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UNIVERSIDADE FEDERAL DO AMAZONAS - UFAM FACULDADE DE TECNOLOGIA – FT DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA DE PETRÓLEO E GÁS CURSO – ENGENHARIA QUÍMICA - EQ RELATÓRIO 3 – LABORATÓRIO DE CONTROLE E AUTOMAÇÃO DE PROCESSOS (FTP-017) – OPERAÇÕES BÁSICAS NO MATLAB MANAUS - AM 2016/2 IGOR MORAES BEZERRA CALIXTO (21456321) WALDENIZE SANTANA FONSECA (21552462) RELATÓRIO 3 – LABORATÓRIO DE CONTROLE E AUTOMAÇÃO DE PROCESSOS (FTP-017) – OPERAÇÕES BASICAS NO MATLAB Relatório 3, de Laboratório de Controle e Automação de Processos, orientada pelo professor Pablo Guimarães, com o intuito de obter conhecimentos a respeito de um dos ramos de estudo da Laboratório, válida como componente parcial. MANAUS - AM 2016/2 RESUMO A atividade prática realizada envolveu a operação básica numérica na Plataforma de Linguagem Matlab cujo intuito foi inserir e aprender a utilizar transformações de Função de Transferência para Espaços de Estados, bem como verificar o lugar das raízes e plotar a resposta em degrau, além de simular no simulink. Palavras-chaves: Matlab, Função de Transferências, Função de Estados. LISTA DE FIGURAS Figura 1- Parte Inicial do Matlab. Fonte: Matlab. ................................................................................... 8 Figura 2- Parte M-files. Fonte: Matlab. ................................................................................................... 9 Figura 3 - Identificação das variáveis “a” e “b”. Fonte: Autoria Própria. ............................................. 12 Figura 4 - Obtenção da função de transferência em malha aberta Questão 1a ...................................... 14 Figura 5 - Obtenção de gráfico da função de transferência em malha aberta Questão 1a. .................... 15 Figura 6 - Obtenção da função de transferência em malha fechada na Questão 1a. ............................. 15 Figura 7- Obtenção de gráfico da função de transferência em malha fechada na Questão 1a. ............. 16 Figura 8 - Lugar das raízes para malha aberta e malha fechada da questão 1a. .................................... 16 Figura 9 - Lugar das raízes obtido para função de transferência em malha aberta. Questão 1a ........... 17 Figura 10 - Gráfico de Lugar das Raízes obtido para função de transferência em malha fechada. Questão 1a. .......................................................................................................................................................... 17 Figura 11- Obtenção da função de transferência e resposta em degrau em malha aberta. Questão 1b. 18 Figura 12- Obtenção do gráfico da resposta em degrau da malha aberta. Questão 1b. ......................... 19 Figura 13 - Obtenção da função de transferência em malha fechada para questão 1b. ......................... 19 Figura 14 - Obtenção do gráfico da resposta em degrau da função de transferência em malha fechada para questão 1b. ..................................................................................................................................... 20 Figura 15 - Script de obtenção do lugar das raízes para malha aberta. ................................................. 20 Figura 16 - Lugar das raízes obtido para sistema em malha aberta. Questão 1b................................... 20 Figura 17 - Lugar das raízes obtido para sistema em malha fechada. Questão 1b. ............................... 21 Figura 18 - Comando básico para obter função de transferência em malha aberta. Questão 1c. .......... 22 Figura 19 - Gráfico obtido para degrau unitário em malha aberta na questão 1c.................................. 23 Figura 20 - Comando Básico para sistema em malha fechada para questão 1c. ................................... 