CAP 04 A DEMANDA INDIVIDUAL E DEMANDA DE MERCADO

Prévia do material em texto

Capítulo 4: Demanda Individuale Demanda de Mercado, Apêndice
CAPÍTULO 4
DEMANDA INDIVIDUAL E DEMANDA DE MERCADO,
APÊNDICE
EXERCÍCIOS
1. Quais das seguintes funções de utilidade são coerentes com as curvas de
indiferença convexas e quais não são? 
a. U(X, Y) = 2X + 5Y
b. U(X, Y) = (XY)0,5
c. U(X, Y) = Min(X, Y), em que Min corresponde ao mínimo de ambos os
valores de X e Y
As   três   funções   de   utilidade   são   apresentadas   nas   Figures   4A.1.a,
4A.1.b, e 4A.1.c.  A primeira pode ser representada como um conjunto de
linhas retas; a segunda, como um conjunto de hipérboles; e a terceira,
como   um   conjunto   de   “Ls".   Apenas   a   segunda   função   de   utilidade
satisfaz a definição de curva de indiferença estritamente convexa.
Para   representar   graficamente   as   curvas   de   indiferença   que
representam   as   preferências   dadas   por   U(X,Y)=2X+5Y,   considere   a
utilidade U0 e resolva para Y a fim de obter
Y 
U0
5

2
5
X.
Sendo esta a equação para uma linha reta, as curvas de indiferença  são 
lineares com o intercepto 
U0
5
 e inclinação 
2
5
.
54
Capítulo 4: Demanda Individuale Demanda de Mercado, Apêndice
U0
U1
U2
U0
2
U1
2
U2
2
U0
5
U1
5
U2
5
Y
X
Figura 4A.1.a
Para representar graficamente as curvas de indiferença que representam as
preferências dadas por U(X,Y) (XY )0.5 , considere a utilidade U0 e resolva para
Y a fim de obter
55
Capítulo 4: Demanda Individuale Demanda de Mercado, Apêndice
Y 
U0
2
X
.
Inserindo alguns valores para X nessa equação e resolvendo para Y, você
será capaz de representar a curva de indiferença U0, ilustrada na figura 
Figure 4A.1.b junto com a curva de indiferença U1.
X
Y
U0
U1
Figura 4A.1.b
Para representar graficamente as curvas de indiferença que 
representam as preferência dadas por U(X,Y) Min(X,Y) , observe, 
primeiramente, que as funções de utilidade desse tipo resultam nas 
curvas de indiferença com formato de L e representam uma relação 
complementar entre X e Y.  Neste caso, para qualquer nível de utilidade 
U0, o valor de X e de Y também será igual a U0.  À medida que X 
aumenta e Y não muda, a utilidade também não mudará.  Se tanto X 
como Y mudarem, a utilidade mudará e nós teremos uma outra curva de
indiferença.  Veja a tabela a seguir.
X Y U
10 10 10
10 11 10
10 9 9
11 10 10
9 10 9
9 9 9
56
Capítulo 4: Demanda Individuale Demanda de Mercado, Apêndice
X
Y
Uo
U1
U0 U1
U0
U1
Figura 4A.1.c
2.   Mostre   como   as   duas   funções   de   utilidade,   apresentadas   a   seguir,
produzem idênticas funções de demanda para as mercadorias X e Y:
a. U(X, Y) = log(X) + log(Y)
b. U(X, Y) = (XY)0,5
O apêndice discute como derivar funções de demanda a partir de funções
de  utilidade.    Se  mostrarmos  que  as  duas   funções  de  utilidade   são
equivalentes,   então,   saberemos   que   as   funções   de   demanda   delas
derivadas   são   idênticas.    A   equivalência  das  duas   funções  pode   ser
provada mostrando­se que uma função é uma transformação da outra
que preserva a ordem de qualquer conjunto de números.
Tomando o logaritmo de U(X, Y) = (XY)0,5 obtemos:
logU(X, Y) = 0,5log(X) + 0,5log(Y).
Agora, multiplicando os dois lados por 2:
2 logU(X,Y) = log(X) + log(Y).
Portanto, as duas funções de utilidade são equivalentes e resultarão em
funções de demanda idênticas.   Entretanto, nós resolveremos para as
funções de demanda em ambos os casos para mostrar que elas são as
mesmas.
a.  Para encontrar as funções de demanda para X e Y, correspondentes a
U(X, Y) = log(X) + log(Y), dada a restrição orçamentária usual, escreva o
Lagrangeano:
57
Capítulo 4: Demanda Individuale Demanda de Mercado, Apêndice
 = log(X) + log(Y) ­ (PXX + PYY ­ I)
Derivando em relação a  X,  Y,  , e considerando as derivadas iguais a
zero:




