RELATÓRIO 4 - LABORATÓRIO DE CONTROLE E AUTOMAÇÃO formato

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO AMAZONAS - UFAM 
FACULDADE DE TECNOLOGIA – FT 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA DE PETRÓLEO E GÁS 
CURSO – ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 
 
 
 
 
RELATÓRIO 4 – LABORATÓRIO DE CONTROLE E AUTOMAÇÃO DE PROCESSOS 
OPERAÇÕES NO MATLAB PARA CONTROLADORES PID 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MANAUS - AM 
2017 
 
 
IGOR MORAES BEZERRA CALIXTO (21456321) 
WALDENIZE SANTANA FONSECA (21552462) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RELATÓRIO 4 – LABORATÓRIO DE CONTROLE E AUTOMAÇÃO DE PROCESSOS 
OPERAÇÕES NO MATLAB PARA CONTROLADORES PID 
 
 
 
 
 
 
 
Relatório 4, de Laboratório de Controle e 
Automação de Processos, orientada pelo professor 
Pablo Guimarães, com o intuito de obter 
conhecimentos a respeito de um dos ramos de 
estudo da Laboratório, válida como componente 
parcial. 
 
 
 
 
MANAUS - AM 
2017 
 
 
RESUMO 
 
 A atividade prática realizada envolveu a operação básica numérica na Plataforma de 
Linguagem Matlab cujo intuito foi inserir e aprender a utilizar a análise das funções de 
Transferência para controladores PID, bem como verificar o comportamentos dos valores das 
constantes Kp, Ki e Kd, além de simular com o mesmo propósito no simulink. 
 
Palavras-chaves: Matlab, Função de Transferências, controladores PID, Kp, Ki,Kd. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
LISTA DE FIGURAS 
 
Figura 1- Parte Inicial do Matlab. Fonte: Matlab. ................................................................................... 7 
Figura 2- Parte M-files. Fonte: Matlab. ................................................................................................... 8 
Figura 3- Variável Controlada vs tempo para diferentes valores de Kp. .............................................. 13 
Figura 4- Variável controlada versus tempo para diversos valores de Ki ............................................. 14 
Figura 5- Variável controlada versus tempo para diversos valores de Kd. ........................................... 15 
Figura 6- Método da curva de reação por Ziegler-Nichols. .................................................................. 16 
Figura 7- Comandos básicos para execução da estimativa dos parâmetros em PID. Item 1a. .............. 18 
Figura 8 - Gráfico de resposta em degrau obtido para item 1a. ............................................................ 18 
Figura 9 - Comandos básicos para execução da estimativa dos parâmetros em PID. Item 1b .............. 20 
Figura 10 – plotagem do gráfico com grid. Item 1b .............................................................................. 20 
Figura 11 - Uso do comando axis para modificar os limites do gráfico. Item 1b ................................. 21 
Figura 12- Trançando a reta. Item 1b .................................................................................................... 21 
Figura 13 - Plotagem de pontos para achar a e L .................................................................................. 22 
Figura 14 - Comandos básicos para execução da estimativa dos parâmetros em PID. Item 1c ............ 23 
Figura 15 – plotagem do gráfico com grid. Item 1c .............................................................................. 23 
Figura 16 - Uso do comando axis para modificar os limites do gráfico. Item 1c ................................. 24 
Figura 17- Trançando a reta. Item 1c .................................................................................................... 24 
Figura 18 - Plotagem de pontos para achar a e L .................................................................................. 25 
Figura 19 - Esquema básico de montagem do simulink. Item 2a. ......................................................... 27 
Figura 20 - Estimativa do comportamento gráfico a partir dos ganhos P,I, D - 1,2,3. .......................... 27 
Figura 21 - Estimativa do comportamento gráfico a partir dos ganhos P,I, D - 1,4,6.. ......................... 28 
Figura 22 - Estimativa do comportamento gráfico a partir dos ganhos P,I, D – 2,5,20. ....................... 28 
Figura 23 - Obtenção dos principais parâmetros do comportamento gráfico para PID. ....................... 29 
Figura 24 - Esquema básico de montagem do simulink. Item 2b. ........................................................ 30 
Figura 25 - Estimativa do comportamento gráfico a partir dos ganhos P,I, D - 1,2,3. .......................... 30 
Figura 26 - Estimativa do comportamento gráfico a partir dos ganhos P,I, D - 1,4,6.. ......................... 31 
Figura 27 - Estimativa do comportamento gráfico a partir dos ganhos P,I, D – 2,5,20. ....................... 31 
Figura 28 - Obtenção dos principais parâmetros do comportamento gráfico para PID. ....................... 32 
Figura 29 - Esquema básico de montagem do simulink. Item 2c. ......................................................... 33 
Figura 30 - Estimativa do comportamento gráfico a partir dos ganhos P,I, D - 1,2,3. .......................... 33 
Figura 31 - Estimativa do comportamento gráfico a partir dos ganhos P,I, D - 1,4,6.. ......................... 34 
Figura 32 - Estimativa do comportamento gráfico a partir dos ganhos P,I, D – 2,5,20. ....................... 34 
Figura 33 - Obtenção dos principais parâmetros do comportamento gráfico para PID. ....................... 35 
 