23 Figura 21 - Gráfico da resposta em degrau para malha fechada em questão 1c. ................................... 24 Figura 22 - Comandos para lugar das raízes nos dois tipos de malhas. Questão 1c.............................. 24 Figura 23 - Lugar da Raiz obtido para sistema em malha aberta. Questão 1c. ..................................... 24 Figura 24 - Lugar das raízes obtido para sistema em malha fechada. Questão 1c. ............................... 25 Figura 25 - Comando Básico para obter funções de transferência em malha aberta e fechada. Questão 1d. .......................................................................................................................................................... 26 Figura 26 - Gráfico em degrau unitário para função de transferência em malha aberta. Questão 1d. .. 26 Figura 27 - Gráfico em degrau unitário para função de transferência em malha fechada. Questão 1d. 27 Figura 28 - Comando Básico para obter lugar das raízes. Questão 1d. ................................................. 27 Figura 29 - Gráfico de lugar das raízes para malha aberta. Questão 1d. ............................................... 27 Figura 30 - Gráfico de Lugar das raízes para malha fechada. Questão 1d. ........................................... 28 Figura 31 - Variáveis de estado para função de transferência em malha aberta. .................................. 30 Figura 32 - Variáveis de estado para função de transferência em malha fechada. ................................ 30 Figura 33 - Variáveis de estado para função de transferência em malha aberta. .................................. 31 Figura 34 - Variáveis de estado para função de transferência em malha fechada. ................................ 31 Figura 35 - Variáveis de estado para função de transferência em malha aberta ................................... 32 Figura 36 - Variáveis de estado para função de transferência em malha fechada. .............................. 32 Figura 37 - Variáveis de estado para função de transferência em malha aberta. ................................ 33 Figura 38 - Variáveis de estado para função de transferência em malha fechada. .............................. 33 Figura 39 - Função equivalente da questão 3a ..................................................................................... 34 Figura 40 - Função equivalente da questão 3b ..................................................................................... 35 Figura 41 - Função equivalente da questão 3c ..................................................................................... 36 Figura 42 - Malha Aberta para Questão 1a. .......................................................................................... 40 Figura 43 - Malha Fechada para Questão 1a. ....................................................................................... 40 Figura 44 - Malha aberta para Questão 1b. .......................................................................................... 40 Figura 45 - Malha fechada para Questão 1b. ........................................................................................ 40 Figura 46 - Malha aberta para questão 1c. ........................................................................................... 41 Figura 47 - Malha fechada para Questão 1c. ....................................................................................... 41 Figura 48 - Malha Aberta para Questão 1d. .......................................................................................... 41 Figura 49 - Malha fechada para questão 1d. ........................................................................................41 LISTA DE TABELA Tabela 1- Operações Aritméticas Básicas no Matlab .............................................................................. 