Cap. 5 - LIMITES E CONTINUIDADE - NOTAS DE AULA parte 1

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Elementos de Cálculo I 
Professor Wallace Nascimento Pinto Jr 
 
Capítulo 5 – Limites e Continuidade – parte 1 
 
O Limite de uma Função 
 
Os limites emergem quando queremos encontrar a velocidade instantânea de um objeto ou o 
coeficiente angular da reta tangente a uma curva. Começaremos este capítulo mostrando como 
podemos usar os métodos numérico e gráfico para calcular limites, de forma a explorar o 
significado da expressão 
 
lim ( )
x a
f x L
 
Veremos também quais restrições estes métodos possuem e apresentaremos os teoremas para 
cálculo de limites. 
 
Exemplo 1: Vamos investigar o comportamento da função 
2
1
1
x
f x
x
, para valores de x 
próximos de 1. 
 
1) Pelo método numérico: 
 
Vamos completar a tabela a seguir com os valores de 
( )f x
. Perceba que estamos interessados 
nos valores de x próximos de 1, mas não iguais a 1. 
 
 
1x
 
( )f x
 
1x
 
( )f x
 
0,5 1,5 
0,9 1,1 
0,99 1,01 
0,999 1,001 
0,9999 1,0001 
 
 
Com base nos valores da tabela, podemos dizer que quando x tende a 1, 
( )f x
 tende a .... 
Podemos expressar essa situação com a seguinte notação 
 
21
1
lim
1x
x
x
 
 
 
43 
 
2) Pelo método gráfico: 
 
O gráfico de f encontra-se esboçado abaixo. 
 
 
 
 
O que acontece com os valores de 
( )f x
 quando x se aproxima de 1 (pela direita e pela esquerda 
de 1)? 
 
Determinar 
1
lim ( )
x
f x
 é simplesmente verificar de qual número a imagem (
( )f x
 ou y) se aproxima, 
quando nos aproximamos de 1 no eixo x. A pergunta então é a seguinte: existe um número do 
qual a imagem se aproxima à medida que nos aproximamos cada vez mais de 1, sem pensarmos 
em atingir o 1, mas chegando cada vez mais próximo? 
 
Observando o gráfico, é fácil constatar que tal número existe e é igual a 0,5. 
 
Uma notação alternativa para 
 
21
1
lim 0,5
1x
x
x
 
é 
 
0,5f x
 quando 
1x
 
 
44 
 
Em geral, temos a seguinte definição. 
 
 
Exemplo 2: Vamos mudar a função do Exemplo 1, definindo seu valor como 2 quando 
1x
 e 
chamando a função resultante de 
g
: 
2
1
, 1
( ) 1
2 , 1
x
se x
g x x
se x
 
 
Essa nova função tem o mesmo limite de 
f
 quando 
x
 tende a 
1
, pois a única coisa que importa 
na procura do limite é como a função está definida próximo de a. 
 
 
 
Exemplo 3: Vamos investigar o comportamento da função 
2 2f x x x
, para valores de x 
próximos de 2. 
 
1) Pelo método numérico: 
 
Vamos completar a tabela a seguir com os valores de 
( )f x
. 
Definição de Limite. Suponha que 
( )f x
 está definida quando x está próximo de um número a. 
(Isso significa que f está definida em todos os pontos de algum intervalo aberto contendo a, 
exceto possivelmente no próprio a). 
Escrevemos 
lim
x a
f x L
 
 
e dizemos “o limite de 
( )f x
 quando 
x
 tende a 
a
, é igual a 
L
”, 
se pudermos tornar os valores de 
( )f x
 tão próximos de 
L
 quanto quisermos, tomando 
x
 
suficientemente próximo de 
a
 (por ambos os lados de 
a
), mas não igual a 
a
. 
45 
 
 
 
2x
 
( )f x
 
2x
 
( )f x
 
1,0 3,0 
1,5 2,5 
1,9 2,1 
1,99 2,01 
1,999 2,001 
 
 
Com base nos valores da tabela, podemos dizer que 
 
2
2
lim 2
x
x x
 
 
2) Pelo método gráfico: O gráfico de f encontra-se esboçado abaixo. 
 
 
 
Observando o gráfico, confirmamos que 
2
2
lim 2
x
x x
 
 
Neste exemplo, perceba que o limite da função no ponto escolhido coincide com a imagem da 
função neste ponto. 
 