 
 
 
LISTA DE TABELAS 
 
Tabela 1- Operações Aritméticas Básicas no Matlab .............................................................................. 8 
Tabela 2- Comandos de funções básicas no Matlab. ............................................................................... 9 
Tabela 3- Método de Ziegler-Nichols ................................................................................................... 15 
Tabela 4- Método Alternativo para determinação dos parâmetros principais PID. .............................. 16 
Tabela 5 - Tabela proposta por Ziecler Nichols .................................................................................... 25 
Tabela 6 - Parâmetros iniciais do Item 1c ............................................................................................. 25 
Tabela 7 - Parâmetros de controladores ................................................................................................ 29 
Tabela 8 - Parâmetros de controladores ................................................................................................ 32 
Tabela 9 - Parâmetros de controladores ................................................................................................ 35 
 
 
 
 
SUMÁRIO 
 
1. CONSIDERAÇÕES INICIAIS ............................................................................................................... 7 
2. PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL .................................................................................................. 11 
2.1. Materiais Necessários ................................................................................................................ 11 
2.2. Parte Experimental ..................................................................................................................... 11 
3. RESULTADOS E DISCUSSÃO. .............................................................................................................. 12 
3.1. Abordagem Teórica dos controladores PID. ............................................................................. 12 
3.1.1. Caso Proporcional. ..............................................................................................................13 
3.1.2. Caso Integral. ................................................................................................................. 14 
3.1.3. Caso Derivada. ............................................................................................................... 14 
3.1.4. Ajuste de Parâmetros pelo Método de Ziegler-Nichols. ............................................... 15 
3.1.5. Ajuste de parâmetros por método alternativo em caso de gráfico de resposta em 
degrau com grandes oscilações. ................................................................................................... 16 
3.1.6. Limitações do uso dos controladores PID. .................................................................... 16 
3.1.7. Exemplos Práticos de controladores PID. ..................................................................... 17 
3.2. Questões ............................................................................................................................... 18 
3.2.1. Questão 1. ..................................................................................................................... 18 
3.2.2. Questão 2. ..................................................................................................................... 27 
4. CONSIDERAÇÕES FINAIS .................................................................................................................... 36 
REFERÊNCIAS ......................................................................................................................................... 37 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7 
 
1. CONSIDERAÇÕES INICIAIS 
 
MATLAB é uma abreviação para MATrix LABoratory. Trata-se de um ambiente de 
alto nível que possui ferramentas avançadas de análise e visualização de dados. Mais do que 
um aplicativo, o MATLAB também possui características de linguagem de programação. 
A programação em ambiente MATLAB dispensa tarefas como declaração de variáveis, 
alocação de memória, utilização de ponteiros, necessárias durante a utilização de linguagens de 
programação como C ou Fortran (COSTA,2003) 
As funções matemáticas já existentes no MATLAB são otimizadas, programadas em 
linguagem MATLAB e estão agrupadas de acordo com a área de interesse em toolboxes. Assim, 
o usuário tem acesso aos arquivos das funções matemáticas o que possibilita a realização de 
alterações nas rotinas já existentes. Todavia, vale ressaltar que estas alterações são perigosas e 
só devem ser realizadas como última alternativa (COSTA,2003) 
O primeiro passo para iniciarmos nosso estudo do MATLAB é nos familiarizarmos com 
a interface do programa. 
 
Figura 1- Parte Inicial do Matlab. Fonte: Matlab. 
 
a) Command Window: Local onde as operações podem ser diretamente feitas. 
b) Workspace: espaço destinado às variáveis que estão salvas na memória, onde é possível 
visualizar o nome, valor e classe da mesma. 
c) Command History: Lista de comandos realizados, organizados por data de execução, 
permitindo o comando ser realizado novamente com duplo clique. 
8 
 
Podemos também utilizar M-files, na barra de Menus acessando a guia File>New>M-
file, caso se deseje criar procedimentos de forma que estes fiquem salvos em arquivo. O 
MATLAB gera a seguinte janela: 
 
Figura 2- Parte M-files. Fonte: Matlab. 
 
 Os arquivos salvos são gerados na extensão ‘nomedoarquivo’.m. que são compilados 
utilizando-se a Command Window como espaço de comunicação de dados, de entrada e saída, 
entre o programa e o usuário (BECKER ET ALL, 2010) 
 Pode-se também chamar um M-file, escolhendo-se em Current Directory a pasta em que o 
mesmo está localizado. Depois de escolhido o diretório, digite na Command Window o nome 
do arquivo, e então a programação salva será compilada. 
 As operações aritméticas básicas são esquematizadas nos quadros a seguir: 
 
Tabela 1- Operações Aritméticas Básicas no Matlab 
OPERAÇÃO SÍMBOLO EXEMPLO 
Adição + 100+20=120 
Subtração - 100-20=80 
Multiplicação * 4*5=20 
Divisão / 56/8=7 
Potenciação ^ 5^2 = 25 
Fonte: Apostila. Operações Básicas de programação em Matlab, Santa Maria, 2010. 
 
