IEF991 Unidade 4 2013 1

Prévia do material em texto

Unidade 4 Energia, trabalho e a conservação da energia 
4.1 Energia e trabalho de uma força 
De todos os conceitos da física, 
talvez o mais central seja o de energia. 
A combinação de energia com matéria 
forma o universo: matéria é substância 
e energia é o que move a substância. A 
ideia de matéria é fácil de compreender. 
Matéria é o conteúdo do que podemos 
ver cheirar e tocar. Ela possui massa e 
volume. Energia, por outro lado, é 
abstrata. Não podemos ver, cheirar ou 
tocar a maioria das formas de energia. É 
surpreendente, mas a ideia de energia 
foi ignorada por Isaac Newton, e sua 
existência ainda era objeto de debates 
até aproximadamente 1850. 
O termo energia é tão amplo que 
é difícil uma definição clara e concisa. 
Tecnicamente, energia é uma grandeza 
escalar associada ao estado (ou 
condição) de um ou mais objetos. Se 
uma força muda um dos objetos, por 
exemplo, movimentando-o, então o 
número associado à energia varia. Após 
um número imenso de experimentos, 
cientistas e engenheiros perceberam 
que, se o esquema através do qual se 
atribui números à energia for planejado 
cuidadosamente, esses números podem 
ser usados para prever resultados dos 
experimentos e, mais importante, para a 
construção de máquinas. 
Embora energia nos seja familiar, 
é difícil defini-la, pois ela não é uma 
“coisa”, mas uma coisa e um processo 
juntos – como se fosse um substantivo e 
um verbo. Pessoas, lugares e coisas 
possuem energia, mas geralmente 
observamos a energia apenas quando ela 
está sendo transferida ou transformada. 
Ela chega a nós na forma de ondas 
eletromagnéticas vindas do Sol e a 
sentimos como energia térmica e 
luminosa; ela é capturada pelas plantas 
e mantém juntas as moléculas da 
matéria; ela está nos alimentos que 
comemos, e nós a recebemos através da 
digestão. A matéria em si mesma é uma 
cápsula de energia condensada, como 
estabelecido pela famosa equação de 
Einstein, 
2mcE 
 (HEWITT, 2002). 
Será considerado, primeiramente, 
um conceito relacionado à energia: 
trabalho de uma força. 
Seja o caso mais simples de uma 
força 
constanteF
 atuando sobre um 
corpo de massa 
m
 na mesma direção e 
no mesmo sentido do movimento (Figura 
4.1). Em tal situação, define-se o 
trabalho realizado pela força sobre a 
partícula como o produto do módulo da 
força pela distância que a partícula 
percorreu: 
.rFW 
 (4.1) 
 
Figura 4.1 – Força 
F
 constante deslocando um corpo de massa 
m
 na direção e sentido do deslocamento. 
No entanto, a 
constanteF
 , que 
atua na partícula, pode não agir no 
sentido em que a partícula se move 
como na situação indicada na Figura 4.2. 
Neste caso, define-se o trabalho 
realizado pela força aplicada sobre a 
partícula como o produto do 
componente da força na direção do 
movimento pela distância que a 
partícula percorreu naquela direção: 
 2 
,)cos( rFW 
 (4.2) 
onde 

 é o ângulo entre a força 
constanteF
 e a linha que define a 
direção do movimento. Lembrando que 
força e deslocamento são grandezas 
vetoriais e, ainda, que o trabalho 
realizado por uma força é uma grandeza 
escalar; então (4.2) é, na realidade, 
igual ao produto escalar (ou produto 
interno) entre os vetores 
F
 e 
r
 , ou 
seja, 
.cosFrFrW  
 (4.3) 
 
Figura 4.2 – Força 
F
 constante atuando sobre um corpo de massa 
m
 numa direção que forma o ângulo  
com o sentido do deslocamento.
 A unidade do SI de trabalho (a 
mesma de todas as formas de energia) é 
o Joule (
J
) em homenagem a James 
Prescott Joule (1818-1889), cientista 
inglês, e um dos precursores da máquina 
a vapor: 
..111 22 smkgJJoule  
 Como nem sempre a força que 
realiza trabalho é constante, vamos 
considerar agora o caso em que apenas o 
módulo da força seja variável. Seja o 
caso especial em que a força seja função 
apenas da posição, 
),(xF
 e que seu 
sentido seja o do semieixo positivo 
.Ox
 
