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PRIMITIVAS E INTEGRAL DE RIEMANN Primitivas Uma primitiva para uma função f=f(x) é uma outra função F=F(x) cuja derivada coincide com f, isto é, F'(x)=f(x). Pode ser que existam várias primitivas para uma mesma função f. Exemplos: Algumas primitivas para f(x)=x², são: F(x)=x³/3 G(x)=x³/3 + 1 H(x)=x³/3 + k , pois as derivadas destas funções são iguais a f(x)=x². A constante k da última primitiva é tão geral, que na verdade poderia assumir qualquer valor numérico. Assim, uma primitiva geral para f(x)=x², teria a forma: F(x) = x³/3 + C em que o número C é uma constante arbitrária e x em Dom(f). Integral indefinida Definimos a integral indefinida de uma função real f, como uma primitiva de f, isto é: dx = F(x) + k para todo x em Dom(f), sendo que o símbolo de integral é o mesmo já usado antes que teve origem como uma variação da letra grega sigma comumente usada para somas. Exemplo: A integral indefinida funciona como uma espécie de inversa para a derivada. Se f(x)=x², então: dx = + k Algumas regras das integrais indefinidas Como a derivada de f(x)=xn+1/(n+1) é igual a g(x)=xn, segue que: dx = É fundamental que n seja diferente de -1, pois a derivada da função logarítmica f(x)=ln(x) é a função g(x)=1/x, assim: dx = + k Como a derivada da função exponencial f(x) = ex é a própria f(x) = ex, então: ∫ dx = ex + k Propriedades da Integral Indefinida Uma aplicação da integral indefinida Se a taxa de crescimento da população de uma cidade daqui a x anos pode ser considerada como f(x)=117+200x e hoje existem 10.000 pessoas na cidade, qual será o número total de pessoas da cidade daqui a 5 anos? Como: P’(x) = 117 + 200x então: assim, podemos obter o valor de k pois P(0)=10.000. Realmente: 10000 = P(0) = 117×0 + 100×0² + C logo P(x) = 117x + 100x² + 10000 e daqui há 5 anos, a população da cidade será: P(5)=117×5 + 100×5² + 10000 = 13085 Teorema Fundamental do Cálculo 1o. Teorema Fundamental do Cálculo: Seja f uma função integrável num intervalo [a,b] e F uma primitiva de f, então, dx = F(b) - F(a). Uma Aplicação da integral definida Um certo estudo indica que, daqui a x anos, a população de uma cidade crescerá à taxa de 117+200x pessoas por ano. Qual será o aumento populacional da cidade nos próximos 10 anos? Solução: Seja P=P(x) a população daqui a x anos, então: P'(x) = 117 + 200 x Uma primitiva para P'(x) é G(x)=117x+100x², logo o aumento populacional nos próximos 10 anos será dado por P(10) - P(0) = 10 0 (117+200x)dx = G(10) - G(0) = 11170 TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO Integração por substituição Este tipo de integral funciona como a regra da cadeia para integrais de funções. Para obter a integral da forma: substituímos u = u(x) na integral acima e calculamos a integral Exemplos: Para cada integral substituímos a variável indicada. 1. u=x²+3x. dx = =u²/2+k=(x²+3x)²/2+k 2. u=x²+1. dx = ln (x²+1) + k 3. u=x+1. Integração por partes Se f e g são funções diferenciáveis, então, pela regra de diferenciação do produto: dx = dx ou o equivalente a = Exemplo 1 Calcule Solução. Para aplicar a integração por partes, precisamos escrever a integral na forma Uma maneira de fazer isso é colocar para que, Deste modo,a partir de(2) Exemplo 2. Para calcular x. ln(x) dx, tomamos dv = x e u=ln(x). Assim, uma primitiva para dv é a função v=x²/2 e du=1/x e com a fórmula de integração por partes, temos: logo A constante só foi colocada no final para não atrapalhar os cálculos intermediários. LISTA DE INTEGRAIS INDEFINIDAS Funções Racionais Logaritmos Funções Exponenciais Caso particular: Funções Trigonométricas
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