9 
 
Tabela 2- Comandos de funções básicas no Matlab. 
COMANDO DESCRIÇÃO 
abs (x) Valor absoluto ou módulo de um número complexo 
acos(x) Arco cosseno 
acosh(x) Arco cosseno hiperbólico 
angle(x) Ângulo de um número complexo 
asin(x) Arco seno 
asinh(x) Arco seno hiperbólico 
atan(x) Arco tangente 
atan2(x,y) Arco tangente em quatro quadrantes 
Atanh(x) Arco tangente hiperbólica 
Ceil(x) Arredondar para inteiro na direção de mais infinito 
conj(x) Conjugado complex 
cos(x) Cosseno 
cosh(x) Cosseno hiperbólico 
exp(x) Exponencial 
fix(x) Arredonda para inteiro na direção do zero 
floor(x) Arredondar para inteiro na direção de menos infinito 
imag(x) Parte Imaginária de um número complexo 
log(x) Logaritmo Natural 
log10(x) Logaritmo na base 10 
real(x) Parte real de um número complexo 
rem(x,y) Resto da divisão de x por y 
round(x,y) Arredondar para o próximo número inteiro 
sign(x) Função Sinal: retorna o sinal de um argumento. 
sin(x) Seno 
sinh(x) Seno Hiperbólico 
sqrt(x) Raiz quadrada 
tan(x) Tangente 
tanh(x) Tangente Hiperbólica 
Eye(n) Matriz Identidade 
zeros(m,n) Matriz Nula 
10 
 
ones(m,n) Matriz com todos os elementos igual a 1 
rand(m,n) Matriz Aleatória 
eig Autovalores e autovetores 
chol Fatorização de Cholesky 
svd Decomposição em fator singular 
inv Inversa 
lu Fatorização Triangular LU 
qr Fatorização ortogonal QR 
hess Forma de Hessenberg 
schur Decomposição de Schur 
expm Matriz Exponencial 
sqrtm Matriz de raiz quadrada 
poly Polinómio Característico 
det Determinante 
size Tamanho 
cond Número de condição na norma 2 
norm Norma 1, Norma 2, Norma F, Norma Infinita 
rank Número de linhas linearmente independentes 
triu(A) Gera uma matriz com os elementos acima da diagonal 
principal de A e zera os elementos que estão abaixo 
Fonte: Apostila. Operações Básicas de programação em Matlab, Santa Maria, 2010. 
 
Assim, os objetivos deste Relatório são: 
1) Obter resoluções numéricas através do programa Matlab. 
2) Entender as principais funções para os controladores PID no Matlab. 
3) Avaliar os principais parâmetros de constantes nos diversos sistemas propostos. . 
 
 
11 
 
2. PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL 
 
2.1. Materiais Necessários 
 Para que a atividade experimental fosse desenvolvida, foram necessários alguns 
componentes básicos de operação e trabalho. 
 Dentre eles, fizemos uso essencialmente do Notebook, Software Matlab e Microsoft Word. 
 
2.2. Parte Experimental 
 
1) Parte 1 – Realizar abordagem teórica a respeito dos controladores PID. 
 Propor, através de pesquisa, a realização de proposições relevantes a respeito dos 
controladores PID, com conceitos, propriedades, aplicações, utilidades, entre outros estudos. 
 
2) Parte 2 – Realizar a resolução das questões solicitadas na atividade. 
 
Questão 1. A partir das funções de transferências dadas a seguir, faça a análise no Matlab 
do comportamento das mesmas graficamente em resposta ao degrau utilizando os 
métodos abordados em sala de aula para obter os valores das constantes (Kp,Ki,Kd) 
obtidos em controladores PID. Explique o que ocorreu. 
a) G1(s) = 
𝟏
𝒔∗(𝒔+𝟏)∗(𝒔+𝟓)
 
b) G2(s)=
𝟏
𝒔𝟑+𝟑∗𝒔𝟐+𝟑∗𝒔+𝟏
 
c) G3(s) = 
(𝟐)
(𝒔+𝟏)∗(𝒔+𝟐)
 
 
Questão 2.. A partir das funções de transferências dadas a seguir, faça a análise no 
simulink do comportamento das mesmas graficamenteutilizando os métodos abordados 
em sala de aula para obter os valores das constantes (Kp,Ki,Kd) obtidos em controladores 
PID. Explique o que ocorreu. 
a) G1(s) = 
𝟏
𝒔∗(𝒔+𝟏)∗(𝒔+𝟓)
 
b) G2(s)=
𝟏
𝒔𝟑+𝟑∗𝒔𝟐+𝟑∗𝒔+𝟏
 
c) G3(s) = 
(𝟐)
(𝒔+𝟏)∗(𝒔+𝟐)
 
