Álgebra Linear - Resumo

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PROF. GUSTAVO VIEGAS 
MATEMÁTICA 
 
RESUMO TEÓRICO 
 
Álgebra Linear - Área 1 
 
São notações equivalentes 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A = 
 
Dizemos que A é a matriz dos coeficientes e [A ] é a 
matriz completa do sistema. 
 
Sistemas possíveis e impossíveis 
 
Sistema possível e determinado 
Possui apenas uma solução. 
A matriz dos coeficientes possui pivô em cada coluna. 
 
Sistema possível e indeterminado 
Possui infinitas soluções. 
É possível e a matriz dos coeficientes não possui pivô 
em cada coluna. 
 
Sistema impossível 
Não possui solução. 
A matriz completa possui alguma linha [0 .. 0 c], c  0. 
 
Combinações lineares 
 
Dizemos que é combinação linear de { , ..., } se 
existem números , ..., tais que 
 + ... + = . 
 
Sistemas homogêneos 
 
Um sistema do tipo A = sempre é possível. 
 
 
Independência linear 
 
Dizemos que um conjunto { , ..., } é linearmente 
independente (LI) se 
 + ...+ = 
 
tem por solução apenas = ... = = 0. Caso 
contrário, o conjunto é linearmente dependente (LD). 
Assim, um conjunto { , ..., } é LI se a matriz 
[ ... ] possui um pivô em cada coluna. 
 
Transformações lineares 
 
Dizemos que uma função T é uma transformação 
linear se 
 T( ) = T( ) 
T( + ) = T( ) + T( ) 
 
Se T:  é uma transformação linear, então 
existe uma matriz A tal que T( ) = A . 
 
Base canônica 
No , = 
 
 
 , = 
 
 
 . 
 
No , = 
 
 
 
 , = 
 
 
 
 , = 
 
 
 
 . 
 
Na base canônica, a matriz da transformação linear 
chama-se matriz canônica e é dada por 
 A = [T( ) ... T( )] 
 
Uma função T:  é injetora se  implica 
T( )  T( ). Se T é uma transformação linear, então 
a matriz canônica possui pivô em cada coluna. 
 
Uma função T:  é sobrejetora se para cada 
 existe tal que T( ) = . Se T é uma 
transformação linear, então matriz canônica possui 
pivô em cada linha. 
 
Uma função é bijetora se for injetora e sobrejetora. 
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Matriz inversa 
 
Duas matrizes são inversas se A. = , lembrando 
que 
  = 
 
 
 é a identidade de ordem 2 
 
  = 
 
 
 
 é a identidade de ordem 3 
 
Para determinar a inversa de A, consideramos a 
matriz [A ] e a escalonamos até obter [ ]. 
 
No caso A = 
 
 
 vale 
 
 
 
 
 . 
 
Bases 
 
Uma base do é um conjunto LI de dois vetores do 
com duas componentes 
 
 
 
 
 , 
 
 
 
 
Uma base do é um conjunto LI de três vetores com 
três componentes 
 
 
 
 
 , 
 
 
 
 , 
 
 
 
 
 
Span H e Col(A) 
 
Dado um conjunto de vetores H = { , ..., }, Span H 
é o conjunto de todas as combinações lineares desses 
vetores, ou seja, 
 
 Span H= { + ... + ;  } 
 
Se os mesmos vetores estiverem dispostos em matriz 
A = [ ... ], chamamos esse conjunto de espaço das 
colunas da matriz, Col(A). 
 
A base de Col(A) é formada pelos vetores de A que 
possuem pivô na forma escalonada. 
 
Nul(A) 
 
O espaço nulo ou núcleo de uma matriz é o conjunto 
 { ; A = } 
 
Para encontrar a base de Nul(A), resolvemos o 
sistema A = . 
 
 
 
Lin(A) 
 
O espaço das linhas de uma matriz A é o conjunto de 
todas as combinações lineares das linhas de A. 
 
Se B uma forma escalonada de A, então as linhas não 
nulas de B formam uma base para Lin(A). 
 
Teorema do posto 
 
dim Col A = número de pivôs de A = posto de A 
dim Nul A = número de variáveis livres de A = 
 
(Posto de A) + (dim Nul A) = número de colunas