9 Tabela 2- Comandos de funções básicas no Matlab. ............................................................................ 10 Tabela 3 - Obtenção de parâmetros para a função de transferência da Questão 1a. .......................... 18 Tabela 4 - Obtenção de parâmetros para a função de transferência da Questão 1b. .......................... 21 Tabela 5 - Caracterização das Funções de Transferência em malha aberta e fechada. Questão 1c. ... 25 Tabela 6 - Caracterização das Funções de Transferência em malha aberta e fechada. Questão 1d. ... 28 SUMÁRIO 1. CONSIDERAÇÕES INICIAIS .................................................................................................... 8 2. PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL ............................................................................................ 12 2.1. Materiais Necessários ................................................................................................................. 12 2.2. Parte Experimental ..................................................................................................................... 12 3. RESULTADOS E DISCUSSÃO ...................................................................................................... 14 3.1. Questão 1 .................................................................................................................................... 14 3.2 Questão 2 ..................................................................................................................................... 30 3.3. Questão 3 .................................................................................................................................... 34 4. CONSIDERAÇÕES FINAIS ............................................................................................................ 38 REFERÊNCIAS .................................................................................................................................... 39 APÊNDICES ......................................................................................................................................... 40 8 1. CONSIDERAÇÕES INICIAIS MATLAB é uma abreviação para MATrix LABoratory. Trata-se de um ambiente de alto nível que possui ferramentas avançadas de análise e visualização de dados. Mais do que um aplicativo, o MATLAB também possui características de linguagem de programação. A programação em ambiente MATLAB dispensa tarefas como declaração de variáveis, alocação de memória, utilização de ponteiros, necessárias durante a utilização de linguagens de programação como C ou Fortran (COSTA,2003) As funções matemáticas já existentes no MATLAB são otimizadas, programadas em linguagem MATLAB e estão agrupadas de acordo com a área de interesse em toolboxes. Assim, o usuário tem acesso aos arquivos das funções matemáticas o que possibilita a realização de alterações nas rotinas já existentes. Todavia, vale ressaltar que estas alterações são perigosas e só devem ser realizadas como última alternativa (COSTA,2003) O primeiro passo para iniciarmos nosso estudo do MATLAB é nos familiarizarmos com a interface do programa. Figura 1- Parte Inicial do Matlab. Fonte: Matlab. a) Command Window: Local onde as operações podem ser diretamente feitas. b) Workspace: espaço destinado às variáveis que estão salvas na memória, onde é possível visualizar o nome, valor e classe da mesma. c) Command History: Lista de comandos realizados, organizados por data de execução, permitindo o comando ser realizado novamente com duplo clique. 