constante do tempo em circuito rc

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Objetivo
Este experimento tem como objetivo determinar a constante de tempo de um circuito capacitivo (tendo como referência o tempo de carga e descarga do mesmo), como também determinar a resistência interna de um voltímetro e a capacitância de um circuito através da constante de tempo.
Introdução
Antes de apresentarmos os dados que cumprem os objetivos almejados, faz-se necessário fazer uma apresentação conceitual dos elementos a serem estudados e uma descrição do experimento em si.
Capacitor / circuito RC em série
O capacitor é um sistema formado por duas placas paralelas de área A, de material condutor, separadas por uma distância d. Essas placas quando ligadas a uma fonte de tensão possuem certa carga Q. Disso tem que a capacitância do capacitor é definida pela relação entre a carga(Q) e a ddp (V) nos terminais pela equação: C=Q/V (eq.01), onde C é dado em Faraday (F), Q em Coulomb (C) e V em Volt (V). Ao ligarmos um circuito com apenas uma resistência R, a tensão se eleva instantaneamente ao seu valor máximo, mas ao inserir um capacitor neste circuito, a tensão no capacitor demora certo tempo para assumir o seu valor máximo V0. 
Denominam-se circuitos RC os constituídos por um capacitor em série com uma resistência. Nestes circuitos, a corrente não é estacionária, sendo variável com o tempo.
Carga do capacitor
Sendo VR a tensao no resistor e VC a tensao no capacitor, temos que:
VR = R.I e VC = Q/C
V0 = VR + VC = R.I + Q/C (1)
Como a carga Q do capacitor nao se estabelece de forma instantanea, entao temos que:
I = Dq/dt (2)
Substituindo a equacao (2) na equacao (1), temos que:
V0 = R.dQ/dt + Q/C
Solucionando esta equacao diferencial, temos:
Q = C.V0.(1 – e-t/RC) = C.V0.(1 –e-1/RC). (3)
Mais a frente esse resultado sera demonstrado.
Para t = RC = τ, temos que:
Q = C.V0.(1 –e-1/RC). ≈ 63%C.V0 = 63%Q0,
sendo que Q0 e a carga máxima do capacitor.
A grandeza RC = τ tem dimensão de tempo e e chamada de constante de tempo capacitiva. Ela representa o tempo necessario para que a carga ou a tensão atinjam, no capacitor, um valor igual a aproximadamente 63% do seu valor máximo.
O comportamento da tensão no capacitor VC e obtido a partir do comportamento de Q, dado que C = Q/V, então:
VC = Q/C = V0.(1 –e-1/RC). (4)
Descarga do capacitor
Supondo que agora tenhamos deixado o capacitor completamente carregado ser descarregado pela resistência R. Assim temos que:
VR + VC = 0.
Conforme visto nas equações de carga:
R.I + Q/C = 0
R.dQ/dt + Q = 0
dQ/Q = -dt/RC (5)
Solucionando a equacao diferencial:
Q = Q0.e-t/RC, (6)
sendo que Q0 e a carga inicial ou maxima no capacitor.
Este resultado sera demonstrado mais a frente.
Derivando a equacao (6) em relacao ao tempo t, temos a corrente I:
I = dQ/dt = (-Q0.e-t/RC)/ RC
R.I = (-Q0.e-t/RC)/C
Se VR + VC = 0, entao temos pela lei de Ohm (VR = R.I) e pela equacao da capacitância (VC = Q0/C) que:
VC = V0.e-t/RC (7)
A equacao (7) e a equacao de descarga do capacitor que relaciona a tensao em funcao do tempo.
Teoria da medida
O voltimetro utilizado nao e ideal e sua resistencia RV nao e infinita, apesar de ser grande.
Dessa forma temos que:
 
Descarregando o capacitor sobre o resistor R conhecido e sobre a resistencia do voltímetro associadas em paralelo, temos a seguinte constante de tempo:
t3 = (R.RV.C)/ R+RV = RTh.C.
Para o capacitor se carregando, temos a seguinte constante de tempo:
t1 = (R.RV.C)/ R+RV = RTh.C.
*Observacao: essas igualdades nas duas equacoes das constantes de tempo apresentadas acima so sao possiveis quando consideramos apenas o tempo de descarga ate 37% do valor máximo da tensao e o tempo de carga ate 63% do valor maximo da tensao, condicao para a qual t = RC, conforme visto na introducao.
Finalmente, para o capacitor se descarregando sobre a resistencia do voltimetro RV, temos a seguinte constante de tempo:
t2 = RV.C.
Procedimentos experimentais
	Medidas
	T1(segundos)
	T2(segundos)
	T3(segundos)
	Capacitância(F)
	1
	20,80
	407,00
	19,00
	
	2
	19,22
	400
	19,28
	
	3
	18,10
	390
	17,17
	
	Média
	
	
	
