ZEROS DE FUNCOES - CALCULO NUMERICO PROFESSOR CASSIUS UNIT

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PARTE 1: 
ZEROS DE FUNÇÕES
Prof. Msc. Cassius Gomes
CÁLCULO NUMÉRICO
►O problema para determinar um zero de uma função
real 𝑓 contínua em um intervalo 𝐼, é determinar, se
existir, um número 𝑥 ∈ ℝ pertencente ao domínio da
função 𝑓, tal que:
𝑓 𝑥 = 0
► Em geral o cálculo do zero de uma função qualquer
não é um problema trivial, a não ser que a função
seja um polinômio com raízes inteiras, uma função
quadrática ou uma função linear onde já existem
fórmulas específicas. Por exemplo (Baskara).
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EXEMPLO: Determine, se existir, um zero da função
real:
𝑓 𝑥 = 𝑥3 − cos(𝑥)
► Através de técnicas numéricas, é possível, obter uma
solução aproximada, em alguns casos, tão próxima
da solução exata quanto se deseja.
►Graficamente, os zeros ou raízes de uma função, são
os pontos onde o gráfico da função intercepta o eixo
𝑥.
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EXEMPLOS:
(1) 𝑓 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) para 𝑥 ∈ (−∞,+∞) , possui
infinitas raízes.
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(b) 𝑓 𝑥 = 𝑒𝑥 + 5, para 𝑥 ∈ (−∞,+∞), não possui raiz
real.
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(3) 𝑓 𝑥 = 𝑥3 − cos(𝑥) , possui uma raiz real no
intervalo 𝑥 ∈ [0, 1].
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►O processo para determinarmos uma raiz 𝑥
(ou zero), se existir, de uma função 𝑓, consiste
basicamente em duas etapas:
(1) Obter um intervalo 𝑰 que contém pelo menos
uma raiz 𝑥 (ou zero) da função 𝑓;
(2) É o refinamento, ou seja, a partir de uma
aproximação inicial, utilizando um método numérico
adequado, construímos aproximações sucessivas
para a raiz 𝑥
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► TEOREMA DE BOLZANO – CAUCHY (TEOREMA DO
VALOR INTERMEDIÁRIO): Se uma função 𝑓 de uma
variável real é contínua num intervalo fechado [𝑎, 𝑏],
com 𝑓 𝑎 ≤ 𝑁 ≤ 𝑓(𝑏), então existe 𝑐 ∈ [𝑎, 𝑏], tal
que:
𝑓 𝑐 = 𝑁
► CASO PARTICULAR 𝑵 = 𝟎: Se uma função 𝑓 é
contínua no intervalo fechado [𝑎, 𝑏] , com
𝒇 𝒂 𝒇 𝒃 < 𝟎, então existe 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏] , tal que
𝒇 𝒙 = 𝟎.
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ATIVIDADE 1: Determine, se existir, pelo menos um
intervalo que contém uma raiz ou zero da função 𝑓
dada:
(1) 𝑓 𝑥 = 2𝑥3 − 5𝑥2 − 𝑥 + 3
(2) 𝑓 𝑥 = 𝑒−𝑥 + 𝑥2 − 10
(3) 𝑓 𝑥 = ln 𝑥 − 2𝑥 + 1
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MÉTODO DA BISSECÇÃO OU BISSEÇÃO 
► Seja 𝑓 uma função contínua no intervalo fechado
[𝑎, 𝑏], tal que 𝑓 𝑎 𝑓 𝑏 < 0.
►Neste método construímos uma sequência de
intervalos:
𝑎0, 𝑏0 ⊃ 𝑎1, 𝑏1 ⊃ 𝑎2, 𝑏2 ⊃ ⋯ ⊃ [𝑎𝑛, 𝑏𝑛]
com amplitude cada vez menor e que contém uma raiz
 𝑥 de 𝑓.
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►Obtemos o intervalo [𝑎𝑘+1, 𝑏𝑘+1] , dividindo o
intervalo [𝑎𝑘 , 𝑏𝑘] pela metade.
►O ponto médio do intervalo [𝑎𝑘 , 𝑏𝑘]:
𝑥𝑘 =
𝑎𝑘+𝑏𝑘
2
é uma aproximação 𝑥𝑘 para a raiz exata 𝑥.
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► CRITÉRIO DE PARADA: O critério de parada
interrompe a sequência de aproximações 𝑥𝑘 gerada
pelos métodos numéricos.