X X
PX  
1
0




Y Y
PY  
1
0



   P X P Y IX Y 0.
As duas primeiras condições implicam que P XX 
1

 e P YY 
1

.
A terceira condição implica que    1 1 0
 
  I , ou   2
I
.
A substituição desta expressão em   P X IX    e  
P Y IY 
  nos fornece as
funções de demanda:
            X 
0 .5
PX




I 2  e Y 
0 .5
PY




I 2 .
Observe que a demanda para cada bem depende apenas do preço desse
bem e da renda, não do preço do outro bem.
b.  Para encontrar as funções de demanda para X e Y, correspondentes a
U(X,Y) = (XY)0,5 dada a restrição orçamentária usual, primeiro escreva o
Lagrangeano:
 = 0,5(logX) + (1 ­ 0,5)logY ­ (PXX + PYY ­ I)
Derivando com relação a X,  Y,  , e considerando as derivadas iguais a
zero:




X X
PX  
05
0
.




Y Y
PY  
05
0
.



  P X P YX Y 0.
As duas primeiras condições implicam que P XX 
05.

 e P YY 
05.

.
A combinação destas com a restrição orçamentária gera:     05 05 0. .
 
  I
ou   1
I
.
58
Capítulo 4: Demanda Individuale Demanda de Mercado, Apêndice
A substituição desta expressão em  P XX 
05.

 e  P YY 
05.

 nos fornece as
funções de demanda:
X 
0.5
PX




I    e   Y 
0.5
PY




I.
3.  Suponha que uma determinada função de utilidade seja obtida por meio
de Min(X, Y), como no exercício 1(c).  Qual equação de Slutsky decompõe a
variação da demanda de X em resposta a uma variação ocorrida em seu
preço?  Qual será o efeito renda?  Qual será o efeito substituição?
A equação de Slutsky é 
X
PX

X
PX UU*
 X
X
I



,
Onde  o  primeiro   termo representa  e  efeito  substituição  e  o   segundo
termo representa o efeito renda.  Com esse tipo de função de utilidade, o
consumidor não substitui um bem pelo outro quando os preços variam e,
portanto, o efeito substituição é zero.  O efeito renda é o deslocamento de
U1 para U2.
X
Y
U1
U2
L1
L2
L3
Linha do orçamento original,
Utilidade original
Nova linha do orçamento,
Utilidade original
Nova linha do orçamento,
Nova utilidade
Figure 4A.3
4.  Sharon tem a seguinte função de utilidade:
U(X ,Y)  X  Y
onde X é seu consumo de balas, com preço PX=$1, e Y é seu consumo de café 
expresso, com PY=$3.  
59
Capítulo 4: Demanda Individuale Demanda de Mercado, Apêndice
a.  Derive a demanda de Sharon por balas e café expresso.
Utilizando o método de Lagrange, a equação do Lagrangeano é
  X  Y  (PXX  PYY  I).
Para encontrar as funções de demanda, é necessário maximizar a 
equação de Lagrange em relação a X, Y, e , que é o mesmo que 
maximizar a utilidade sujeito à restrição orçamentária.  As condições 
necessárias para um ponto de máximo são:
(1 ) 

X
1
2
X
 1
2  PX 0
(2 ) 

Y

1
2
Y
 1
2  PY 0
(3) 


PXX  PYY  I 0 .
A combinação das condições necessárias (1) e (2) resulta em
 
1
2 PX X

1
2 PY Y
PXX
1
2 PYY
1
2
(4 ) X  PY
2
PX
2




Y.
Você pode, agora, substituir (4) em (3) e resolver para Y. Uma vez 
resolvido para Y, pode­se substituir Y em (4) e resolver para X.  Observe 
que, algebricamente, há várias maneiras de se resolver esse tipo de 
problema e não é necessário que se resolva exatamente como foi feito 
aqui. As funções de demanda são
Y 
PXI
PY
2 PYPX
 or Y 
I
12
X 
PYI
PX
2  PYPX
 or X 
3I
4
.
b.  Suponha que sua renda seja I=$100.  Quantas balas e cafés expresso
Sharon consumirá?
Insira os valores dos dois preços e da renda nas funções de demanda a 
fim de descobrir que ela consome X=75 balas e Y=8,3 cafésexpresso.
c.  Qual é a utilidade marginal da renda?
Pelo item (a), sabemos que  
1
2PX X

1
2PY Y
. Usando os valores 
obtidos no item anterior, obtemos =0,058.  Esse valor representa 
60
Capítulo 4: Demanda Individuale Demanda de Mercado, Apêndice
quanto a utilidade aumentaria se Sharon tivesse mais um dólar para 
gastar.
61