TEXTO 03 - DERIVADA DA FUNÇÃO EXPONENCIAL

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Texto 03. Cálculo II 
Curso de Engenharia Prof. José Norberto Reinprecht 
 
 
3. FUNÇÕES EXPONENCIAIS 
 
3.1 Definição 
 A função exponencial de base a, ( a>0 e a 1 ), como sendo 
 
xaxf )(
 
 Graficamente, 
 
 
 
3.2 Propriedades das potências 
 
 
 P1. 
10a
 
 
 P2. 
nmnm aaa .
 
 P3. 
nm
n
m
a
a
a
 
 
 P4. 
nmnm aa )(
 
 
 P5. 
nnn baba )(
 
 P6. 
n
n
n
b
a
b
a
)(
 
 P7. 
n
n
a
a
1
 P8. n mnm aa 
 
 
Exemplos: 
a) 
64242 555.5
 ( prop. P2 ) b) 
335
3
5
22
2
2
 ( prop. P3 ) 
c) 
82.424 33.)3(
 ( prop. P4 ) d) 
4444 15)5.3(5.3
 ( prop. P5 ) 
e) 
55
5
5
3)
2
6
(
2
6
 ( prop. P6 ) f) 
8
1
2
1
2
3
3
 ( prop. P7 ) 
g) 
93)
1
3
()
3
1
( 222
 ( prop. P7 ) h) 33 232 2555 ( prop. P8 ) 
i) 
4
3
4 3 22
 ( prop. P8 ) 
 
 
3.3 Limite fundamental exponencial. ( PLT - Seção 3.2 - pág.100 ) 
 
ex x
x
1
0
)1(lim
 
 Sendo e um número irracional, denominado número de Euler, e seu valor decimal aproximado é 
de 2,7182818 . 
A demonstração da obtenção deste limite requer conhecimentos de cálculo avançado. 
Mostraremos, através das tabelas abaixo, que o comportamento da função 
xxxf
1
)1()(
 é de se 
aproximar do número e, quando os valores de x estiverem próximos do 0 . 
 
 Tabela dos valores de x se aproximando de 0 pela esquerda (valores menores que 0 ) 
 
 x 
 
 - 0,5 
 
 - 0,1 
 
 - 0,01 
 
 - 0,001 
 
- 0,0001 
 
 ... 
 
 x 
0
 
xxxf
1
)1()(
 
 
 4 
 
2,86797 
 
2,73199 
 
2,71964 
 
2,71814 
 
 ... 
 
e 2,71828 
 
 Logo, 
ex x
x
1
0
)1(lim
 
 
 Tabela de valores de x se aproximando de 0 pela direita. 
 
 x 
 
 0,5 
 
 0,1 
 
 0,01 
 
 0,001 
 
 0,0001 
 
 ... 
 
 x 
0
 
xxxf
1
)1()(
 
 
2,25 
 
2,59374 
 
2,70481 
 
2,71692 
 
2,71814 
 
 ... 
 
E 2,71828 
 Logo, 
ex x
x
1
0
)1(lim
 
 
 E portanto, a
ex x
x
1
0
)1(lim
x 
 Podemos dizer que para valores “pequenos” de x, temos 
ex x
1
)1(
 
 Assim, x
x
x ex
1
)1(
 
 
xex 1)1(
 
 Logo, 
xe x 1
 
 
 
3.4 Derivada da função exponencial ƒ(x) = e
x 
 
 A derivada de uma função ƒ(x) é definida como sendo a função 
 
x
xfxxf
xf
x
)()(
lim)('
0
. 
 Assim, para 
xexf )(
, temos: 
 
x
eee
x
ee
xf
xxx
x
xxx
x 00
limlim)('
 
 
x
e
e
x
ee x
x
x
xx
x
1
lim
)1(
lim
00
 
 
x
x
e
x
x
e
x
x
x
x
00
lim
11
lim 1lim
0x
xe
xx ee 1.
 