9 Podemos também utilizar M-files, na barra de Menus acessando a guia File>New>M- file, caso se deseje criar procedimentos de forma que estes fiquem salvos em arquivo. O MATLAB gera a seguinte janela: Figura 2- Parte M-files. Fonte: Matlab. Os arquivos salvos são gerados na extensão ‘nomedoarquivo’.m. que são compilados utilizando-se a Command Window como espaço de comunicação de dados, de entrada e saída, entre o programa e o usuário (BECKER ET ALL, 2010) Pode-se também chamar um M-file, escolhendo-se em Current Directory a pasta em que o mesmo está localizado. Depois de escolhido o diretório, digite na Command Window o nome do arquivo, e então a programação salva será compilada. As operações aritméticas básicas são esquematizadas nos quadros a seguir: Tabela 1- Operações Aritméticas Básicas no Matlab OPERAÇÃO SÍMBOLO EXEMPLO Adição + 100+20=120 Subtração - 100-20=80 Multiplicação * 4*5=20 Divisão / 56/8=7 Potenciação ^ 5^2 = 25 Fonte: Apostila. Operações Básicas de programação em Matlab, Santa Maria, 2010. 10 Tabela 2- Comandos de funções básicas no Matlab. COMANDO DESCRIÇÃO abs (x) Valor absoluto ou módulo de um número complexo acos(x) Arco cosseno acosh(x) Arco cosseno hiperbólico angle(x) Ângulo de um número complexo asin(x) Arco seno asinh(x) Arco seno hiperbólico atan(x) Arco tangente atan2(x,y) Arco tangente em quatro quadrantes Atanh(x) Arco tangente hiperbólica Ceil(x) Arredondar para inteiro na direção de mais infinito conj(x) Conjugado complex cos(x) Cosseno cosh(x) Cosseno hiperbólico exp(x) Exponencial fix(x) Arredonda para inteiro na direção do zero floor(x) Arredondar para inteiro na direção de menos infinito imag(x) Parte Imaginária de um número complexo log(x) Logaritmo Natural log10(x) Logaritmo na base 10 real(x) Parte real de um número complexo rem(x,y) Resto da divisão de x por y round(x,y) Arredondar para o próximo número inteiro sign(x) Função Sinal: retorna o sinal de um argumento. sin(x) Seno sinh(x) Seno Hiperbólico sqrt(x) Raiz quadrada tan(x) Tangente tanh(x) Tangente Hiperbólica Eye(n) Matriz Identidade zeros(m,n) Matriz Nula ones(m,n) Matriz com todos os elementos igual a 1 11 rand(m,n) Matriz Aleatória eig Autovalores e autovetores chol Fatorização de Cholesky svd Decomposição em fator singular inv Inversa lu Fatorização Triangular LU qr Fatorização ortogonal QR hess Forma de Hessenberg schur Decomposição de Schur expm Matriz Exponencial sqrtm Matriz de raiz quadrada poly Polinómio Característico det Determinante size Tamanho cond Número de condição na norma 2 norm Norma 1, Norma 2, Norma F, Norma Infinita rank Número de linhas linearmente independentes triu(A) Gera uma matriz com os elementos acima da diagonal principal de A e zera os elementos que estão abaixo Fonte: Apostila. Operações Básicas de programação em Matlab, Santa Maria, 2010. Assim, os objetivos deste Relatório são: 1) Obter resoluções numéricas através do programa Matlab. 2) Entender as principais funções de cálculo no Matlab. 3) Avaliar a estabilidade de diversos sistemas em malha aberta e malha fechada. 12 2. PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL 2.1. Materiais Necessários Para que a atividade experimental fosse desenvolvida, foram necessários alguns componentes básicos de operação e trabalho. Dentre eles, fizemos uso essencialmente do Notebook, Software Matlab e Microsoft Word. 2.2. Parte Experimental 1) Parte 1 – Definir variáveis iniciais de operação no Matlab. Para cálculo: ex.: 2 1 0 0 3 5 8 4 A = Somatório dos penúltimos números dematrícula dos membros da equipe. B = Somatório dos últimos números de matrícula dos membros da equipe. Deverá ser colocado os membros da equipe, com o número de matrícula, indicando a somatória “a” e “b”. Segue modelo de script feito em Matlab para definir as variáveis “a” e “b” conforme solicitado. Figura 3 - Identificação das variáveis “a” e “b”. Fonte: Autoria Própria. 