Se um corpo se move ao longo de 
Ox
 
sob a ação dessa força, qual o trabalho 
que ela realiza ao deslocá-lo de 
1x
 a 
?2x
 
 Na Figura 4.3 está representada 
uma situação na qual o módulo da força 
é função da posição. Se o deslocamento 
total for subdivido em um grande 
número de pequenos intervalos iguais, 
x
 (Figura 4.3a), durante o pequeno 
deslocamento 
x
 de 
1x
 a 
,1 xx 
 a 
força variável 
F
 tem módulo 
aproximadamente constante, e o 
trabalho por ela realizado 
,W
 será: 
,xFW 
 
(4.4) 
sendo 
F
 o valor da força em 
.1x
 De 
modo análogo, o trabalho realizado em 
cada pequeno deslocamento 
x
 será 
dado por (4.4), e o trabalho total 
realizado pela força 
)(xF
 entre 
1x
 e 
2x
 
é dado por: 
 
2
1
,12
x
x
xFW
 
 
(4.5) 
a letra grega 

 (sigma) indicando soma 
em todos os intervalos de 
1x
 a 
.2x 
 Para melhorar a aproximação, 
pode-se dividir o deslocamento total de 
1x
 a 
2x
 em maior número de intervalos 
iguais, como indicado na Figura 4.3b. 
Está claro que podemos obter 
aproximações cada vez melhores, 
tomando 
x
 cada vez menor. O valor 
exato do trabalho realizado pela força 
)(xF
 é encontrado quando o número de 
intervalos 
x
 tende ao infinito, ou seja, 
quando os intervalos 
x
 aproximam-se 
de zero. Neste caso, 
  
2
1
2
1
.)(
0
12
x
x
x
xx
dxxFxFimW  
 
(4.6) 
 
 
Figura 4.3 – Calcular 

2
1
)(
x
x
dxxF
 equivale a obter a área compreendida sob a curva 
),(xF
 entre os limites 
1x
 e 
.2x
 
 
 Para a situação em que a força 
F
 , 
que atua sobre a partícula, varia tanto 
em módulo como em direção, e a 
partícula mover-se ao longo de uma 
trajetória curvilínea, o trabalho é dado 
por: 
 
b
a
b
a
ab drFrdFW .cos
 
 
(4.7) 
 Só é possível avaliar a integral em 
(4.7) se soubermos como 
F
 e 

 variam 
de um ponto a outro na trajetória, pois 
ambas são funções das coordenadas da 
partícula. 
 
 
4.2 Energia cinética e teorema trabalho-energia cinética 
Uma forma muito importante de 
energia é a energia cinética (símbolo 
K
) 
associada ao movimento de um corpo. 
Para uma partícula de massa 
m
 e 
velocidade 
,cv 
 (ou seja, a velocidade 
da partícula é muito menor que a 
velocidade da luz no vácuo), a energia 
cinética é definida como: 
.
2
1 2mvK 
 
 
(4.8) 
Quando uma força acelera uma 
partícula estará realizando trabalho 
sobre a mesma. O resultado é um 
aumento da energia cinética devido ao 
aumento da velocidade da partícula. 
Dizemos que a variação na energia 
cinética é resultado da transferência de 
energia através do trabalho realizado 
pela força. Assim, podemos concluir que 
o trabalho 
W
 representa a energia 
transferida para (ou de) uma partícula 
por intermédio de uma força que atua 
sobre a mesma. Se a energia é 
transferida para a partícula, dizemos 
que o trabalho é positivo. Por outro 
lado, se uma energia é transferida de 
uma partícula, isto corresponde a um 
trabalho negativo. Portanto, trabalho 
representa energia transferida; realizar 
trabalho é o processo de transferir a 
energia. 
Devemos tomar cuidado com o 
termo transferir, pois podemos cometer 
um erro grave. Ele não significa que algo 
flui para (ou da) partícula, como no caso 
da água que é transferida da garrafa 
para um copo. Transferir, no caso de 
energia, parece mais com a 
transferência eletrônica de dinheiro 
entre duas contas bancárias: o saldo de 
uma conta cresce enquanto que o da 
outra diminui. Lembre-se do que foi 
dito no início desta unidade: matéria é 
substânciae energia é o que move a 
substância. 
A equação (4.7) define o trabalho 
realizado por uma força qualquer, ou 
seja, 
. 
b
a
b
a
ab rd
dt
pd
rdFW