12 
 
3. RESULTADOS E DISCUSSÃO. 
 
3.1. Abordagem Teórica dos controladores PID. 
 
 Antes de iniciar a resolução das questões, deve-se abordar teoricamente a respeito dos 
controladores PID e sua importância em processos de controle e automação industrial. O 
controlador proporcional integral derivativo, controlador PID ou simplesmente PID, é uma 
técnica de controle de processos que reúne as ações derivativa, integral e proporcional, fazendo 
assim com que o sinal de erro possa ser minimizado pela ação proporcional, zerado pela ação 
integral e obtido com uma velocidade antecipativa pela ação derivativa. 
 O algoritmo PID é baseado na resposta da modelagem matemática de uma malha de 
processo a ser controlada. Dentro desta malha, temos a variável do processo que normalmente 
é o que desejamos manipular e controlar, tendo como exemplo a manipulação para controle de 
temperatura em uma caldeira. Temos também o set-point que representa nada mais que a 
resposta obtida no processo, o overshoot que é a oscilação superior de resposta no sistema 
representada graficamente, entre outros conceitos relevantes. 
 Mas na prática verificamos que o algoritmo PID é encontrado no interior de controladores 
eletrônicos chamados "single-loop", muitas vezes com microprocessadores, e também através 
de software em controladores programáveis e outros equipamentos de controle. 
 Os controladores contínuos podem controlar os processos de quatro formas distintas: 
1) Controle Proporcional (P); 
2) Controle Integral (PI); 
3) Controle Derivativo (PD); 
4) Controle Proporcional Integral Derivativo (PID). 
 Estes quatro modos de controle são também designados de ações de controle, cada uma 
delas reagindo de forma distinta ao erro presente nos sistemas. O controle proporcional ajusta 
a variável de controle de forma proporcional ao erro. O controle integral, por sua vez, ajusta a 
variável de controle baseando-se no tempo em que o erro acontece. O controle derivativo ajusta 
a variável de controle tendo como base a taxa de variação do erro. A combinação destes tipos 
de controle forma o controlador conhecido na indústria como PID. 
 Definindo u(t) como o sinal de saída, o algoritmo PID pode ser definido por: 
 (01) 
Onde temos a definição para as seguintes variáveis: 
13 
 
1) Kp : Ganho Proporcional 
2) Ki : Ganho Integral 
3) Kd : Ganho Derivativo 
4) e : Erro 
5) t: Tempo 
6) ʈ: Tempo de integração 
 Aplicando a transformada de Laplace, obtemos a seguinte equação abaixo: 
 (2) 
 
3.1.1. Caso Proporcional. 
 
 A ação proporcional produz um sinal de saída que é proporcional à amplitude do erro e(t), 
sendo Kp a constante de proporcionalidade: 
 (3) 
 Comparado com a ação liga-desliga, esse método possui a vantagem de eliminar as 
oscilações do sinal de saída. Para tal, o sistema permanece sempre ligado e o sinal de saída é 
diferente de zero. Tendo em vista que o sinal de saída é proporcional ao erro, um erro não-nulo 
(conhecido por erro de off-set) é gerado. O valor do erro off-set é inversamente proporcional 
ao ganho Kp e pode ser compensado adicionando-se um termo ao valor de referência ou pelo 
controle integral. Um ganho proporcional muito alto gera um alto sinal de saída, o que pode 
desestabilizar o sistema. Porém, se o ganho proporcional é muito baixo, o sistema falha em 
aplicar a ação necessária para corrigir a distúrbios. 
 
Figura 3- Variável Controlada vs tempo para diferentes valores de Kp. 
14 
 
3.1.2. Caso Integral. 
 
 A ação integral produz um sinal de saída que é proporcional à magnitude e à duração do 
erro, ou seja, ao erro acumulado. Isso fornece uma alternativa para corrigir o erro de off-set 
gerado pela ação integral e acelera a resposta do sistema, permitindo-o chegar ao valor de 
referência mais rapidamente. O sinal de saída do controlador PI pode ser descrito por: 
 (4) 
Onde Ki é o ganho integral. 
 A ação integral corrige o valor da variável manipulada em intervalos regulares, chamado 
tempo integral. Esse tempo integral é definido como o inverso do ganho integral. Se o ganho 
integral é baixo, o sistema pode levar muito tempo para atingir o valor de referência. No entanto, 
se o ganho integral for muito alto, o sistema pode tornar-se instável. 
 