 
Exemplo 4: Estime o valor de 2
20
9 3
lim
t
t
t
. 
46 
 
 
 
1) Pelo método numérico: 
 
Como fazer essa estimativa usando a calculadora dará certo trabalho e levará tempo, podemos 
utilizar uma planilha eletrônica. Como as versões mais recentes do Geogebra já incluem uma 
planilha, vamos aprender a utilizá-la. 
 
t
 
2
2
9 3t
t
 
1,0
 
0,5
 
0,1
 
0,01
 
0,001
 
0,0001
 
0,00001
 
 
 
Com base nos valores da tabela, podemos dizer que 
 
2
20
9 3
lim
t
t
t
 
 
 
Nesta estimativa, já podemos perceber algumas restrições ao utilizarmos o método numérico: 
 
- dependendo da lei de formação da função, os cálculos das imagens podem ser difíceis de serem 
feitos “na mão”; 
- a calculadora e a planilha eletrônica às vezes retornam valores falsos, por causa do 
arredondamento numérico para o qual foram programadas; 
 
2) Pelo método gráfico: 
 
Agora vamos verificar se o método gráfico nos fornece uma segurança para estimar o limite. 
Vamos usar novamente o Geogebra. 
 
Como vimos, o método gráfico também apresenta restrições: 
 
- há gráficos que são difíceis de serem feitos “à mão”; 
- mesmo ao utilizar um software para fazer o gráfico, dependendo da janela de visualização, 
teremos gráficos imprecisos que podem levar a conclusões erradas. 
 
47 
 
Portanto, como estes métodos podem falhar, precisamos de métodos infalíveis para o cálculo de 
limites, o que será feito no decorrer do capítulo. 
 
Limites Laterais 
 
Exemplo 5: Seja a função 2 1 2
( )
1 2
2
x se x
f x x
se x
. 
 
O que concluir neste caso sobre 
2
lim ( )
x
f x
? 
Observe o gráfico de f esboçado abaixo e responda às perguntas a seguir: 
 
 
1) Existe um número do qual a imagem se aproxima à medida que nos aproximamos cada vez 
mais de 2, caminhando sempre à direita de 2? 
 
2) Existe um número do qual a imagem se aproxima à medida que nos aproximamos cada vez 
mais de 2, caminhando sempre à esquerda de 2? 
 
 
As perguntas acima evidenciam a noção de limites laterais, respectivamente, limite lateral à 
direita e limite lateral à esquerda ou ainda 
 
2
lim ( )
x
f x
 e 
2
lim ( )
x
f x
 
 
Pelo gráfico, temos que 
 
2
lim ( ) 3
x
f x
 e 
2
lim ( ) 2
x
f x
 
 
Neste caso, os limites laterais existem, mas o limite não. Observe que a função tem um salto 
no ponto 
2x
, o que exemplifica uma função que não é contínua em 
2x
. Informalmente, 
uma função é dita contínua num ponto 
a
 se não possui salto em 
a
. 
 
48 
 
 
 
 
Exemplo 6: Seja a função 
 
2 1 1
( )
1 1
x se x
f x
x se x
 
 
Pede-se: 
 
a) Faça um esboço do gráfico de 
f
. 
b) Determine, se existirem, 
1
lim ( )
x
f x
, 
1
lim ( )
x
f x
 e 
1
lim ( )
x
f x
. 
c) Observando o gráfico, verifique (informalmente) se f é contínua em 
1x
. 
d) Determine, se existirem, 
0
lim ( )
x
f x
, 
0
lim ( )
x
f x
 e 
0
lim ( )
x
f x
. 
e) Observando o gráfico, verifique (informalmente) se f é contínua em 
0x
. 
 
 
Exemplo 7: Seja a função 
2
3 1
( ) 1 -1 2
3 2
x se x
f x x se x
se x
 
 
Pede-se: 
 
a) Faça um esboço do gráfico de 
f
. 
b) Determine, se existirem, 
2
lim ( )
x
f x
, 
2
lim ( )
x
f x
 e 
2
lim ( )
x
f x
. 
c) Observando o gráfico, verifique se f é contínua em 
2x
. 
d) Determine, se existirem, 
1
lim ( )
x
f x
, 
1
lim ( )
x
f x
 e 
1
lim ( )
x
f x
. 
e) Observando o gráfico, verifique se f é contínua em 
1x
.