 
 
(4.9) 
Se a massa da partícula é constante, 
então 
  .dtvdmdtvmddtpd


 Assim: 
 
.
2
1
2
1 22
ab
b
a
b
a
b
a
b
a
ab mvmvvdvmvd
dt
rd
mrd
dt
vd
mrdFW  





 
 
(4.10) 
 Podemos enunciar o resultado de 
(4.10) do seguinte modo: o trabalho 
realizado pela força resultante, que 
atua sobre uma partícula, é igual à 
variação da energia cinética da 
partícula. 
 Isto permite enunciar o teorema: 
trabalho-energia cinética: o trabalho 
realizado sobre uma partícula pela 
força resultante é sempre igual à 
variação da energia cinética da 
partícula, ou seja, 
.KKKW ab 
 
 
(4.11) 
 O resultado expresso por (4.11) 
pode ser entendido considerando o 
exemplo de uma partícula, cuja energia 
cinética vale inicialmente 
.7 J
 Se uma 
força realiza um trabalho igual a 
J2
 
sobre a partícula (trabalho positivo), 
transferindo 
J2
 de energia para a 
partícula, a energia cinética da partícula 
aumenta para 
,9 J
 ou seja, de uma 
quantidade igual ao do trabalho 
resultante sobre a partícula. 
 Muitas vezes várias forças agem 
na partícula; a resultante 
F
 dessas 
forças é a sua soma vetorial, isto é, 
,...21 nFFFF


 supondo que sejam 
n
 as forças atuantes. O trabalho 
realizado pela força 
F
 é a soma 
algébrica do trabalho realizado pelas 
forças individuais, ou seja, 
....21 nWWWW 
 Pode-se, portanto, 
escrever o teorema do trabalho e 
energia sob a forma: 
....21 KWWW n 
 
 
(4.12) 
 
4.3 Potência 
 O trabalho necessário para 
transportar água de um poço para um 
reservatório de 
L000.1
 é o mesmo quer 
seja feito em uma hora (aceitável) ou 
em uma semana (inaceitável). Neste 
caso, é a taxa com que o trabalho é 
realizado que interessa. Os físicos 
definem potência como a taxa em que o 
trabalho é realizado, ou seja, a taxa de 
transferência de energia: 
Tempo
Energia
Potência 
 
 
(4.13) 
Assim, se uma força realiza um trabalho 
W
 em um intervalo de tempo 
,t
 a 
potência média nesse intervalo de tempo 
é: 
,
t
W
P


 
 
(4.14) 
enquanto a potência instantânea 
liberada pelo agente da força é: 
.
dt
dW
P 
 
 
(4.15) 
A unidade do SI para potência é o joule 
por segundo. Essa unidade é usada tão 
frequentemente que tem um nome 
especial, o watt (
W
), em homenagem a 
James Watt (1736-1819), um inventor 
escocês que ajudou a desenvolver a 
máquina a vapor. Assim, 
.111 sJWwatt 
 