	
Tabela 1: Tempo (s) e capacitância (F).
Materiais utilizados
- fonte de tensão
- medidor multi-escala usado como voltímetro
- medidor multi-escala usado como amperímetro 
- reostato 52
- década de resistores com resistência fixada
- chave liga – desliga
- fios
Referência para Medições realizadas
Década de resistores com resistência fixada: R = 10000 Ω. O desvio fornecido pelo fabricante e de 5%, logo ΔR = 5000Ω.
A resistencia RV do voltimetro fornecida pelo fabricante para o fundo de escala de 10V utilizado e de 200 kΩ.
O desvio avaliado do voltimetro e ΔV = ±0,1 V.
A tensao adotada na fonte foi V0 = 10,0 V, e esta tensao foi comprovada medindo-se com o voltimetro a tensao entre os pontos 1 e D [V1D = (9,5 ± 0,1) V].
Entre os pontos E e D, a tensao maxima VED obtida foi de (9,25 ± 0,1) V.
O desvio avaliado do cronometro e Δt = ±0,07 s.
Com esses dados em maos, foi possivel fazer os seguintes calculos:
-Cálculo da resistência interna RV do voltímetro a partir das medidas de tensão entre 1-D e E-D:
V1D = V0 = (9,5 ± 0,1) V
VED = (9,25 ± 0,1) V
A partir da lei das malhas de Kirchhoff (Irwin), podemos desenvolver o seguinte algebrismo:
V1D = V1E + VED
V1E = V1D – VED
V1E = R.I e VED = RV.I
RV = = = = 
Substituindo os valores obtidos:
RV = = 370 kΩ
Pela Teoria do Erros (Roteiro), temos que:
ΔRv= ││.ΔR+││. ΔVED+││. ΔVID
sendo:
RV= 
Dessa forma, temos que:
ΔRv= ││.ΔR+││. ΔVED+││. ΔVID
Substituindo os valores obtidos na formula acima, fica:
ΔRv=189000
Rv=(370±189) kΩ
Embora o desvio encontrado seja muito grande, o valor obtido para a resistencia do voltimetro esta apenas 5% mais alto do que o fornecido pelo fabricante.
-Cálculo da resistência interna RV do voltímetro a partir do valor das constantes de tempo t2 e t3:
A media das constantes de tempo obtidas foram:
t1 = 20,80 s
t2 = 407,00 s
t3 = 19,00 s
Se temos que:
t2=RV .C e t3=(R.RV /RRV)C ,
= 
RV= R(
Pela Teoria dos Erros (Roteiro), temos que:
ΔRv= ││.ΔR+││. ΔT2+││. ΔT3
ΔRv= ││.ΔR+││. ΔT2+││. ΔT3
Substituindo os valores obtidos nas formulas acima, temos:
RV= 204 kΩ
ΔRv =10 kΩ
Rv=(204±10) k Ω
Neste segundo metodo, o nivel de confianca na obtencao de RV foi melhor do que no primeiro metodo, com um desvio bastante satisfatorio dada a dimensao da medida. Um dos fatores que contribui para o desvio mais baixo no segundo metodo, e o fato de usarmos o cronometro que tem baixo desvio avaliado em relacao ao voltimetro usado no primeiro metodo. O resultado obtido para RV tambem apresentou boa consistencia com o que era previsto, estando apenas 3,5% acima do valor fornecido pelo fabricante.
-Tempos de carga e descarga
Na parte teorica, foi possivel concluir que o tempo de carga do capacitor t1 deve ser igual t3
porque em ambos os casos esta sendo usada a mesma resistencia equivalente:
t1=t3=RTh .C .
Calculando-se o tempo medio entre os valores levantados para t1 e t3, obteve-se:
t1 = 20,80 s e t3 = 19,00 s.
Para esses valores, t3 e 9,47% menor que o valor de t1. Embora seja uma diferença significativa, ainda assim esses valores permitem concluir que ha correspondencia entre t1 e t3.
-Cálculo da capacitância C
-Método gráfico:
Para a outra etapa do experimento, carregou-se o capacitor na posição 1 até que a tensão obtida estabilizasse na tensão máxima observada anteriormente (9,25 V). Em seguida, colocou-se a chave na posição 2, de maneira que o capacitor descarregasse apenas sobre a resistência interna do voltímetro. Para as medidas realizadas, tomou-se um intervalo de tensão entre uma medida e outra de 0,50 V, de modo que as constantes de tempo t1 e t3 fossem abrangidas, e fossem obtidos valores de tempo que tivessem uma distância considerável de um para o outro, de modo a facilitar a construção do gráfico V x t. A tabela foi construída utilizando os dados medidos:
	T2(segundos)
	V (±0,1V)
	LogV0
	9,25
	0,966
	7,23
	8,75
	0,942
	13,19
	8,25
	0,916
	51,64
	7,75
	0,889
	82,99
	7,25
	0,860
	105,09
	6,75
	0,829
	144,81
	6,25
	0,796
	169,38
	5,75
	0,760
	215,89
	5,25
	0,720
	256,67
	4,75
	0,677
	317,41
	4,25
	0,628
	364,02
	3,75
	0,574
Tabela 2: Tempo de descarga(s) por tensão(V).
Da tabela, obteve-se os seguintes gráficos:
