Aula 17 Profa Ducati_Integrais

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Aula 17 : Integrais - 1
BC-0201 Funções de Uma Variável (F.U.V.)
Aula 17 – 25/04/2008
Professora: Gisele Cristina Ducati ducati@ufabc.edu.br
Home: http://gducati.googlepages.com
http://fuv1tri2008.googlepages.com
Integração por Partes
[ f g ] ' = f ' g  f g '
f = f x  , g = g x .
∫ [ f g ]' dx =∫ f ' g dx ∫ f g ' dx
f g = ∫ f ' g dx ∫ f g ' dx
∫ f g ' dx = f g −∫ f ' g dx
u = f x  ⇒ du
dx
= f ' ⇒ du = f ' dx
v = g x  ⇒ dv
dx
= g ' ⇒ dv = g ' dx
∫u dv = uv −∫ vdu
1. ∫e xcos x dx
dv = cos x dx ⇒ v =∫ cos x dx = sen x , u = e x ⇒ du = e x dx .
∫e xcos x dx = ex sen x −∫e x sen x dx
dv = sen x dx ⇒ v = ∫ sen x dx = − cos x , u = e x ⇒ du = e xdx .
∫e xcos x dx = ex sen x − [− e xcos x−∫ ex − cos x dx ]
∫e xcos x dx = ex  sen x cos x −∫ ex cos x dx
∫e xcos x dx∫ ex cos x dx = ex  sen x cos x 
∫e xcos x dx = e
x
2
 sen x cos x  c
Aula 17 : Integrais - 2
2. ∫ dx
1  x2
x = tg ⇒ dx = sec2
∫ sec
2d 
1tg 2
1 tg 2 = sec2
∫ sec
2 d 
1 tg 2
=∫ sec
2d 
sec 2
=∫ d  =  c
x = tg ⇒ arctg x = 
∫ dx
1 x2
= arctg x c
3. ∫ dx
1− x2
x = sen ⇒ dx = cos
∫ dx
1− x2
=∫ cosd 
1− sen2
1− sen2 = cos2
∫ cos d 
1− sen2
= ∫ cos d 
cos2
=∫ d cos 
1
cos
= sec  ⇒ sec  ' = sec  tg  , tg  ' = sec2
∫ sec d  =∫ sec d   sec tg sec tg =∫
sec  sec tgd 
 sec  tg 
∫  sec
2 sec tgd 
sec  tg
u = sec tg ⇒ du = sec  tg  sec2
∫  sec
2 sec tg d 
sec  tg
=∫ duu = ln u c = ln  sec tg  c
Aula 17 : Integrais - 3
x = sen ⇒ sec = 1
cos 
= 1
1− x2
⇒ tg  = sen 
cos
= x
1− x2
∫ dx
1− x2
= ln  sec  tg  c = ln 11− x2  x1− x2  c
Não há a necessidade de escrever ln∣ 11− x2  x1− x2∣ , pois  11− x2  x1− x2 0 para
x ∈ −1 ,1 [domínio da função].
4. ∫1 x 2d x
x = tg ⇒ dx = sec2
∫1 x 2d x = ∫1 tg 2 sec2 d 
1 tg 2 = sec2
∫1 tg 2 sec2d  =∫ sec2 sec2d  =∫ sec  sec2d  =∫ sec3d  d 
dv = sec2d  ⇒ v =∫ sec 2 d  = tg  , u = sec ⇒ du = sec tg dx .
∫ sec3d d  = tg  sec−∫ tg  sec  tg d  = tg sec−∫ sec tg 2d 
1 tg 2 = sec2 ⇒ tg 2 = sec2−1
∫ sec3d  = tg  sec −∫ sec  tg 2d  = tg  sec −∫ sec  sec2− 1d 
∫ sec3d  = tg  sec−∫ sec3d ∫ secd 
∫ sec3d ∫ sec3 d  = tg sec∫ secd 
* ∫ secd  = ln∣sec  tg∣ c , ver exercício anterior.
2∫ sec3 d  = tg  sec ∫ secd  = tg  sec  ln∣sec tg ∣ c
∫ sec3d  = 12 tg  sec  ln∣sec  tg ∣ k
x = tg ⇒  x21 = sec 
∫1 x 2d x = 12  x 1 x
2 ln∣1 x2  x∣ k
Aula 17 : Integrais - 4
Frações Parciais
Sejam  , ,m e n constantes,  ≠  . Então, existem constantes A e B tais que
(a)
m x n
x −x − 
= A
x −
 B
x − 
(b)
m x n
x −2
= A
x −
 B
 x−2
Quando o grau do numerador é maior ou iqual ao do denominador, temos que recorrer a divisão de 
polinômios.
Exemplo:
(1) ∫  x
2 2dx
x2 −3 x  2
x2  0 x 2 │ x2 −3 x 2
−x2 3 x − 2 1
3 x
x2  2 = 1x2 −3 x  2 3 x
∫  x
2 2dx
x2 −3 x  2
= ∫ [ x
2− 3 x 2 3 x ]dx
x2 −3 x  2
=∫ x
2 −3 x  2dx
x2 −3 x 2
∫ 3 x dx
x2− 3 x 2
∫ dx∫ 3 x dx
x2 − 3 x 2
3 x
x2− 3 x 2
= 3 x
 x−1x − 2
= A
x −1
 B
x− 2
=
Ax− 2  B x− 1
x −1x− 2
Ax − 2 Bx − 1
 x− 1x − 2
=
 A B x− 2 A− B
x −1x −2
A B = 3
−2 A− B = 0 ⇒
A = − 3
B = 6
3 x
x2− 3 x 2
= −3
 x−1
 6
x −2
∫  x
2 2dx
x2 −3 x  2
= ∫ dx∫ 3 x dx
x 2− 3 x 2
=∫ dx −∫ 3dxx −1 ∫
6 dx
x− 2
∫  x
2 2dx
x2 −3 x  2
= x− 3 ln∣x− 1∣6 ln∣x− 2∣ c
Aula 17 : Integrais - 5
(2) ∫ dx
x2 − 2 x 2
∫ dx
x2 − 2 x 2
=∫ dx
x2− 2 x 11
=∫ dx
x −12 1
x −1 = u ⇒ dx = du
* ∫ dx
 x− 12 1
=∫ du
u2 1
= arctg u c , ver exercício 2. desta aula.
∫ dx
x2 − 2 x 2
=∫ dx
x −12 1
= arctg x− 1 c
Frações Parciais
Teorema 2:
Sejam  ,  , ,m ,n , p números reais,  ,  e  diferentes entre si. Então existem A , B e
C reais tais que
(a) m x
2 n x p
x −x −x −
=
A
x −

