Cap. 7 - DERIVADAS - parte 4

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Elementos de Cálculo I 
Professor Wallace Nascimento Pinto Jr 
 
Capítulo 7 – Derivadas – parte 4 
 
Derivada de uma função composta: Regra da Cadeia 
 
Suponha que tenhamos que encontrar a derivada da função 
( ) ( )22 1h x x= − 
 
Se aplicássemos as regras que vimos até o momento, poderíamos pensar que a derivada é 
( ) ( )/ 22 1h x x= − 
 
Mas este resultado está INCORRETO. Aplicando o quadrado, teremos que 
( ) ( )22 4 21 2 1h x x x x= − = − + 
e sua derivada é 
( )/ 34 4h x x x= − 
 
Observe que h é uma função composta. De fato, se tomarmos ( ) 2f u u= e ( ) 2 1u g x x= = − , 
então poderemos escrever ( ) ( )( )h x f g x= , isto é, h f g= � . 
Sabemos como diferenciar ambas f e g , então seria proveitoso ter uma regra que nos dissesse 
como achar a derivada de h f g= � em termos das derivadas de f e g . 
Essa regra é chamada Regra da Cadeia e é uma das mais importantes regras de diferenciação. 
 
 
 
Regra da Cadeia: 
Se f e g forem diferenciáveis e h f g= � for a função composta definida por ( ) ( )( )h x f g x= , 
então h é diferenciável e /h é dada pelo produto 
( ) ( )( ) ( )/ / /h x f g x g x= 
Na notação de Leibniz, se ( )y f u= e ( )u g x= forem funções diferenciáveis, então 
dy dy du
dx du dx
= 
93 
 
� Exemplo 18: Encontre ( )/h x , se ( ) ( )22 1h x x= − . 
 
 
 
 
 
 
 
� Exemplo 19: Determine a derivada da função ( ) 2 3 1f x x x= + + . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
� Exemplo 20: Determine a derivada da função ( )
52
2
xf x
x
− 
=  + 
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
94 
 
� Exemplo 21: Determine a derivada da função ( )
3 2
1
1
f x
x x
=
+ +
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Derivadas de Funções Trigonométricas 
 
 
 
� Exemplo 22: Usando a Regra do Quociente, mostre que a derivada da função ( ) ( )f x tg x= é 
( )2secdf x
dx
= . 
 
 
 
 
 
 
 
 
Derivadas de Funções Trigonométricas: 
( ) ( )sen cosd x x
dx
  =  ( ) ( )cos send x xdx   = −  
( ) ( )2tg secd x x
dx
  =  ( ) ( )2cotg cossecd x xdx   = −  
( ) ( ) ( )sec sec tgd x x x
dx
  =  ( ) ( ) ( )cossec cossec cotgd x x xdx   = −  
95 
 
 
� Exemplo 23: Determine ( )/f x para ( ) ( )( )
sec
1 tg
xf x
x
=
+
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
� Exemplo 24: Diferencie as funções ( ) ( )2senf x x= e ( ) ( )2seng x x= . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Derivadas de Funções Exponenciais 
 
 
 
 
 
 
Derivadas de Funções Exponenciais: 
( ) lnx xd a a adx = 
( )x xd e edx = 
96 
 
 
� Exemplo 25: Diferencie a função ( ) xf x e x= − . 
 
 
 
 
� Exemplo 26: Em que ponto da curva 
xy e= a reta tangente é paralela à reta 2y x= ? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
� Exemplo 27: Encontre ( )/f x para ( ) ( )10xf x x= . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
� Exemplo 28: Diferencie 
sen xy e= . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
97 
 
Derivadas de Funções Logarítmicas 
 
 
 
� Exemplo 29: Usando a Regra da Cadeia, diferencie 
ln xy e= e mostre que ( ) 1lnd x
dx x
= . 
 
 
 
 
 
 
 
� Exemplo 30: Determine a derivada de ( )2( ) ln 1f x x= + . 
 
 
 
 
 
 
 
� Exemplo 31: Determine a derivada de ( )25( ) log 1f x x= + . 
 
 
 
 
 
 
 
Derivadas de Funções Logarítmicas: 
( ) 1log
lna
d
x
dx x a
= 
( ) 1lnd x
dx x
= 
98 
 
 
Resumo das Regras de Derivação 
 
1 ( ) 0d c
dx
= 
Regra da Constante 
2 ( ) 1n nd x nxdx −= 
Regra da Potência 
3 ( ) ( )/d cf x cf x
dx
  =  
Regra do Múltiplo Constante 
4 ( ) ( ) ( ) ( )/ /d f x g x f x g x
dx
 ± = ±  
Regra da Soma e da Diferença 
6 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )/ /d f x g x f x g x f x g x
dx
  = +  
Regra do Produto 
7 ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
/ /
2
f x f x g x f x g xd
dx g x g x
 
−
= 
      
 
Regra do Quociente 
8 ( )( ) ( )( ) ( )/ /d f g x f g x g xdx   =  
( )d df duf u
dx du dx
  =  , onde ( )u g x= 
Regra da Cadeia 
9 ( ) ( )sen cosd x x
dx
  =  
Regra do Seno 
9 ( ) ( )cos send x x
dx
  = −  
Regra do Cosseno 
10 ( ) ( )2tg secd x x
dx
  =  
Regra da Tangente 
11 ( ) ( ) ( )sec sec tgd x x x
dx
  =  
Regra da Secante 
12 ( ) ( ) ( )cossec cossec cotgd x x x
dx
  = −  
Regra da Cossecante 
13 ( ) ( )2cotg cossecd x x
dx
  = −  
Regra da Cotangente 
14 ( )x xd e edx = 
Regra da Exponencial 
15 ( ) lnx xd a a adx = 
Regra da Exponencial de base a 
16 ( ) 1lnd x
dx x
= 
Regra do Logaritmo 
17 ( ) 1log
lna
d
x
dx x a
= 
Regra do Logaritmo de base a