Gráfico 1: tempo de descarga(s) por tensão(V).
Gráfico 2: tempo de descarga(s) por logaritmo da tensão(V).
Observa-se que para o gráfico obtido de t(s) x V, a tensão em Volt têm uma tendência a aproximar-se de zero, de maneira exponencial. Esta observação está de acordo com a teoria, confirmando a equação Vc = Vo.. É importante frisar que teoricamente a tensão nunca chegará a zero.
Cálculo de C:
A partir do gráfico de t x V linearizado por logaritmo, é possível calcular o valor de C, a partir da equação dada:
Vc = Vo.
logVc = logVo – 	
A partir dos dados obtidos, pode-se calcular , que será o índice a, e a partir dele pode-se calcular o valor de C, já que:
a = = - = 
onde:
R: resistência utilizada no circuito, equivalente a 10000 Ω.
Têm-se:
C = F
E = 
E= X100% = %
Observa-se que neste segundo método obteve-se um valor superior aos obtidos levando em consideração as constantes de tempo separadamente, caso se faça o cálculo utilizando apenas t1, t2 ou t3, relativos aos erros experimentais, que acabam por causar estes tipos de erro.
Cálculo de Rv:
Para realizar o cálculo da resistência interna, têm-se:
Vth = (2)
Onde:
R: resistência utilizada no circuito, equivalente a 10000 Ω.
Vo: Tensão da fonte(10 V).
Vth: Tensão entre os terminais E e D (9,1 V).
Obtém-se:
9,25 V = 
Rv = 123333,33 Ω
Observa-se um erro em relação ao valor experimental:
E = 
E= X100% = %
Cálculo de Rv a partir das constantes de tempo:
A partir da constante t1 têm-se:
T1 = (3)
T3 = (4)
T2 = Rv.C(5)
Como T1 = T3 como observa-se pelas equações (3) e (4), apesar de por conta dos erros associados ao experimento os valores terem dado distintos, têm-se de (3) e (5):
Rv = 
Onde:
T2: Constante de tempo referente a descarga do capacitor sobre a resistência interna Rv, com média equivalente a segundos.
T1: Constante de tempo referente a descarga do capacitor sobre a resistência da década, com média equivalente a segundos.
Têm-se:
Rv = 
Rv = 209972,35Ω = 209KΩ
O erro associado a este cálculo é:
E = 
E= X100% = %
Observa-se que dentre os dois cálculos de Rv, o realizado através das constantes de tempos foi mais preciso, apesar do erro considerável. Este erro é fruto das medidas experimentais realizadas de maneira não meticulosa, suscetíveis a erros, e por conta dos erros associados aos equipamentos utilizados no experimento.
A constante de tempo RC:
Observa-se que RC tem dimensão de tempo, através da análise dimensional:
[R]. [C] = [V]. [I]-1.[C]
[R]. [C] = [V]. [I]-1. [Q]. [V]-1
[R]. [C] = [t]. [Q]-1. [Q]
[R]. [C] = [t]
- Mostre por substituição direta que a equação 8 é solução da equação 7, como também a 15 é solução da 14.
É possível observar que as equações 8 e 15 são as resoluções das equações diferenciais 7 e 14:
Vo = R. + (7)
 (14)
Por exemplo, da equação 14, tem-se:
lnQ – lnQ0 = - 
Q = Q0. (15)
Da equação 7 tem-se:
Integrando-se ambos os lados, têm-se:
Como K = constante de integração, da condição de contorno t= 0, q = 0 (o capacitor em encontra-se descarregado), tem se:
E assim obtêm-se a equação (8):
Conclusão
Por meio do experimento, conseguimos concluir o nosso objetivo, que ao determinar a constante de tempo de um circuito capacitivo (tendo como referência o tempo de carga e descarga do mesmo), foi possível realizar a medida da tensão máxima possível entre pontos. A medida da constante de tempo de descarga t3 = 11s, foi o tempo necessário para a tensão cair até 37% do seu valor máximo. Observamos que ao deixar o capacitor descarregando até um tempo maior que 5t3, encontramos o tempo necessário para que a tensão chegasse a 63% do seu valor máximo. O t1 obtido foi de segundos, valor bem próximo do tempo obtido para descarregar o capacitor até 37% da sua capacidade (t3).Para a outra etapa do experimento, carregou-se o capacitor na posição 1 até que a tensão obtida estabilizasse na tensão máxima observada anteriormente (9,25V). Notamos que a tensão em Volt têm uma tendência a aproximar-se de zero, mas teoricamente a tensão nunca chegará a zero. A resistência interna encontrada no experimento foi de Rv = 123333,33 Ω com erro de % e a Rv a partir das constantes de tempo encontramos KΩ com erro de % nos dando mais precisão.