Apostila Aula 3 Enfermagem

Prévia do material em texto

Medidas de tendência central 
 
 
 
 
Medidas de tendência central 
 
 
 
 
 
3.Medidas descritivas 
 
 
 Outra maneira de se resumir os dados de uma variável quantitativa, 
além de tabelas e gráficos, é apresentá-los na forma de valores 
numéricos, denominados medidas descritivas. Estas medidas, se 
calculadas a partir de dados populacionais, são denominadas parâmetros 
e se calculadas a partir de dados amostrais são denominadas estimadores 
ou estatísticas. 
 
3.1.Medidas de tendência central 
 
 As medidas de tendência central são assim denominadas por 
indicarem um ponto em torno do qual se concentram os dados. 
 
3.1.1.Média 
 
 A média aritmética (
x
) é a soma de todos os valores observados da 
variável dividida pelo número total de observações. É a medida de 
tendência central mais utilizada para representar a totalidade de dados. 
 Seja (x1, x2, x3, ..., xn), a média é dada pela seguinte expressão: 
n
x
x
n
1i
i∑
=
= 
Onde: x
= a média das observações no conjunto de dados. 
∑
=
n
1i
i
x
= significa que devemos somar todos os elementos de todas as 
observações no grupo, de x1 até o valor de xn. 
AULA 
3 
Medidas de tendência central 
 
 
 
n = representa a totalidade de observações da amostra. 
 
Exemplo: 
Dado o conjunto: 
S = {1, 2, 3, 4, 5} 
X1=1; x2=2; x3=3; x4=4; x5=5 
 A média para o determinado conjunto de dados será: 
 
 
 
 A média pode ser utilizada como medida de tendência central tanto 
para dados discretos quanto contínuos. Geralmente, no entanto, não é 
apropriada para dados nominais nem para dados ordinais. É valido 
ressaltar que para esses dados, os números são apenas atributos, e modo 
que mesmo se representássemos os tipos sanguíneos do sistema ABO (A, 
B, AB e O) pelos números 1, 2, 3, e 4; a média do tipo sanguíneo seria o 
valor 1,8, e esse por sua vez, não teria nenhum significado. Uma exceção 
a essa regra é quando utilizamos dados dicotômicos (presença ou 
ausência, sim ou não, masculino ou feminino), e os dois resultados 
possíveis são representados por 1 ou 0, nessa situação, a média das 
observações é igual a proporção de 1s ou de 0s no conjunto de dados, 
dependendo da classe da variável que será analisada. 
 A média apresenta algumas propriedades que são características 
dessa media de tendência central, são elas: 
 
1) a média é um valor que depende de todas as observações. 
 
n
x
x
n
1i
i∑
=
= 
 
Medidas de tendência central 
 
 
 
 
2) a média é afetada por valores extremos. 
 
S1 = {1, 2, 3, 4, 5} 
x1=1; x2=2; x3=3; x4=4; x5=5 
 
S2 = {1, 2, 3, 4, 10} 
x1=1; x2=2; x3=3; x4=4; x5=10 
 
 
 
3) qualquer modificação nos dados fará com que a média fique alterada. 
Isto quer dizer que somando-se, subtraindo-se, multiplicando-se ou 
dividindo-se uma constante a cada valor observado, a média ficará 
acrescida, diminuída, multiplicada ou dividida desse valor. 
 
S1 = {1, 2, 3, 4, 5} 
x1=1; x2=2; x3=3; x4=4; x5=5 
 
S1 (alt) = {1+1, 2+1, 3+1, 4+1, 5+1} 
x1=2; x2=3; x3=4; x4=5; x5=6 
 
 
 
Medidas de tendência central 
 
 
 
4) a soma da diferença de cada valor observado em relação à média é 
zero, ou seja, a soma dos desvios é zero, da seguinte forma, 0=−∑ )
x( xi 
 
S1 = {1, 2, 3, 4, 5} 
x1=1; x2=2; x3=3; x4=4; x5=5 
 
 
 