► Em geral, o valor exato 𝑥 da raiz é desconhecido e
assim, são utilizados em geral, pelo um dos seguintes
critérios:
 Avaliação do ponto na função:
𝑓 𝑥𝑘 ≤ 𝜖
 Avaliação do tamanho do intervalo:
𝑥𝑘 − 𝑥𝑘−1 ≤ 𝜖 𝑜𝑢
𝑥𝑘−𝑥𝑘−1
𝑥𝑘
≤ 𝜖
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► ALGORITMO DO MÉTODO DA BISSECÇÃO:
Dado, 𝑓(𝑥), 𝑎 e 𝑏 tais que: 𝑓 𝑎 𝑓 𝑏 < 0, 𝑚𝑎𝑥 e 𝜖
1. 𝑎0 = 𝑎
2. 𝑏0 = 𝑏
3. Para 𝑘 = 0,1,2,3, … faça
4. 𝑥𝑘 =
𝑎𝑘+𝑏𝑘
2
5. Se 𝑓 𝑎𝑘 𝑓 𝑥𝑘 < 0 faça
6.
𝑎𝑘+1 = 𝑎𝑘
𝑏𝑘+1 = 𝑥𝑘
7. Senão faça:
𝑎𝑘+1 = 𝑥𝑘
𝑏𝑘+1 = 𝑏𝑘
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► ATIVIDADE 2: Determine uma aproximação 𝑥𝑘 para
um zero da função:
𝑓 𝑥 = 𝑥3 − 9𝑥 + 3
utilizando como critério de parada:
𝑓 𝑥𝑘 ≤ 𝜖 = 10
−3
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GRÁFICO DA FUNÇÃO:
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►O método da bissecção também é conhecido como
Método da Dicotomia.
►O método da bissecção é simples de ser aplicado,
entretanto, é o mais lento, em relação ao número de
iterações, se comparado a outros métodos
numéricos.
► CONVERGÊNCIA: Se 𝑓 é contínua em [𝑎, 𝑏] tal que
𝑓 𝑎 𝑓 𝑏 < 0 e existe uma raiz ou zero 𝑥 de 𝑓 em
[𝑎, 𝑏] então a sequência gerada pelo método da
bissecção converge para 𝑥.
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► ATIVIDADE 3: Utilize o método da bissecção para
determinar, se existir, uma aproximação 𝑥𝑘 para uma
raiz 𝑥 de 𝑓 com a precisão 𝜖 > 0 dada tal que
𝑓 𝑥𝑘 ≤ 𝜖.
1. 𝑓 𝑥 = 𝑥 − 5𝑒−𝑥, 𝜖 = 10−4
2. 𝑓 𝑥 = 𝑒𝑥 − 𝑥 − 3𝑥2, 𝜖 = 10−3
3. 𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 𝑠𝑒𝑛 𝑥 − 1, 𝜖 = 10−5
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MÉTODO DE NEWTON – RAPHSON
MÉTODO DE NEWTON – RAPHSON
► Isaac Newton (1642 - 1727), publicou seu método
para encontrar raízes de equações não lineares em
1687.
►O método também é conhecido como Newton –
Raphson devido a sistematização apresentada por
Joseph Raphson em 1690.
►O método de Newton combina duas idéias comuns
nas aproximações numéricas: linearização e
iteração.
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MÉTODO DE NEWTON – RAPHSON
Manuscrito de Isaac Newton
► INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA
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► Dado 𝑥𝑘, o valor 𝑥𝑘+1 pode ser obtido graficamente, traçando-se pelo
ponto (𝑥𝑘 , 𝑓(𝑥𝑘)), a tangente à curva 𝑦 = 𝑓(𝑥). O ponto de intersercção
da tangente com o eixo 𝑥 determina 𝑥𝑘+1.
► Logo, pela lei da tangente, temos:
𝑓′ 𝑥𝑘 = 𝑡𝑔 𝛼 =
𝑓(𝑥𝑘)
𝑥𝑘 − 𝑥𝑘+1
⟹ 𝑥𝑘+1 = 𝑥𝑘 −
𝑓(𝑥𝑘)
𝑓′ 𝑥𝑘
► O método de Newton também é conhecido como Método das Tangentes.
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► A equação iterativa do método de Newton dada por:
𝑥𝑘+1 = 𝑥𝑘 −
𝑓 𝑥𝑘
𝑓′ 𝑥𝑘
, 𝑘 = 0, 1, 2, 3, …
mostra que a aplicação do método não pode continuar se
𝑓′ 𝑥𝑘 = 0, para algum 𝑘 . Na prática o método é mais eficiente
quando o valor de 𝑓′(𝑥𝑘) esta distante do valor zero.
► Para garantir a convergência do Método de Newton,
escolhemos a aproximação inicial 𝑥0, em um intervalo que
contém pelo menos uma raiz da função 𝑓, ou seja, 𝑥0 ∈ (𝑎, 𝑏)
tal que 𝑓 𝑎 𝑓 𝑏 < 0.