 
 Portanto, 
 
 Regra 7 x
xx ee )'(
xx 
 
3.5 Cálculo do 
x
a x
x
1
lim
0
 
 
 Para determinarmos o valor desse limite, inicialmente vamos considerar, por exemplo, a função 
x
xf
x 12
)(
. E através de tabelas verifiquemos o comportamento da função ƒ nas vizinhanças do 
0, do mesmo modo utilizado no limite fundamental exponencial. 
 
 Tabela dos valores de x se aproximando de 0 pela esquerda (valores menores que 0 ) 
 
 x 
 
 - 1 
 
 - 0,5 
 
 - 0,1 
 
 - 0,01 
 
 - 
0,001 
 
 ... 
 
 X 
0
 
 
x
y
x 12
 
 
 0,5 
 
0,5857 
 
0,6696 
 
0,6907 
 
0,6929 
 
 ... 
 
y ln 2 0,6931 
 
 Tabela de valores de x se aproximando de 0 pela direita. 
 
 x 
 
 1 
 
 0,5 
 
 0,1 
 
 0,01 
 
 0,001 
 
 ... 
 
 x 
0
 
 
x
y
x 12
 
 
 1 
 
0,8284 
 
0,7177 
 
0,6955 
 
0,6933 
 
 ... 
 
y ln 2 0,6931 
 Logo, 
2ln
12
lim
0 x
x
x
 
 
 Agora, considerando a função 
x
xf
x 13
)(
 e procedendo da mesma forma da função anterior, 
teremos: 
 
 Tabela dos valores de x se aproximando de 0 pela esquerda (valores menores que 0 ) 
 
 x 
 
 - 1 
 
 - 0,5 
 
 - 0,1 
 
 - 0,01 
 
 - 
0,001 
 
 ... 
 
 X 
0
 
 
x
y
x 12
 
 
 
0,6666 
 
0,8452 
 
1,0404 
 
1,0925 
 
1,0980 
 
 ... 
 
y ln 3 1,0986 
 
 Tabela de valores de x se aproximando de 0 pela direita. 
 
 x 
 
 1 
 
 0,5 
 
 0,1 
 
 0,01 
 
 0,001 
 
 ... 
 
 x 
0
 
 
x
y
x 12
 
 
 2 
 
1,4641 
 
1,1612 
 
1,1046 
 
1,0992 
 
 ... 
 
y ln 3 1,0986 
 Logo, 
3ln
13
lim
0 x
x
x
 
 
 Portanto, parece razoável supo que: xx
a
x
a x
x
ln
1
lim
0
xx 
 
 
3.6 Derivada da função ƒ(x) = a
x 
 Como a derivada de ƒ(x) é definida como sendo a função 
x
xfxxf
xf
x
)()(
lim)('
0
. 
 No caso de 
xaxf )(
, temos: 
 
x
aaa
x
aa
xf
xxx
x
xxx
x 00
limlim)('
x
aa xx
x
)1(
lim
0
 
 
aa
x
a
a x
a
x
x
x ln
1
lim
ln
0 
 
 Portanto, 
 
 Regra 8 x
aaa xx ln)'(
xx 
 Exemplos: 
 a) 
xxf 2)(
 b) 
xxg 3)(
 
 
2ln2)(' xxf
 
3ln3)(' xxg
 
 
 c) 
xx exg 53.2)(
 d) 
25 35)( exxxg ex
 
 
xx exg 53ln3.2)('
 
14 355ln5)(' ex xexxg
 
 
3.7 Exercícios 
 
 1. 
22)( xexf x
 3. 
25xy
 5. 
325 2 xxy
 
 7. 
3104 xyx
 9. 
x
y
x 33
3
3
 11. 
xexf 1)(
 
13. 
1ey
 15. 
xz 4)4ln(
 17. 
xxxf 3)( 3
 
19. 
xy 2
 21. 
xxexf )(
 23. 
ax xaxy )(
 
24. 
xxxf )()( 2
2
 2. 
tety 45 2
 3. 
xxxf 3.22)(
 
 6. 
xxey 1112
 
 8. 
xxy 4.23
 10. 
exexf 2)(
 
14. 
zez )4ln(
 16. 
ttf )3ln()(
 
 
 20. 
zzh )2ln()(
 
22. 
xxf x)(
 25. 
zezzf )4(ln)3(ln)( 2