13 Posteriormente, foram seguidas as etapas a seguir para definir e resolver as questões pedidas. a) Declarar valores da função de transferência. b) Declarar resposta ao degrau em malha aberta e fechada. c) Classificar sistema predominante. d) Avaliar estabilidade da função de transferência. e) Realizar mesmo processo pelo simulink. 2) Parte 2 – Realizar a resolução das questões solicitadas na atividade. Questão 1. Fazer a análise das respostas ao degrau unitário das funções de transferência abaixo, analisando quanto a estabilidade, classificar o tipo de amortecimento. Fazer tanto para malha aberta e malha fechada. Além do script , fazer também no simulink. a) G1(s) = 𝒂 𝒔∗(𝒔+𝒃)∗(𝒔+𝟐) b) G2(s)= 𝒃 𝒔∗(𝒔+𝟏)∗(𝒔+𝒂) c) G3(s) = (𝒂∗𝒃) 𝒔∗(𝒔+𝒂)∗(𝒔+𝒃) d) G4(s)= 𝟏 𝒔𝟓+𝟐𝟖∗𝒔𝟒+𝟐𝟖𝟒∗𝒔𝟑+𝟏𝟐𝟑𝟐∗𝒔𝟐+𝟏𝟗𝟑𝟎∗𝒔+𝟐𝟎 Obs: No item d ele que escreva a função de transferência de forma fatorada. Questão 2. Para os sistemas do exercício anterior, apresentar as funções de transferência para variáveis de estado ou espaço de estado ([A,B,C,D]). Questão 3. Para os seguintes sistemas de variáveis de estado, apresente a função de transferência equivalente: a) A=[ 𝟎 𝟏 −𝟐 −𝟐 ], B=[ 𝟎 𝟏 ], C=[𝟐 𝟏], D=[𝟎]. b) A=[ 𝟎 𝟏 𝟎 𝟎 𝟎 𝟏 𝟎 −𝟓 −𝟒 ], B=[ 𝟎 𝟎 𝟏 ], C=[𝟏 𝟎 𝟎], D=[𝟎]. c) Ac= [ −𝟕 −𝟏𝟐 𝟏 𝟎 ], Bc=[ 𝟏 𝟎 ], Cc=[𝟏 𝟐], Dc=[𝟎]. d) ẋ=[ 𝟒 𝟐 𝟒 𝟏 𝟎 𝟎 𝟎 𝟏 𝟎 ] + [ 𝟏 𝟎 𝟎 ]u e y= [ 𝟏 𝟎 𝟏 𝟎 𝟏 𝟎 ]x 14 3. RESULTADOS E DISCUSSÃO 3.1. Questão 1 Questão 1. Fazer a análise das respostas ao degrau unitário das funções de transferência abaixo, analisando quanto a estabilidade, classificar o tipo de amortecimento. Fazer tanto para malha aberta e malha fechada. Além do script , fazer também no simulink. a) G1(s) = 𝒂 𝒔∗(𝒔+𝒃)∗(𝒔+𝟐) A seguir, a obtenção do script e a análise ao degrau em malha aberta. Figura 4 - Obtenção da função de transferência em malha aberta Questão 1a 15 A seguir, o gráfico da resposta ao degrau da função de transferência em malha aberta. Figura 5 - Obtenção de gráfico da função de transferência em malha aberta Questão 1a. A seguir, o script e o gráfico da função de transferência quando em malha fechada. Figura 6 - Obtenção da função de transferência em malha fechada na Questão 1a. 16 Figura 7- Obtenção de gráfico da função de transferência em malha fechada na Questão 1a. A seguir, o script realizado para obter o lugar das raízes da função de transferência obtida em malha aberta e malha fechada com ganho 1. Figura 8 - Lugar das raízes para malha aberta e malha fechada da questão 1a. 17 A seguir, os gráficos de Lugar das Raízes obtidos em cada caso. Figura 9 - Lugar das raízes obtido para função de transferência em malha aberta. Questão 1a Figura 10 - Gráfico de Lugar das Raízes obtido para função de transferência em malha fechada. Questão 1a. Logo, obtemos para a função de transferência da questão 1a o quadro a seguir: 18 Tabela 3 - Obtenção de parâmetros para a função de transferência da Questão 1a. EM MALHA ABERTA EM MALHA FECHADA FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA G1(s) = 8 1∗𝑠3+5∗𝑠2+6∗𝑠 G2(s) = 8 1∗𝑠3+5∗𝑠2+6∗𝑠+8 ESTABILIDADE Criticamente Estável Estável CLASSIFICAÇÃO DE AMORTECIMENTO Não há amortecimento Subamortecido Seguem, nos apêndices, os modelos em simulink. b) G2(s)= 𝒃 𝒔∗(𝒔+𝟏)∗(𝒔+𝒂) A seguir, o comando básico para obter função de transferência e resposta em degrau em Malha Aberta. Figura 11- Obtenção da função de transferência e resposta em degrau em malha aberta. Questão 1b. 19 Figura 12- Obtenção do gráfico da resposta em degrau da malha aberta. Questão 1b. Já em malha fechada, temos o script a seguir e o gráfico da resposta em degrau obtido. Figura 13 - Obtenção da função de transferência em malha fechada para questão 1b. 20 Figura 14 - Obtenção do gráfico da resposta em degrau da função de transferência em malha fechada para questão 1b. Finalmente, obtivemos o lugar das raízes para o sistema em malha aberta