5ª Lista de Exercícios - 2016.2 - SI

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ÁLGEBRA VETORIAL E LINEAR PARA COMPUTAÇÃO
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA - UFRPE
5a LISTA DE EXERCÍCIOS - 2016.2
Profo. Gilson Simões
ATENÇÃO! Faça até o Exercício 0.6 e entregue as soluções até o final da aula. A
solução dos demais exercícios deverão ser entregues até o dia 22/02/2017
Exercício 0.1. Considere V = R3 com produto interno canônico. Determine a coordenada
k do vetor v = (6,−3, k) tal que ||v|| = 7.
Exercício 0.2. Considere V = R3 com produto interno canônico. Determine o ângulo
entre os vetores u = (2, 1,−5) e v = (5, 0, 2).
Exercício 0.3. Considere V =M2×2 com o produto interno canônico, isto é,〈 a11 a12
a21 a22
 ,
 b11 b12
b21 b22
〉= a11b11 + a12b12 + a21b21 + a22b22.
a) Determine x de modo que os vetores u1 =
 1 −2
5 x
 e v1 =
 3 2
1 −1
 sejam
ortogonais.
b) Determine o ângulo entre os vetores u2 =
 1 2
−1 1
 e v2 =
 0 2
1 1
.
Exercício 0.4. Seja V = P2 o espaço vetorial dos polinômios de grau menor ou igual a
dois. Considere o produto interno canônico em P2, isto é
〈p(x), q(x)〉 = a2b2 + a1b1 + a0b0,
com p(x) = a2x2 + a1x + a0 e q(x) = b2x2 + b1x + b0. Dado os vetores p(x) = 3x − 4,
q(x) = −x2 + 1, calcule
a) 〈p(x), q(x)〉.
b) ||p(x)|| e ||q(x)||.
c) O ângulo entre os vetores p(x) e q(x).
Exercício 0.5. Seja β = {(1, 2), (2, 1)} base de V = R2. A partir de β, obetenha uma
base ortonormal de R2 com relação ao produto interno canônico.
Exercício 0.6. Seja β = {(1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 2, 0)} base de V = R3. A partir de β,
obetenha uma base ortonormal de R3 com relação ao produto interno canônico.
Exercício 0.7. Seja V = R2. Mostre que a função 〈, 〉 : R2 × R2 → R definida por
〈(x1, y1), (x2, y2)〉 = 2x1x2 − x1y2 − x2y1 + y1y2
é um produto interno em R2.
Exercício 0.8. Seja V um espaço vetorial qualquer com produto interno 〈, 〉. Dados
u, v ∈ V , determine o cosseno do ângulo entre os vetores u e v sabendo que ||u|| = 3,
||v|| = 7 e ||u+ v|| = 4√5.
Exercício 0.9. Considere o espaço vetorial V = R2 com produto interno dado por
〈(x1, y1), (x2, y2)〉 = 3x1x2+ y1y2. Com relação a este produto interno, determine um vetor
v ∈ R3 tal que ||v|| = 4, 〈u, v〉 = 10, onde u = (1,−2).
Exercício 0.10. No espaço vetorial V = P2, considere o produto interno 〈p(x), 〉 =∫ 1
0 p(x)q(x)dx. Calcule o cosseno do ângulo entre os vetores p(x) = x2 − 2x e q(x) = x+ 3.
Exercício 0.11. Seja β = {(−1, 1), (1, 1)} base de V = R2. A partir de β, obetenha uma
base ortonormal de R2 com relação ao produto interno do Exercício 0.7.
Exercício 0.12. Seja β = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} base de V = R3. A partir de
β, obetenha uma base ortonormal de R3 com relação ao produto interno dado por
〈(x1, y1, z1), (x2, y2, z2)〉 = x1x2 + 5y1y2 + 2z1z2.
Exercício 0.13. No espaço vetorial do polinômios de grau menor ou igual a um, V = P1,
considere o produto interno dado por 〈p(x), q(x)〉 = 2a1b1 + a1b2 + a2b1 + 2a0b0, onde
p(x) = a1x+ a0 e q(x) = b1x+ b0. Com relação a este produto interno, encontre um vetor
q(x) ortogonal ao vetor p(x) = x− 1.
Exercício 0.14. Seja V = R3 com produto interno canônico. Dado os subespaços
U = {(x, y, z) ∈ R3/ x− 2y + 3z = 0}, W = [(2,−1, 1)],
determine U⊥ e W⊥.
Exercício 0.15. Considere o espaço vetorial V = R3 com produto interno dado por
〈(x1, y1, z1), (x2, y2, z2)〉 = 2x1x2 + 3y1y2 + 4z1z2. Dado o subespaço W = {(x, y, z) ∈
R3/ x− z = 0}, determine W⊥.