Outra unidade de potência, o cavalo-
vapor (
cv
), foi criada por James Watt 
para fazer propaganda de suas máquinas 
a vapor. Watt sabia que a principal 
aplicação de suas máquinas estava nas 
minas, cujos proprietários em geral 
usavam cavalos para mover as bombas 
que mantinham as minas secas. A 
maneira mais fácil de promover as 
 5 
máquinas era mostrar aos engenheiros 
das minas quantos cavalos uma máquina 
era capaz de substituir. Assim, Watt 
realizou uma série de experimentos para 
determinar quanta energia um cavalo 
seria capaz de transferir em um dado 
intervalo de tempo. Ele descobriu que, 
em média, um cavalo conseguia produzir 
lbft 550
 de trabalho por segundo. Watt 
chamou esta unidade de cavalo-vapor e 
passou a classificar suas máquinas em 
termos da nova unidade (TREFIL e 
HAZEN, 2006). Em termos da unidade 
SI de potência, o cavalo-vapor vale: 
 
.73655011 Wslbftcvvaporcavalo 
 
Substituindo 
,rdFdW


 em (4.15), 
obtemos: 
,vF
dt
rd
F
dt
dW
P



 
 
(4.16) 
ou seja, a potência instantânea pode ser 
calculada pelo produto escalar da força 
que realiza o trabalho pela velocidade 
instantânea do corpo. 
4.4 Forças conservativas e não-conservativas 
 Vamos imaginar a seguinte 
situação: você arremessa um caroço de 
tucumã verticalmente para cima. 
Considere agora que a única força que 
atua sobre o caroço, tanto na subida 
como na descida, seja a força 
gravitacional (a força de atrito com o ar 
é desprezível), de modo que podemos 
calcular o trabalho 
gW
, realizado pela 
força gravitacional sobre o caroço 
utilizando a equação (4.3). 
 Na subida, o ângulo entre o vetor 
força gravitacional e o vetor 
deslocamento é 
.180θ o
 Como 
,1180cos o 
 o trabalho na subida fica 
,. mghW subg 
 onde 
mg
 representa o 
módulo do peso do caroço de tucumã, e 
h
 a altura máxima alcançada pelo 
caroço de tucumã. Na descida, os 
vetores força gravitacional e 
deslocamento possuem o mesmo sentido, 
de modo que 
.0θ o
 Neste caso, 
10cos o 
 e o trabalho calculado pela 
equação (4.3) na descida é 
.. mghW descg 
 
 Assim, o trabalho total no 
percurso fechado (neste caso, os pontos 
de partida e de chegada são iguais), de 
subida e de descida, é igual a zero. Do 
teorema trabalho-energia cinética, 
expresso por (4.11), se 
,0W
 então, 
,0 if KKK
 indicando que a 
energia cinética final do caroço de 
tucumã é igual à sua energia cinética 
inicial, variando apenas o sentido de 
movimento. Interpretando a energia 
cinética de um corpo como a capacidade 
que ele possui de realizar trabalho em 
virtude de seu movimento, está claro 
que ao fim do percurso de subida e 
descida, a capacidade do caroço de 
tucumã em realizar trabalho 
permaneceu a mesma, pois ele retornou 
à sua mão com a mesma energia cinética 
que possuía ao ser lançado. Nesta 
situação, a força gravitacional é uma 
força conservativa. 
 Se a partícula, sob a ação de uma 
ou mais forças, retorna à sua posição 
inicial com energia cinética maior ou 
menor que a original, isso significa que, 
em um percurso fechado, sua 
capacidade de realizar trabalho foi 
modificada. Neste caso, a capacidade de 
realizar trabalho não foi conservada e, 
pelo menos, uma das forças atuantes é 
não conservativa. Diz-se que essa força, 
e quaisquer outras que atuam do mesmo 
modo, são dissipativas. Um exemplo de 
força dissipativa é a força de atrito que 
atua sempre no sentido de diminuir a 
energia cinética da partícula. 
 Há ainda uma definição 
 6 
equivalente para forças conservativas e 
não conservativas. Uma força é 
conservativa se o trabalho realizado por 
ela sobre uma partícula que se move 
entre dois pontos depende destes pontos 
e não da trajetória percorrida. Uma 
força é não conservativa se o trabalho 
realizado por ela atua sobre uma 
partícula que se desloca entre dois 
pontos depende da trajetória seguida 
entre os pontos. 
 