e em malha fechada. Figura 15 - Script de obtenção do lugar das raízes para malha aberta. Figura 16 - Lugar das raízes obtido para sistema em malha aberta. Questão 1b. 21 Figura 17 - Lugar das raízes obtido para sistema em malha fechada. Questão 1b. A seguir, o quadro obtido com a classificação de estabilidade e tipo de amortecimento para o sistema em malha aberta e em malha fechada. Tabela 4 - Obtenção de parâmetros para a função de transferência da Questão 1b. EM MALHA ABERTA EM MALHA FECHADA FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA G1(s) = 3 1∗𝑠3+9∗𝑠2+8∗𝑠 G2(s) = 3 1∗𝑠3+9∗𝑠2+8∗𝑠+3 ESTABILIDADE Criticamente Estável Estável CLASSIFICAÇÃO DE AMORTECIMENTO Não Amortecido Criticamente Amortecido Nos apêndices, encontrar-se-ão os devidos comandos no simulink. 22 c) G3(s) = (𝒂∗𝒃) 𝒔∗(𝒔+𝒂)∗(𝒔+𝒃) A seguir, o script obtido para o sistema em malha aberta. Figura 18 - Comando básico para obter função de transferência em malha aberta. Questão 1c. 23 Figura 19 - Gráfico obtido para degrau unitário em malha aberta na questão 1c. Em malha fechada, obtemos o script e o gráfico em degrau unitário a seguir: Figura 20 - Comando Básico para sistema em malha fechada para questão 1c. 24 Figura 21 - Gráfico da resposta em degrau para malha fechada em questão 1c. A seguir, os comandos executados para obter os lugares das raízes em malha aberta e malha fechada. Figura 22 - Comandos para lugar das raízes nos dois tipos de malhas. Questão 1c. Figura 23 - Lugar da Raiz obtido para sistema em malha aberta. Questão 1c. 25 Figura 24 - Lugar das raízes obtido para sistema em malha fechada. Questão 1c. Logo, obtemos o quadro 4 a seguir com a devida classificação quanto à estabilidade e tipo de resposta em amortecimento. Tabela 5 - Caracterização das Funções de Transferência em malha aberta e fechada. Questão 1c. EM MALHA ABERTA EM MALHA FECHADA FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA G1(s) = 24 1∗𝑠3+11∗𝑠2+24∗𝑠 G2(s) = 24 1∗𝑠3+11∗𝑠2+24∗𝑠+24 ESTABILIDADE Criticamente Estável Estável CLASSIFICAÇÃO DE AMORTECIMENTO Não Amortecido Criticamente Amortecido Seguem, nos apêndices, os modelos no simulink. 26 d) G4(s)= 𝟏 𝒔𝟓+𝟐𝟖∗𝒔𝟒+𝟐𝟖𝟒∗𝒔𝟑+𝟏𝟐𝟑𝟐∗𝒔𝟐+𝟏𝟗𝟑𝟎∗𝒔+𝟐𝟎 A seguir, os comandos básicos em Matlab para obtermos a função de transferência em Malha Aberta e em Malha fechada e a resposta em degrau. Figura 25 - Comando Básico para obter funções de transferência em malha aberta e fechada. Questão 1d. Figura 26 - Gráfico em degrau unitário para função de transferência em malha aberta. Questão 1d. 27 Figura 27 - Gráfico em degrau unitário para função de transferênciaem malha fechada. Questão 1d. Seguem adiante os gráficos de lugar das raízes para os sistemas em malha aberta e malha fechada. Figura 28 - Comando Básico para obter lugar das raízes. Questão 1d. Figura 29 - Gráfico de lugar das raízes para malha aberta. Questão 1d. 28 Figura 30 - Gráfico de Lugar das raízes para malha fechada. Questão 1d. Obtemos, portanto, as seguintes características para a função de transferência dada. Tabela 6 - Caracterização das Funções de Transferência em malha aberta e fechada. Questão 1d. EM MALHA ABERTA EM MALHA FECHADA FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA G4(s)= 𝟏 𝒔𝟓+𝟐𝟖∗𝒔𝟒+𝟐𝟖𝟒∗𝒔𝟑+𝟏𝟐𝟑𝟐∗𝒔𝟐+𝟏𝟗𝟑𝟎∗𝒔+𝟐𝟎 G4(s)= 𝟏 𝒔𝟓+𝟐𝟖∗𝒔𝟒+𝟐𝟖𝟒∗𝒔𝟑+𝟏𝟐𝟑𝟐∗𝒔𝟐+𝟏𝟗𝟑𝟎∗𝒔+𝟐𝟏 ESTABILIDADE Criticamente Estável Criticamente Estável CLASSIFICAÇÃO DE AMORTECIMENTO Sobreamortecido Sobreamortecido Seguem, nos apêndices, os modelos no simulink. 