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As propriedades das tangentes às cônicas não degeneradas e suas diversas aplicações práticas Nomes Hiury Umenópolis Jirlon Costa Kelvin Magalhães 1 Introdução As cônicas são curvas planas obtidas por intersecção de um cone circular reto com um plano. Se o plano intersecta todas as geratrizes do cone, a curva obtida é uma elipse. Se o plano é paralelo apenas a uma geratriz, a curva obtida é uma parábola. Se o plano é paralelo a duas geratrizes, a curva obtida é uma hipérbole. 2 3 Apolônio (262 a.C. — 194 a.C) definiu cônicas como intersecções de um plano, não contendo o vértice, com o cone; e provou que existem quatro possibilidades: circunferência, elipse, parábola e hipérbole. Figura 01 – Parábola. Figura 02 – Elipse. Figura 03 – Hipérbole. Influencias Kepler(1571-1630) em 1609 publicou sua descoberta sobre as orbitas sobre movimento dos planetas do sistema solar, estas estabelecem que a orbita dos planetas seguem trajetórias elípticas, onde Sol encontra-se posicionado em um de seus focos. Isaac Newton(1643-1727) no livro História da matemática escrito por Carl B. Boyer. :"Foi a Matemática Pura de Apolônio que permitiu, cerca de 1.800 anos mais tarde os de Newton; este, por sua vez, deu aos cientistas de hoje condições para que a viagem de ida e volta à Lua fosse possível". 4 Pierre de Fermat (1601-1665) em 1629 concluiu seu manuscrito Introdução aos lugares planos e sólidos . a descoberta das equações da reta e da circunferência, e as equações mais simples da elipse, da parábola e da hipérbole. Aplicou a transformação equivalente à atual rotação de eixos para reduzir uma equação do 2.º grau 5 Propriedades Tangenciais. Princıpio da Reflexão de Heron de Alexandria. 6 Figura 04 – Tangencias. Superfície Cônica de Revolução 7 Figura 05 – Retas formando um ângulo θ com o plano π, passando por S. 8 Figura 06 – Superfície Cônica de Revolução O plano β que secciona a superfície de revolução: Hipérbole; Parábola; Elipse; 9 10 Se α > θ e α ≤ 90º, Hipérbole Figura 07 – Formação da Hipérbole Hipérbole Definição: é o conjunto de todos os pontos do plano cuja diferença das distancias, em valor absoluto, a dois pontos fixos desse plano é constante. Elementos da Hipérbole: Focos; Distância focal; Centro; Vértices; Eixo real; Eixo imaginário; Assíntotas; 11 12 Figura 08- Elementos da Hipérbole Reta tangente à hipérbole 13 Figura 09 – Reta tangente Hiperboloide O Hiperboloide pode ser obtido como uma superfície de revolução, através da rotação de uma hipérbole ao redor do seu eixo. 14 Figura 10 – Hiperboloide. Aplicação da hipérbole 15 A hipérbole é aplicada na engenharia e na arquitetura , um exemplo são as chaminés de usinas nucleares. Também é utilizada na construção de um telescópio de reflexão. Figura 11 –Chaminés de Usinas. Figura 12 – Telescópio de Reflexão. 16 Se α = θ, Parábola Figura 13- Formação da Parábola Parábola Definição: é o conjunto de todos os pontos de um plano equidistante de um ponto fixo e de uma reta fixa desse plano. Elementos da Parábola: Foco; Diretriz; Eixo; Vértice; 17 18 Figura 14 - Parábola Reta tangente à parábola 19 Figura 15 – Reta Tangente na Parábola O paraboloide elíptico pode ser obtido como uma superfície de revolução, através da rotação de uma parábola ao redor do seu eixo. 20 Figura 16 – Paraboloide Elíptico. Figura 17 – Paraboloide Hiperbólico. Aplicações de parábola 21 O arremesso de uma bola até a cesta durante um jogo de basquete. O formato de uma batata Pringles. Figura 18 – Trajeto da Bola. Figura 19 – Batata Pringles. 22 Se α < θ, Elipse Figura 20 – Formação da elipse Elipse Definição: é o conjunto de todos os pontos do plano cuja a soma das distâncias a dois pontos fixos do plano é constante. Elementos da elipse: Focos; Distância focal; Centro; Eixo maior; Eixo menor; Vértices; Excentricidade; 23 24 Figura 21 – Propriedades da elipse Como identificar se um ponto pertence ao lugar geométrico da elipse 25 Figura 22 – Reta tangente na Elipse Elipsoide O Elipsoide pode ser obtido como uma superfície de revolução, através da rotação de uma elipse . 26 Figura 23 – Elipsóde. Aplicações da Elipse 27
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