Figura 4- Variável controlada versus tempo para diversos valores de Ki 
 
3.1.3. Caso Derivada. 
 
 A ação derivativa produz um sinal de saída que é proporcional à velocidade de variação do 
erro: 
 (5) 
onde Kd é o ganho derivativo. 
 A ação derivativa fornece uma correção antecipada do erro, diminuindo o tempo de resposta 
e melhorando a estabilidade do sistema. A ação derivativa atua em intervalos regulares, 
15 
 
chamado tempo derivativo. Esse parâmetro é inversamente proporcional à velocidade de 
variação da variável controlada. Isso indica que a ação derivativa não deve ser utilizada em 
processos nos quais o sistema deve responder rapidamente a uma perturbação, nem em 
processos que apresentem muito ruído no sinal de medido, pois levaria o processo à 
instabilidade. 
 
Figura 5- Variável controlada versus tempo para diversos valores de Kd. 
 
3.1.4. Ajuste de Parâmetros pelo Método de Ziegler-Nichols. 
 
 O ajuste de parâmetros do controlador PID pode ser feito manualmente ou através de métodos 
de otimização como o método de Ziegler-Nichols. Nesse método, os ganhos Ki e Kd são 
primeiramente ajustados para zero. Em seguida, aumentamos o ganho proporcional até que o 
sinal de saída começa a oscilar. Isso define um ganho crítico, Ku, e um período crítico, Tu. Os 
ganhos dos controladores P, PI, PID são então ajustados conforme a tabela abaixo: 
Tabela 3- Método de Ziegler-Nichols 
 
 Tendo em vista que o ganho proporcional do controlador P é apenas a metade do ganho 
crítico, esse sistema possui uma boa margem de ajuste. Devido ao efeito desestabilizante da 
ação integral, o ganho proporcional reduz para 0.45 do ganho crítico. Contudo, o efeito 
estabilizante da ação derivativa permite aumentar o ganho proporcional para 0.6 do ganho 
crítico no controlador PID. 
16 
 
3.1.5. Ajuste de parâmetros por método alternativo em caso de gráfico de resposta em 
degrau com grandes oscilações. 
 
 Quando o gráfico da resposta em degrau da função de transferência apresentar a 
configuração mostrada a seguir, precisamos utilizar a seguinte tabela para modelar e calcular 
os parâmetros dos controladores. 
 
Figura 6- Método da curva de reação por Ziegler-Nichols. 
 
Tabela 4- Método Alternativo para determinação dos parâmetros principais PID. 
 Kp Ti Td 
P 
𝑇
𝐿
 infinito 0 
PI 
0,9𝑇
𝐿
 
𝐿
0,3
 0 
PID 
1,2𝑇
𝐿
 2*L 0,5*L 
 
 
3.1.6. Limitações do uso dos controladores PID. 
 
 Mesmo que os controladores PID sejam aplicáveis a maioria dos problemas de controle, 
pode ser pobre em outras aplicações. Os controladores PID, quando são usados sozinhos, podem 
dar um desempenho ruim quando o ganho da malha do PID deve ser reduzido para que não se 
dispare ou oscile sobre o valor do "setpoint". O desempenho do sistema de controle pode ser 
melhorado combinando a malha fechada de um controle PID com uma malha aberta. 
17 
 
 Conhecendo o sistema (como a aceleração necessária oua inércia) pode ser acionado e 
combinado com a saída do PID para melhorar o desempenho final do sistema. O controlador 
PID pode ser usado principalmente para responder a qualquer diferença ou "erro" que fique 
entre o setpoint e o valor atual do processo. Como a saída do laço não é afetada a realimentação 
do processo, nunca pode causar que o sistema oscile, aumentando o desempenho do sistema, 
sua resposta e estabilidade. 
 Outro problema que possui o PID é que é lineal. Principalmente o desempenho dos 
controladores PID em sistemas não lineares é variável. Também outro problema comum que 
possui o PID é, que na parte derivativa, o ruído pode afetar o sistema, fazendo que essas 
pequenas variações, façam que a mudança na saída seja muito grande. Geralmente um filtro 
passa baixo ajuda, já que elimina as componentes de alta frequência do ruído. Além disso, um 
FPB e um controle derivativo podem fazer que se anulem entre si. Alternativamente, o controle 
derivativo pode ser sacado em alguns sistemas sem muita perda de controle. Isto é equivalente 
a usar um controlador PID como PI somente. 
 
3.1.7. Exemplos Práticos de controladores PID. 
 
 Um caso típico é quando você deseja manter a temperatura interna de um reator químico no 
seu valor de referência. Deve ser um dispositivo de controle de temperatura (pode ser um 
aquecedor, uma resistência eléctrica, ...), e um sensor (termómetro). P, PI ou PID será o controle 
da variável (neste caso, a temperatura). No momento em que este não é o alerta correto do 
dispositivo de controle para que este ato, corrigindo o erro. De qualquer forma, a coisa certa é 
colocar um PID; se houver muito barulho, um PI, mas P não nos ajuda muito, porque ela não 
iria corrigir para o valor exato. 
 