Onde: 
{(1-3)+(2-3)+(3-3)+(4-3)+(5-3)}= 0 
 
3.1.1.1.Média em uma tabela de distribuição de 
frequências 
 
 Se os dados estão em uma tabela de distribuição de frequência, o 
calculo é da seguinte forma: 
 
Tabela. Ponto médio e frequência absoluta de nascidos vivos segundo o peso ao nascer, 
em quilogramas (Kg) 
 
Classe 
Ponto 
médio 
Frequência 
absoluta 
1,5 ι— 2,0 1,75 3 
2,0 ι— 2,5 2,25 16 
2,5 ι— 3,0 2,75 31 
3,0 ι— 3,5 3,25 34 
3,5 ι— 4,0 3,75 11 
4,0 ι— 4,5 4,25 4 
4,5 ι— 5,0 4,75 1 
Soma 100 
Medidas de tendência central 
 
 
 
 O número de nascidos vivos na amostra é: 100 indivíduos. 
 Para obter a média dos pesos ao nascer de nascidos vivos de uma 
amostra, onde os dados estão representados em uma tabela de 
distribuição de frequência, multiplica-se o ponto médio de cada 
classe pela respectiva frequência, somam-se os produtos e divide-
se a soma por n. Então a média para os dados da tabela de distribuição 
de frequência supracitada será: 
 
 
 
3.1.2.Mediana 
 
 A mediana de um conjunto de dados é o valor que está localizado na 
posição central quando o conjunto de dados está organizado em rol. A 
mediana mede o centro de um conjunto de dados ordenado, dividindo-o 
em duas partes iguais. Se o conjunto de dados tem um número ímpar de 
entradas a mediana é a entrada de dados do meio. Se o conjunto de 
dados tem um número par de entradas, a mediana e a média das duas 
entradas, a mediana é a média dos dados centrais. 
 Suponha o seguinte conjunto de dados, já organizado em rol 
(sequencia em ordem crescente): 
 
128,45; 134,67; 142,00; 142,14; 143, 98; 169,41; 176,90; 180,34; 185,21 
 
 O conjunto de dados acima, apresenta um número impar de 
observações (n=9), dessa forma a mediana (Md) é estimada da seguinte 
Medidas de tendência central 
 
 
 
forma: Md=[(n+1)/2], onde Md=5, esse resultado significa que, para essa 
amostra a mediana é o valor que ocupa a 5º posição, ou seja, 143,14. 
 Supondo nesse momento que o conjunto de dados seja: 
 
128,45; 134,67; 142,00; 142,14; 143, 98; 169,41; 176,90; 180,34; 185,21; 186,01 
 
 O conjunto de dados acima, apresenta um número par de 
observações (n=10), dessa forma a mediana (Md) é estimada pela média 
de ambos valores centrais, (143,98+169,41)/2 = 156,69. É valido 
ressaltar que a mediana, de uma amostra onde o valor de n seja par, o 
valor dela pode estar ou não contido dentro dos valores da amostra. 
 O calculo da mediana leva em consideração somente a ordenação e 
a magnitude relativa das observações em um conjunto de dados, dessa 
forma, a mesma não é afetada por valores discrepantes de uma amostra. 
 Por exemplo: 
 
Situação 1 
128,45; 134,67; 142,00; 142,14; 143, 98; 169,41; 176,90; 180,34; 350,89 
A média: 176,06 
A moda: 143,98 
 
 
Situação 2 
128,45; 134,67; 142,00; 142,14; 143, 98; 169,41; 176,90; 180,34; 185,21 
A média: 155,90 
A moda: 143,98 
 
 Foi possível observar que a mediana não foi influenciada em ambas 
as situações pela presença do valor discrepante, em contrapartida, a 
média apresentou valores distintos em ambas amostras. 
 