4.5 Energia potencial e a conservação da energia mecânica 
 Voltando ao exemplo do 
lançamento vertical do caroço de 
tucumã. Vamos agora focalizar a atenção 
não sobre o caroço, mas no sistema 
constituído pelo caroço e o planeta 
Terra. Assim, em lugar de dizer que o 
caroço de tucumã se move, é mais 
adequado dizer que a configuração do 
sistema está variando. Durante a 
subida, a energia cinética do caroço 
diminui, anulando-se no ponto mais alto, 
para na descida voltar a aumentar. Se o 
atrito com o ar é desprezível, a energia 
cinética do sistema, quando retorna à 
sua configuração na partida, retorna ao 
seu valor inicial. 
 Nessas circunstâncias, onde a 
única força que realiza trabalho é 
conservativa, é razoável introduzir o 
conceito de energia de configuração ou 
energia potencial 
.U
 No caso da força 
gravitacional, a energia potencial 
gravitacional é dada por: 
,mgyU g 
 
 
(4.17) 
onde 
yrepresenta a altura do corpo 
(peso 
mg
) em relação ao nível de 
referência adotado. 
 No caso do lançamento do caroço 
de tucumã, a energia cinética diminui 
durante a subida. No ponto mais alto da 
subida, toda energia cinética que o 
caroço tinha ao ser lançado se 
transformou em energia potencial. Por 
outro lado, de acordo com (4.17), a 
energia potencial gravitacional aumenta 
na subida, voltando a diminuir durante a 
descida. Portanto, podemos afirmar que 
a energia potencial e a energia cinética 
são intercambiáveis, de modo que: 
,KU 
 
 
(4.18) 
onde 
U
 e 
K
 são as variações das 
energias potencial e cinética, 
respectivamente. 
 No caso do lançamento do caroço 
de tucumã, a energia cinética diminui 
durante a subida. No ponto mais alto da 
subida, toda energia cinética que o 
caroço tinha ao ser lançado se 
transformou em energia potencial. 
 A equação (4.18) nos diz que, se a 
energia cinética 
K
 do sistema variar de 
,K
 quando variar a sua configuração, 
então a energia potencial 
U
 do sistema 
deve variar de um valor igual e oposto, 
de forma que a soma das duas variações 
seja nula: 
.0 UK
 
 
(4.19) 
 A soma da energia cinética e da 
energia potencial de um sistema é 
chamada de energia mecânica total: 
.UKE 
 
 
(4.20) 
Assim, podemos escrever para a variação 
da energia mecânica total: 
.UKE 
 
 
(4.21) 
 Substituindo (4.18) em (4.21) 
teremos: 
.0E
 
 
(4.22) 
 Como 
,0 if EEE
 então 
,if EE 
 ou seja, se o trabalho total 
realizado por todas as forças externas 
for nulo, 
.constante UKE
 
 
(4.23) 
 O resultado expresso por (4.22) e 
 7 
(4.23) corresponde à lei de conservação 
da energia. Tal resultado nos mostra 
que, em um sistema onde atuam 
somente forças conservativas e onde as 
forças de atrito podem ser desprezadas, 
a soma da energia cinética e da energia 
potencial é conservada. 
4.6 Discussão qualitativa do movimento unidimensional sob a ação de forças 
conservativas
 Seja uma partícula de massa 
m
 que 
se move em uma dimensão, sob a ação 
de uma força conservativa 
 xF
 
associada à energia potencial 
 .xU
 A 
partir do gráfico de 
 xU
 é possível dar 
uma discussão qualitativa bastante 
detalhada dos aspectos mais importantes 
do movimento qualquer que seja a forma 
de 
 xU
 (mesmo nos casos onde seria 
difícil obter soluções explícitas). No caso 
unidimensional, 
  ,
dx
dU
xF 
 
 
(4.24) 
de modo que o gráfico da força se obtém 
do gráfico de 
 xU
 por derivação, o que 
leva a relações semelhantes às obtidas 
no caso dos gráficos de posição, 
velocidade e aceleração como funções 
do tempo. 
 A Figura 4.4 ilustra as correlações 
existentes entre os gráficos de energia 
potencial e da força. 
 