 
18 
 
3.2. Questões 
 
3.2.1. Questão 1. 
Questão 1. A partir das funções de transferências dadas a seguir, faça a análise no Matlab 
do comportamento das mesmas graficamente, analisando os valores das constantes 
obtidos em controladores PID. 
 
a) G1(s) = 
𝟏
𝒔∗(𝒔+𝟏)∗(𝒔+𝟓)
. 
Os comandos básicos para identificar a função de transferência e avaliar os parâmetros 
dos controladores PID é mostrado a seguir: 
 
 
Figura 7- Comandos básicos para execução da estimativa dos parâmetros em PID. Item 1a. 
 
 
Figura 8 - Gráfico de resposta em degrau obtido para item 1a. 
19 
 
Mas podemos utilizar um método alternativo de Ziegler-Nichols quando a curva obtida 
no gráfico é diferente de uma curva em S. Como o sistema possui um integrador na origem, a 
resposta ao degrau não terá a forma de “S”, logo, fazendo KD = KI = 0 , a função de transferência 
do sistema será: 
𝐶(𝑠)
𝑅(𝑠)
 = 
𝐾𝑝
(𝑠)∗(𝑠+1)∗(𝑠+5)+𝐾𝑝
 
 Como o modelo matemático da planta é conhecido, usamos o critério de Routh-Hurwitz para 
obter Kcr: q(s) = s3 + 6*s2+5*s+Kp 
s3 1 5 
s2 6 Kp 
s1 30 − 𝐾𝑝
6
 
0 
s0 Kp 0 
 
Para haver oscilação, temos que Kp=KCr=30 
Para obter a frequência de oscilação sustentada, temos: 
q(s) = s3+ 6s2 + 5s + 30 = 0 
(jω) + 6(jω)2 + 5(jω) + 30 = 0 
6 (5-ω2) + jω (5-ω2) + 0 = 0 
Ω=√[rad/s] 
.: Pcr = 2ᴨ/ω 
 Pcr= 2.8 [seg] 
 
De acordo com a tabela e os valores de PCR e KCR temos que: 
 
Tabela 5 – Parâmetros obtidos para Kp,Ki e Kd. 
Pcr = 2.8 [seg], Kcr=30 
 Kp kD KI 
P 0,5 Kcr 0 0 
PI 0,45 Kcr 0 0,54 kcr/Pcr 
PID 0,6 Kcr 
0,075 
KcrPcr 1,2 kcr/Pcr 
Kp= 18, KD=6,3 , k1=12,86 
20 
 
b) G2(s)=
𝟏
𝒔𝟑+𝟑∗𝒔𝟐+𝟑∗𝒔+𝟏
 
 
Figura 9 - Comandos básicos para execução da estimativa dos parâmetros em PID. Item 1b 
 
 
Figura 10 – plotagem do gráfico com grid. Item 1b 
21 
 
 
 
Figura 11 - Uso do comando axis para modificar os limites do gráfico. Item 1b 
 
Em seguida, procedeu-se para obter os parâmetros da dinâmica do sistema usando a 
Resposta ao Degrau. Então, na janela Figure, foi-se em Insert, em seguida em Line para traçar 
a reta, pois a curva com formato em S pode ser caracterizada através de duas constantes, o 
atraso L e a constante tempo T. 
 
Figura 12- Trançando a reta. Item 1b 
22 
 
 
Desse modo, foi dado o comando ginput(2) para marcar dois pontos na figura 12 
seguindo orientações da figura abaixo para achar a e L. 
 
Figura 13 - Plotagem de pontos para achar a e L 
 
Em seguida, achou-se os pontos a=0,19 e L=0,7440. Então aplicou-se na tabela 5 
Tabela 6- Tabela proposta por Ziecler Nichols 
 
Baseando-se na tabela 5, obtemos: 
Tabela 7 - Parâmetros iniciais do Item 1b 
 K TI TD 
P 5,263158 
PI 4,736842 2,232 
PID 6,315789 1,488 0,372 
 
23 
 
 c) G3(s) = 
(𝟐)
(𝒔+𝟏)∗(𝒔+𝟐)
 
 
 
Figura 14 - Comandos básicos para execução da estimativa dos parâmetros em PID. Item 1c 
 
 
Figura 15 – plotagem do gráfico com grid. Item 1c 
24 
 
 
 
Figura 16 - Uso do comando axis para modificar os limites do gráfico. Item 1c 
Em seguida, procedeu-se para obter os parâmetros da dinâmica do sistema usando a 
Resposta ao Degrau. Então, na janela Figure, foi-se em Insert, em seguida em Line para traçar 
a reta, pois a curva com formato em S pode ser caracterizada através de duas constantes, o 
atraso L e a constante tempo T. 
 
Figura 17- Trançando a reta. Item 1c 
25 
 
Desse modo, foi dado o comando ginput(2) para marcar dois pontos na figura 17 
seguindo orientações da figura abaixo para achar a e L. 
 