29 Como comentário geral, a estabilidade de um sistema é verificada quando sistema linear e invariante no tempo é estável se a resposta natural se aproxima de zero quando o tempo tende a infinito. Um sistema linear e invariante no tempo é instável se a resposta natural cresce sem limites quando o tempo tende a infinito. Um sistema linear e invariante no tempo é marginalmente estável se a resposta natural nem cai e nem cresce mas permanece constante ou oscila quando o tempo tende a infinito. Assim, a definição de estabilidade implica que apenas a resposta forçada permanece à medida que a resposta natural se aproxima de zero. Um sistema é dito estável se toda entrada limitada leva a uma saída limitada BIBO – Bounded-Input, Bounded-Output. Ou, um sistema é instável se qualquer entrada limitada leva a uma saída ilimitada. Um sistema é marginalmente estável se o sistema for estável para algumas entradas limitadas e instável para outras. Assim, sistemas estáveis possuem funções de transferência em malha fechada com polos apenas no semi-plano da esquerda. Polos no semi-plano direito produzem respostas naturais na forma de exponenciais crescentes ou senóides exponencialmente crescentes. Essas respostas naturais tendem a infinito quando o tempo tende a infinito também. Também, polos com multiplicidade maior que 1 no eixo imaginário levam à soma de respostas da forma Atncos(wt+ f), onde n = 1, 2, ..., que também tendem a infinito quando o tempo tende a infinito. Logo, sistemas instáveis possuem funções de transferência em malha fechada com pelo menos um polo no semi-plano da direita ou polos com multiplicidade maior que 1 no eixo imaginário. Por último, sistemas que têm polos no eixo imaginário com multiplicidade 1 geram oscilações senoidais puras como resposta natural. Assim, sistemas marginalmente estáveis possuem funções de transferência em malha fechada com apenas polos no eixo imaginário com multiplicidade 1 e polos no semi-plano esquerdo. Como adendo, falando em termos de tipos de amortecimento, temos os seguintes tópicos listados a seguir. a) Respostas Sobreamortecidas _ Polos: dois polos reais em –a e –b _ Resposta natural: duas exponenciais com constantes de tempo iguais à localização dos polos: c(t) = K1e-at + K2e-bt b) Respostas Subamortecidas _ Polos: dois polos complexos em –a ±jw _ Resposta natural: Senóide amortecida com um envelope exponencial cuja constante de tempo é igual à parte real do polo. A frequência em radianos da senóide é igual à parte imaginária dos polos: c(t) = Ke-atcos(wt - f) c) Respostas Não Amortecidas _ Polos: dois polos imaginários em ±jw _ Resposta natural: Senóide não amortecida com frequência em radianos igual à parte imaginária dos polos: c(t) = Kcos(wt - f) _ Mesmo caso anterior com a = 0 d) Respostas Criticamente Amortecidas _ Polos: dois polos reais em –a _ Resposta natural: Um termo é uma exponencial com constante de tempo igual ao polo e o outro termo é uma mesma exponencial multiplicada pelo tempo: c(t) = K1e-at + K2te-at 30 3.2 Questão 2 Questão 2. Para os sistemas do exercício anterior, apresentar as funções de transferência para variáveis de estado ou espaço de estado ([A,B,C,D]). a) G1(s) = 𝒂 𝒔∗(𝒔+𝒃)∗(𝒔+𝟐) Função de Transferência: G1(s) = 8 1∗𝑠3+5∗𝑠2+6∗𝑠 e d=[0]. Figura 31 - Variáveis de estado para função de transferência em malha aberta. Função de Transferência: G1(s) = 8 1∗𝑠3+5∗𝑠2+6∗𝑠+8 D=[0]. Figura 32 - Variáveis de estado para função de transferência em malha fechada. 31 b) G2(s)= 𝒃 𝒔∗(𝒔+𝟏)∗(𝒔+𝒂) Função de Transferência: G1(s) = 3 1∗𝑠3+9∗𝑠2+8∗𝑠 e D= 0 Figura 33 - Variáveis de estado para função de transferência em malha aberta. Função de Transferência: G1(s) = 3 1∗𝑠3+9∗𝑠2+8∗𝑠+3 D= 0 Figura 34 - Variáveis de estado para função de transferência em malha fechada. 32 c) G3(s) = (𝒂∗𝒃) 𝒔∗(𝒔+𝒂)∗(𝒔+𝒃) Função de Transferência: G1(s) = 24 1∗𝑠3+11∗𝑠2+24∗𝑠 e D= 0 Figura 35 - Variáveis de estado para função de transferência em malha aberta Função de Transferência: G1(s) = 24 1∗𝑠3+11∗𝑠2+24∗𝑠+24 D= 0 Figura 36 - Variáveis de estado para função de transferência em malha fechada. 