Medidas de tendência central 
 
 
 
3.1.2.1.Mediana em uma tabela de distribuição de 
frequências 
 
 Nessa situação, devemos determinar o ponto do intervalo em que está 
compreendida a mediana. 
 Tomando como exemplo, os valores da seguinte tabela: 
 
Tabela. Ponto médio, frequência absoluta, frequência relativa e frequência relativa 
acumulada da estatura de 40 pessoas atendidas durante um dia em uma unidade de 
saúde 
 
Classe 
Ponto 
médio 
Frequência 
absoluta 
Frequência absoluta 
acumulada (%) 
150 ι— 154 152 4 4 
154 ι— 158 156 9 13 
158 ι— 162 160 11 24 
162 ι— 166 164 8 32 
166 ι— 170 168 5 37 
170 ι— 174 172 3 40 
Soma 40 - 
 
 O calculo da mediana em uma tabela de distribuição é realizado da 
seguinte forma: 
 Primeiro devemos deve-se determinar a classe mediana, a referida 
classe será aquela correspondente a frequência absoluta acumulada 
imediatamente superior ao valor encontrado na seguinte expressão: 
 
 
 
 Dessa forma, será a média do somatórioda frequência absoluta, ou 
seja, 40/2= 20. 
Medidas de tendência central 
 
 
 
 O valor da expressão resulta em 20, e como não há nenhuma classe 
de frequência absoluta acumulada, com esse valor, a classe mediana será 
aquela que apresentará imediatamente o valor superior a esse, no caso a 
classe será aquela que apresentará o valor 24, na frequência absoluta 
acumulada. 
 Sabemos que o valor da mediana está localizado na terceira classe, 
com base nesses conhecimentos aplicamos a seguinte expressão: 
 
 
 Dessa forma, o valor da mediana nessa distribuição frequência é o 
valor de 160,54. 
 
3.1.3.Moda 
 
 A moda de um conjunto de dados é a observação que ocorre com 
maior frequência. A moda pode ser obtida para qualquer tipo de dados, 
como por exemplo, para dos dados expressos abaixo, neste caso a classe 
modal é o sangue do tipo O, pois apresenta a maior frequência observada 
em relação a todas as classes. 
 
 
 
Medidas de tendência central 
 
 
 
Tabela. Frequência do tipo de sangue do sistema ABO 
 
Tipo de sangue Frequência 
O 547 
A 441 
B 123 
AB 25 
 
 É relevante salientar que um conjunto de dados pode apresentar 
todos seus elementos com a mesma frequência absoluta, e neste caso não 
existirá um valor modal, o que significa que a distribuição será classificada 
como amodal. Podem ocorrer casos em que a sequência de observações 
apresente vários elementos com frequência iguais, implicando numa 
distribuição plurimodal. O uso da moda é mais indicado quando se deseja 
obter, rapidamente, uma medida de tendência central. Outro aspecto que 
favorece a utilização da moda é que seu valor não é afetado pelos valores 
extremos do conjunto de dados analisado. 
 
3.1.3.1.Moda em uma tabela de distribuição de 
frequências 
 
 A classe que apresenta a maior frequência é denominada classe modal 
(Mo). Pela definição, podemos afirmar que a moda, neste caso, é o valor 
dominante que está compreendido entre os limites da classe modal, pelos 
valores da tabela abaixo, podemos observar que a classe que apresenta a maior 
frequência é a terceira classe, para determinar a moda em uma tabela de 
distribuição de frequência, a frequência absoluta da distribuição. 
 Há várias metodologias para encontrar o valor da moda, o método mais 
simples obtém um valor denominado de moda bruta, para essa estimativa 
utilizamos a seguinte expressão: 
 
Mo = (L inferior da classe modal + L superior da classe modal)/2 
 
Mo = 158+162/2 = 160 
Medidas de tendência central 
 
 
 
Tabela. Ponto médio, frequência absoluta, frequência relativa e frequência relativa 
acumulada da estatura de 40 pessoas atendidas durante um dia em uma unidade de 
saúde. 
 
Classe 
Ponto 
médio 
Frequência 
absoluta 
Frequência absoluta 
acumulada (%) 
150 ι— 154 152 4 4 
154 ι— 158 156 9 13 
158 ι— 162 160 11 24 
162 ι— 166 164 8 32 
166 ι— 170 168 5 37 
170 ι— 174 172 3 40 
Soma 40 -