AULAS DEFLEXÃO

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CURSO DE
ENGENHARIA CIVIL
Campus Buritis
RESISTÊNCIAS DOS MATERIAIS II
Deflexão de Vigas e Eixos
Prof. Fabio Souza/Thiago Querino
EQUAÇÃO DIFERENCIAL DA LINHA ELÁSTICA
Linha elástica é a curva que representa o eixo da viga após a deformação.
Linha Elástica
A deflexão “v” é o deslocamento de qualquer ponto no eixo da viga.
Quando a viga é flexionada, ocorrem em cada ponto ao longo do eixo uma deflexão (v) e uma rotação (θ). 
O ângulo de rotação “θ” é o ângulo entre o eixo “x” e a tangente à curva da linha elástica.
EQUAÇÃO DIFERENCIAL DA LINHA ELÁSTICA
Da figura temos:
EQUAÇÃO DIFERENCIAL DA LINHA ELÁSTICA
Convenções de Sinais:
Eixos: 
Deflexão:
Rotações:
Curvatura: 
x(+)
y(+)
V(+)
EQUAÇÃO DIFERENCIAL DA LINHA ELÁSTICA
EQUAÇÃO DIFERENCIAL DA LINHA ELÁSTICA
Método da Superposição
Método da Integração Direta
Método dos
 momentos
MÉTODO DA SUPERPOSIÇÃO
Em uma viga submetida a várias cargas, os deslocamentos em um ponto qualquer pode ser obtido somando-se algebricamente os deslocamentos, no mesmo ponto, correspondente à cada carga agindo isoladamente.
MÉTODO DA SUPERPOSIÇÃO
MÉTODO DA SUPERPOSIÇÃO
MÉTODO DA SUPERPOSIÇÃO
 
 
 
MÉTODO DA SUPERPOSIÇÃO
 
 
 
MÉTODO DA SUPERPOSIÇÃO
São vigas em que o número de reações excede o número de equações de equilíbrio da estática.
3 reações
2 equações
ESTATICAMENTE INDETERMINADAS
VIGAS ESTATICAMENTE INDETERMINADAS - MÉTODO DA SUPERPOSIÇÃO
São necessárias equações adicionais para obter todas as reações.
O número de reações em excesso ao número de equações de equilíbrio é chamado de GRAU DE HIPERESTATICIDADE.
GRAU = (Nª REAÇÕES) – ( Nª DE EQUAÇÕES)
Assim, a viga analisada é hiperestática de grau 1.
VIGAS ESTATICAMENTE INDETERMINADAS - MÉTODO DA SUPERPOSIÇÃO
Exemplo : Determine as reações dos apoios da viga abaixo usando o método da superposição. 
 
 
VIGAS ESTATICAMENTE INDETERMINADAS - MÉTODO DA SUPERPOSIÇÃO
 Estaticidade da estrutura:
Grau = 4 (eq.) – 3(reações) = 1 → Hiperestática
Equações de equilíbrio:
 
 
VIGAS ESTATICAMENTE INDETERMINADAS - MÉTODO DA SUPERPOSIÇÃO
c) Compatibilidade de deslocamento:
 
 
VIGAS ESTATICAMENTE INDETERMINADAS - MÉTODO DA SUPERPOSIÇÃO
 
 
 
MÉTODO DA INTEGRAÇÃO DIRETA
 
 
 
MÉTODO DA INTEGRAÇÃO DIRETA
 
 
 
MÉTODO DA INTEGRAÇÃO DIRETA
 
 
 
MÉTODO DA INTEGRAÇÃO DIRETA
 
 
 
MÉTODO DA INTEGRAÇÃO DIRETA
 
 
 
VIGAS ESTATICAMENTE INDETERMINADAS - MÉTODO DA INTEGRALÇAO DIRETA
As equações adicionais podem ser obtidas considerando as deformações da estrutura.
Logo, pode-se usar uma das três equações diferenciais da linha elástica.
O procedimento para a resolução é o mesmo usado para vigas isostáticas.
Exemplo: Determine as reações na viga sujeita ao carregamento a seguir pelo método da integração
 
 
 
VIGAS ESTATICAMENTE INDETERMINADAS - MÉTODO DA INTEGRALÇAO DIRETA
VIGAS ESTATICAMENTE INDETERMINADAS - MÉTODO DA INTEGRALÇAO DIRETA
Estaticidade da estrutura:
Equações de equilíbrio:
Grau = 3 – 2 = 1 → Estrutura estaticamente indeterminada de grau 1
VIGAS ESTATICAMENTE INDETERMINADAS - MÉTODO DA INTEGRALÇAO DIRETA
VIGAS ESTATICAMENTE INDETERMINADAS - MÉTODO DA INTEGRALÇAO DIRETA
VIGAS ESTATICAMENTE INDETERMINADAS - MÉTODO DA INTEGRALÇAO DIRETA
Condições de contorno:
	(I) 
	(II)
	(III)
(I) → 0 = 0 – 0 – 0 + C1 → C1 = 0
(II) → 0 = 0 – 0 – 0 + 0 + C2 → C2 = 0
VIGAS ESTATICAMENTE INDETERMINADAS - MÉTODO DA INTEGRALÇAO DIRETA
 (III) → 
VIGAS ESTATICAMENTE INDETERMINADAS - MÉTODO DA INTEGRALÇAO DIRETA
Rotações e deflexões:
VIGAS ESTATICAMENTE INDETERMINADAS - MÉTODO DA INTEGRALÇAO DIRETA
Reações de apoio: