MAT035 Lista 01

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Lista I
MAT035: Estruturas Alge´bricas I
Prof. Leandro G. Gomes
Questa˜o 1 Defina func¸a˜o.
Questa˜o 2 Tome as func¸o˜es f : X → Y e g : Y → Z.
(a) Deˆ um exemplo onde g e´ sobrejetora nas na˜o injetora.
(b) Deˆ um exemplo onde f e´ injetora nas na˜o sobrejetora.
(c) Prove que se f, g sa˜o injetoras enta˜o g ◦ f e´ injetora.
(d) Prove que se f, g sa˜o sobrejetoras enta˜o g ◦ f e´ sobrejetora .
(e) Prove que se g ◦ f e´ injetora enta˜o f e´ injetora.
(f) Prove que se g ◦ f e´ sobrejetora enta˜o g e´ sobrejetora.
(g) Se g ◦ f e´ bijetora enta˜o o que podemos dizer com respeito a f e g ?
(h) Prove que f e´ injetora se, e somente se, existir uma inversa a` esquerda, i.e., F : Y → X com
F ◦ f = 1X .
(i) Prove que g e´ sobrejetora se, e somente se, existir uma inversa a` direita, i.e., G : Z → Y com
G ◦ g = 1Y .
Questa˜o 3 Defina o que e´ uma relac¸a˜o de equivaleˆncia∼ em um conjuntoX. Defina o conjunto quociente
X/ ∼ e a projec¸a˜o canoˆnica Π : X → X/ ∼. Qual a condic¸a˜o sobre uma func¸a˜o f : X → Y para que
f˜ := f ◦Π : X/ ∼→ Y esteja bem definida ?
Questa˜o 4 Dada uma func¸a˜o f : X → Y , mostre que ∼f definida por
a ∼f b ⇐⇒ f(a) = f(b)
define uma relac¸a˜o de equivaleˆncia em X.
Questa˜o 5 Considere a func¸a˜o mo´dulo de um nu´mero complexo f : C → R , f(z) = |z|, e a relac¸a˜o de
equivaleˆncia definida na questa˜o 4.
(a) Encontre e interprete geometricamente cada uma de suas classes de equivaleˆncia.
(b) Mostre que o conjunto quociente C/ ∼f pode ser identificado com a semi-reta R+ = {x ∈ R |x ≥ 0}.
(c) Se g : C→ R , g(z) = z2, g˜ := g ◦Π : C/ ∼f→ R esta´ bem definida ?
(d) Se g : C→ R , g(z) = cos(|z|5 + 3), g˜ := g ◦Π : C/ ∼f→ R esta´ bem definida ?
Questa˜o 6 Considere a relac¸a˜o em R2 definida por
(x1, y1) ∼ (x2, y2) ⇐⇒ x1 − x2 ∈ Z
(a) Mostre que ∼ e´ uma relac¸a˜o de equivaleˆncia.
(b) Encontre e interprete geometricamente cada uma de suas classes de equivaleˆncia.
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(c) Mostre que o conjunto quociente R2/ ∼ pode ser identificado com um cilindro infinito.
(d) Se g : R2 → R , g(x, y) = x, g˜ := g ◦Π : R2/ ∼→ R esta´ bem definida ?
(e) Se g : R2 → R , g(x, y) = y cos(2pi x), g˜ := g ◦Π : R2/ ∼→ R esta´ bem definida ?
Questa˜o 7 Mostre que ∼ e´ uma relac¸a˜o de equivaleˆncia em R2 quando definida por
(x1, y1) ∼ (x2, y2) ⇐⇒ x1 − x2 ∈ Z e y1 − y2 ∈ Z
cujo conjunto quociente R2/ ∼ pode ser identificado com um toro.
Questa˜o 8 Defina grupo.
Questa˜o 9 Seja Sn o grupo das permutac¸o˜es de n letras. Construa as tabelas multiplicativas de S2 e
S3.
Questa˜o 10 Seja R3 munido da oprerac¸a˜o de produto vetorial ”×”. Encontre treˆs vetores v1, v2, v3 para
mostrar que a notac¸a˜o v1 × v2 × v3 na˜o faz sentido. Conclua que (R3,×) na˜o pode ser associativo.
Questa˜o 11 Decida se cada uma das afirmac¸o˜es abaixo e´ verdadeira. Justifique sua afirmac¸a˜o.
(a) (Rn,+) e´ grupo abeliano ;
(b) gl(n), o espac¸o das matrizes n× n munido da oprerac¸a˜o de comutac¸a˜o A×B := AB −BA (AB e´ o
produto matricial ), e´ grupo ;
(c) GL(n), o espac¸o das matrizes invers´ıveis n× n munido da oprerac¸a˜o de produto matricial , e´ grupo
na˜o abeliano se n ≥ 2 ;
(d) Zn := Z/nZ, o conjunto dos inteiros mo´dulo n, e´ um grupo quando munido da oprerac¸a˜o de adic¸a˜o,
qualquer que seja o inteiro n > 0 ;
(e) Dado um natural n > 0, o conjunto Zn − {0¯} com a operac¸a˜o de multiplicac¸a˜o e´ um grupo se, e
somente se, n e´ primo ;
(f) Dado um nu´mero primo p, (Zp,+) e´ subgrupo de (Z,+) ;
(g) Dados dois elementos g1 e g2 de um grupo G, enta˜o existe um u´nico elemento h ∈ G tal que g1 ·h = g2
;
(h) O conjunto formado pelas func¸o˜es fi : V → V , sendo V o conjunto dos racionais diferentes de 0 e 1
com
f1(q) := q f2(q) :=
1
1− q f3(q) :=
q − 1
q
e´ um grupo mediante a operac¸a˜o de composic¸a˜o.
Questa˜o 12 Mostre as seguintes propriedades para elementos de um grupo G:
(a) A identidade e e´ u´nica;
(b) A inversa g−1 de g e´ u´nica;
(c) A expressa˜o g1 · g2 · g3 esta´ bem definida e significa tanto g1 · (g2 · g3) quanto (g1 · g2) · g3 ;
(d) A expressa˜o g1 · g2 · . . . · gn esta´ bem definida ;
(e) (g−1)−1 = g ;
(f) (g1 · g2)−1 = (g2)−1 · (g1)−1 ;
(g) (g1 · . . . · gn)−1 = (gn)−1 · . . . · (g1)−1 ;
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