B
x− 

C
x−
(b)
m x2 n x  p
x −x −2
=
A
x −

B
x− 

C
x −2
Exemplos:
(1) ∫  x
2− 1dx
x − 23
x2− 1
x − 23
= A
x− 2
 B
 x− 22
 C
x− 23
= A x− 2
2 B x− 2 C
x − 23
A x2− 4 A B x 4 A− 2 BC
 x − 23
A = 1
− 4 A B = 0
4 A− 2 BC = −1
⇒
A = 1
B = 4
C = 3
∫[ 1x − 2  4x− 22  3x −23 ]dx = ln∣x− 2∣− 4x− 2 − 32x − 22  c
∫  x
2− 1dx
x − 23
= ln∣x − 2∣− 4
x− 2
− 3
2 x− 22
 c
Aula 17 : Integrais - 6
(2) ∫  x− 2dxx x  1x − 1
x − 2
x x 1x −1
= A
x
 B
x1
 C
x −1
=
Ax −1x 1 B x x −1 C x x 1
x  x1x −1
 A BC x2 −2 A− BC x − A
x x 1 x−1
A BC = 0
−2 A− BC = 1
− A = − 2
⇒
A = 2
B = −7 /2
C = 3/2
∫  x− 2dxx x 1x −1 = ∫[ 2x − 72 x1  32x −1 ]dx
∫  x− 2dxx x  1x − 1 = 2 ln x−
7
2
ln∣x1∣ 3
2
ln∣x− 1∣ c
Teorema:
Sejam m ,n , p ,a ,b , c e  , números reais tais que b2 − 4a c0 . Então existem A , B e
C tais que
m x2  n x p
x −a x2 b x c
= A
x −
 B
a x2 b x  c
Exemplo:
∫ 8 x
2  x 1dx
x3− 8
x3 0 x2 0 x− 8 │x 2− 2
− x3− 2 x 2 x2  2 x 4
 2 x2 0 x −8
− 2 x2 4 x
 4 x− 8
− 4 x 8
0 x0
∫ 8 x
2  x 1dx
x3− 8
=∫ 8 x
2  x 1dx
x− 2x2  2 x 4
=∫[ Ax− 2  B x Cx2  2 x 4 ]dx
∫[ Ax − 2  B x Cx2 2 x  4 ]dx =∫[ Ax
2  2 x 4 B x x − 2 C x −2
x −2x 2 2 x  4 ]dx
Aula 17 : Integrais - 7
A B = 8
2 A− 2 BC = 1
4 A− 2C = 1
⇒
A = 35/12
B = 61/12
C = 16/3
 
∫ 35dx12x − 2 ∫
61x 64dx
12 x2 2 x  4
= 35
12
ln∣x − 2∣∫ 61 x 64dx
12x2  2 x 4
 c1
_________________
∫ 61 x 64dx
12x2  2 x 4
=∫ 61 x 613dx
12 x2 2 x 1 3
=∫ [61 x 13] dx
12 [x 12 3]
∫ 61x 1dx
12[x 12 3]
∫ 3 dx
12 [x 12 3]
3u = x1 ⇒ 3du = dx
∫ 61 3udu
12[3u 2  3]
∫ 33du
12[ 3u 2 3]
= 613
12 ∫
udu
3u2 1
 33
12 ∫
du
3 u2 1
613
72
ln u21 3
12
arctg u c2
_________________
∫ 8 x
2  x 1dx
x3− 8
=
35
12 ln∣x− 2∣
3
12 [61 ln[  x123  1]arctg x 13 ] c