Prova de Equações Diferenciais I

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Universidade Federal de Itajuba´
Prova de MAT-021 - Equac¸o˜es Diferenciais I
1.a Questa˜o.(40 pontos) Em cada afirmac¸a˜o abaixo, dizer se estas sa˜o verdadeiras ou
falsas, justificando matematicamente suas respostas:
(a) A func¸a˜o µ(x, y) = xex e´ um fator integrante para a equac¸a˜o
(x+ 2)sen(y) + xcos(y)y′ = 0,
ou seja, esta func¸a˜o transforma a equac¸a˜o numa equac¸a˜o exata.
(b) A equac¸a˜o
dy
dx
=
x2 + xy + y2
x2
e´ homogeˆnea do tipo
dy
dx
= F
(y
x
)
e a soluc¸a˜o com condic¸a˜o inicial y(1) = 1 e´ dada
implicitamente por arctg
(y
x
)
− ln(x) = pi
4
.
(c) Considere a equac¸a˜o na˜o linear
dy
dt
+ t2y =
y4
t4
. A mudanc¸a de varia´veis z = y−3
transforma esta equac¸a˜o diferencial numa equac¸a˜o diferencial linear.
(d) O problema de valor inicial (t2 − 1)y′ + (t − 2)y = t, y(0) = y0 tem soluc¸a˜o no
intervalo t > 1.
2.a Questa˜o.(30 pontos) Um tanque conte´m inicialmente 100 litros de a´gua pura. Enta˜o,
a´gua salgada, contendo 30e−
2
10
t gramas de sal por litro, passa a ser bombeada para o
tanque a uma taxa de 10 litros por minuto. Simultaneamente a soluc¸a˜o passa a ser
agitada e retirada do tanque na mesma taxa.
(a) Determine a quantidade de sal no tanque em cada instante t, onde t e´ contado a
partir do in´ıcio do processo.
(b) Calcule em que instante a concentrac¸a˜o de sal no tanque sera´ de 7, 5 gramas por
litro.
(c) Qual a concentrac¸a˜o de sal quando t→ +∞?
3.a Questa˜o.(30 pontos) Considere a equac¸a˜o
dy
dt
= ay − y3, para a > 0.
(a) Encontre os pontos de equil´ıbrio.
(b) Classifique cada ponto de equil´ıbrio em esta´vel ou insta´vel.
(c) Fac¸a um esboc¸o qualitativo do gra´fico das soluc¸o˜es no plano ty. Desenhe a reta
de fase.