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ATIVIDADE 4: Utilize o método de Newton para
determinar aproximações 𝑥𝑘 tais que: 𝑓 𝑥𝑘 ≤ 10
−4,
para as seguintes funções:
1. 𝑓 𝑥 = cos 𝑥 − 𝑥
2. 𝑓 𝑥 = 𝑒𝑥 + 2−𝑥 + 2 cos 𝑥 − 6
3. 𝑓 𝑥 = ln 𝑥 − 1 + cos(𝑥 − 1)
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MÉTODO DA SECANTE
►O método de Newton é uma técnica eficiente, para
determinar uma aproximação 𝑥𝑘 para a solução da
equação 𝑓 𝑥 = 0.
► Entretanto, o Método de Newton, exige o cálculo da
derivada de 𝑓 a cada iteração realizada.
► Em geral o cálculo de 𝑓′(𝑥𝑘) é mais difícil e requer
mais operações aritméticas que o cálculo de 𝑓 𝑥𝑘 .
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Para minimizar este problema, Newton, propôs o
cálculo de 𝑓′(𝑥𝑘) da seguinte forma:
►Do cálculo, temos que a derivada de uma função 𝑓
no ponto 𝑥𝑘 é obtida através do seguinte limite:
𝑓′ 𝑥𝑘 = lim
𝑥→𝑥𝑘
𝑓 𝑥 − 𝑓(𝑥𝑘)
𝑥 − 𝑥𝑘
► Fazendo 𝑥 = 𝑥𝑘−1, obtemos:
𝑓′ 𝑥𝑘 ≅
𝑓 𝑥𝑘−1 − 𝑓(𝑥𝑘)
𝑥𝑘−1 − 𝑥𝑘
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► Substituindo esta aproximação de 𝑓′(𝑥𝑘) na equação
iterativa do método de Newton, obtemos:
𝑥𝑘+1 = 𝑥𝑘 −
𝑓 𝑥𝑘
𝑓 𝑥𝑘−1 − 𝑓 𝑥𝑘
𝑥𝑘−1 − 𝑥𝑘
⟹ 𝑥𝑘+1 =
𝑥𝑘−1𝑓 𝑥𝑘 − 𝑥𝑘𝑓 𝑥𝑘−1
𝑓 𝑥𝑘 − 𝑓(𝑥𝑘−1)
Equação iterativa do Método da Secante.
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► INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA:
► O método da Secante determina a aproximação 𝑥𝑘, através da
intersecção da reta que passa pelos pontos 𝑥𝑘, 𝑓 𝑥𝑘 e
(𝑥𝑘−1, 𝑓 𝑥𝑘−1 ) com o eixo 𝑥
ZEROS DE FUNÇÕES
►No método da secante são necessárias duas
aproximações iniciais 𝑥𝑘−1 e 𝑥𝑘 para determinarmos
a aproximação 𝑥𝑘+1.
► EXEMPLO: Para determinar a aproximação 𝑥2 são
necessários os valores das aproximações 𝑥0 e 𝑥1,
sendo 𝑥2 a intersecção da reta que passa pelos
pontos (𝑥0, 𝑓 𝑥0 ) e (𝑥1, 𝑓(𝑥1)) com o eixo 𝑥
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ATIVIDADE 5: Utilize o método da Secantepara
determinar aproximações 𝑥𝑘 tais que: 𝑓 𝑥𝑘 ≤ 10
−4,
para as seguintes funções:
1. 𝑓 𝑥 = cos 𝑥 − 𝑥
2. 𝑓 𝑥 = 𝑒𝑥 + 2−𝑥 + 2 cos 𝑥 − 6
3. 𝑓 𝑥 = ln 𝑥 − 1 + cos(𝑥 − 1)
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ATIVIDADE 6: Considerando a seguinte função polinomial:
𝑝 𝑥 = 600𝑥4 − 550𝑥3 + 200𝑥2 − 20𝑥 − 1
Determine uma aproximação 𝑥𝑘 > 0 para uma raiz de 𝑝, tal que
𝑝 𝑥𝑘 ≤ 10
−4, comparando os métodos da Bissecção, Newton
e da Secante através da seguinte tabela:
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Método Numérico
Utilizado
Valor da 
aproximação 𝒙𝒌
Quantidade de 
Iterações
Bissecção
Newton
Secante
ATIVIDADE 7: A equação:
𝑡𝑔
𝜃
2
=
𝑠𝑒𝑛 𝛼 𝑐𝑜𝑠 𝛼
𝑔𝑅
𝑣2
− 𝑐𝑜𝑠2 𝛼
permite calcular o ângulo de inclinação 𝛼 em que o
lançamento do míssil dever ser feito para um
determinado alvo. Assim, para 𝜃 = 80𝑜 e 𝑣 tal que
𝑣2
𝑔𝑅
= 1.25 , utilize um método numérico para
determinar uma aproximação com quatro casas
decimais corretas do ângulo 𝛼.
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