Fórmulas Matemáticas

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Formulário 
Laplaciano 
Coordenadas cartesianas 
𝛻2𝑢(𝑥,𝑦, 𝑧) = 𝜕2𝑢
𝜕𝑥2
+ 𝜕2𝑢
𝜕𝑦2
+ 𝜕2𝑢
𝜕𝑧2
 
Coordenadas cilíndricas 
𝛻2𝑢(𝜌,𝜑, 𝑧) = 1
𝜌
𝜕
𝜕𝜌
�𝜌
𝜕𝑢
𝜕𝜌
� + 1
𝜌2
 𝜕2𝑢
𝜕𝜑2
+ 𝜕2𝑢
𝜕𝑧2
 
Coordenadas esféricas 
𝛻2𝑢(𝑟,𝜃,𝜑) = 1
𝑟2
𝜕
𝜕𝑟
�𝑟2
𝜕𝑢
𝜕𝑟
� + 1
𝑟2 sin𝜃 𝜕𝜕𝜃 �sin𝜃 𝜕𝑢𝜕𝜃� + 1𝑟2 sin2 𝜃 𝜕2𝑢𝜕𝜑2 
 
Operador de Sturm-Liouville 
ℒ[𝑢(𝑥)] = − 𝜆𝑤(𝑥)𝑢(𝑥) 
Onde 
ℒ ≡ 𝜕
𝜕𝑥
�𝑝(𝑥) 𝜕
𝜕𝑥
� − 𝑞(𝑥) 
 
A) Equação de Bessel B) Equação associada de Legendre 
 
�
𝑝(𝑥) = 𝑥 ; 𝑞(𝑥) = 𝜈2/𝑥
𝑤(𝑥) = 𝑥 ; 𝜆 = 𝑎2 
𝑢(𝑥) = 𝐽𝜈(𝑎𝑥) 
 
 
�
𝑝(𝑥) = 1 − 𝑥2 ; 𝑞(𝑥) = 𝑚2/(1 − 𝑥2) 
𝑤(𝑥) = 1 ; 𝜆 = 𝑛(𝑛 + 1) 
 
Funções Especiais 
 
A) Funções de Bessel 
 
𝐻𝜈
(1),(2) = 𝐽𝜈(𝑥) ± 𝑖𝑁𝜈(𝑥) 
 
• Primeiro tipo: 
𝐽±𝜈(𝑥) = � (−1)𝑚𝑚! Γ(𝑚 ± 𝜈 + 1) �𝑥2�2𝑚 ± 𝜈∞
𝑚=0
 
Casos particulares: 
 𝐽±12(𝑥) = � 2𝜋𝑥 �sin 𝑥cos 𝑥 
 Obs: Γ(𝜈 + 1) = 𝜈Γ(𝜈) ; Γ(𝜈)Γ(1 − 𝜈) = 𝜋sin𝜋𝜈 
 
• Segundo tipo (Neumann): 
𝑁𝜈(𝑥) = 𝐽𝜈(𝑥) cos𝜋𝜈 − 𝐽−𝜈(𝑥)sin𝜋𝜈 
 
• Terceiro tipo (Hankel): 
𝐻𝜈
(1),(2) = ±𝑖 �𝑒∓𝜋𝜈𝐽𝜈(𝑥) − 𝐽−𝜈(𝑥)�sin𝜋𝜈 
 
A.1) Função Geradora 
𝛷(𝑥, 𝑡) = 𝑒𝑥2(𝑡−𝑡−1) = �𝐽𝑛(𝑥)𝑡𝑛∞
𝑛=0
 
 
A.2) Relações de Recorrência 
𝑑𝑛(𝑥𝑑𝑥)𝑛 �𝐽𝜈(𝑥)𝑥𝜈 � = (−1)𝑛 𝐽𝜈+𝑛(𝑥)𝑥𝜈+𝑛 
 𝑑𝑛(𝑥𝑑𝑥)𝑛 �𝑥𝜈𝐽𝜈(𝑥)� = 𝑥𝜈−𝑛𝐽𝜈−𝑛(𝑥) 
 𝜈𝐽𝜈(𝑥) = 𝑥2 [𝐽𝜈−1(𝑥) + 𝐽𝜈+1(𝑥)] 
 
A.3) Outras funções 
Função modificada de Bessel (λ2 = - 1) 
 
Primeiro tipo 
𝐼𝜈(𝑥) = 𝑖−𝜈𝐽𝜈(𝑖𝑥) = � �𝑥2�2𝑘+ 𝜈𝑘!Γ(𝑘 + 𝜈 + 1) ∞
𝑚=0
 
 
Segundo tipo 
𝐾𝜈(𝑥) = 𝜋2 𝐼−𝜈(𝑥) − 𝐼𝜈(𝑥)sin𝜋𝜈 
 
Funções esféricas de Bessel 
𝑗𝑙(𝑥) = � 𝜋2𝑥 𝐽𝑙+12(𝑥) 
 
Obs: As funções do 2º tipo Nν(x) e Kν(x) tendem a −∞ e +∞ na origem. A função modificada 
do 1º tipo tende a zero na origem. 
 
A.4) Condição de Ortogonalidade e Norma 
 
� 𝑥𝐽𝜈 �
𝛽𝑥
𝑙
� 𝐽𝜈 �
𝛼𝑥
𝑙
�
𝑙
0
𝑑𝑥 = 0 𝛼 ≠ 𝛽 
 
‖𝐽𝜈(𝑥)‖2 = � 𝑥𝐽𝜈2 �𝛼𝑥𝑙 � 𝑑𝑥 = 𝑙22 �[𝐽𝜈′(𝑥)]2 + �1 − 𝜈2𝑥2� 𝐽𝜈2(𝑥)�𝑙0 
 
A.5) Series de Fourier-Bessel 
 
𝑓(𝑥) = � 𝐶𝑚𝐽𝜈 �𝜇𝜈𝑚𝑥𝑙 �∞
𝑚=0
 
onde 𝐽𝜈�𝜇𝜈𝑚� = 0 , 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑙 e 𝜈 ≥ −1 2� 
 
𝐶𝑚 = 2𝑙2�𝐽𝜈+1�𝜇𝜈𝑚��� 𝑥𝑓(𝑥)𝐽𝜈 �𝜇𝜈𝑚𝑥𝑙 �𝑙0 𝑑𝑥 
 
 
pois 
 �𝐽𝜈(𝜇𝜈𝑚)�2 = 𝑙22 �𝐽𝜈+1�𝜇𝜈𝑚��2