Figura 18 - Plotagem de pontos para achar a e L 
 
Em seguida, achou-se os pontos a= 0,0671 e L= 0,1754. Então aplicou-se na tabela 5 
Tabela 5 - Tabela proposta por Ziecler Nichols 
 
Baseando-se na tabela 5, obtemos: 
Tabela 6 - Parâmetros iniciais do Item 1c 
 K TI TD 
P 14,90313 
PI 13,41282 0,5262 
PID 17,88376 0,3508 0,0877 
 
26 
 
3.2.1.1. Discussão dos resultados da Questão 1. 
O método de Ziegler-Nichols é um método popular de ajustar um controlador PID. Esta 
resposta pode ser caracterizada por dois parâmetros: o atraso aparente e o ganho integral 
equivalente . Estes parâmetros são obtidos traçando uma reta tangente à curva de resposta no 
seu ponto de inflexão, ou seja, o ponto em que a taxa de variação da resposta é máxima. Os 
parâmetros são dados então pela interseção desta reta com os eixos coordenados, conforme 
indicado nas Figuras 12 e 17. Um salto de amplitude diferente da unidade pode ser usado, sendo 
neste caso necessário normalizar o ganho integral equivalente dividindo-o pela amplitude deste 
salto. Ziegler e Nichols propuseram as seguintes fórmulas para cálculo dos parâmetros do 
controlador a partir dos parâmetros (a e L) conforme Tabelas 5 e 8. 
Os valores nesta Tabela 5 e 8 foram determinados de forma empírica de forma a obter 
uma resposta com amortecimento de 1/4 na resposta à referência para processos industriais 
típicos. Enquanto a rejeição a perturbações muitas vezes apresenta um comportamento 
satisfatório, este amortecimento usualmente não é satisfatório na resposta à referência, 
causando em muitos casos uma sobrepassagem excessiva e baixa tolerância a variações na 
dinâmica do processo. 
Na questão (a), verificamos que o gráfico obtido (figura 8) não nos permite obter por 
métodos tradicionais os parâmetros principais dos controladores PID. Só podemos avaliar pelo 
método de Ziegler-Nichols quando obtemos uma curva em forma de S no gráfico. Esse obtém 
experimentalmente a resposta da planta a uma entrada em degrau unitário, se a planta não possui 
integradores nem pólos complexos conjugados dominantes, então essa curva de resposta ao 
degrau unitário pode ter o aspecto de um S. Esse método se aplica a curva de resposta ao degraude entrada tiver a forma de um S. Essa curva de resposta ao degrau pode ser gerada 
experimentalmente ou a partir de uma simulação dinâmica da planta. Como não chegamos a 
esta configuração, não é possível adotar o método convencional. 
Foi determinado os valores de a e L, sendo da questão b (a=0,19 e L=0,7440) e da 
questão c (a= 0,0671 e L= 0,1754), e desta, aplicando estes valores nas Tabela 5 e 8, em seguida 
gerou-se as tabelas 6 e 9. 
Portanto este método permite, registrar a resposta ao salto do processo, encontrar o 
instante de tempo em que a taxa de variação da saída atinge o seu valor máximo, anotar o valor 
da saída , anotar o valor de saída e de sua taxa de variação neste instante de tempo, calcular o 
atraso aparente (L) e o ganho integral equivalente (a) e aplicar nas Tabelas propostas por 
Ziegler-Nichols. 
 
27 
 
3.2.2. Questão 2. 
 
Questão 2. A partir das funções de transferências dadas a seguir, faça a análise no 
simulink do comportamento das mesmas graficamente, analisando os valores das 
constantes obtidos em controladores PID. 
 
a) G1(s) = 
𝟏
𝒔∗(𝒔+𝟏)∗(𝒔+𝟓)
 
 Segue adiante o esquema básico de montagem no simulink. 
 
Figura 19 - Esquema básico de montagem do simulink. Item 2a. 
 
 A partir dos gráficos obtidos abaixo, avaliamos logo após a influência dos parâmetros do 
controlador PID. 
 
Figura 20 - Estimativa do comportamento gráfico a partir dos ganhos P,I, D - 1,2,3. 
28 
 
 
Figura 21 - Estimativa do comportamento gráfico a partir dos ganhos P,I, D - 1,4,6.. 
 
 
Figura 22 - Estimativa do comportamento gráfico a partir dos ganhos P,I, D – 2,5,20. 
 
 Percebe-se que, pelo método gráfico, o tempo de resposta de estabilidade do gráfico 
diminui quando aumentamos o ganho derivativo e quando não aumentamos muito o ganho 
proporcional. Segue adiante os valores teóricos de ganhos do controlador PID para este sistema 
dado a partir da função de transferência especificada. 
 
29 
 
 
Figura 23 - Obtenção dos principais parâmetros do comportamento gráfico para PID. 
 
Segue adiante uma tabela com os principais parâmetros obtidos para a função de 
transferência dada no simulink. 
 