 
 
Figura 4.4 – Energia potencial e força. 
 De (4.24) a força é positiva 
(dirigida para a direita) nas regiões em 
que 
 xU
 tem declividade (coeficiente 
angular da tangente à curva) negativa 
entre 
1x
 e 
3x
 e entre 
5x
 e 
,7x
 e é 
negativa onde 
 xU
 é crescente (entre 
3x
 e 
5x
), ou seja, a força aponta para a 
direção em que a energia potencial 
decresce. A magnitude da força é maior 
em 
1x
 do que em 
,2x
 ou seja, a 
magnitude da força é maior nos pontos 
em que á mais abrupta a variação da 
energia potencial (
U
 é maior para o 
mesmo 
x
). 
 8 
 Pontos onde 
  0xF
 chamam-se 
pontos de equilíbrio, e podem ser de 
vários tipos. Nesses pontos, o gráfico de 
 xU
 tem tangente horizontal. Em 
,3x
 
 xU
 passa por um mínimo. Como varia 
 xF
 na vizinhança de 
?3x
 Deslocando a 
partícula um pouco para a esquerda 
desde 
,3x
 a força resultante (por 
exemplo, no ponto A do gráfico da 
Figura 4.4) é positiva, ou seja, tende a 
fazer a partícula voltar para 
.3x
O mesmo 
se aplica a um deslocamento um pouco 
para a direita de 
,3x
 quando a força é 
negativa (ponto B). Diz-se, então, que 
3x
 
é uma posição de equilíbrio estável. 
 No ponto 
,5x
 
 xU
 passa por um 
máximo. Afastando a partícula um pouco 
para a direita ou esquerda de 
,5x
 as 
forças resultantes (pontos C e D) tendem 
a afastar a partícula ainda mais de 
.5x
 
Diz-se que 
5x
 é uma posição de 
equilíbrio instável: qualquer desvio 
dessa posição, por menor que seja, faz 
com que a partícula a abandone. 
 No ponto 
,8x
 
 xU
 é constante e 
  0xF
 na vizinhança de 
.8x
 
Deslocando a partícula em torno de 
8x
 
nessa vizinhança ela permanece na nova 
posição: não aparecem forças 
restauradoras, nem forças que tendem a 
afastá-la ainda mais. Diz-se que 
8x
 é 
uma posição de equilíbrio indiferente. 
 Nota-se do gráfico de 
 xF
 na 
vizinhança de uma posição de equilíbrio 
estável, como 
,3x
 é aproximadamente 
linear no deslocamento da posição de 
equilíbrio, ou seja, a força restauradora 
que entra em jogo obedece 
aproximadamente à lei de Hooke. Logo, 
a lei de Hooke representa 
aproximadamente a lei de forças na 
vizinhança de qualquer posição de 
equilíbrio estável, o que é uma das 
principais razões de sua importância. 
 A magnitude da força é máxima nos 
pontos de inflexão, como 
4x
 ou 
6x
 do 
gráfico de 
.U
 
 
4.7 Forças não conservativas 
 Até agora se considerou apenas a 
ação de forças conservativas sobre uma 
partícula. Partindo do teorema do 
trabalho e energia, tem-se que: 
....21 KWWW n 
 
 Se apenas uma força, digamos 
,1F
 
estiver atuando e se ela for 
conservativa, então o trabalho por ela 
realizado sobre uma partícula é igual ao 
decréscimo da energia potencial do 
sistema, ou seja, 
.11 UW 
 
 
(4.25) 
 Combinando com (4.12), obtém-se: 
.01  UK
 
 Se várias forças conservativas 
estiverem agindo, tais como a da 
gravidade, a força elástica de uma mola, 
uma força eletrostática, pode-se 
facilmente generalizar estas duas 
equações: 
  UWc
 
 
(4.26a) 
 
e 
  ,0UK
 
 
(4.26b) 
em que 
cW
 é a soma dos trabalhos 
realizados pelas várias forças 
(conservativas) e os 
U
 são as variações 
de energia potencial do sistema 
associadas com tais forças. A quantidade 
do primeiro membro de (4.26b) é 
simplesmente 
,E
 a variação de energia 
mecânica total, para o caso de várias 
 9 
forças conservativas estarem atuando 
sobre a partícula. Portanto: 
.0E
 (forças conservativas) 
 