33 d) G4(s)= 𝟏 𝒔𝟓+𝟐𝟖∗𝒔𝟒+𝟐𝟖𝟒∗𝒔𝟑+𝟏𝟐𝟑𝟐∗𝒔𝟐+𝟏𝟗𝟑𝟎∗𝒔+𝟐𝟎 Função de Transferência: G4(s)= 1 𝑠5+28∗𝑠4+284∗𝑠3+1232∗𝑠2+1930∗𝑠+20 e D= 0 Figura 37 - Variáveis de estado para função de transferência em malha aberta. Função de Transferência: G4(s)= 1 𝑠5+28∗𝑠4+284∗𝑠3+1232∗𝑠2+1930∗𝑠+21 Figura 38 - Variáveis de estado para função de transferência em malha fechada. 34 3.3. Questão 3 Questão 3. Para os seguintes sistemas de variáveis de estado, apresente a função de transferência equivalente: a) A=[ 𝟎 𝟏 −𝟐 −𝟐 ], B=[ 𝟎 𝟏 ], C=[𝟐 𝟏], D=[𝟎]. Figura 39 - Função equivalente da questão 3a 35 b) A=[ 𝟎 𝟏 𝟎 𝟎 𝟎 𝟏 𝟎 −𝟓 −𝟒 ], B=[ 𝟎 𝟎 𝟏 ], C=[𝟏 𝟎 𝟎], D=[𝟎]. Figura 40 - Função equivalente da questão 3b 36 c) Ac= [ −𝟕 −𝟏𝟐 𝟏 𝟎 ], Bc=[ 𝟏 𝟎 ], Cc=[𝟏 𝟐], Dc=[𝟎]. Figura 41 - Função equivalente da questão 3c 37 d) ẋ=[ 𝟒 𝟐 𝟒 𝟏 𝟎 𝟎 𝟎 𝟏 𝟎 ] + [ 𝟏 𝟎 𝟎 ]u e y= [ 𝟏 𝟎 𝟏 𝟎 𝟏 𝟎 ]x A=[ 4 2 4 1 0 0 0 1 0 ] 𝐵 = [ 1 0 0 ] C= [ 1 0 1 0 1 0 ] G(S) = C. (SI-A)-1.B G(S) = [ 1 0 1 0 1 0 ]. (𝑠 ∗ [ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ] − [ 4 2 4 1 0 0 0 1 0 ] )-1 - * [ 1 0 0 ] G(S) = [ 1 0 1 0 1 0 ]. ([ 𝑠 0 0 0 𝑠 0 0 0 𝑠 ] − [ 4 2 4 1 0 0 0 1 0 ] )-1 - * [ 1 0 0 ] G(S) = [ 1 0 1 0 1 0 ]. ([ 𝑠 − 4 −2 −4 −1 𝑠 0 0 −1 𝑠 ] )-1 - * [ 1 0 0 ] G(S) = [ 1 0 1 0 1 0 ]. ([ 𝑠 − 4 −2 −4 −1 𝑠 0 0 −1 𝑠 ] )-1 - * [ 1 0 0 ] Calculando a inversa de [ 𝑠 − 4 −2 −4 −1 𝑠 0 0 −1 𝑠 ] Matriz E [ s^2/(s^3 - 4*s^2 + 2*s + 4), -(2*(s + 2))/(s^3 - 4*s^2 + 2*s + 4), (4*s)/(s^3 - 4*s^2 + 2*s + 4)] [ -s/(s^3 - 4*s^2 + 2*s + 4), -(s*(s - 4))/(s^3 - 4*s^2 + 2*s + 4), -4/(s^3 - 4*s^2 + 2*s + 4)] [ -1/(s^3 - 4*s^2 + 2*s + 4), -(s - 4)/(s^3 - 4*s^2 + 2*s + 4), (s^2 - 4*s + 2)/(s^3 - 4*s^2 + 2*s + 4)] Matriz E x [ 1 0 0 ] Matriz F s^2/(s^3 - 4*s^2 + 2*s + 4) -s/(s^3 - 4*s^2 + 2*s + 4) -1/(s^3 - 4*s^2 + 2*s + 4) Contudo,não dá pra calcular a matriz F por Matriz C= [ 1 0 1 0 1 0 ], pois a matriz F é (1x1) e a matriz C é (2x3). Para ocorrer a operação a matriz C deveria ser matriz (1x1). 38 4. CONSIDERAÇÕES FINAIS A partir das considerações feitas diante de todo o corpo de trabalho, percebe-se que a utilização do Matriz Laboratory (MatLab) é extremamente útil e importante para os cálculos de engenharia, uma vez que aplica uma série de conhecimentos como por exemplo o reconhecimento de uma função de transferência, o cálculo da resposta ao degrau em malha aberta e em malha fechada e cálculos como diferenciais e operações com matrizes, (determinante, produto de matrizes e obtenção de matriz inversa). Além disso, pudemos observar que o uso das ferramentas computacionais nos ajuda no processo de obtenção matemática das respostas solicitadas, além da maior precisão e otimização da aprendizagem. 39 REFERÊNCIAS COSTA, A. Dicas iniciais de utilização no Matlab. Programa de Engenharia Química. COPPE/ UFRJ. Janeiro, 2003. DAIBERT, M.R; CHAIA, A.V. Minicurso Introdução ao Matlab. GET – Engenharia de Produção. UFJF. DIAS,F; PINHEIRO, L; BECKER, A; SILVA,D. Noções Básicas de programação em Matlab. Santa Maria, 2010. DORF, R. C., BISHOP, R. H., Modern Control Systems. Pearson Education, 2001, 11th edition. NISE, N. Engenharia de Sistemas de Controle. Tradução de Paulo Álvaro Maya; revisão técnica Fabrizio Leonardi. 5ed. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos, c2009. OGATA, Katsuhiko. Engenharia de controle moderno. Tradução de Paulo Alvaro Maya; revisão técnica Fabrizio Leonardi... [et al.]. 4. ed. São Paulo: Prentice Hall do Brasil, 2003. 40 APÊNDICES Figura 42 - Malha Aberta para Questão 1a. Figura 43 - Malha Fechada para Questão 1a. Figura 44 - Malha aberta para Questão 1b. Figura 45 - Malha fechada para Questão 1b. 41 Figura 46 - Malha aberta para questão 1c. Figura 47 - Malha fechada para Questão 1c. Figura 48 - Malha Aberta para Questão 1d. Figura 49 - Malha fechada para questão 1d.
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