Tabela 7 - Parâmetros de controladores 
 TUNED BLOCK 
P 10,8725 2 
I 0,16666 5 
D 8,4143 20 
N 18,5997 100 
 
 
 
30 
 
b) G2(s)=
𝟏
𝒔𝟑+𝟑∗𝒔𝟐+𝟑∗𝒔+𝟏
 
Segue adiante o esquema básico de montagem no simulink. 
 
Figura 24 - Esquema básico de montagem do simulink. Item 2b. 
 
A partir dos gráficos obtidos abaixo, avaliamos logo após a influência dos parâmetros 
do controlador PID. 
 
 
Figura 25 - Estimativa do comportamento gráfico a partir dos ganhos P,I, D - 1,2,3. 
31 
 
 
Figura 26 - Estimativa do comportamento gráfico a partir dos ganhos P,I, D - 1,4,6.. 
 
 
Figura 27 - Estimativa do comportamento gráfico a partir dos ganhos P,I, D – 2,5,20. 
 
 Percebe-se que, pelo método gráfico, o tempo de resposta de estabilidade do gráfico 
diminui quando aumentamos o ganho derivativo e quando não aumentamos muito o ganho 
32 
 
proporcional. Segue adiante os valores teóricos de ganhos do controlador PID para este sistema 
dado a partir da função de transferência especificada. 
 
Figura 28 - Obtenção dos principais parâmetros do comportamento gráfico para PID. 
 
Segue adiante uma tabela com os principais parâmetros obtidos para a função de 
transferência dada no simulink. 
Tabela 8 - Parâmetros de controladores 
 TUNED BLOCK 
P 2,1688 2 
I 0,91323 5 
D 1,2758 20 
N 94,2813 100 
 
 
33 
 
c) G3(s) = 
(𝟐)
(𝒔+𝟏)∗(𝒔+𝟐)
 
Segue adiante o esquema básico de montagem no simulink. 
 
Figura 29 - Esquema básico de montagem do simulink. Item 2c. 
 
A partir dos gráficos obtidos abaixo, avaliamos logo após a influência dos parâmetros 
do controlador PID. 
 
Figura 30 - Estimativa do comportamento gráfico a partir dos ganhos P,I, D - 1,2,3. 
34 
 
 
Figura 31 - Estimativa do comportamento gráfico a partir dos ganhos P,I, D - 1,4,6.. 
 
 
Figura 32 - Estimativa do comportamento gráfico a partir dos ganhos P,I, D – 2,5,20. 
 
 Percebe-se que, pelo método gráfico, o tempo de resposta de estabilidade do gráfico diminui 
quando aumentamos o ganho derivativo e quando não aumentamos muito o ganho proporcional. 
Segue adiante os valores teóricos de ganhos do controlador PID para este sistema dado a partir 
da função de transferência especificada. 
35 
 
 
Figura 33 - Obtenção dos principais parâmetros do comportamento gráfico para PID. 
 
Segue adiante uma tabela com os principais parâmetros obtidos para a função de 
transferência dada no simulink. 
 
Tabela 9 - Parâmetros de controladores 
 TUNED BLOCK 
P 1,8124 2 
I 1,6905 5 
D 0,098429 20 
N 7,7131 100 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
36 
 
4. CONSIDERAÇÕES FINAIS 
 
A partir das considerações feitas diante de todo o corpo de trabalho, percebe-se que a 
utilização do Matriz Laboratory (MatLab) é extremamente útil e importante para os cálculos de 
engenharia, uma vez que aplica uma série de conhecimentos como por exemplo o 
reconhecimento de uma função de transferência, o cálculo da resposta ao degrau em malha 
aberta e em malha fechada e cálculos como o algoritmo em PID. Além disso, pudemos observar 
que o uso das ferramentas computacionais facilita no processo de obtenção matemática das 
respostas solicitadas, além da maior precisão e otimização da aprendizagem. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
37 
 
REFERÊNCIAS 
 
COSTA, A. Dicas iniciais de utilização no Matlab. Programa de Engenharia Química. COPPE/ 
UFRJ. Janeiro, 2003. 
 
DAIBERT, M.R; CHAIA, A.V. Minicurso Introdução ao Matlab. GET – Engenharia de 
Produção. UFJF. 
 
DIAS,F; PINHEIRO, L; BECKER, A; SILVA,D. Noções Básicas de programação em 
Matlab. Santa Maria, 2010. 
 
DORF, R. C., BISHOP, R. H., Modern Control Systems. Pearson Education, 2001, 11th 
edition. 
 
NISE, N. Engenharia de Sistemas de Controle. Tradução de Paulo Álvaro Maya; revisão 
técnica Fabrizio Leonardi. 5ed. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos, c2009. 
 
OGATA, Katsuhiko. Engenharia de controle moderno. Tradução de Paulo Alvaro Maya; 
revisão técnica Fabrizio Leonardi... [et al.]. 4. ed. São Paulo: Prentice Hall do Brasil, 2003.