
c
c’
C
A’
C’
A
B
B’
 A = A’ B = B’ C = C’
e
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Toda paralela a um dos lados de um triângulo que intercepta os outros dois lados em pontos distintos, determina um triângulo semelhante ao primeiro.
 Temos que Δ ABC ~ Δ A’B’C’
TEOREMA FUNDAMENTAL 
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CASOS DE SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS Temos três casos a considerar: 1º)ALA - Se dois triângulos possuem dois ângulos ordenadamente congruentes então são semelhantes. 
A’
 B’
C’
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2º)LAL – Dois triângulos são semelhantes quando têm dois lados respectivamente proporcionais e os ângulos por eles compreendidos respectivamente congruentes.
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3º) LLL – Dois triângulos são semelhantes quando têm os seus lados respectivamente proporcionais. 
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PROPRIEDADES
1.Dois triângulos de lados respectivamente paralelos ou perpendiculares são semelhantes.
D
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2.Toda paralela a um dos lados de um triângulo determina um outro triângulo semelhante ao primeiro.
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P
P’
3.Dois polígonos semelhantes podem ser divididos em igual número de triângulos ordenadamente semelhantes. T1 ~ T’1 => P ~ P’ => T2 ~ T’2 T3 ~ T’3 , ... . 
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OBSERVAÇÕES
Em função dos casos de semelhança e, sendo k a razão de semelhança, temos que:
 - a razão entre lados homólogos é k; - a razão entre os perímetros é k; - a razão entre as medianas homólogas é k; - a razão entre as alturas homólogas é k; - a razão entra as bissetrizes homólogas é k; - a razão entre os raios dos círculos inscritos é k; - a razão entre os raios dos círculos circunscritos é k; ..................................................................; - a razão entre dois elementos lineares homólogos é k; - e os ângulos homólogos são congruentes.
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Exercícios 1.O perímetro de um triângulo é 60m e um dos lados tem 25m. Qual o perímetro do triângulo semelhante cujo lado homólogo ao lado dado mede 15m? 
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2.A base maior de um trapézio vale 40cm e a base menor 28cm. Sabendo que a altura do trapézio vale 12cm, calcular a que distância da base menor cortam-se os prolongamentos dos
lados não paralelos.
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3.Mostre que,se a razão de semelhança entre dois triângulos é k , então a razão entre seus perímetros é também k. 
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Na aula de hoje estudamos:
. As figuras semelhantes.
. As figuras congruentes.
. As figuras equivalentes.
. Os Polígonos Semelhantes.
. Os Triângulos Semelhantes.
. Os Casos de Semelhança entre Triângulos
Fundamentos de Geometria I
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