(4.27) 
indicando que, ao mudar a configuração 
do sistema, sua energia mecânica total 
permanece constante. 
 Se, além das forças conservativas, 
está agindo sobre a partícula uma única 
forças não conservativa, como por 
exemplo, a força de atrito, (4.12) pode, 
então, ser escrita como: 
,KWW ca 
 
 
(4.28) 
sendo 
aW
 o trabalho realizado pela força 
de atrito. Pode-se reescrever esta 
equação como: 
  ,aWUK
 
 
(4.29) 
que mostra não ser constante a energia 
mecânica total, quando atua uma força 
de atrito, variando de um valor igual ao 
trabalho feito pela força de atrito. 
 O resultado expresso por (4.29) 
pode tomar a forma: 
.0 aWEEE 
 
 
(4.30) 
Como 
,aW
 o trabalho da força de atrito 
sobre a partícula, é sempre negativo, 
segue-se desta equação que a energia 
mecânica final 
)( UKE 
 é menor 
que a inicial 
).( 000 UKE 
 
 O atrito é um exemplo de força 
dissipativa, que realiza trabalho negativo 
sobre um corpo e tende a diminuir a 
energia mecânica total do sistema. Se 
tivesseatuado outra força não 
conservativa, então 
a
 nas equações 
anteriores seria substituído por um 
termo 
,ncW
 que evidenciaria de novo não 
ser constante a energia mecânica total 
do sistema, variando de um valor igual 
ao trabalho realizado pelas forças não 
conservativas. Portanto, só pode haver 
conservação da energia mecânica quando 
não houver forças não conservativas, ou 
quando é possível desprezar o trabalho 
realizado por elas. 
 Que aconteceu à energia mecânica 
“perdida” no caso do atrito? Ela se 
transforma em energia interna, 
,intU
 
resultando num aumento de 
temperatura. A energia interna gerada é 
exatamente igual à energia mecânica 
dissipada. 
 Assim como o trabalho realizado 
por uma força conservativa sobre um 
objeto tem sinal oposto ao da energia 
potencial, também o trabalho realizado 
pela força de atrito sobre o objeto tem 
sinal oposto ao da energia interna 
adquirida. Em outros termos, a energia 
interna produzida é igual ao trabalho 
realizado pelo objeto. Pode-se, 
portanto, substituir 
aW
 em (4.30) por 
,intU
 sendo 
intU
 a energia interna 
produzida, ou seja, 
.0int  UE
 
 
(4.31) 
 O resultado expresso por (4.31) 
assegura que não há variação na soma 
das energias mecânica e interna do 
sistema, quando nele atuam, apenas, 
forças conservativas e de atrito. 
Escrevendo tal equação como 
,int EU 
 
vê-se que a perda de energia mecânica é 
igual à energia interna ganha. 
 
 
 10 
Exercício 4.1 
Suponha que, na situação indicada na Figura 4.2, a intensidade da força constante 
que atua sobre o corpo vale 
,0,4 N
 o ângulo com a horizontal seja de 
o30θ 
 e a massa 
do corpo igual a 
.0,2 kg
 Suponha, ainda, que o corpo está se movendo com uma 
velocidade constante de 
scm50
 sobre uma superfície plana com atrito. (a) Calcule a 
força normal exercida pela superfície sobre o corpo e o coeficiente de atrito. (b) Qual a 
potência da força aplicada? (c) Qual o trabalho da força de atrito no intervalo de 
?0,3 s
 
Resposta: (a) 
;197,0C
 
.6,17 NN 
 (b) 
.73,1 WP 
 (c) 
.20,5 JWAtrito 
 
 
Exercício 4.2 
Um tronco flutuando desce um rio empurrado pela correnteza. A força da 
correnteza é dada pela expressão 
    ,ˆ150ˆ200 jNiNF 
 e o vetor deslocamento do 
tronco devido a correnteza é 
    .ˆ300ˆ400 jmimr 
 Qual o trabalho realizado pela força 
da correnteza sobre o tronco nesse deslocamento? 
Resposta: 
.125kJW 
 
