TEXTO 05 - INTEGRAÇAO POR PARTES 2013 5

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TEXTO 05: CÁLCULO III – CURSO DE ENGENHAIRA 
 Prof. José Norberto Reinprecht 
 
 
( Livro texto- PLT - pág.248 ) 
 
5. INTEGRAÇÃO POR PARTES 
 
 
5.1 INTRODUÇÃO 
 
Nesta seção estudaremos uma técnica de integração conhecida como 
“integração por partes” . Essa técnica se baseia na regra do produto e pode 
ser utilizada para calcular integral onde no integrando aparecem certo 
produtos da forma ƒ(x).g(x) . 
Particularmente, essa técnica é útil para integrandos que envolvem produtos 
de funções algébricas, exponenciais, logarítmicas, trigonométricas, tais como 
∫ dxex
x2
 , ∫ dxxsenx ou ∫ dxxx ln
3
 . 
Pela regra do produto de duas funções u = u (x) e v = v (x), sabemos que: 
 [ u . v ] ’ = u’ . v + u . v’ 
De onde, integrando-se ambos os membros, temos: 
 dxvuvudxvu∫ ∫ += )''()'.( 
ou, ∫∫ += dxvudxuvvu ''. 
como, dudxu =' e dvdxv =' , então escrevendo em forma diferencial, 
temos: 
 
∫∫ += dvuduvvu .
 , 
Portanto, ∫∫ −= duvvudvu . 
 
5.2 INTEGRAÇÃO POR PARTES 
 
 Sejam u = u(x) e v = v(x) funções diferenciáveis, então 
∫∫ −= duvvudvu . . 
 
 REGRA 19 ∫∫ −= duvvudvu . 
Nessa técnica, o integrando da integral inicial é visto como um produto 
de u e dv , e essa integral é expressa em termos de uma outra integral. 
A escolha de u e dv na integral inicial dever ser de tal forma que a 
integral do 2º membro ∫ duv seja facilmente integrável. 
Não existe um critério a ser adotado na escolha de u e dv . Pode- se 
considerar que a escolha deva se ajustar a um dos casos: 
dv deve ser a parte do integrando que se ajuste a uma regra básica de 
integração e u o fator restante; e u deve ser a parte do integrando cuja 
derivada é uma função mais simples do que a própria u e dv é o fator 
restante. 
Portanto, um dos fatores escolhido deve ser integrado e o outro a ser 
derivado. 
 
Exemplo 1. Calcule: ∫ dxex
x
 ( Livro texto – PLT - pág.248 ) 
 
Solução: 
Para aplicar a fórmula de integração por partes, devemos decompor o 
integrando ∫ dxex
x
 em dois fatores, um fator representando por u e outro por 
dv . 
Vamos escolher, inicialmente, da seguinte forma: 
 
xu =
 e dxedv x= 
Assim sendo, temos que: dxud = e Kedxedvv xx +=== ∫∫ 
Logo, 
∫ dxex
x
= ∫ +−+ dxKeKex
xx )()( = ∫ ∫−−+ dxKdxexKex xx . = 
 = CxKexKex xx +−−+ .. 
Portanto, ∫ dxex
x
= Ceex xx +− 
No cálculo da integral Kedxev xx +== ∫ , não é necessário incluir a 
constante K de integração, pois no decorrer da aplicação da regra da 
integração por partes, vemos que os termos que envolve essa constante K se 
cancelam. 
Caso tivéssemos escolhido xeu = e xdxdv = , teríamos: 
 
xeu =
 ⇒⇒⇒⇒ xdeud x= 
 xdxdv = ⇒⇒⇒⇒ K
x
xdxv +== ∫ 2
2
 
Assim, ∫ dxex
x
 = dxe
xx
e xx .
22
.
22
∫− = dxex
xe x
x
.
2
1
2
. 2
2
∫− 
Logo, recaímos numa integral mais complicada que a inicial. 
 
Exemplo 2. Calcule: ∫ dxxx cos (Livro texto: pág.248) 
 
Solução: 
Fazendo, xu = e dxxdv cos= , temos: 
 
xu =
 ⇒⇒⇒⇒ xdud = 
 dxxdv cos= ⇒⇒⇒⇒ Kxsenxdxv +== ∫cos 
A constante K que pode ser omitida pois não interfere no resultado final. 
∫ dxxx cos = =− ∫ dxxsenxsenx. Cxxsenx +−− )cos( 
Portanto, ∫ dxxx cos = Cxxsenx ++ cos 
 
Exemplo 3. Calcule: ∫ dxxx ln
6
 ( Livro texto – PLT - pág.248 ) 
 
Solução: 
Fazendo, xu ln= e dxxdv 6= , temos: 
 
xu ln=
 ⇒⇒⇒⇒ xd
x
ud 1=
 
 dxxdv 6= ⇒⇒⇒⇒ K
x
xdxv +== ∫ 7
7
6
 
A constante K que pode ser omitida pois não interfere no resultado final. 
∫ dxxx ln
6
 = ( xln ). 7
7x
xd
x
x
∫−
1
.
7
7
 = 7
ln.7 xx
xdx∫−
6
7
1
= 
 = 7
ln.7 xx Cx +−
7
.
7
1 7
 
Portanto, ∫ dxxx ln
6
= 7
ln.7 xx Cx +−
49
7
 
 
Exemplo 4. Calcule: ∫
3
2
ln dxx (Livro texto: pág.249) 
Solução: 
 
Fazendo, xu ln= e dxdv = , temos: 
 
xu ln=
 ⇒⇒⇒⇒ xd
x
ud 1=
 
 dxdv = ⇒⇒⇒⇒ Kxxdv +== ∫ 
A constante K que pode ser omitida pois não interfere no resultado final. 
∫ dxxln = =− ∫ dxx
xxx
1)ln(
 ∫− dxxx ln. 
 
∫ ∫
3
2
ln dxx = =− ∫
3
2
3
2
1)ln( dx
x
xxx
 
=− ∫
3
2
3
2
ln. dxxx
 
=−−
3
2
2ln23ln3 x
 
 = )23(2ln23ln3 −−− 
Portanto, ∫
3
2
ln dxx = 12ln23ln3 −− 
 
 
5.3 EXERCÍCIOS DE AULA 
Calcule as integrais: 
1. ∫ dxex
x2
 2. ∫ dxxsenx
2
 3. ∫ dxxarctg