 
Exercício 4.3 
Suponha que um carro “popular” tenha massa de 
kg1000
 e que está viajando à 
velocidade constante de 
hkm90
 numa estrada plana. Os freios são aplicados por um 
tempo suficiente para reduzir a energia cinética do carro de 
.50kJ
 (a) Qual a velocidade 
final do carro? (b) Qual a redução adicional de energia necessária para fazê-lo parar? 
Resposta: (a) 
.4,829,22 hkmsmv 
 (b) 
.262kJK 
 
 
Exercício 4.4 
Uma partícula de 
kg0,3
 está se movendo ao longo do eixo 
x
 com velocidade de 
sm0,2
 quando passa pela posição 
.0x
 Ela está sujeita a uma força F que varia com 
a posição conforme mostrado na figura a seguir. (a) Qual é a energia cinética da 
partícula quando ela passa na posição 
?0x
 (b) Qual o trabalho realizado pela força 
quando a partícula se move de 
0x
 até 
?0,4 mx 
 (c) Qual é a velocidade da partícula 
quando ela passa por 
?0,4 mx 
 
 
Resposta: (a) 
.0,60 JK 
 (b) 
.12JW 
 (c) 
.5,3 smv 
 
 11 
Exercício 4.5 
No exemplo do lançamento vertical do caroço de tucumã, o trabalho total da 
força gravitacional é nulo. Com base no teorema trabalho-energia cinética qual será a 
velocidade com a qual o caroço de tucumã retorna para sua mão. 
 
Exercício 4.6 
Um adulto de 
kg80
 e uma criança de 
kg50
 pedalam lado a lado, em bicicletas 
idênticas, mantendo sempre velocidade uniforme (MRU). Ambos sobem uma rampa e 
atingem um patamar plano ao mesmo tempo. Qual deles desenvolve maior potência para 
subir a rampa? 
 
Exercício 4.7 
Considere que dois motores de popa de um mesmo fabricante, um de 
hp15
 e 
outro de 
,40hp
 foram instalados em duas voadeiras de alumínio idênticas. Se as duas 
voadeiras partem simultaneamente de uma margem do rio, qual das duas irá chegar 
primeiro na outra margem? 
 
Exercício 4.8 
Um bloco de 
kg0,1
 choca-se com uma mola horizontal de massa desprezível e 
constante elástica 
.100 mN
 O bloco comprime a mola 
cm40
 a partir da posição inicial. 
Considerando que o coeficiente de atrito cinético entre o bloco e a superfície horizontal 
é 
,25,0
 qual era a velocidade do bloco no instante do choque? 
Resposta: 
.3,1524,40 hkmsmv 
 
 
Exercício 4.9 
Um bloco de massa 
m
 cai sobre o topo de uma mola vertical de constante elástica 
.k
 Se o bloco é abandonado a partir de uma altura 
h
 acima do topo da mola, (a) qual é 
a energia cinética máxima do bloco? (b) Qual é a compressão máxima da mola? (c) Qual 
será a compressão da mola se a energia cinética do bloco for a metade da calculada no 
item (a)? 
Resposta: (a) 
.
2
22
k
gm
mghKmáx 
 (b) 
.
2
2
22
k
mgh
k
gm
k
mg
xmáx 
 
 (c) 
.
42
2
22
k
mgh
k
gm
k
mg
x 
 
 
Exercício 4.10 
Uma caixa de 
kg0,2
 escorrega por um plano inclinado, cobrindo a distância de 
.10m
 A inclinação do plano é 30o e o coeficiente de atrito 
.30,0
 (a) Mostre todas as 
forças que atuam sobre a caixa e calcule o trabalho de cada uma delas. (b) Calcule a 
energia cinética da caixa no final do plano, admitindo que ela tenha a velocidade 
smv /2
 no topo. 
Resposta: (a) 
;98JWPeso 
 
;0NormalW
 
.9,50 JWAtrito 
 (b) 
.1,51 JK f 